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3a Prova de Ca´lculo III – 27/03/2013 – Turma NOME: MATRI´CULA: Atenc¸a˜o: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ıvel. Q1 Q2 Q3 Q4 NOTA 1. (20 pts) Seja C um c´ırculo centrado na origem. Encontre o raio de C sabendo que∮ C (2x3 + 2xy3 + y)dx+ (3y4 + 3x2y2 + 4y − 3x)dy = −pi, onde C e´ esta´ orientada no sentido anti-hora´rio. 2. (20 pts) Seja S a superf´ıcie do cone z = √ x2 + y2 delimitado pelos planos z = a e z = b com 0 < a < b. (a) (10 pts) Fornec¸a duas representac¸o˜es parame´tricas para S. (b) (10 pts) Encontre a a´rea de superf´ıcie de S. 3. (30 pts) Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x+z, y, z−4+xy) definido em R3 e seja S a superf´ıcie externa da calota esfe´rica x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 e r > 0. Sabendo que a integral do campo ~f sobre S e´ igual a zero, calcule o raio r da calota. 4. (30 pts) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha∮ C ydx+ (x+ y + z2)dy + (x+ y2)dz, onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano y = z (20 pts). Considere os dois sentidos de percurso indicando a orientac¸a˜o da curva C atrave´s de um esboc¸o (10 pts).
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