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TEF301 - DETEF/UFOP 5.3 As equações do movimento de Euler As equações gerais da quantidade de movimento, quando aplicadas x g x p z u w y u v x u u t u ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ +−= +++ ygy p z v w y v v x v u t v ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ +−= +++ zg z p z w w y w v x w u t w ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ +−= +++ ( ) gPVV t V ρ∂ ∂ρ +−∇= ∇+ rr r . • a fluidos incompressíveis • a escoamento invíscido (µµµµ=0) τ τ τ τ = 0 e σ σ σ σ =-p) reduzem em, Capítulo 5 - Q. M. forma diferencial ou (26) (27) Capítulo 6 Análise dimensional, semelhança e modelos 6.1 – Vantagens da análise dimensional 6.2 - Teorema dos PI de Buckingham 6.3 - Grupos adimensionais importantes 6.4 - Semelhança de escoamentos e estudos em modelos 6.5 - Equações diferenciais básicas em forma adimensionais TEF301 - DETEF/UFOP A Equação de Navier-Stoke ( ) gVPVV t V ρµ∂ ∂ρ +∇+∇−= ∇+ rrr r 2 . força de inércia força de pressão força de viscosidade força de corpo = + + Números adimensionais Fr = no de Froude = Força de inércia Força de gravidade Eu = no de Euler = Força de pressão Força de inércia Re = no de Reynolds = Força de inércia Força viscosa gL V g L V 2 2 == ρ ρ 22 V p L V L p ρρ ∆ = ∆ µ ρ µ ρ LV L V L V == 2 2 TEF301 - DETEF/UFOP Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos Teorema de Buckingham ΠΠΠΠ Determinação dos termos ΠΠΠΠ Resumo, passos da análise dimensional com método das variáveis repetidas 1) relacione todas as variáveis que são importantes no problema 2) expresse cada uma como função das dimensões básicas 3) determine o número necessário de termos ΠΠΠΠ 4) escolha o número de variáveis repetidas 5) forme os termos ΠΠΠΠ multiplicando cada uma das variáveis não repetidas elevadas a um expoente que torne a combinação adimensional 6) repita o passo 5 para cada uma das variáveis repetidas restantes. 7) verifique se todos os termos Π Π Π Π são adimensionais 8) expresse a forma final da relação entre os termos ΠΠΠΠ e analise o significado desta relação TEF301 - DETEF/UFOP Como determinar os números adimensionais ? Dificuldades para resolver as equações de N-S 1. EDP, transiente, não linear 2ª ordem; 2. Não linearidade dos termos das acelerações convectivas [uδδδδu/δδδδx, etc.] 3. Não há processo analítico geral para resolver EDPs não lineares; 4. Cada problema precisa ser considerado individualmente. 6.1 – Vantagens da análise dimensional Métodos para a previsão do comportamento ANALÍTICOS � leis gerais / físicas EMPÍRICOS � comparação entre comportamentos MODELAGEM � protótipo × modelo comportamento semelhante Projetos de engenharia � previsão do comportamento de estruturas, máquinas, dispositivos, sistemas naturais, etc.. Previsão do comportamento � o mais próximo possível da realidade MODELAGEM FÍSICA � Modelos X Protótipos � Similitude de Comportamento Semelhança de comportamento: •O mesmo fenômeno, pondo em jogo as mesmas grandezas regidas pela lei física, se passa nos dois sistemas considerados (o modelo e o protótipo); •Para cada categoria de grandeza existem relações constantes, bem conhecidas e independentes dos valores absolutos da grandeza em questão, entre os valores nos modelos e os valores que ocorrerão no protótipo. ANÁLISE DIMENSIONAL ATO DE MEDIR � aspectos qualitativos e aspectos quantitativos Aspectos qualitativos da medição � análise e distinção entre fenômenos Aspectos quantitativos da medição � análise do grau de intensidade com que o fenômeno se manifesta MEDIR “Consiste em verificar quantas vezes uma grandeza contém outra qualitativamente idêntica e tomada como padrão de unidade” GRANDEZAS FUNDAMENTAIS M, L, T ( MASSA, COMPRIMENTO E TEMPO) F, L, T (FORÇCA , COMPRIMENTO E TEMPO TEF301 - DETEF/UFOP Modelos e semelhança de escoamentos Protótipo e modelo Semelhança geométrica: requer que tanto o modelo como o protótipo tenham a mesma forma, e todas as dimensões lineares sejam relacionadas com um fator de escala constante Semelhança cinemática: quando as velocidades em pontos correspondentes do escoamento estão no mesmo sentido e relacionadas em magnitude por um fator de escala constante Semelhança dinâmica: se ocorrer semelhança geométrica e cinemática e os números adimensionais forem iguais tanto para o modelo e o protótipo teremos semelhança dinâmica Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos pm pm VDVD ReRe = = µ ρ µ ρ Ex. Exemplos de aplicação de semelhança entre modelos e protótipos Equações Diferenciais básicas adimensionais + +−= + 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u ∂ ∂ ∂ ∂µ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ g y v x v y p y v v x v u ρ∂ ∂ ∂ ∂µ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + +−= + 2 2 2 2 Exemplo: considere o escoamento permanente, incompressível e bidimensional no plano xy onde g=-gy (2) (3) TEF301 - DETEF/UFOP 0=+ y v x u ∂ ∂ ∂ ∂ A equação da conservação da massa é As equações de Navier-Stokes, reduzem a (1) Para tornar as eq. 1, 2 e 3 em adimensionais 2**** ∞∞ ==== V ppe V u u L yy L x x ρ Substituindo os termos acima em cada termo das eqs. 1, 2, e 3 ( ) ( ) * * * 2 x u u L V LLx VVu V uV x u u ∂ ∂ =∂ ∂ = ∞∞∞ ∞ ∞∂ ∂ ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 * * y u L V LLy VVu LLyy u yy u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∞∞∞ ∂ ∂ (4) (5) Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos TEF301 - DETEF/UFOP As equações 1, 2 e 3 podem ser escritas 0 * * * * =+ ∞∞ y v L V x u L V ∂ ∂ ∂ ∂ + +−= + ∞∞∞ 2 2 2 2 2 22 * * * * * * * * * * * * y u x u L V x p L V y u v x u u L V ∂ ∂ ∂ ∂µ ∂ ∂ρ ∂ ∂ ∂ ∂ρ g y v x v L V y p L V y v v x v u L V ρ∂ ∂ ∂ ∂µ ∂ ∂ρ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + +−= + ∞∞∞ 2 2 2 2 2 22 * * * * * * * * * * * * L V 2 ∞ ρ 0 * * * * =+ ∞∞ y v L V x u L V ∂ ∂ ∂ ∂ + +−= + ∞ 2 2 2 2 * * * * * * * * * * * * y u x u LVx p y u v x u u ∂ ∂ ∂ ∂ ρ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ L V ∞ + +−−= + ∞∞ 2 2 2 2 2 * * * * * * * * * * * * y v x v LVy p V gL y v v x v u ∂ ∂ ∂ ∂ ρ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Dividindo a eq (5 ) por e as eqs. (6) e (7) por : (5) (6) (7) (8) (9) (10) Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos Exemplo CFX Exemplo CFX, malha 16 Exemplo CFX, resultados 17 Exemplo CFX, resultados (2)
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