ONDAS ESTACIONARIAS EM UMA CORDA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA
ALUNOS:
Israel Reinande F. C. Britto
 
DISCIPLINA: Laboratório de Física C
TURMA: T05
PROFESSOR: José Joatan Rodrigues Júnior
Aracaju - SE 
12/ 2014
1- Introdução
No estudo da física, ondas são definidas como perturbações que se propagam em um meio, transportando energia sem transportar matéria. São classificadas em mecânicas ou eletromagnéticas. Estas, caracterizadas por não precisarem de um meio material para se propagarem, são resultado da combinação de campo elétrico com magnético. Aquela, por sua vez, à qual o objeto deste estudo está inserido, propagam-se em meios materiais.
Ondas que permanecem em uma posição constante em um intervalo de tempo arbitrário, são denominadas de ondas estacionárias. Isso é possível devido à superposição de duas ondas com frequências, comprimentos e amplitudes iguais e que se propagam em sentidos contrários.
Em diversos instrumentos musicais de corda é possível observar tal evento, variando-se os sons na escala musical, de acordo com variações dos parâmetros como a densidade linear das cordas, seu comprimento e a tensão nelas aplicada.
Considerando as cordas presas nas duas extremidades, formam-se nós, ditos naturais, conforme figura abaixo. Com isso, apenas alguns comprimentos de onda tornam-se possíveis, para as onda
 estacionárias. 
Figura 1.1: Ondas estacionárias em cordas fixas nas extremidades.
De acordo com as equações da figura, tem-se que os comprimentos de onda podem ser:
Com isso, percebe-se uma sequência lógica, da qual pode-se extrair uma equação geral:
	
	
	(1.1)
com sendo o número de ventres da onda. Sabe-se que o produto entre a frequêcia () e o comprimento de onda () é igual à velocidade da onda na corda (), tem-se, então, que:
	
	
	(1.2)
Essa velocidade é dependente tanto da tensão () aplicada na corda, quanto da sua densidade linear (), como se segue:
	
	
	(1.3)
Aplicando (1.1) e (1.3) em (1.2), encontra-se as frequências próprias da corda:
	
	
	(1.4)
Em uma situação de onda estacionária em instrumentos musicais, uma corda é posta para vibrar, produzindo apenas um ventre, é gerada, então, uma frequência, denominada de fundamental, responsável pela percepção da altura de uma nota:
E para situações em que há mais de um ventre, tem-se os chamados harmônicos, estes participam da composição da forma de onda do som. Algebricamente, percebe-se que as frequências naturais destes harmônicos são múltiplos de sua frequência fundamental de vibração:
	
	
	(1.5)
2- Objetivos
Os objetivos a serem atingidos mediante a realização deste estudo são:
Verificar a lei que descreve a ressonância de uma corda tensa sujeita a uma força periódica externa;
Determinar as frequências naturais – fundamental e harmônicos – desta corda e;
Verificar a dependência destas frequências naturais com os parâmetros relativos ao sistema físico – a tração no fio e o seu comprimento.
	3- Materiais e Métodos
Os materiais utilizados para a realização do experimento de ondas numa corda foram os seguintes:
Corda;
Roldana;
Porta-pesos;
Massas aferidas;
Suporte em forma de gancho para fixação do fio;
Gerador de tensão;
Autofalante;
Trena;
Cabos e conexões diversas;
Notebook com software para osciloscópio, no modo frequencímetro.
Procedimentos Experimentais na parte de cordas:
Antes de dar início ao experimento, verificou-se que o sistema a ser utilizado já estava montado, certificando-se de que cada componente estava em seu devido lugar e funcionando perfeitamente. Verificou-se no notebook, através do software para osciloscópio na função frequencímetro como seria registrada a frequência falante.
O procedimento foi dividido em três partes. Na primeira, designada a verificar as frequências naturais de vibração, utilizou-se uma determinada massa total para tensionar o fio, e com a trena, mediu-se o seu comprimento. Mantendo estes valores constantes, partindo de uma frequência bem baixa, e aumentando-a, gradativamente, verificou-se o que ocorria. Anotou-se os valores de frequência adotados e o respectivo número de ventres gerados no fio. Com estes dados, foi possível montar uma tabela.
Na segunda parte, destinada a verificar a dependência da frequência fundamental com o comprimento do fio, a massa manteve-se constante à da parte anterior e variou-se o comprimento do fio em seis valores, verificando a frequência fundamental do mesmo, possibilitando a construção de uma segunda tabela.
E na terceira e última parte, para verificar a dependência da frequência fundamental com a tensão no fio, manteve-se o comprimento do fio constante e, ao variar os valores de massa no porta-pesos, verificou-se as frequências fundamentais, possibilitando a construção de um outro gráfico para posterior análise.
	4- Resultados e Discussão
Resultados e Discussões Cordas:
Na primeira parte do experimento, com a massa no porta-pesos e o comprimento do fio constantes, percebe-se que ao variar a frequência, o número de ventres no fio também variava. Esta variação e os valores de massa e comprimento estão descritos na tabela, abaixo:
	
	
	33,246*
	1
	68,727
	2
	102,71**
	3
	128,77
	4
	171,15
	5
	208,45
	6
	
	
 Tabela 4.1: Frequência aplicada e respectivo número de ventres.
 * Frequência fundamental.
**Deste dado para o seguinte ocorreu um problema devido a passagem do fator 1 para o 2 na fonte geradora fazendo o harmônico correspondente estar bem no limite de um fator para o outro.
Quando uma onda senoidal se propaga ao longo de um fio preso em suas extremidades, ocorre uma reflexão e posterior superposição de ondas, com isso, a configuração da onda torna-se inalterada ao longo do fio e sua amplitude flutua. No entanto, existem pontos na onda que não se movem, são chamados de nós, e entre dois nós, há um ventre, nele, a amplitude do movimento é máxima. Devido a configuração da onda parecer não se mover ao longo do fio, diz-se que trata-se de uma onda estacionária.
Com os dados obtidos na primeira parte, foi possível construir um gráfico da frequência aplicada versus o número de ventres obtidos no fio.
Figura 4.1: Gráfico da frequência versus o número de ventres no fio.
Considerando a equação (1.5) e os dados da tabela 4.1, percebe-se que a forma do gráfico só poderia ser linear, uma vez que os valores de frequência são diretamente proporcionais ao número de ventres no fio, conforme uma equação linear do 1º grau. E como esta, o valor constante () que multiplica a variável () tem o papel de coeficiente angular. Assim, o coeficiente angular desse gráfico representa a frequência fundamental do fio de nylon. A partir do gráfico, tem-se que o coeficiente angular, nesse caso, é igual a:
Com base neste resultado, e fazendo uso das equações (1.1) e (1.2), além da equação abaixo, para o cálculo da propagação de incerteza e tendo conhecimento de que a incerteza para instrumentos analógicos é simplesmente a metade da menor medida e considerando que foi usada uma trena para medir o comprimento do fio, tem-se que a incerteza de .
	
	(4.1)
	
O valor da velocidade de propagação das ondas no fio é:
Fazendo uso da equação (1.3) e adotando igual , também é possível encontrar o valor da velocidade de propagação:
Com este valor, e usando a equação abaixo, obtém-se o erro relativo () entre a grandeza calculada () e a medida experimentalmente ().
	
	
	(4.2)
Verifica-se, então que o erro relativo entre estes valores é de apenas 1,3 %, um resultado bastante satisfatório.
Na segunda parte do experimento recolheu-se os seguintes dados:
	
	
	1,72
	33,246
	1,65
	34,843
	1,61
	35,711
	1,55
	37,886
	1,50
	38,157
	1,46
	39,988
	
Tabela 4.2: Dependência entre o comprimento do fio e a frequência fundamental.
Após análise dos dadose das equações disponíveis na introdução, resolve-se adotar a equação (1.4) para explicar a referida dependência. Trata-se, também, de uma equação linear do 1º grau. O gráfico com os dados da tabela acima comprova isto.
Figura 4.2: Gráfico da frequência fundamental versus o inverso do comprimento do fio.
O coeficiente angular fornecido pelo gráfico tem valor igual a (62,96±4,65) m/s, que consiste no coeficiente angular da equação (1.4), assim:
Se comparado com a velocidade calculada anteriormente (), o erro percentual é de 7,32%, um pouco alto, mas razoável. Dessa forma, percebe-se a dependência da frequência fundamental com o comprimento do fio.
Para verificar a dependência da frequência fundamental com a tensão do fio, analisou-se a equação e os dados da tabela, abaixo:
	
	
	
	0,0563
	33,246
	0,550614
	0,1063
	46,676
	1,039614
	0,1163
	48,007
	1,137414
	0,1563
	56,363
	1,528614
	0,1663
	57,401
	1,626414
	0,2163
	65,258
	2,115414
	0,2663
	75,299
	2,604414
	
Tabela 4.3: Dependência da frequência fundamental com a tensão no fio.
 
Com estes dados, foi possível construir o gráfico abaixo, constatando novamente, a dependência, mas agora entre a frequência fundamental () e a raiz quadrada da tensão aplicada no fio ():
Figura 4.3: Gráfico da frequência fundamental versus a tensão aplicada no fio.
5- Conclusão
A realização deste experimento proporcionou um melhor aprendizado no que se refere ao estudo de ondas estacionárias em cordas, permitindo a constatação empírica do que é estudado na teoria.
Permitiu a comparação entre valores medidos através do experimento e valores calculados com as equações. O percentual de erro relativo mostra que os valores obtidos com o experimento foram bons, sem grandes diferenças.
Também foi possível constatar as dependências lineares citadas ao longo dos resultados e discussões com as equações e conceitos abordados na introdução e comprovou-se ser o esperado de fato.
Ao discutir e ao apresentar os resultados obtidos, observando os objetivos a serem alcançados, percebe-se que assim o foram. Desse modo, tem-se que o presente estudo foi de grande proveito e de resultados positivos.
6- Referências Bibliográficas
[1] Cordas Vibrantes V2 (apostila DFI UFS 2014). 
[2] Ondas Tubo (apostila DFI UFS 2014). 
[3] TIPLER, Paul A. & MOSCA, Gene. Física Para Cientistas e Engenheiros Vol. 2 6ª ed.
[4] YOUNG, Hugh D. Física II: Eletromagnetismo Sears & Zemansky/ Young & Freedman, 10ª ed.