Apostila Matematica Matrizes - Eng. Civil - Algebra Linear 2014-1

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Créditos:
	
ACSA – Área das Ciências Sociais Aplicadas
	
	Curso: ENGENHARIA CIVIL
	 
	
	Componente Curricular: Álgebra Linear e Geometria Analítica
	
	
	Professor: Ms Erno Pedro Schwerz – erno.schwerz@unoesc.edu.br
	
	
	 
	
Acadêmico(a) ______________________________________________________________
MATRIZES
Definição
Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.
apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.
A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas).
As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.
Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.
De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.
m x n
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, para de 1 a 3 e de 1 a 2, define a matriz 3×2 
Tipos especiais de matrizes
Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. Na matriz quadrada, a diagonal principal é formada pelos elementos aij onde i = j. A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária.
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma linha.
Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma coluna.
Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual e cujo elemento se Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal
 .
Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual cujo elemento se e Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
 
Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. 
 
Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual cujos elementos se e se Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.
 
Matriz Triangular Superior: E uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i > j) 
4 X 4
Matriz Triangular Inferior: E uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i < j)
4 X 4
Matriz Simétrica: É aquela onde m=n e aij=aji. É a matriz quadrada onde a primeira linha é igual a primeira coluna, a segunda linha é igual a segunda coluna e, assim, sucessivamente.
4 X 4 
Matriz Anti-simétrica: É a matriz quadrada onde aij = -aij, ou seja, os elementos simétricos em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.
Matriz Oposta: Dadas as matrizes A = (aij) mxn e B = (bij)mxn, dizemos que A é oposta de B se, e somente se, aij = -bij.
 e 
Matriz Transposta: Dada a matriz A, chamamos de transposta de A a matriz At, na qual as linhas de A são suas colunas , e vice-versa. 
 
O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se era será 
Cada coluna de corresponderá a uma linha de e vice-versa.
Igualdade de Matrizes
Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo mxn, então os elementos com o mesmo índice são chamados elementos correspondentes. Duas matrizes A e B, do mesmo tipo sãoniguais se, e somente se, os elementos correspondentes de ambas forem iguais. 
Álgebra matricial
Multiplicação por um escalar
A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
Definição
	Exemplo
Para multiplicar um número qualquer por uma matriz m×n basta multiplicar cada entrada de por Assim, a matriz resultante será também m×n e 
É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.
A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:
Associativa em relação ao Escalar: 
Distributiva em relação ao Escalar: 
Distributiva em relação à Matriz: 
Elemento Neutro: 
Adição de Matrizes
A adição de matrizes é outra operação bastante simples.
Definição
Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos 
	Exemplo
Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
Propriedade Associativa: 
Elemento Neutro: ( é uma Matriz Nula, não um escalar)
Simétrico Aditivo: 
Comutatividade: 
Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.
Definição
Se é uma matriz e é uma matriz então seu produto é a matriz (m linhas e p colunas) dada por:
para cada par 
Exemplo
Propriedades
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
Associativa: 
Distributivaem relação à Adição: 
Elemento Neutro: se é uma matriz então 
onde representa a matriz identidade de ordem 
Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se Em muitos dos casos, a multiplicação pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação a multiplicação só pode existir no caso em que e são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.
EXERCÍCIOS
Escreva as matrizes:
A (2 x 3) = [aij],   tal que aij = i + j
B (2 x 2) = [bij],   tal que bij = i2 - 3j
 C (3 x 3) = [cij],  tal que	 cij = i + j para i    j e cij = 0 para i = j
 D(2, 4) = [dij],   tal que		dij = 0,  se i  j
dij = 2i + 3j,  se i < j
dij = 1,  se i = j
2) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2– j
3) (PUCC–SP - Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.  Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A.
4) (PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.
5) (CFTMG) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2 e bij = - i2 + j2, o valor de A - B é
6) (UEL) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij) definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é:
a) Igual ao elemento c12
b) Igual ao produto de a23 por b23
c) O inverso do elemento c32
d) Igual à soma de a12 com b11
e) Igual ao produto de a21 por b13
7) Dada a matriz A = ( aij)2x3 definida por aij = 3i + j , se i < j; 7 se i = j ; e i2 + j, se i > j. O valor da expressão 2.a23 + 3a22 - a21 =
8) Considere as matrizes e 
a) Obter a matriz tql que A + X = B
b) Obter as matrizes X e Y tal que: 
9) (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij) 3x3, onde , aij = 2i – 3j é:______________
10)Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3x3 , onde aij = i + j se j ou aij = i – j se i < j .
11) Dadas as matrizes: e B = , 0 produto dos elementos da segunda linha de é : a) ( ) 1 b) ( ) -1 c) ( ) 0 d) ( ) 2 e) ( ) -2
12) Determine os valores de “x”, “y” e “z” para que as igualdades sejam verdadeiras.
  =   b) = 
13) Dadas as matrizes
A = , B = , C = e D = 
determine a matriz x, de modo que:
a) X = 3A -2(B + A) b) X + 3C = B – C c) X = A . B – C
d) X = A2 e) X = B x Dt 	f) X = D -D
14) Dadas as matrizes: e B = .
Determine:
a) A . B = b) B . A c) At . Bt = d) Bt . At e) A . I2
15) Sejam A = (aij)4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A . B = C, então o elemento C32 da matriz C, é:
16) Sobre as sentenças:
I – O produto de matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II – O produto de matrizes A5 x 4 . B 5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III – O produto de matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2.
É verdade que:
a) ( ) somente I é falsa c) ( ) somente III e) ( ) I, II e III são falsas
b) ( ) somente II é falsa d) ( ) somente I e III são falsas
17) Se . = , então a + b é igual a:
18) Resolva a equação matricial.
 . = 
19) Calcule os seguintes determinantes:
a= b) c) 
20) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i2 , o determinante da matriz A é:
21) ( CESCEM ) O produto M . N da matriz M = pela matriz N = :
a) ( ) não se define
b) ( ) é a matriz identidade de ordem 3
c) ( ) é uma matriz de uma linha e uma coluna
d) ( ) é uma matriz quadrada de ordem 3
e) ( ) não é uma matriz quadrada
22) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaçam a equação matricial:
23) Dadas as matrizes e seja P = ( 2A – C ) . B. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P.
24) Considere as matrizes A = e B = . Sejam M = ( A + Bt ) . ( At – B ), onde At e Bt são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto dos elementos mij com i = j da matriz M é:
 
25) Dada a matriz A = , determine o valor de A-1 + At – I2.
26) Resolva as equações: 
 a) = 1 b) = -5x – 14 
 c) = 0 
27) Calcule o determinante da matriz A, sendo:
 a) A = b) A = c)A = 
 d) A = e) A = f)A = 
 g) A = 
28) ( PUC ) o co-fator do elemento a23 da matriz A = é :
29) Dadas as matrizes A e B tais que: e . O valor do determinante de A . B = 
30) Dada a matriz , calcule a11 + a21 – a13 + 2a22.
31) Determine as inversas das matrizes:
	a)  b)  c)  d) 
32) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3. Sendo 2j + 3i – 2.
33) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = , determine a soma dos elementos a23 +a34.
34) Dada a matriz A = , obtenha a matriz x tal que x = A + At.
35) Calcular o det A, sendo A = (aij) 2x2 definida por ( - 1)i + j .
36)Calcule o det da matriz transposta da matriz 2 x 2,cujos elementos são: 
Aij = i + 2 j, se i j e aij = i2 – j, se i < j.
37) Resolva os seguintes sistemas de equações lineares
 
 
 
38) Calcule o determinante