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Geometria Analitica e Álgebra Linear Vetores Prof.: José Fernando Santiago Prates Universidade de Franca – UNIFRAN Franca - 2018 Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 2 1. Norma de um vetor (módulo) Seja o vetor �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) Rn. Definimos Norma (ou comprimento) do vetor u, representado por |�⃗⃗� |, o número real dado por; |�⃗⃗� | = 2 n 2 3 2 2 2 1 u...uuu 1.1.1. Ilustração geométrica 1.1.2. Exemplos 1) Determine a norma do vetor �⃗⃗� = (1, 3). Solução: �⃗⃗� = (1, 3) |�⃗⃗� | = 22 )3()1( = 10 |�⃗⃗� | = 10 2) Determine a norma do vetor �⃗⃗� = (5, -2, 1). Solução: �⃗⃗� = (5, -2, 1) |�⃗⃗� | = 222 )1()2()5( = 30 |�⃗⃗� | = 30 3) Determine a norma do vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 5) e B = (2, -2, 1). Solução: 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A = (2, -2, 1) – (5, -2, 5) = (-3, 0, -4) |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 222 )4()0()3( = 5 |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 5 4) Obter, se possível, o valor de k de modo que |�⃗⃗� | = 5, onde �⃗⃗� = (k, -2, -1, 2) Solução: �⃗⃗� = (k, –2, –1, 2) e | �⃗⃗� | = 5 |�⃗⃗� | = 2222 )2()1()2()k( = 9k2 e como |�⃗⃗� |= 5, temos que k2 + 9 = 25, ou seja; k = 4 y x P = (u1,u2) u1 u2 Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 3 2. Produto escalar Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn) Rn. O produto escalar entre �⃗⃗� e �⃗⃗� é um número real, representado por �⃗⃗� �⃗⃗� e definido por; 2.1.1. Propriedade de Produto Escalar Sejam os vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� Rn e k R. I. �⃗⃗� �⃗⃗� = �⃗⃗� �⃗⃗� (comutativa) II. �⃗⃗� (�⃗⃗� + w) = �⃗⃗� �⃗⃗� + �⃗⃗� �⃗⃗⃗� (distributiva) III. K.( �⃗⃗� �⃗⃗� ) = (K. �⃗⃗� ) �⃗⃗� = �⃗⃗� (K. �⃗⃗� ) (associativa) IV. �⃗⃗� �⃗⃗� > 0 V. �⃗⃗� �⃗⃗� = |�⃗⃗� |2 2.1.2. Exemplos 1) Determine o produto escalar entre os vetores �⃗⃗� = (5, -2, 1) e �⃗⃗� = (2, 0, -4) Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = (5).(2) + (-2).(0) + (1).(-4) = 6 2) Determine o produto escalar entre os vetores �⃗⃗� = (2, -3, -2, 0) e �⃗⃗� = (1, 2, -2, 3) Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 3) Sabendo que |�⃗⃗� | = 3, |�⃗⃗� | = -2 e �⃗⃗� �⃗⃗� = 2 calcular (3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� ) (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) Solução: (3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� ) (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) = (3�⃗⃗� )(2�⃗⃗� ) - (3�⃗⃗� )(5�⃗⃗� ) + (2�⃗⃗� )(2�⃗⃗� ) - (2�⃗⃗� )(5�⃗⃗� ) = 6|�⃗⃗� |2 - 11 �⃗⃗� �⃗⃗� – 10|�⃗⃗� |2 = 6(3)2 - 11(2) – 10(-2)2 = - 8 (3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� ) (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) = -8 �⃗⃗� �⃗⃗� = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3 +,...,+ un . vn �⃗⃗� �⃗⃗� = |�⃗⃗� |.|�⃗⃗� |.Cos() 0o 180o Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 4 4) Dados os vetores a =(3, –2, 4) e b =(1, 6, –4), determinar um vetor x , sabendo- se que ele é perpendicular ao eixo OX, e que verifica as seguintes relações : x a =5 e x b =3. Solução: x = (a, b, c) = ? e x Eixo OX x = (0, b, c) x a = 5 e x a = (0, b, c)(3, –2, 4) =-2b + 4c -2b + 4c = 5 x b = 3 e x b = (0, b, c)(1, 6, –4) = 6b – 4c 6b – 4c = 3 3 5 c4b6 c4b2 2b e 4 9 c Logo, x = (0, 2, 4 9 ) Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 5 3. Ângulo entre dois vetores Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn) Rn e aplicando a segunda expressão do produto vetorial, o ângulo entre os vetores u e v é definido por: Obs: |�⃗⃗� �⃗⃗� | fornece o ângulo de menor valor. 3.1.1. Exemplos 1) Determine o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (1, 4, 1) e �⃗⃗� = (-1, 2, 2) Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 |�⃗⃗� | = 222 )1()4()1( = 18 |�⃗⃗� | = 222 )2()2()1( = 3 3.18 9 Cos 1 = 45o 2) Sabendo que |�⃗⃗� |=10, |�⃗⃗� | =5 e que o ângulo entre os vetores é = 60o. Determine �⃗⃗� �⃗⃗� . Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = ? |�⃗⃗� | = 10, |�⃗⃗� | = 5, = 60o Da fórmula �⃗⃗� �⃗⃗� = |�⃗⃗� |.|�⃗⃗� |.Cos() temos: �⃗⃗� �⃗⃗� = 10.5.Cos(60) = 25 �⃗⃗� �⃗⃗� = 25 3) Determine o ângulo interno  do triangulo formado pelos pontos A=(5, 5, 0), B=(5, 0, 5) e C=(0, 5, 5). Solução: AB = B – A = (5, 0, 5) = (0,-5,5) AC = C – A = (0, 5, 5) = (-5,0,5) AB AC = (0).(-5) + (-5).(0) + (5).(5) = 25 | AB | = 222 )5()5()0( = 50 = 25 | AC | = 222 )5()0()5( = 50 = 25 |AC|.|AB| AC AB cosA 1 ^ = 25.25 25 cos 1 = 3 = 60º �⃗⃗� �⃗⃗� Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 6 4. Vetores Paralelos Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn) Rn. Os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� são paralelos (�⃗⃗� //�⃗⃗� ) se, e somente se existir um número real k tal que �⃗⃗� = k�⃗⃗� . Condição A (obter) : (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) Condição B (verificar) : 𝑘 = 𝒗𝟏 𝒖𝟏 = 𝒗𝟐 𝒖𝟐 = 𝒗𝟑 𝒖𝟑 =. . . = 𝒗𝒏 𝒖𝒏 4.1.1. Ilustração geométrica Os vetores: �⃗⃗� = (2, 1) é paralelo ao vetor 3�⃗⃗� = (6, 3) �⃗⃗� = (-3, 2) é paralelo ao vetor -�⃗⃗� = (3, -2) �⃗⃗⃗� = (-3, 0) é paralelo ao vetor -2�⃗⃗⃗� = (-6, 0) 4.1.2. Exemplos 1) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (1, 3, 4) e �⃗⃗� = (2, 6, 4) são paralelos. Solução: 2 1 2 u v 1 1 2 3 6 u v 2 2 e 1 4 4 u v 3 3 Logo, 1 u v u v u v 2 3 3 2 2 1 1 temos que os vetores não são paralelos. 2) Determine x e y de modo que os vetores �⃗⃗� = (x, 2x-y, 4) e �⃗⃗� = (2, 6, 4) são paralelos. Solução: Como 1 4 4 u v 3 3 , ou seja, v3 = u3, Sendo assim os componentes devem ser iguais De v1 = u1, temos que x = 2 e De v2 = u2, temos que 2x-y = 6, y = -2. �⃗⃗� = (x, 2x-y, 4) = (2, 2(2)-(-2), 4) = (2, 6, 4) (verificando!) v u �⃗⃗� = k�⃗⃗� 0 y x u 3u v -v w -2w 6 1 2 -1 -2 3 4 5 1 2 3 4 -1 -2 -3 Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 7 5. Vetores Ortogonais Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn) Rn. Os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� são ortogonais (�⃗⃗� �⃗⃗� ) se, e somente �⃗⃗� ●�⃗⃗� = 0. 5.1.1. Ilustração geométrica Os vetores Ortogonais: �⃗⃗� = (𝟎, 𝟒) e �⃗⃗� = (𝟔, 𝟎) �⃗⃗⃗� = (−𝟐,−𝟐) e �⃗� = (𝟑, 𝟑) �⃗⃗� = (𝟏, 𝟐) e �⃗⃗� = (𝟒,−𝟐) 5.1.2. Exemplos 1) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (1, 3, 4) e �⃗⃗� = (2, 6,4) são ortogonais. Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = (1).(2) + (3).(6) + (4).(4) = 36 Portanto, os vetores não são ortogonais. 2) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (2, -3, -2, 0) e �⃗⃗� = (1, 2, -2, 3) são ortogonais. Solução: �⃗⃗� �⃗⃗� = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 Portanto, os vetores são ortogonais. �⃗⃗� �⃗⃗� �⃗⃗� ●�⃗⃗� = 0 y x Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 8 v 6. Vetores diretores Definimos os vetores diretores os vetores que formam a base canônica de cada espaço vetorial. Para: R2: 0) ,1(i e 1) ,0(j R3: 0) 0, ,1(i , 0) 1, ,0(j e 1) 0, ,0(k 6.1. Ângulos diretores São ângulos formados entre um vetor e os vetores diretores. Para: R2: 0) ,1(i e 1) ,0(j R3: 0) 0, ,1(i , 0) 1, ,0(j e 1) 0, ,0(k y x z y x y x y x z Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 9 1) Considere a figura do paralelepípedo de largura 3, altura 4 e comprimento 7. Encontre o produto escalar e o ângulo entre os vetores BF e BH 16 e 66,61º 2) Determine se possível , o valor de k de modo que 25 vu , onde 2)- 3, 7, , ,(u 53 e 5) 2k, 1,- , ,(v 31 . 4 3) O vetor 2) ,1 ,1(v forma um ângulo de 60 0 com o vetor AB , onde A=(0, 3, 4) e B=(m, 1, 2). Calcular o valor de m. m=–34 ou m=2 4) Dados os vetores a =(3, –1, 5) e b =(1, 2, –3), determinar um vetor x , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x a =9 e x b =–4. (2,–3,0) 5) Seja o cubo de aresta a representado na figura ao lado. Determine o ângulo entre AD e AF 54,44 º 6) Sendo | u | = 2, | v | = 3 e 120º 0 ângulo entre v e u , determine v u . -3 7) Determine o ângulo interno  do triangulo formado pelos pontos A=(5, 5, 1), B=(5, 2, 5) e C=(1, 5, 5). 55,4 8) Sendo 35 |u| , 4 |v| e 150º 0 ângulo entre u e v , determine | u - v | . 12. 288 Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 10 9) Os vetores a e b formam um ângulo = 135º, calcular o ângulo entre os vetores p e q , onde bap e baq e sabendo que |a| = 34 e 3|b| . 37,0º 10) Dados os vetores a =(3, –2, 4) e b =(1, 6, –4), determinar um vetor x , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OX, e que verifica as seguintes relações: x a =5 e x b =3. (0, 2, 252. ) 11) Sejam os vetores )1 ,k ,2(u , )2 ,1 ,3(v e )4 ,2 ,1k2(w . Determine k de modo que )wv()vu(vu . 0.625 12) Sejam os vetores 3)- m,- ,(a 1 , 1) m,-4 ,m(b 3 e 7) 2,- ,m(c . Determinar m para que c)ba(ba . 2 13) Obter, se possível, o valor de k de modo que |u| =5, onde u = (k, -2, -1, 2) k = 4 14) Determine k de modo que |u| = 6 , onde u =(k - 3, 2, ). 4 e 2 15) Determine k de modo que |u| = 47 , onde u =(k-2, k, 3, 2). k=5, k=-3 16) Sejam os vetores 2)- ,1 ,(u 1 , 2) ,1- ,(v 2 , 3)- ,1 -4,(w , e 1) ,0 -3,(z . Determine |)wv()zu(| 23 . 14 Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. José Fernando Santiago Prates 11
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