MEC2A2013 [Modo de Compatibilidade]

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Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.1 - Pressão em um ponto (Lei de Pascal)
2.2 - Equação básica do campo de Pressão (hidrostática) 
2.3 - Variação de pressão num fluido em repouso
2.4.1- fluido incompressível
2.4.2 - fluido compressível
2.4 - Pressão absoluta e pressão efetiva 
2.5 - Atmosfera Padrão
2.6 - Conceito de Carga
2.7 - Diagramas de Pressões
2.8 - Manometria
2.9 - Força hidrostática em superfícies submersas
2.7.1. planas
2.7.2. curvas
2.10 - Equilíbrio de corpos submersos e flutuantes
(Flutuação e estabilidade) 
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
Análise de problemas onde o fluido está em repouso. 
•as tensões de cisalhamento nas superfícies das
partículas do fluido são nulas e as únicas forças que
atuam são as de pressão.
2.1- Pressão 
Vetor tensão normal
Direção: normal à superfície 
Sentido: de fora para dentro, compressão
Dimensão: P=F/A (M.Lt-2)/(L2)=ML-1t-2 ou [FL-2]
Unidades: SI - N/m2
Inglês - Psi=lbf/in2,
x
y
z
dz dl
dx
dy pz
px
p
W=ρρρρg (dx dy dz)
2
2.2 - Pressão em um ponto - Lei de Pascal
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
dx
dz
F em x : + px.dy.dz - (p cosα dl.dy) =0
px.dz=p.dl.consαααα
mas consαααα=dz/dl e senαααα=dx/dl
portanto: px.dz=p.dz px.=p
e
αααα
dl
z
x
αααα
p senα
p cosα
∑ =∑ = 00 zx FeF
rr
p=px=pz=py
que estabelece que no interior de um fluido em re-
pouso a pressão é constante em cada ponto
F em z : pz.dx.dy-(p.dl.dy)senα − γγγγ ((dx.dz.dy)/2)=0
desprezando o termo γγγγ ((dx.dy.dz)/2) em relação 
aos demais, por ser diferencial de segunda ordem
pz.dx=p.dl.senα α α α e da definição de senαααα
pz.dx=p.dx pz.=p
logo
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
2.3 - Equação Básica da estática dos fluidos
z
y
x
k
ijdz dx
dy
P
a) a força de campo (corpo ou massa) 
 
dF gdm gd gdxdydzc
r r r r
= = ∀ =ρ ρ 
 
b) a força de superfície (contato), p = p(x,y,z) 
 
a componente resultante da força de superfície em y 
 
jdxdydz
y
p
jdxdzdy
y
ppjdxdzdx
x
ppFx
ˆ
ˆ
2
ˆ
2






−=












+−











−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂r
 
analogamente, para as componentes x e z 
 
 idxdydz
x
pFx ˆ





−== ∂
∂r
 kdxdydz
z
pFz ˆ





−== ∂
∂r
 
dzdydx
x
pp 











∂
∂
−
2
dzdydx
x
pp 











∂
∂
+
2
∑ =∑ =∑ = 000 zyx FeFF
rrr
0=∑F
r
Força de corpo + Força de superfície
-
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
dxdydzk
z
pj
y
pi
x
pFs 





++−=
rrrr
∂
∂
∂
∂
∂
∂
assim 0=+ cFsF
rr
Equação fundamental de equilíbrio estático
0=+∇ kgp
rr
ρ
0=+





++ kgpk
z
j
y
i
x
rrrr ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
0=+





++ kgk
z
pj
y
pi
x
p rrrr ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
0=−





++− kgdxdydzdxdydzk
z
pj
y
pi
x
p rrrr ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
kdxdydz
z
pjdxdydz
y
pidxdydz
x
pFs
rrrr






−+





−+





−= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
zyxs FFFF
rrrr
++=
Vetorialmente, tem-se
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Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.3 - Variação de pressão num fluido em repouso
0=+∇ kgp
rr
ρ
g
dz
dp ρ−=kgg ˆ−=rQuando gx=gy=0 e
00 =
∂
∂
=
∂
∂
y
p
e
x
p γ−=
dz
dp
ou
2.3.1- fluido incompressível
tecons tan=ρ
integrando dzgdp
B
A
Bz
Az
∫ ∫−= ρ
( )ABAB zzgpp −−=− ρ
2.3.2- fluido compressível
Se pA=patm ghpp atmB ρ+=
.cte
dz
dp
= A
B
g
y
h
)( pρρ =
Se é gas perfeito RT
p
=ρ
Substituir o valor de ρ antes de integrar a equação abaixo
g
dz
dp ρ−=
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Lei de Stevin
A lei de Pascal não se aplica quando 
o fluido não é contínuo, conforme 
mostrado na figura a seguir:
2.3 - Pressão em um ponto - Lei de Pascal
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
Prensa Hidráulica
Principio de Pascal:
�A força resistiva F2
é considerada 
constante
�Em qualquer 
instante de operação 
essa força é 
compensada por F1
�Em equilíbrio se 
tem:
[ ]2
2
2
2
1 mNcte
A
F
A
Fp ===
•A relação de forças é determinada pela
razão de áreas dos pistões, isto é:
F1 F2
p p
y2
y1
A2A1
1
1
2
2 FA
AF 





=
CAT118-DECAT/UFOP
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.4 - Pressão Absoluta e Pressão Efetiva
onde Pefetiva=Pman ou Pvac.
Manômetros e 
vacuômetros
medem pressões 
efetivas (para eles a 
pressão atmosférica
é igual a zero)
O manômetro mede
este valor ( a partir da
pressão atmosférica
O vacuômetro mede
este valor ( a partir da
pressão atmosférica
Pressão 
atmosférica
zero absoluto
Nota: Se você desejar conhecer a pressão absoluta em um
dado local, deverá somar a pressão efetiva, medida através
de um manômetro, com a pressão atmosférica, medida 
através de um barômetro
O barômetro
mede este
valor
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
abs
atm
efeabs PPP ++++====
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Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.5 - Atmosfera Padrão
Propriedades da Atmosfera Padrão Americana no Nível do mar
Temperatura, T
Pressão, p
Massa específica, ρ
Viscosidade, µ
288,15 K=15OC
101,33 kPa (abs.)
1,225 kg/m3
1,789 x10-5 N.s/m2
Aceleração da gravidade, g 9,807 m/s2
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É a atmosfera ideal terrestre e foi avaliada numa latitude
média com uma condição ambiental média anual de modo
que se pudesse ter um padrão em todo o globo terrestre.
Uma das organizações responsável por essa medição, a
American National Standard Institute – ANSI
2
1
2.6 - Conceito de Carga
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
Plano de referência
Linha de carga efetiva (LCE)
1z 2z
γ
2p
3
3z
Linha de carga absoluta (LCA)
γ
abs
atmp
{ }mHzpzpzp ∴=+=+=+ 332211 γγγ
γ
1p
γ
3p
Válvula
fechada
H
hp gρ=
A equação mostra que a pressão em um ponto a uma profun-
didade h abaixo de uma superfície de um líquido é dada pelo 
produto γ γ γ γ h ou em termos equivalente de h isto é P/γγγγ
esta razão é denominada de carga






= 3
2
LF
LFL
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h1
h2
P
Plano de referênciaPo
Patm
Po
2.7 - Diagramas de pressões
1hγ
2hγ
2hγ
1hγ1
h
2h
1hγ
2hγ
2.8 - Manometria
2.8.1 - Tubos Piezométricos
2.8.2 - Manômetro com o Tubo em U
2.8.3 - Manômetro com 
o Tubo Inclinado
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
Pequenas variações de pressão
Sistemas de gases
21int eentreegrandog
dz
dp ρ=
atmppeghpp ==− 2121 ρ
11 ghpp A ρ==
32 pp = App =1
2
2
1
1 ghghpA ρρ =+
BA phylyhyp =−−+ 332211 senθ
331122 sen hyhylypp BA +−=− θ
gases
ecomo 231 γγγ <<<
θsen22lypp BA =−
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Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.9- Forças hidrostáticas sobre superfícies submersas.
ApdFd
rr
−=
2.9.1 - Superfícies planas
∫−=
A
R ApdF
rr
pdAxFxepdAyFy
A
R
A
R ∫∫ == ''
• a magnitude da força
• o sentido da força
• a linha de ação
RF
r Fd
rh
dx
dy
Ad
r
y
x
Superfície do líquido
dA
0=∑ rM
r
g
dh
dp ρ=mas
cp centróide
x
rFM R ×=
rr
ρ
op
integrando
ghpp o ρ+=( )↓+h
θ
Resumo de equações
g
dh
dp ρ=
a magnitude da força
a direção da força
o ponto de aplicação
∫=
A
R ApdF
rr
Normal à superfície
∫∫ ×−=×=×′
A
R ApdrFdrFr
rrrrrr
CAT118 - DECAT/EM/UFOPAhdgFd
rr
ρ=
∫==
A
RR FdhFF
rv γ
θsenyh =
ApF cR =
Onde pc é a pressão no centróide
cc pgh =ρ
A
ydA
ye
A
xdA
x Ac
A
c
∫∫
==
AygF cR θρ sen=
θsencc yh =
e
AyydA c
A
=∫
∫∫ ==
AA
R ydAgsendAysengF θρθρ
E como
Calculando h em função de y:
RF
v
Lembrado que o centróide é definido pela coordenadas
Obtém-se:
ApdFd
rr
−=
A direção de é normal à superfície
Superfícies planas
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
Superfícies planas casos especiais
b) superfícies curvas
A força em dA será dada por: (1)
logo,
substituindo dF
r
 em (1) , 
dF i pdA n
dF j pdA n
dF k pdA n
x
y
z
= −
= −
= −
$
.( . )
$
.( . )
$
.( . )
r
r
r
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
FdkdF
FdjdF
FdidF
z
y
x
r
r
r
.
ˆ
.
ˆ
.
ˆ
=
=
=
logo
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
Pode-se definir
dA dAi n
dA dAj n
dA dAk n
x
y
z
=
=
=
$
.
$
.
$
.
r
r
r
 logo, 
dF p dA
dF p dA
dF p dA
x x
y y
z z
= −
= −
= −
as componentes dFx e dFy são calculadas considerando as
projeções dAx e dAy como superfícies planas
dF p dA F p dA
dF p dA F p dA
x c x
A
x c x
A
y c y
A
y c y
A
= − ∴ = −
= − ∴ = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
onde pc é a pressão no centróide de Ax e Ay
na direção z, dF pdAz z= −
a pressão é dada por: dp
dz
p dz
z
z
= − ∴ = − ∫γ γ
1
0
portanto dF dz dAz
z
z
z= − −





∫ γ
1
0
integrando
Fz dzdA dzdA d Wz
z
z
Az
z
z
z
Az
peso= = − = − ∀ = −∫∫ ∫∫ ∫
∀
γ γ γ
1
0
0
1
peso do volume de líquido acima da superfície
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
a) corpo totalm ente subm erso
Força de flutuação
dF dF dF
dF p dA p dA p p dA
B L U
B L U L U
= −
= − = −( )
se o fluido for incompressível, p h= γ
( )dF z z dAB U L= −γ
( )F dF z z dA dB B
A
U L
A
= = − = ∀∫ ∫ ∫
∀
γ γ
ponto de aplicação de F B ( centro de flutuação)
M MR com p= ∑ .
( )FB x z z dA x xdU L⋅ ′ = − ⋅ = ∀∫ ∫γ γ
′ =
∀
∀ =
∀
∀ ⇒∫ ∫x xd xd x c
γ
γ
1
′ =
∀
∀∫y yd
1
 
′ =
∀
∀∫z zd
1
• • • • o centro de flu tuação ( em puxo) coincidentes com o centróide
(centro de m assa)
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.10 - Equilíbrio de corpos submersos
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
b) o corpo colocado na superfície de separação dos meios
A força de flutuação
dF dF dF p p dAB L U L U= − = −( )
se o fluido for incompressível , p h= γ
p p z e p p zL O L B U O U A= + = −γ γ
p p z zL U L B U A− = +γ γ
integrando
( )F z z dA z dA z dA
z dA z dA
B L B U A L B U A
B L A U
= + = +
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
γ γ γ γ
γ γ
FB B A= ∀+ ∀γ γ
• a força de flutuação é igual ao peso do volume de líquido
deslocado em A e B
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
CAT118 - DECAT/EM/UFOP
Definição de Empuxo
• Quando se mergulha um corpo em um líquido,
seu peso aparente diminui, chegando às vezes
aparecer totalmente anulado (quando o Corpo
flutua).
Esse fato se deve à existência de uma força vertical
de baixo para cima, exercida no corpo pelo
líquido, a qual recebe o nome de empuxo
• O empuxo se deve à diferença das pressões
exercidas pelo fluido nas superfícies inferior e
superior do corpo.
Sendo as forças aplicadas pelo fluido na parte
inferior maiores que as exercidas na parte superior,
a resultante dessas forças fornece uma força
vertical de
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
Empuxo
O empuxo de flutuação é igual ao peso do volume 
de líquido descocado. Arquimedes (220 a. C.)
O empuxo vertical no cilindro elementar é:
A força vertical neste corpo, devido à pressão hidrostática, 
denominada empuxo de flutuação , pode ser facilmente
determinada considerando os cilindros elementares.
Hidrômetro
instrumento utilizado para medir a densidade de líquidos,
Opera segundo o princípio do empuxo.
Capítulo 2 - Estática dos fluidos
2.10 - Equilíbrio de corpos 
Equilíbrio dos corpos submersos
Equilíbrio
indiferente
Equilíbrio
estável
Equilíbrio
instável
F
W
EG =
EG =
E
G
W
F
E
E
E
G
W
WF
F
G
G
F
W
W
F
Equilíbrio dos corpos Flutuantes
Equilíbrio
indiferente
Equilíbrio
estável
Equilíbrio
instável
G
E
G
W
F
E E
E
G
G G
F
WE
G
E
M
M
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