2017 Questões TAXAS RELACIONADAS - Thaísa Raupp Tamusiunas

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TAXAS RELACIONADAS 
 
 
O estudo da derivada é importante na resolução de uma quantidade muito grande de 
problemas de diversas áreas de conhecimento. Particularmente, a seção de taxas relacionadas 
utiliza a regra da cadeia, recentemente vista, na resolução de problemas. Considere os exemplos 
abaixo: 
 
 
1) Um navio petroleiro sofre um acidente e o óleo derramado através de uma ruptura no casco 
se espalha em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 m/s. Com que 
velocidade a área do derramamento estará crescendo quando seu raio for de 60m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um balão esférico é inflado de modo que seu volume cresce a uma taxa de 3cm3/s. Com que 
rapidez o raio do balão estará crescendo quando o raio for de 1cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma escada de 3m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base desliza, 
afastando-se da parede a uma taxa de 10cm/s, quão rapido o topo da escada está 
escorregando para baixo quando a base da escada está a 1m da parede? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio 
da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min, determine a taxa com a qual a 
areia está se escoando quando a altura da pilha é de 25cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8km de uma estação 
de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundos de voo, seu 
ângulo de elevação θ varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a 
velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for de 30 graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa 
constante de 3m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda crescente 
ao final de 10 segundos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo, cuja 
área cresce a uma taxa constante de 6km
2
/h. Com que rapidez estará variando o raio da 
mancha crescente quando a área for de 9 km2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma escada de 1,3m está apoiada em uma parede. Se seu topo desliza sobre a parede para 
baixo a uma taxa de 0,2m/s, com que rapidez a base da escada estará se afastando da 
parede quando o topo estiver a 0,5m acima do solo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3m3/min. Com que 
rapidez o raio do balão estará crescendo quando o diâmetro for de 2m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um foguete subindo verticalmente é acompanhado por uma estação de radar no solo a 3km 
da rampa de lançamento. Com que rapidez o foguete estará subindo quando a sua altura for 
4km e a sua distância à estação do radar estiver crescendo a uma taxa de 2000km/h? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8m3/min, formando uma pilha 
cônica cuja altura é sempre o dobro do seu raio. Com que rapidez a altura da pilha está 
crescendo no momento em que a altura é de 6m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Às 8h o navio A está a 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 
16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a 
distância entre os navios está variando às 8h30min.