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Capitulo 7 
Escoamento viscoso incompressível
7.1 - Escoamento interno e externo, 
7.2 - Escoamento laminar e turbulento
• Experiência de Reynolds
7.3 - Escoamento viscoso incompressível em Condutos
• Escoamento na região de entrada em condutos
• Escoamento laminar completamente desenvolvido
• Escoamento turbulento completamente desenvolvido
• Perda de carga - fator de atrito
7.4 -Escoamento sobre corpos imersos
Características do escoamento em torno de corpos
Camada Limite
• Características da camada limite
• Estrutura e espessura da camada limite
• Solução da camada limite pelo método integral
Escoamento sobre esfera e cilindro
•Teoria de Stokes
7.1- Escoamento externo e interno
Capítulo 7 - Escoamento viscoso Incompressivel
TEF-301/DETEF/UFOP
Visualização do escoamento em torno de veículo
Escoamento dentro de uma tubulação horizontal
a) de seção transversal circular b) de seção não circular
a) escoamento em torno de um avião e
b) escoamento com formação de uma camada limite atmosférica 
7.2 - Escoamento Laminar e Turbulento
Capítulo 7 - Escoamento viscoso Incompressivel
tinta
tubo
bocal de 
alimentação
Experimento de Reynolds
Variação temporal da velocidade do fluido num ponto
t
UA
turbulento
transição
laminar
&∀ A
laminar
transição
turbulentoµ
ρ Du
=Re
TEF-301/DETEF/UFOP
Filete de tinta&∀
'uuu +=
TEF301 - DETEF/UFOP
∫∫ ∀+





++=−−−
cvcs
oce det
AdVgzVhWWWQ
...
2
.
2
ρ∂
∂ρ
rr
Da equação da energia
considerando : escoamento permanente
tubos de seção uniforme
e velocidade média nos condutos
∂ ∂ ∂ ρ
ρ ρ
Q
d t
W
d t
W
d t
V A V g z p u V g z p ue c− − = + + +




 − + + +












2
2
2
2
2
1
2
1
1
12 2
onde hT é a perda de carga total
LThzzg
ppaVaV
wq +−+−+−=− )(
2 12
12
2
1
2
2
ρ
&&
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
7.3 Escoamento em condutos
444 3444 21
&&
Th
td
W
m
uuzzgppVV
td
W
td
Q
m
ce ∂
ρ
∂∂ 1)()(
2
1
1212
12
2
1
2
2 +−+−+
−
+
−
=





−
7.3.1 Escoamento na região de entrada de condutos
z
Le
u
D
u
DL e .Re06,0=
escoamento completamente
desenvolvidoregião hidrodinâmica de entrada
Escoamento não 
desenvolvido
Escoamento 
plenamente
desenvolvido
para escoamento turbulentoDL e .Re4,4 6/1=
para escoamento laminar
TEF301- DETEF/EM/UFOP
Camada limite
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
Escoamento 
plenamente 
desenvolvido
Escoamento na região de 
entrada
p∆
tecons
x
p
tan=
∂
∂
0 Le x
p
Distribuição de pressão no escoamento num tubo horizontal.
r
Região invíscida
entradap∆
TEF301 - DETEF/EM/UFOP
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
Em coordenadas cilíndricas:



++


++−=


+


2
2
2
2 1
z
V
r
V
rr
Vg
z
p
z
VV
r
VV zzzzzzzr ∂
∂
∂
∂
∂
∂µρ∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ r



+−+


++−=


+


2
2
22
2 1
z
V
r
V
r
V
rr
Vg
r
p
z
VV
r
VV rrrrrrzrr ∂
∂
∂
∂
∂
∂µρ∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ r
( ) 01 =+
z
VVr
rr
r
r ∂
∂
∂
∂
Hipóteses: 1) regime permanente 2) bidimensional
3) ρ ρ ρ ρ e µ µ µ µ são constantes 4) vz=u u = u (r,z)
vr = vr (r,z)
p = p (r,z)
continuidade:
Q.M. em r :
Q.M. em z:
∂
∂
u
z
u u r= ⇒ =0 ( )
Solução: 
como vr=0 da continuidade
7.3.2- Escoamento laminar completamente desenvolvido
Q. M.em r : 



+


+−=
r
u
rr
u
z
p
∂
∂
∂
∂µ∂
∂ 10 2
2
zd
dp
rd
du
r
dr
d
r µ
11
=





r
zd
pd
rd
du
r
dr
d
µ
1
=





1
2
2
1 Cr
zd
pd
rd
du
r +=





µ
)(0 zpp
r
p
=⇒=∂
∂
Q. M. em z:



++= 21
2 ln
4
1)( CrCr
zd
pd
ru
µeq.: c.c.: 



−=⇒=
=⇒=
2
2
1
4
10)(
00)0(
R
dz
dpCRu
C
dr
du
µ














−−=
2
2 1
4
1)(
R
rR
dz
dp
ru
µ
2
8
1 R
dz
dp
u
µ
−=
2
maxuu =
u u
r
Rr m a x( )
= −











1
2
∫∫∫ +=




 drCdrr
zd
pddr
rd
du
12
1
µ
ou
e
TEF301 - DETEF/UFOP
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
7.3.3 - Escoamento Turbulento completamente 
desenvolvido em condutos
Transição do escoamento laminar para turbulento num tubo
t, segundos
u
,
 
m
/
s
turbulento
transição
laminar
2000
4000
0
0,30
0
0,90
0,60
Flutuações turbulentas
(aleatórias)
“Estouro”
turbulento
Perfil de velocidade em um escoamento 
turbulento num tubo 
euondeyu
u
u w
2/1
*
*
*






== ρ
τ
νLei parede
0,5ln5,2
*
*
+





=
ν
yu
u
u
Lei logarítmica
n
R
r
U
u
/1
1 





−=
50
*
≤≤
v
yu
Lei exponencial
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
TEF301 - DETEF/UFOP
u
U
r
R
n
= −





1
1 /
Perfis de velocidade para escoamentos laminares e turbulentos em tubos
Perfil de velocidade turbulento
u/Uc
Expoente n para o perfil de velocidade
n
turblamvudy
du
ττρµτ +=−= ''
Tensão de cisalhamento turbulenta
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
TEF301 - DETEF/UFOP
Escoamento na subcamada viscosa (subcamada laminar)
2
2 





=
dy
udl
mturb ρτe
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
7.3.4 - Fator de atrito
Definição: f V
p
=






4
1
2
2
τ
ρ (1) adimensional
onde é a tensão cisalhante na parede
pressão dinâmica
τ p
1
2
2ρ V
− = − − <
= − ⇒ = −
τ
τ pi pi τ
p p t
p p
A p p A p p
R L p p R p p R
L
( )
( ) ( )
2 1 2 1
2 1
2
2 12 2
substituindo em eq. (1)
f d p D
d z V
=






.
1
2
2ρou
V d p
d z
R d p
d z
V
D
= ⇒ =
1
8
3 22
2µ
µ
f
V D
=
6 4 µ
ρ
f = 6 4
R e escoamento
laminar
TEF301 - DETEF/UFOP
f ~ função de Re e rugosidade
τ p
L
V
p1 p2 
escoamento 
turbulento
τ p
p
L
D
=
∆
4
mas
(2)
f p D
L V
=






∆ .
1
2
2ρ
f V D
D V
=






3 2
1
2
2 2
µ
ρ
Cálculo da perda de carga (∼ ∆∼ ∆∼ ∆∼ ∆P )
Perda de carga total 
TEF301 - DETEF/UFOP
perda de carga: causa viscosidade
),,,,,( ερµDLVp ∝∆
onde ε é a rugosidade da superfície e representa a altura média das rugosidades
Rugosidade relativa = ε
D
∑ ∑+= asdistribuidslocalizadaT hhh
a) Cálculo da perda de carga em condutos (ou distribuída)
2
2
V
D
Lfph asdistribuid =∆= ρFórmula de Darcy-Weisbach
Re
64
=fpara escoamento
laminar
para escoamento 
turbulento e
transição
( )
14,1log21:
8,0Relog21:
+





−=
−=
D
K
frugosotubo
fflisotubo
Capítulo 7 - Perda de carga
f diagrama de Moody
vamos utilizar:
Capítulo 7 - Escoamento viscoso incompressivel
TEF301 - DETEF/UFOP
b) Cálculo da perda de carga localizada
acessórios, entradas e
mudança de seções 
L e é o comprimento equivalente
)(
22
22
*
m
g
V
D
Lf
g
VKh eslocalizada == )(22
22
*
m
g
V
D
Lf
g
VKh eslocalizada ==
Acessórios K*
Curvas

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