Aula Completa Probabilidade e Estatística

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Profa: Neyde Zambelli
neyde.martins@estacio.br
(21)8685-3252
Apresentação da Disciplina:
Execução de Pesquisas•
Planejamento de produtos e processos○
Na Engenharia•
conceitos○
terminologia○
linguagem○
modelos○
Problemas○
Objetivos•
Introd○
dados○
distrib○
posição�
dispersão�
medidas○
distrib�
Probab○
Ementa:•
aulas expositivas○
material SIA○
Calcul cientif○
metodologia•
AV1 - 09/04/2013○
AV2 - 11/06/2013○
AV3 - 25/06/2013○
Avaliações:•
Bibliografia•
Orientações•
Prob-Est aplic Eng
terça-feira, 5 de fevereiro de 2013
20:43
 Página 1 de Prob-Est 
Introdução
Objetivos•
História•
Dados -> informação -> decisão•
Frequências•
Diagrama de barras□
Diagrama de colunas□
Histogramas�
Boxplot�
Pictogramas (desenhos no gráfico)�
Pizza�
Gráfico○
tabelas○
Representação•
Dados Estatísticos
xxx○
Amostra○
Termos○
População•
Esquematização (fluxograma)•
Nominais - ordem não faz diferença �
Ordinais - ordenação entre as categorias (ex: escolaridade)�
Qualitativas (atributo)○
Discretas - contagens finitas (ex: no de filhos)�
Contínuas - infinitos valores (ex: Remuneração salarial)�
Quantitativas (necessitam de uma medição)○
Qualitativo: Estado civil do indivíduo�
Quantitativo: altura do indivíduo�
Exemplos:○
Variáveis•
Estatística
terça-feira, 5 de fevereiro de 2013
21:37
 Página 2 de Prob-Est 
Regras:
- Até 10 linhas, utiliza-se tabela 
não agrupada
- Maior que 10, utiliza-se tabela 
agrupada
variável
qualitativa
quantitativa
nominal
ordinal
1) Para pesquisar o esporte preferido dos alunos de uma escola com 1.500 alunos, foram selecionados, 
de modo imparcial, 900 alunos. Com base nessas informações, responda:
a) Quantas pessoas tem a população dessa amostra?
b)A amostra dessa pesquisa é formada de quantas pessoas?
c) Qual a variável foi estudada nessa pesquisa?
qualitativa nominal
discreta
contínua
Distribuição de Frequencias:
Tabela específica para cálculo de medidas.
Dados brutos - sem ordem ou classificação•
ROL - ordenação dos dados brutos•
Xi - variável observável�
fi - frequencia de cada valor da variável (Xi)�
∑fi - total de observações = n�
exemplo dado:�
Não agrupadas em classe○
AT = 20 - 0 = 20�
Amplitude total => AT = Ximáx - Ximin□
número sempre inteiro�
n = 50 => log50 = 1,70�
k ≈ 1 + 3,3 x 1,70 ≈ 7�
Número de classes => k ≈1+3,3logn□
h = 20/7 = 2,86 ≈ 3�
Intervalo de classes => h = AT / k□
3 x 7 = 21 > AT → OK!�
Teste => h x k ≥ AT□
Representação das classes□
Exemplo dado para explicar agrupamento:�
agrupada em classe○
Tabelas de Frequencias•
Xi fi
16 3
18 5
19 3
20 6
21 8
22 8
23 5
24 3
26 9
∑f(n)= 50
fórmula de Sturges
Apost 3 - pág.3
Exercício
terça-feira, 19 de fevereiro de 2013
20:53
 Página 3 de Prob-Est 
Xi fi
0 ├ 3 9
3 ├ 6 3
6 ├ 9 11
9 ├ 12 4
12 ├ 15 7
15 ├ 18 7
18 ├ 21 9
∑f(n)= 50
Próximo exemplo:
No mesmo levantamento amostral foi observado o peso, em kg dos 50 estudantes.
Amplitude total: AT = Ximáx - Ximin
AT = 90,41 - 51,38 = 39,03
No de classes: k ≈1+3,3logn
n = 50 => log50 = 1,70
k ≈ 1 + 3,3 x 1,70 ≈ 7
Intervalo de classes: h = AT / k
h= 39,03/7 = 5,58 -> não arredonda pq está equivalente aos valores dos dados.
Teste: h x k ≥ AT
5,58 x 7 = 39,06 > AT OK!
Xi fi
51,38 ├ 56,96 13
56,96 ├ 62,54 5
62,54 ├ 68,12 5
68,12 ├ 73,70 4
73,70 ├ 79,28 5
79,28 ├ 84,86 10
84,86 ├ 90,44 8
∑f(n)= 50
Agrupando dados em classes
terça-feira, 19 de fevereiro de 2013
21:39
 Página 4 de Prob-Est 
Pm Xi.fi
100 1000
200 3000
300 7500
400 16800
500 7500
600 1800
37600
2
LsliPm +=
81,341
110
37600.
==
∑
=
n
fiXiX
Pm Xi.fi fa
100 1000 10
200 3000 25
300 7500 50
400 16800 92
500 7500 107
600 1800 110
37600
n = 110
Emd = 110/2 = 55
9,361100.
42
5055350. =−+=−+= hfi
FaaEmdliMd
Em d
Exercício
terça-feira, 5 de março de 2013
20:54
 Página 5 de Prob-Est 
2 3 4 5 8 8 9 10 11 11 15 28 62
n = 13 (ímpar)
Emd =(n+1)/2 = (13+1)/2 = 7
Md = 9
2 2 5 6 8 11 16 31
n = 8 (par)
Emd = n/2 = 8/2 = 4
Emd = (n+2)/2 = (8+2)/2 = 5
Md = (6 + 8)/2 = 7
7
1 2 3 4 5 6 7 8
Xi fi Fa
3 11 11
4 14 25
6 14 39
7 20 59
∑ = 59
n = 59 (ímpar)
Emd = (59+1)/2 = 30
Md = 6
Emd
Dados Tabulados
∑ = 
Emd = n/2=100/2=50Faa
Emd
Classe Mediana
69,5510.
51
215050. =−+=−+= hfi
FaaEmdliMd
Em d
Xi fi fa f
2,2 ├ 9,0 18 18
9,0 ├ 15,8 8 26
15,8 ├ 22,6 9 35
22,6 ├ 29,4 13 48
29,4 ├ 36,2 13 61
36,2 ├ 43,0 17 78
43,0 ├ 49,8 12 90
∑ = 90
n = 90 (par)
Emd = n/2 = 90/2 = 45
Emd
8,278,6.
13
35456,22. =−+=−+= hfi
FaaEmdliMd
Em d
Mediana
terça-feira, 5 de março de 2013
21:19
 Página 6 de Prob-Est 
Xi fi Fa
12 2 2
15 5 7
18 19 26
20 4 30
21 10 40
40
Md = 18
Xi fi Fa
7,8 10 10
8,6 13 23
9,2 4 27
10,4 6 33
11,6 8 41
41
Md = 8,6
Ex
terça-feira, 5 de março de 2013
22:05
 Página 7 de Prob-Est 
Peso
Quantitativa
Contínua
Agrupamento a partir de 10 itens
Xi fi fri Pm XiFi Fa
0,1 ├ 1,5 14 0,31 0,8 11,2 14
1,5 ├ 2,9 11 0,24 2,2 24,2 25
2,9 ├ 4,3 8 0,17 3,6 28,8 33
4,3 ├ 5,7 6 0,13 5,0 30,0 39
5,7 ├ 7,1 7 0,15 6,4 44,8 46
∑ = 46 1,00 139,0
1- Cálculo da Amplitude total:
At = 6,9 - 0,1 = 6,8 (maior - menor)
2- K
k ≈1 + 3,3 log 46 ≈ 6,48 -> 6
3- Intervalo das classes:
1,1
6
8,6
===
k
Ah T
Teste: h x k = 1,1 x 6 = 6,6 < AT (ñ aprov)
Usar novo K = 5 (↓)
4,1
5
8,6
===
k
Ah T
Teste: h x k = 1,4 x 5 = 7,0 > AT ( aprov)
Freq Relat (fri) fi
ff iri
∑
=
02,3
46
139
==
∑
=
n
fxX ii
2
LsliPm +=
classe mediana
EMd
23
2
46
2
===
nEm d 64,24,1.11
14235,1. =−+=−+= hf
FElM
Emdi
aam d
id
PM
faa = frequencia acumulada anterior
MODA:
Valor que se repete com maior frequencia
Fórmula de CZUBER
100300400
171532
122032
3,341100.
1712
12300.
2
1
21
1
=−=
=−=∆
=−=∆
=
+
+=
∆+∆
∆
+=
h
hliMo
Exercício
terça-feira, 19 de março de 2013
21:02
 Página 8 de Prob-Est 
discreta não agrupada (<10)
Xi fi fri XiFi Fa
0 2 0,03 0 2
1 5 0,08 5 7
2 11 0,18 22 18
3 11 0,18 33 29
4 7 0,11 28 36
5 14 0,22 70 50
6 9 0,15 54 59
7 3 0,05 21 62
∑ = 62 1,00 233
76,3
62
233
==
∑
=
n
fxX ii n = 62 (par)
o
Md
o
Md
E
E
32
2
262
31
2
62
=
+
=
==
Md = 4
Mo = 5
Emd = 31o e 32o
Exercício
terça-feira, 19 de março de 2013
21:52
 Página 9 de Prob-Est 
Calcule a média das séries:
X = 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
-> 1, 3, 7, 10, 10, 11, 15, 18, 20, 35 = X = 13
Y = 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
= 13
X = 10x (13) = 13
n
XiX ∑=
6,0
10
)1313(...)1313()1312()()13(
4,86
10
)1310(...)131()1310()()13(
2222
2222
=
−++−+−
=
−∑
=
=
−++−+−
=
−∑
=
n
YYiY
n
XXiX
variância
Desvio Padrão:
77,06,0
3,94,86
=
=
Y é mais homogêneo que X.
comparativo: Y é menos disperso que X.
Coeficiente de Variação(CV):
n
XXi 2)( −∑
X
CV σ=
%6100.
13
77,0
%72100.
13
3,9
==
==
Y
X
CV
CV
X não é representativa do conj. de dados
Y é representativo do conjunto de dados
Considerável até 30% (convenção)
_
_
μ → média populacional
X -> Média Amostral
Populacional Amostral
Variância (preencher)
Desvio Padrão
Dados não agrupados:
Determinar a variância
Xi fi Xifi (Xi - X)2fi
2 1 2 (2- 4,55)2 1 = 6,5
3 6 18 (3- 4,55)2 6 = 14,4
5 10 50 (5- 4,55)2 10 = 2,0
7 3 21 (7- 4,55)2 3 = 18,0∑ = 20 91 40,9
55,4
20
91.
==
∑
=
n
fiXiX
%31100.
55,4
43,1100.
43,104,2
04,2
20
9,40).(
2
2
2
===
===
==
∑
=
X
CV
n
fiXXi
σ
σσ
σ
> 30%, a variância é significativa
Medidas de Dispersão
terça-feira, 26 de março de 2013
21:04
 Página 10 de Prob-Est 
Xi fi fri Pm Xifi (Xi-X)2 fi
2 ├ 4 5 5/44 = 0,11 3 15 (3 - 6,6)2.5 = 64,8
4 ├ 6 10 10/44 = 0,23 5 50 (5 - 6,6)2.10 = 25,6
6 ├ 8 20 20/44 = 0,45 7 140 (7 - 6,6)2.20 = 3,2
8 ├ 10 7 7/44 = 0,16 9 63 (9 - 6,6)2.7 = 40,3
10 ├ 12 2 2/44 = 0,05 11 22 (11 - 6,6)2.2 = 38,7
∑ = 44 1,00 290 172,6
OBS: BAIXAR TRANSPARÊNCIA
_PmPonto médio
%30100.
6,6
98,1100.
98,192,3
92,3
44
6,172).(
6,6
44
290.
2
2
2
===
===
==
∑
=
==
∑
=
X
CV
n
fiXXi
n
fiXiX
σ
σσ
σ
significativo
Exemplos
terça-feira, 26 de março de 2013
22:01
 Página 11 de Prob-Est 
AV1:
Classificação das Variáveis•
Distribuição de frequencias•
Medidas de Posição•
Medidas de Dispersão•
Material SIA - minhas disciplinas presenciais - CLE0292 - prob. Est
AV1: 1
2
AV2:
3
4
5
Exercício:
1) 8 - 4 - 6 - 9 - 10 - 5
a- Analise a variabilidade
n = 6, Xifi = 42
7
6
42
==
∑
=
n
x
x i
Dados não agrupados:
Determinar a variância
Xi fi Xifi (Xi - X)2fi
8 1 8 (8 - 7)2 1 = 1
4 1 4 (4 - 7)2 1 = 9
6 1 6 (6- 7)2 1 = 1
9 1 9 (9 - 7)2 1 = 4
10 1 10 (10 - 7)2 1 = 9
5 1 5 (5 - 7)2 1 = 4
∑ = 6 42 28
7,4
6
28)(2
==
−∑
=
n
xxiσ
2,27,42 === σσ
42,31100.
7
2,2100. ===
x
cv
σ
A média não é representativa do conjunto.
6) Salários (em mínimos) dos funcionários da empresa y:
Xi fi fri Pm Xifi fa (Xi-X)2 fi
1 ├ 2 1 1/50 = 0,02 1,5 1,5 1 (1,5 - 6)2.1 = 20,25
2 ├ 3 4 4/50 = 0,08 2,5 10 5 (2,5 - 6)2.4 =49
3 ├ 4 6 6/50 = 0,12 3,5 21 11 (3,5 - 6)2.5 = 
4 ├ 5 5 5/50 = 0,10 4,5 22,5 16 (4,5 - 6)2.5 = 40,3
5 ├ 6 6 6/50 = 0,12 5,5 33 22 (5,5 - 6)2.6 = 38,7
6├ 7 10 10/50 = 0,20 6,5 65 32 (6,5 - 6)2.10 =
7├ 8 9 9/50 = 0,18 7,5 67,5 41 (7,5 - 6)2.9 =
8├ 9 6 6/50 = 0,12 8,5 51 47 (8,5 - 6)2.6 =
9├ 10 3 3/50 = 0,06 9,5 28,5 50 (9,5 - 3)2.5 =
∑ = 50 1 300 216,5
a) média
b) Mediana
c) moda
d) Análise de 
variabilidade
2
LsliPm
+
=
Exercícios
terça-feira, 2 de abril de 2013
20:55
 Página 12 de Prob-Est 
3,61.
10
22256.
25
2
50
2
6
50
300.
2
0
=
−
+=
−
+=
===
==
∑
=
+
=
hfi
FaaEliM
nE
n
fix
x
LsliP
Em d
m d
d
m d
i
m
%35100.
6
08,2100.
08,233,4
33,4
50
5,216.)(
8,61.
14
46.
1910
4610
2
2
2
21
1
2
1
===
===
==
−∑
=
=
+
+=
∆+∆
∆
+=
=−=∆
=−=∆
x
cv
n
fixx
hliM
i
o
σ
σσ
σ
A média não é representativa da distribuição
cont
terça-feira, 2 de abril de 2013
21:55
 Página 13 de Prob-Est 
Atividade Estruturada 1
Olá, seja bem-vindo!
Esta prova poderá ser realizada até que você seja aprovado. No entanto, caso ela faça parte do aproveitamento 
final, sempre será considerada a última nota obtida para o cômputo geral.
Ao terminá-l a, não esqueça de clicar no ícone Entregar Atividade estruturada. TÍTULO DA ATIVIDADE 
ESTRUTURADA:
Atividade 1- Pesquisar a utilidade da Estatística dentro da área de atuação do curso e dados estatísticos. Tabelas 
de Frequências. 
OBJETIVO: 
Entender porque estudar Estatística. Descrever variáveis qualitativas e quantitativas, de forma contextualizada. 
Identificar, construir e analisar Tabelas de Frequências. 
COMPETÊNCIAS/HABILIDADES:
Utilizar a Estatística na interpretação de fenômenos . Aplicar os conhecimentos estatísticos em situações reais. 
Identificar, construir e analisar tabelas de frequências. Tabelas de Frequências.
DESENVOLVIMENTO: 
Conteúdo a desenvolver: Dar cinco exemplos da utilização da estatística. Variáveis qualitativas e quantitativas. 
Construir as tabelas de frequências para as variáveis criadas utilizando a planilha Excel. Como será desenvolvido: 
O aluno deverá pesquisar nas diversas fontes disponíveis: jornais, revistas, internet, 
etc. Definir uma população e exemplificar as variáveis nominais, ordinais, discretas e contínuas, originárias dessa 
população. 
PRODUTO/RESULTADO: 
Relatório contendo aplicações da Estatística com comentários sobre os textos escolhidos, com comentários onde 
essas variáveis ocorrem com seus 
Atividade Estruturada I
sábado, 6 de abril de 2013
08:32
 Página 14 de Prob-Est 
RELAÇÕES ENTRE A AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS E A PRODUÇÃO DE LEITE.•
Medição Automatizada de Tamanho de Grão Médio Utilizando Metodologia Estatística.•
PROCESSO DE MEDIÇÃO DE JUNTAS DE CABEÇOTE•
Análise Estatística dos cursos de Engenharia de produção•
resolução Atividade estruturada
sábado, 6 de abril de 2013
18:18
 Página 15 de Prob-Est 
Espaço Amostral (S): Conjunto de
Exemplo: Um experimento consiste em se jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, caso ocorra uma cara. Se 
uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado uma única vez. Listar os elementos de S.
c -> Cara
k -> Coroa
c
k
CC
Ck
K1
k2
k3
k4
k5
k6
=> S
ξ = Lançar 1 dado
S = {1,2,3,4,5,6}
A = face par = {2,4,6} => Evento composto
B = face > 5 = {6} => Evento simples
AUB = {2,4,6}
AB = {6} (inters)
Ac = {1,3,5}
Bc = {1,2,3,4,5}
P/ C = face ímpar = {1,3,5};
A (inters) C = Ø -> A e C são m.e. (mutuamente excludente)
c k
c cc ck
k kc kk
cc ck kc kk
c ccc cck ckc ckk
k kcc kck kkc kkk
2 moedas 3 moedas
A = {ccc ; kkk}
B = {ccc ; cck ; ckc ; ckk}
C = {ckk ; kkk}
Definição de Probabilidades
ξ = Retirar 1 carta de um baralho
S = {52 cartas}
A = Sair Às = {Àscopas,Àsouros,Àspaus,Àsespadas} =>
%69,70769,0
52
4)( ===AP
Probabilidade
terça-feira, 30 de abril de 2013
20:57
 Página 16 de Prob-Est 
Seja ξ = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. Qual a probabilidade de se obter pelo 
menos 1 cara?
ξ = Jogar 1 moeda 2x
S = - c k
c cc ck
k kc kk
A = pelo menos 1 cara = {cc,ck,kc}
%7575,0
4
3)( ===AP
Um dado é construído de tal forma que um número par é duas vezes mais provável de acontecer do que 
um ímpar. Seja A = um número menor que 4 ocorre. Calcule P(A):
S = {1,2,2,3,4,4,5,6,6}
A = face < 4 = {1,2,2,3} %44,444444,04
4)( ===AP
Definição
terça-feira, 30 de abril de 2013
21:47
 Página 17 de Prob-Est 
Exemplo:
1) Retira-se uma carta de baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de 
espadas?
ξ = Retirar 1 carta
S = {52 cartas}
A = sai rei = {Ro, Rc, Re, Rp}
B = sai espadas {2...10, Às, V, D, R}
A int B = {Re} => A e B não são m.e.
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A int B)
%76,303076,0
52
1
52
13
52
4
==−+
2) Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e 3 pretas. Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 
1 destas bolas, ache a probabilidade de escolher:
a) 1 vermelha
b) 1 azul ou preta
ξ = Retirar 1 bola
S = {13 bolas}
A = vermelha
B = azul
B = preta
A int B = {Ø} => A e B são m.e.
P(A + B) = P(A) + P(B)
6vm
4az
3pr
%15,464615,0
13
6
==
a) P(A) = 
b) B ou C => P(B + C) = P(B) + P(C) %84,535284,0
13
3
13
4
==+
Probabilidade Condicional: P (A / B)
)(
)()/(
BP
BAPBAP ∩= Se P(B) ≠ 0
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. Sejam os eventos:
A = {sair 3} e B = {sair impar}
Calcular P(A) dado que já ocorreu o evento B.
ξ = Lançar o dado
S = {1,2,3,4,5,6}
A = sair 3 = {3}
B = sair ímpar = {1,3,5}
%33,333333,0
3
1
)(
)()/( ===∩=
BP
BAPBAP
Dois dados são lançados. Considere os eventos:
A = {(x1,x2)} | x1+x2 = 10
B = {(x1,x2)} | x1 > x2
Determinar:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A/B)
d) P(B/A)ξ = Lançar 2 dados
S = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6}
A = sair 3 = {3}
B = sair ímpar = {1,3,5}
Teorema da Soma
terça-feira, 7 de maio de 2013
20:55
 Página 18 de Prob-Est 
S = \ 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
B
A
%33,333333,0
3
1)/()
%67,60667,0
15
1)/()
%67,414167,0
36
15)()
%33,80833,0
36
3)()
===
===
===
===
ABPd
BAPc
BPb
APa
continuação
Eventos Independentes:
P(A) = P(A / B) => A e B são independentes
P(A) ≠ P(A / B) => A e B são dependentes
Exemplo:
Sendo S = {1,2,3,4} um espaço amostral equiporável
Sejam A = {1,2}, B = {2,3}, C = {4}, três eventos de S.
Verificar quais eventos são independentes.
A e B => 50,0
2
1)/(50,0
4
2)( ==⇔== BAPAP A e B são independentes
A e C => 0)/(50,0
4
2)( =≠== CAPAP A e C são dependentes
B e C => 0)/(50,0
4
2)( =≠== CBPBP B e C são dependentes
TEOREMA DO PRODUTO:
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra, sem reposição. 
Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
ξ = Retirar 2 peças sem reposição
S = {4D,8B}
B1a e B2a
dependência entre eventos
sem reposição - dependência
com reposição - independência
( ) ( ) ( ) %42,424242,0
11
7
.
12
8/., 12121 ==== aaaaa BBPBPBBP
Exemplo
terça-feira, 7 de maio de 2013
21:27
 Página 19 de Prob-Est 
Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo saco contém 3 bolas brancas e 5 pretas. 
Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada no segundo. Qual a probabilidade de se retirar uma 
bola preta do segundo saco?
Exemplo:
4br
3pr
3br
5pr
Preta?
P(Pr2a)
Possibilidades:
Br1o e Pr2o ou Pr1o e Pr2o
Uma pequena cidade tem um extintor de incêndio e uma ambulância disponíveis para emergências. A 
probabilidade do extintor estar disponível quando necessário é de 0,98 e a probabilidade da ambulância estar 
disponível quando chamada é de 0,92. No caso de um acidente com vítimas resultante de um incêndio em um 
edifício, qual a probabilidade de que tanto o extintor como a ambulância estejam disponíveis.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
%31,606031,0
9
6
.
7
3
9
5
.
7
4
Pr/Pr.Pr/Pr.Pr,PrPr, 1211212121
==+=
+=+ aaaaaaaaaa PPBrPBrPPBrP
considerando que
eventos independentes
P(A) = 0,92
P(E) = 0,98
%16,909016,098,0.92,0)( ===AEP
Teorema do Produto
terça-feira, 7 de maio de 2013
21:51
 Página 20 de Prob-Est 
Aula Extra: 08/06/2013
9:00h
Imagens
terça-feira, 14 de maio de 2013
20:40
 Página 21 de Prob-Est 
O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça de v.a. com a seguinte 
distribuição de probabilidade:
t 2 3 4 5 6 7
P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 (...)
T = tempo em min.
t P(t=T) t.P(t=T)
2 0,10 0,20
3 0,10 0,30
4 0,30 1,20
5 0,20 1,00
6 0,20 1,20
7 0,10 0,70
∑= 1,00 4,60
a) E(T) = ∑t.P(t=T)=4,60
b) 2,00 G = $ganho por peça
2 min => 2,00 + 4,00 . 0,50 = 4,00
3 min => 2,00 + 3,00 . 0,50 = 3,50
4 min => 2,00 + 2,00 . 0,50 = 3,00
5 min => 2,00 +1,00 . 0,50 = 2,50
6 min => 2,00
7 min => 2,00
a) calcule o tempo médio de processamento.
b) para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2,00 mas, se ele processa a peça em menos de seis 
minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, ganha a 
quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância de v.a. G: quantia em $ ganha por peça
G P(G=g) G.P(G=g) G.P(G=g)
2,00 0,30 0,20
2,50 0,20 0,30
3,00 0,30 1,20
3,50 0,10 1,00
4,00 0,10 1,20
∑= 1,00 2,75 7,98
E(G) = ∑G.P(G=g) = 2,75
VAR(G) = E(G2) - [E(G)]2 = 7,98 - (2,75)2 = 0,42
E(G2) = ∑G2.P(G=g) = 7,98
Exercício
terça-feira, 21 de maio de 2013
20:56
 Página 22 de Prob-Est 
X = V.A. (variável aleatória) discreta.
n repetições independentes
p+q = 1
sucesso = p
fracasso = q
q = 1 - p
ou
p = 1 - q
Notação: X ~ b(n;p)
repetições
prob. de sucesso
)!(!
!
)(
xnx
n
X
n
qp
X
n
xXP xnx
−
=











==
−
Exemplo:
1 - Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que 
as amostras são independentes com relação a presença do poluente.
a) Determine a probabilidade que nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham o poluente.
b) Determine a probabilidade de que pelo menos 4 amostras contenham o poluente
c) P(3 ≤ X < 7)
X = no de amostras com o poluente
n = 18
p = 0,10
q = 1 - 0,10 = 0,90
x ~ BINOMIAL
%35,282835,0185,0.01,0.15390,0.10,0
2
18)2( 2182 ===





==
−XP
a)
OBS: 0! = 1
 1! = 1
b) )18(...)5()4()4( =++=+==≥ XPXPXPXP
ou
%82,90982,09018,01]1680,02835,03002,01501,0[1)4(
1680,090,0.10,0.81690,0.10,0
3
18)3(
2835,0185,0.01,0.15390,0.10,0
2
18)2(
3002,090,0.10,0.1890,0.10,0
1
18)1(
1501,090,0.1.190,0.10,0
0
18)0(
)]3()2()1()0([1)4(1)4(
1533183
2182
171181
180180
==−=+++−=≥
==





==
==





==
==





==
==





==
=+=+=+=−=<−=≥
−
−
−
−
XP
XP
XP
XP
XP
XPXPXPXPXPXP (inverso)
c)
%5,26
)6()5()4()3()7( =+=+=+==<≤ XPXPXPXPXXP
(determinar)
3
Distribuição Binomial
terça-feira, 21 de maio de 2013
21:18
 Página 23 de Prob-Est 
1- Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade 
deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 min?
(1)
x = no de chamadas
λ = 5/min
x ~ POISSON (λ)
média do processo
%67,00067,0
!0
5.)0(
!
.)(
05
====
==
−
−
eXP
x
e
xXP
xλλ
2- O número de mulheres que entram diariamente em uma clínica de estética para bronzeamento artificial 
apresenta distribuição de Poisson, com média de 5 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um dia 
particular, o número de mulheres que entram nesta clínica de estética para bronzeamento artificial seja:
a) igual a 2?
b) inferior ou igual a 2?
x = no de mulheres
λ = 5/dia %44,121244,00842,00335,00067,0
!2
5.
!1
5.
!0
5.
)2()1()0()2()
%42,80842,0
!2
5.)2()
251505
25
==++=++=
=+=+==≤
====
−−−
−
eee
XPXPXPXPb
eXPa
OBS: )(1)(
)(1)1(
xXPxXP
xXPXP
<−=≥
≤−=>
X ~ Normal (μ;σ2)
média
variância
z ~ Normal (0;1)
σ
µ−
=
x
z
Distribuição Normal Padronizada
P(-1,25 < z < 0) = 39,44%
-1,25 0
P(-0,50 < z < 1,48) = 0,1915+0,4306 = 62,21%
-0,50 0 1,48
0,1915 0,4306
P(0,18 < z < 2,11) = 0,4826 - 0,0714 = 41,12% P(z < 1,15) = 0,50 + 0,3749 = 87,49%
0 0,18 2,11 0 1,15
P(z < -2,03) = 0,50 - 0,4788 = 2,12%
0,37490,50
-2,03 0
0,4788
0,50
0,0714
0,4926
Distribuição de Poisson
terça-feira, 28 de maio de 2013
21:06
 Página 24 de Prob-Est 
Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos normalmente, em 
torno da média de R$10.000,00 com desvio padrão de R$800,00. Calcule a probabilidade de um 
executivo ter um salário mensal entre R$9.800 e R$10.400.
X = salários
μ = 10.000
σ = 800 σ
µ−
=
x
z
P(9800 < X < 10400)
9.800 10.000 10.400
0,0987
0,1915
z1 0 z2
x
50,0
800
000.10400.10
25,0
800
000.109800
2
1
=
−
=
−
=
−=
−
=
−
=
σ
µ
σ
µ
X
z
X
z
As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal com média 170cm 
e desvio padrão de 5cm.
a)qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm?
b) qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? 
165 170
03413
0,50
z1 0 z 
x
X = alturas
μ = 170cm
σ = 5cm
00,1
5
170165
1 −=
−
=
−
=
σ
µX
z
alunosprobnXE 413.88413,0.000.10.)( ===
a) P(X > 165) = 0,50 + 0,3413 = 0,8413
X1 170 X2
0,375
0,375
z1 0 z2
x
75%
x1 = 164,25
x2 = 175,75
Exemplo
terça-feira, 28 de maio de 2013
22:04
 Página 25 de Prob-Est 
Determine o valor de z:
a) P(Z < z) = 0,09
z 0 
0,50 - 0,09
=0,4100
Z
0,09
Z 0,04
1,3 0,4099
z = -1,34
b) P(-1,71 < Z < z) = 0,25
sempre para baixo
Observar sinal
???
Z-1,71 0
0,4564
0,25
0,4564 - 0,25 = 0,2064
Z 0,04
0,5 0,2054
logo: z = -0,54
Uma empresa que fabrica azulejos sabe por experiência que 5% das suas peças possuem defeitos e devem ser 
classificados como *de segunda linha*.
a) Entre 6 peças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de uma ser de segunda linha?
b) Entre as 6 peças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha?
z
variável estudada (X): numero de azulejos defeituosos
quantitativa
p = 0,05
n = 6
x = 1
q = 1 - 0,05 = 0,95
xnx qp
x
n
xXP −





== ..)(
%21,232321,095,0.05,0.
1
6)1( 51 ==





==XP
[ ] [ ] %28,32321,07351,012321,095,0.05,0.
0
6
1)1()0(1)2(1)2(
)6(...)3()2()2(
60
=+−=





+





−==+=−=<−=≥
=++=+==≥
XPXPXPXP
XPXPXPXP
OU
utilizar segunda maneira abaixo:
Exercício
terça-feira, 4 de junho de 2013
20:40
 Página 26 de Prob-Est 
Considere a v.a. X = número de projetos que um engenheiro executa.No mês em curso relativo ao último ano, 
obteve-se uma média de 6,5 projetos executados por semana (5 dias). Qual a probabilidade de que, durante uma 
semana qualquer:
a) Não execute nenhum projeto
b) Execute ao menos um projeto
c) Execute mais de um projeto
d) Não executar nenhum projeto no período de um dia
X = no de projetos executados (variável discreta)
média = 6,4 projetos / semana (5 dias) => Poisson !
.)(
x
e
xXP
xλλ−
==
%15,00015,0
!0
5,6.)0()
05,6
====
−eXPa
%85,990015,01)0(1)1(1)1() =−==−=<−=≥ XPXPXPb
[ ]
[ ] %88,980097,00015,01)1(
!1
5,6.0015,01)1()0(1)1(1)1()
05,6
=+−=>






+−==+=−=≤−=>
−
XP
eXPXPXPXPc
%25,272725,0
!0
3,1.)0(
3,1
5
5,615/5,6)
03,1
====
==⇒=
−eXP
diaparadiasd λλ
Revisão
terça-feira, 4 de junho de 2013
21:47
 Página 27 de Prob-Est 
AV3:
Medidas de Posição
Medidas de dispersão
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
Distribuição Normal
2,0 2,5 3,5
0,2957
0,4525
x
67,1
6,0
5,25,3
83,0
6,0
5,20,2
2
1
=
−
=
−=
−
=
z
z μ = 2,5
σ = 0,6
P(2,9 < x < 3,5) = 0,29574 + 0,4525 = 74,82%
20 => 5D
ξ = sem reposição
D1 e D2 ( ) %26,50526,019
1
19
4
.
20
5
, 21 ====aa DDP
P(A) = 0,10
P(B) = 0,20
P(C) = 0,30
P(D) = 0,40
P(I/A) = 0,05
P(I/B) = 0,08
P(I/C) = 0,10
P(I/D) = 0,02
I = Inadimplência
P(I) = 0,10 . 0,05 + 0,20 . 0,08 + 0,30 . 0,10 + 0,40 . 0,02 = 0,059
4a questao
%47,80847,0
064,0
05,0.10,0)/( ===IAP P(B/I) = 27,12%
P(C/I) = 50,85%
P(D/I) = 13,56%
3/min = λ x = no de consultas
P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) %32,424232,0
!2
3.
!1
3.
!0
3. 231303
==++=
−−− eee
n = 5 x = no de fusíveis perfeitos
q
q
=
==
80,0
20,0
10
8
Questao 6:
μ = 240.000
σ = 30.000
240.000 x1
p/10%
0,50 - 0,10 = 0,4000 => 1,28
=+=⇒
−
= 24000030000.1 zxxz
σ
µ
(B/E/H)Correção AV2
terça-feira, 18 de junho de 2013
20:30
 Página 28 de Prob-Est 
3a questao:
x = no de falhas
n = 20
p = 0,30 q = 0,70
(binomial) (CERTA)
5/h para 4h => λ = 5.4 = 20
x = no de atendimentos %44,8!18
20.)18(
1820
===
−eXP
x = no de sobreviventes
n = 15, p = 0,40, q = 0,60
640,0.15.)(
%59,1860,0.40,0
5
15)5( 5155
===
=





==
−
pnXE
XP
175 180
0,4177
total = 0,50
0 z1
39,1
61,3
175180
1 =
−
=z
%23,84177,050,0)180(
61,31313
175
2
===>
==⇒=
=
xP
σσ
µ
Correção AV2
terça-feira, 18 de junho de 2013
21:10
 Página 29 de Prob-Est