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Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Cieˆncias Exatas Departamento de Matema´tica 3a Prova de Ca´lculo III – 08/07/2011 – Turma NOME: MATRI´CULA: Questa˜o 1: (20 pontos) Calcular a a´rea total da porc¸a˜o do plano z = 4x cortado pelo cilindro x2 + y2 = 4. Questa˜o 2: (15 pontos) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ∫ C ~f · d~r onde ~f(x, y) = (x2 + 4xy, 2x2 + 2x+ y2) e C e´ a elipse x2 + 4y2 = 16 no sentido hora´rio. Questa˜o 3: (25 pontos) Usando o teorema de Stokes, mostre que a integral de linha I = ∮ C [(y + 2z)dx+ (x+ 2z)dy + (x+ y)dz] = 3pia2 4 onde C e´ a intersecc¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 + z2 = a2 e x = a2 , indicando o sentido do percurso. Questa˜o 4: Seja S a parte do parabolo´ide z = 2−x2−y2 que esta´ acima do plano z = 1 e considere o campo vetorial ~F (x, y, z) = 1 (x2 + y2 + z2) 3 2 (x, y, z). • (5 pontos) Mostre que div ~F = 0. • (20 pontos) Use o item anterior e o teorema de Gauss (teorema da Divergeˆncia) para calcular a integral de superf´ıcie ∫∫ S ~F · ~ndS. Questa˜o 5: (15 pontos) Dado o campo vetorial ~F (x, y) = ( x x2 + y2 , y x2 + y2 ) , mostrar que ∮ C ~F · d~r = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem. Boa Prova
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