Cálculo de Volume de um Sólido de Revolução (1)

Prévia do material em texto

Volume de um Sólido de Revolução
Prof. Joelma Iamac Nomura – Cálculo Diferencial e Integral I
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido que é chamado de sólido de revolução. Essa reta é chamada de eixo de revolução.
Formação:
Fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo x, o sólido de revolução é um cone como o apresentado na Figura 1.
Figura 1: Sólido de revolução – Cone
Na próxima figura, temos um retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1 e y = 3 que é girado em torno do eixo y, obtendo um cilindro.
Figura 2: Sólido de revolução – Cilindro
O problema de definir o volume de um sólido T, gerado pela rotação em torno do eixo x, da região plana R é visto na próxima Figura 3.
(a)
(b)
(c) Essa figura ilustra que a medida que o número de cilindros cresce e cada , torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido T.
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em tono do eixo x, é definido por
, temos que é a soma de Riemann da função . Como f é contínua e o limite existe, então pela definição da integral definida, temos:
Exemplos: Todas as soluções serão apresentadas em aula (Fonte: Cálculo A – Autora: Diva Maria Flemming).
A região R, limitada pela curva , o eixo x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.
Solução: Vemos a R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo x.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola e pela reta .
Solução: Supondo , o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:
Determinar o volume do sólido de revolução obtido pela parábola cúbica , pelo eixo y e pela reta y = 8, que gira em torno do eixo y.
Solução: O sólido T é gerado pela rotação de R em torno do eixo y. Então, temos:
Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por , y =4 e x = 4.
Solução: A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:
(5) A região R, delimitada pela parábola e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em torno da reta x = -1. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:
Exercícios:
Encontre o volume dos sólidos de revolução gerados pela rotação em torno do eixo x das seguintes figuras:
a)
b) 
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
Encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por e 
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por