Resumo 3 - Funções de Várias Variáveis

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARÁVEIS 
 RESUMO 03 
 
CURVAS DE NÍVEL 
 
Seja 
k
 um número real. Uma curva de nível, 
KC
, de uma função 
),( yxfz 
, é o conjunto de 
todos os pontos 
fDyx ),(
 tais que 
.),( kyxf 
 
Simbolicamente, 
 
}),(/),{( kyxfDyxC fK 
 
 
Exemplo 
 
Desenhar as curvas de nível da função 
2216),( yxyxf 
 para k = 0, 1, 2, 3, 4. 
Solução: O domínio da função é 
}16/),{( 222  yxyxD f
. 
A curva de nível correspondente a 
kz 
 é 
 22222 1616 kyxkyx
222 16 kyx 
. 
Veja alguns exemplos: 
 
160 22  yxk
 
151 22  yxk
 
122 22  yxk
 
73 22  yxk
 
04 22  yxk
 
 
As curvas de nível são circunferências 
concêntricas de centro na origem. Quando 
kz 
 tende a 

 o raio tende a zero. O gráfico 
das curvas de nível é: 
 
 
 
E o gráfico da função é: 
 
 
Exercícios de Aula 
 
01) Esboce as curvas de nível da função 
𝑔(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 para k = 0, 1, 2, 3. 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Esboce algumas curvas de nível da função 
ℎ(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 𝑦2 + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Faça o mapa de contorno da função 
mostrando várias curvas de nível da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma placa fina de metal, localizada no plano 
xy, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As 
curvas de nível de T são chamadas isotérmicas 
porque todos os pontos em uma dessas curvas 
têm a mesma temperatura. Faça o esboço de 
algumas isotérmicas se a função temperatura 
for dada por 𝑇(𝑥,𝑦) = 100
1+𝑥2+𝑦2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
1)Seja 
f
 a função dada por 
.
1
22 yx
z


 
a)Determine o domínio e a imagem. 
b)Desenhe as curvas de nível. 
 
2)Seja 
f
 a função dada por 
.
1

x
y
z
 
a)Determine o domínio e a imagem. 
b)Desenhe as curvas de nível. 
 
3)Seja 
f
 a função dada por 
42
22
yx
xy
z


 
.0),( yx
 
 
3 
 
a)Determine o domínio e a imagem. 
b)Desenhe as curvas de nível. 
 
4)Desenhe as curvas de nível e determine a 
imagem: 
a) 
yxyxf 2),( 
 
b) 
.
2
),(


x
y
yxf
 
c) 
.),(
yx
yx
yxf



 
d) 
.
1
),(


y
x
yxf
 
e) 
.),( xyyxf 
 
f) 
.4),( 22 yxyxf 
 
 
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS REAIS A 
VALORES REAIS 
 
Uma função de três variáveis reais a valores 
reais, definida em 
3D
, é uma função que 
associa, a cada terna ordenada 
Dzyx ),,(
, um 
único número real 
),,( zyxfw 
. 
O gráfico de tal função é o conjunto
}),,(),,,(/),,{( 4 DzyxzyxfwzyxG f 
 
O gráfico de 
f
 é então um subconjunto do 
4
, 
não nos sendo possível, portanto, representá-lo 
geometricamente. 
Para se ter uma visão geométrica de tal função, 
podemos nos valer de suas superfícies de nível. 
Seja 
fk Im
; o conjunto de todos os pontos 
Dzyx ),,(
 tais que 
kzyxf ),,(
 denomina-se 
superfície de nível correspondente ao nível 
kw 
. 
 
Exemplo 
 
As superfícies de nível de 
222),,( zyxzyxf 
 
são superfícies esféricas de centro na origem 
.222 kzyx 
 
A superfície de nível correspondente a 
0k
 é o 
ponto (0, 0, 0) e a superfície de nível 
correspondente a k = 6 é a superfície esférica: 
 
Exercícios de Aula 
1) Encontre o domínio de f se 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑧 − 𝑦) + 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑧. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
4 
 
2) Encontre as superfícies de nível da função 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
1) Represente geometricamente o domínio da 
função dada: 
a-) 
2221),,( zyxzyxf 
 
b-)
zzyxf  1),,(
 
c-)
zyxzyxf  1),,(
 
)00,0(  zeyx
 
 
2) Desenhe a superfície de nível 
correspondente a 
.1k
 
 
a-)
xzyxf ),,(
 
b-)
zzyxf ),,(
 
c-)
22),,( yxzyxf 
 
d-)
222 4),,( zyxzyxf 