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3ºTVC - Cálculo III - 2011

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
3a Prova de Ca´lculo III – 08/07/2011 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Questa˜o 1: (20 pontos) Calcular a a´rea total da porc¸a˜o do plano z = 4x cortado pelo cilindro
x2 + y2 = 4.
Questa˜o 2: (15 pontos) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
∫
C
~f · d~r onde
~f(x, y) = (x2 + 4xy, 2x2 + 2x+ y2) e C e´ a elipse x2 + 4y2 = 16 no sentido hora´rio.
Questa˜o 3: (25 pontos) Usando o teorema de Stokes, mostre que a integral de linha
I =
∮
C
[(y + 2z)dx+ (x+ 2z)dy + (x+ y)dz] =
3pia2
4
onde C e´ a intersecc¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 + z2 = a2 e x = a2 , indicando o sentido do
percurso.
Questa˜o 4: Seja S a parte do parabolo´ide z = 2−x2−y2 que esta´ acima do plano z = 1 e considere
o campo vetorial
~F (x, y, z) =
1
(x2 + y2 + z2)
3
2
(x, y, z).
• (5 pontos) Mostre que div ~F = 0.
• (20 pontos) Use o item anterior e o teorema de Gauss (teorema da Divergeˆncia) para
calcular a integral de superf´ıcie
∫∫
S
~F · ~ndS.
Questa˜o 5: (15 pontos) Dado o campo vetorial ~F (x, y) =
(
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
)
, mostrar que
∮
C
~F ·
d~r = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
Boa Prova

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