Oscilações Amortecidas e Forçadas no Sistema Massa-Mola

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
Oscilações Amortecidas e Forçadas no Sistema 
Massa-Mola 
 
 
 
 
 
 
ALUNOS: Claudia de Aquino Silva 
 Israel Reinande F. C. Brito 
 Letícia Sousa Costa 
 Natanael Rodrigues 
 Stephanie Kamarry Alves de Sousa 
 
 
 
 
DISCIPLINA: Laboratório de Física C 
TURMA: T05 
PROFESSOR: José Joatan Rodrigues Júnior 
 
 
 
 
 
 
Aracaju - SE 
11/ 2014 
 
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Sumário 
1 Introdução .................................................................................................................................. 3 
1.1 Objetivos ............................................................................................................................. 6 
1.1.1 Objetivo Geral .............................................................................................................. 6 
1.1.2 Objetivos Específicos .................................................................................................... 6 
2 Materiais e Métodos .................................................................................................................. 7 
2.1 Materiais ............................................................................................................................. 7 
2.2 Métodos .............................................................................................................................. 8 
2.2.1 Oscilações Livres: Frequência Própria de Oscilação e Coeficiente de 
Amortecimento. .................................................................................................................... 8 
2.2.1 Oscilações Forçadas: Ressonância................................................................................ 9 
3 Resultados e Discussões ........................................................................................................... 10 
3.1 1ª Parte - Oscilações Livres: Frequência Própria de Oscilação e Coeficiente de 
Amortecimento ....................................................................................................................... 10 
3.2 2ª Parte - Oscilações Forçadas: Ressonância ................................................................... 12 
6 Considerações Finais ................................................................................................................ 14 
Referências .................................................................................................................................. 15 
 
 
 
 
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1 Introdução 
 
Na natureza, o movimento dos átomos e moléculas em uma rede que constitui 
um corpo sólido, o movimento de rotação e translação da Terra e o movimento dos 
satélites são alguns dos movimentos descritos pelo MOVIMENTO HARMÔNICO 
(MH), que corresponde a movimentos que se repetem em intervalos de tempo constante 
em torno de uma posição central. O MH também pode ser descrito como o movimento 
de oscilação mais elementar, e pode ser observado em qualquer sistema em equilíbrio 
estável que subitamente tem essa situação modificada, passando a executar um 
movimento periódico, cíclico ou oscilatório. 
Quando uma partícula descreve um movimento periódico sempre com mesma 
trajetória, dizemos que ela possui um MOVIMENTO OSCILATÓRIO ou 
MOVIMENTO VIBRATÓRIO. Devido à presença constante do atrito, os corpos 
geralmente não oscilam entre as posições limites fixas, ocorrendo a perda de energia e 
posteriormente o cessamento da oscilação. Os movimentos dessa natureza são 
chamados de MOVIMENTOS AMORTECIDOS, que são oscilações na qual as 
amplitudes sofrem uma redução de acordo com uma curva exponencial. Nestas 
oscilações a frequência do movimento é mantida constante e há a transformação da 
energia mecânica em energia térmica pela ação do atrito. 
 
Figura 1: Sistema massa-mola 
 
 
 
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 Num sistema massa-mola, caracterizado pelo MOVIMENTO HARMONICO 
SIMPLES (MHS) – cuja posição é uma função senoidal do tempo e o movimento da 
partícula esta sujeita a uma força proporcional ao deslocamento–, quando um corpo de 
massa m é suspenso por uma mola de constante elástica K, as forças atuantes sobre este 
corpo serão a força peso (�)����� e a força de restituição elástica da mola ( �),������ que 
obedecerá a lei de Hooke, sendo dada por: 
���� = 	−��					
					����� = �� 
Para oscilações cujo atrito seja muito pequeno ou nulo, aplicando-se a 2º Lei de 
Newton, temos a força resultante que será: 
����� = ��� + 	�� = �� 
 
A solução desta equação diferencial nos dará: 
���) = 	� cos���	� + 	�) +	��� 
Onde: 
� = amplitude do movimento oscilatório 
��	 = frequência angular do movimento 
 Nos movimentos amortecidos, onde o atrito é diferente de zero, a força de atrito 
para o sistema massa-mola é descrita pela Lei de Stokes-Einstein e será proporcional a 
velocidade dada pela força de atrito. A equação da força resultante será, portanto dada 
por: 
�	���� = 	��� +	�� +	���� �!	�������������� = ��� − "� − 	#�$ )%� 
Onde, λ é coeficiente de atrito viscoso e o sinal negativo indica que a força de 
atrito é sempre contraria ao movimento. 
Aplicando-se a 2º Lei de Newton e resolvendo a equação diferencial anterior, 
temos: 
���) = 	&
'(�	 cos��� + 	�) +	�! 
 
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Figura 2: Movimento harmônico amortecido. 
Para manter o movimento periódico amortecido, é necessária a aplicação de uma 
força externa ao corpo, portanto, tal movimento será denominado de MOVIMENTO 
FORÇADO. Um exemplo de tal movimento são os mecanismos oscilantes dos relógios, 
onde através de forças produzidas por uma corda ou por um sistema elétrico é possível 
manter as oscilações. Temos agora, portanto duas frequências angulares com que tratar: 
(1) a frequência angular natural do sistema, que é a frequência angular na qual ele iria 
oscilar se fosse deslocado e depois deixado oscilar livremente e (2) a frequência angular 
da força externa. Neste caso, a força resultante será dada por: 
��� = �)� = ��� %� = *�� − �� − 	#�$ + 	���)+%� 
Resolvendo-se a equação diferencial, a equação geral será: 
���) = 	�,	��) +	�-��) = 	�	.
/	*�0� − 	1+ + 	&
'(� cos��� + 	�) +	��� 
Onde, o termo xh(t) representa uma oscilação amortecida que após algum tempo 
vai para zero. O movimento estacionário da massa m será governado somente pela força 
F(t). A amplitude dependerá da frequência, logo, a amplitude da velocidade será dada 
por: 
 
A amplitude da velocidade v0 varia com wf e atinge o valor máximo quando o 
denominador da equação anterior for mínimo e, este será mínimo quando wf = w0, ou 
seja, a amplitude da velocidade será máxima quando a frequência da força aplicada 
coincidir com a frequência natural, formando um pico, caracterizando o fenômeno 
conhecido como RESSONÂNCIA. 
 
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 Figura 3 
A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da 
aviação e de engenharia este conceito é fundamental. Um grande exemplo do efeito de 
ressonância é a ponte de tacoma. 
 
1.1 Objetivos 
 
1.1.1 Objetivo Geral 
 
Este laboratório teve como objetivo geral a visualização e verificação dos 
fenômenos de oscilações, simples e forçadas, no sistema massa mola. 
1.1.2 Objetivos Específicos 
 
São objetivos específicos deste trabalho: 
• Determinar a frequência de oscilação do sistema amortecido, com atrito, (2) e 
do sistema ideal (2�); 
• Determinar o coeficiente de amortecimento de um sistema massa-mola; 
• Obter e analisar a curva de ressonância do sistema massa-mola; 
• Determinar a frequência de ressonância; 
• Compararo valor das grandezas obtidas através dos dois experimentos realizado 
a fim de mostrar que a frequência de ressonância é a frequência própria de 
oscilação 2� do sistema massa-mola ideal (sem atrito); 
 
 
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2 Materiais e Métodos 
 
Neste capítulo serão apresentados os materiais utilizados nos experimentos e o 
procedimento de execução dos mesmos. 
2.1 Materiais 
 
Foram utilizados para realização do experimento os seguintes materiais: 
• Mola; 
• Porta Peso; 
• Pêndulo; 
• Massas aferidas; 
• Câmera filmadora; 
• Trena; 
• Suporte diversos; 
• Programar Tracker e SciDavis; 
• Balança de Precisão. 
 O arranjo dos materiais consistia de um aparato com massas pré-definidas, 
conectado a uma mola A outra extremidade da mola é conectada a uma haste de 
sustentação de acrílico. Para facilitar o processamento das imagens no software, foi 
utilizado um anteparo preto. Além disso, na segunda etapa do experimento foi 
necessário utilizar um pêndulo na haste de sustentação para oscilar. 
 
 
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2.2 Métodos 
Nesta seção serão apresentados os procedimentos experimentais para cada etapa 
desse laboratório. 
2.2.1 Oscilações Livres: Frequência Própria de Oscilação e 
Coeficiente de Amortecimento. 
 
Inicialmente, foi determinada massa total do conjunto e sua respectiva incerteza 
com o auxílio de uma balança de precisão. Em seguida, utilizou-se a trena para medir a 
largura da faixa amarela que se encontrava fixada na haste que ligava a mola ao peso, 
esta distância serve de referência para análise do movimento do sistema massa-mola no 
software Tracker. Utilizando-se de um sistema massa-mola devidamente montado com 
uma determinada mola e massa escolhida, deslocamos a massa da posição de equilíbrio 
e observamos o movimento realizado pelo mesmo. Com o uso de uma câmera 
filmadora, devidamente apoiado por uma haste, foi efetuada a filmagem do movimento 
da massa de maneira a ser possível o registro do desenho marcado sobre a massa 
suspensa pela mola para posterior análise por software. Esse procedimento foi repetido 
para diversas oscilações de forma que o amortecimento seja visível na redução da 
amplitude de oscilação. 
Por fim, foi feita uma análise do vídeo através do Tracker para obter a variação 
da posição com o tempo como mostrado na figura x. 
 
Figura 4: Análise de pontos no Tracker. 
 
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A parti dos dados obtidos no Tracker e utilizando o SciDavis foi possível 
encontrar os valores de frequência própria de oscilações e coeficiente de amortecimento 
através da modelagem do sistema. 
2.2.1 Oscilações Forçadas: Ressonância 
 
Mantendo a mesma configuração para o sistema massa mola anteriormente 
realizado, porém, acrescentando um pêndulo na haste de sustentação, foi feita a variação 
do comprimento do pêndulo e verificada a oscilação do sistema massa-mola a fim de 
escolher o comprimento que correspondia a maior amplitude de oscilação da massa 
suspensa pela mola. O comprimento 3 escolhido foi de 22,5 cm. 
Após a escolha do comprimento de pêndulo que reproduzia a maior amplitude 
de oscilação, foi feita a filmagem do movimento, em seguida, foi repetido esse 
procedimento para outros 10 comprimentos em torno do valor de 22,5 cm. A variação 
escolhida foi de 1cm. 
Por fim, todos os vídeos foram transferidos para o computador e analisados 
através do software Tracker. 
 
 
 
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3 Resultados e Discussões 
 
Neste capítulo serão detalhados os resultados obtidos e serão feitas as discussões 
no que concerne a análise geral. 
3.1 1ª Parte - Oscilações Livres: Frequência Própria de 
Oscilação e Coeficiente de Amortecimento 
 
Para a determinação da frequência própria de oscilação 2� e do coeficiente de 
amortecimento 4, foi obtido a tabela da posição (x) da massa suspensa em função do 
tempo(t) a partir do vídeo da 1ª parte e com o auxílio do software Tracker. No total 
foram adquiridos 238 pontos, por isso, não serão apresentados no relatório. A tabela 01 
apresenta as incertezas do tempo e da posição obtidas através do Tracker. 
 Tabela 01 – Incerteza do Tempo e Posição. 
Incerteza do 
Tempo (s) 
Incerteza da 
Posição (m) 
0,033 0,024 
 
A seguir é apresentado gráfico da posição pelo tempo, obtido com o auxílio do 
SciDAVis. 
 
 Figura 5: Gráfico de Tempo x Posição dos dados do primeiro experimento 
 
 
 
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A partir do gráfico anterior foi possível ajustar uma equação similar a equação x. 
���) = 	&
'(� cos�2� + 	�) +	�� 
Os parâmetros de ajuste foram a amplitude inicial do movimento B, a fase inicial 
�, a posição de equilíbrio �� =	�� �5 , e as duas constantes de interesse 2 e 4. O 
modelo obtido é mostrado na figura x. 
 
Figura 6: Modelagem dos pontos através do SciDavis. 
Vale resaltar, que como esperado, o gráfico corresponde a uma senóide 
amortecida por duas exponenciais opostas, o que é característico de um sistema massa-
mola amortecido. Assim, a partir do modelo foram obtidos os seguintes valores: 
& = 0,0796885615521447 +/- 0,0502382672167437 
2 = 7,09766623544667 +/- 0,164076646681828 
4 = 0,0849571904327318 +/- 0,166111016378109 
� = -46,7995447493175 +/- 0,619308623443491 
 
Efetuando o cálculo manualmente, sem o auxílio do software, apenas aplicando 
os valores já encontrados na equação temos que a constante elástica da mola é dada por: 
� = 	��� =
0,234	 × 9,780
0,21 = 10,91	@/� 
 
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Para encontrar a frequência de oscilação: 
2� =	B�� = 6,82	D)E/. 
Percebemos então, que a frequência de oscilação calculada (6,82	D)E/.) e a 
obtida através do modelo (7,09	D)E/.) são bem próximas, evidenciando o bom 
resultado do experimento. 
 
3.2 2ª Parte - Oscilações Forçadas: Ressonância 
 
A segunda etapa desse laboratório consistia em analisar o fenômeno de 
ressonância em oscilações forçadas. Para isso, primeiro foi montada uma tabela que 
relaciona o comprimento do pêndulo com a máxima amplitude de oscilação após o 
sistema entrar em estado estacionário. Além disso, foi acrescentada na tabela a 
frequência (20) correspondente a cada comprimento (3), calculada através da equação a 
seguir: 
20 =	B� 35 
Por fim, foi calculada a amplitude da velocidade através da equação: 
F!�20) = 20��20) 
A tabela final é apresentada a seguir 
Comprimento 
(cm) 
Amplitude 
(cm) 
20 
(rad/s) F! 
17,5 0,229 0,748 0,171 
18,5 0,321 0,727 0,233 
19,5 0,337 0,708 0,239 
20,5 0,411 0,691 0,284 
21,5 0,428 0,674 0,289 
22,5 0,379 0,659 0,250 
23,5 0,407 0,645 0,263 
24,5 0,376 0,632 0,238 
25,5 0,298 0,619 0,185 
26,5 0,289 0,608 0,176 
27,5 0,178 0,596 0,107 
 
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Com ajuda do scidavis foi possível obter o gráfico a seguir. 
 
Como podemos observa o gráfico se assemelha bastante ao gráfico de uma curva 
de ressonância, porém, não foi possível efetuar a modelagem do sistema devido a 
problemas com o software SciDavis. 
 
 
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4 Considerações Finais 
 
Podemos concluir que o laboratório ocorreu como esperado, sendo possível 
observar na primeira parte do experimento a ação da exponencial complexa no 
amortecimento de um sistema massa-mola e através de softwares de modelagem foi 
possível encontrar a frequência fundamental e a constante da mola. 
Na segunda etapa desse laboratório foi obtidos bons resultados, porém, devido a 
pouca experiência dos alunos com o uso do SciDavis para modelagem desse tipo de 
dados não foi possível efetuar o levantamento das variáveis do modelo. 
Por fim, vale resaltar que esse laboratório foi de grande valor para todos os 
envolvidos, observando na realidade como são as influências dos efeitos físicos 
estudados em sala de aula. 
 
 
 
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ReferênciasMecânica e Ondas – Trabalho de Laboratório – Movimento Oscilatório Num Sistema 
Massa Mola por desconhecido. 
 
< https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779572266357/MO-MovOsc_V4.pdf>. 
Acessado em 09/11/2014. Última atualização desconhecida).