Apostila Matemática Financeira

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE 
ALAGOAS. 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL. 
COORDENAÇÃO DE EDIFICAÇÕES. 
CURSO SUPERIOR EM TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila da disciplina de Matemática Financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Pereira Vianna Junior 
 
2 
 
 
3
Índice: 
 
1 Juros simples.................................................................................................................5 
1.1 Conceitos básicos. ............................................................................................ 5 
1.2 Cálculo dos juros simples (ou linear). .............................................................. 5 
1.3 Cálculo do Montante. ....................................................................................... 5 
1.4 Taxas proporcionais e taxas equivalentes......................................................... 6 
1.5 Juro exato e juro comercial............................................................................... 7 
1.6 Equivalência financeira em juros simples. ....................................................... 7 
1.7 Descontos simples. ........................................................................................... 8 
1.7.1 Desconto comercial (ou bancário, ou “por fora”)..................................... 8 
1.7.2 Desconto racional (ou “por dentro”). ....................................................... 8 
1.7.3 Taxa implícita de juros do desconto “por fora”........................................ 9 
1.8 Exercícios de aprendizagem. .......................................................................... 10 
1.9 Exercícios propostos....................................................................................... 11 
2 Juros compostos..........................................................................................................12 
2.1 Conceitos básicos. .......................................................................................... 12 
2.2 Cálculo dos juros compostos. ......................................................................... 12 
2.3 Cálculo do Montante. ..................................................................................... 13 
2.4 Taxas proporcionais e taxas equivalentes....................................................... 14 
2.5 Taxas nominais e taxas efetivas. .................................................................... 15 
2.6 Equivalência financeira em juros compostos. ................................................ 16 
2.7 Convenção para períodos não inteiros............................................................ 17 
2.7.1 Convenção Linear................................................................................... 17 
2.7.2 Convenção Exponencial. ........................................................................ 17 
2.8 Capitalização contínua.................................................................................... 18 
2.9 Descontos compostos. .................................................................................... 19 
2.9.1 Desconto Composto “por fora” (comercial ou bancário). ...................... 19 
2.9.2 Desconto “por dentro” (real ou racional). .............................................. 19 
2.10 Exercícios de aprendizagem. .......................................................................... 21 
2.11 Exercícios propostos....................................................................................... 22 
3 Fluxos de Caixa. .........................................................................................................23 
3.1 Conceitos básicos. .......................................................................................... 23 
3.2 Classificações. ................................................................................................ 23 
3.3 Modelo Padrão para fluxo de caixa postecipado (imediato). ......................... 24 
3.3.1 Valor presente (ou atual) e fator de valor presente................................. 25 
3.3.2 Valor futuro e fator de valor futuro. ....................................................... 27 
3.4 Modelo Padrão para fluxo de caixa antecipado.............................................. 28 
3.4.1 Valor presente (ou atual) e fator de valor presente................................. 29 
3.4.2 Valor futuro e fator de valor futuro. ....................................................... 30 
3.5 Modelo Padrão para fluxo de caixa diferido. ................................................. 32 
3.6 Fluxo de caixa em gradiente........................................................................... 33 
3.6.1 Valor presente de um fluxo de caixa em gradiente. ............................... 34 
3.6.2 Relação entre um fluxo em gradiente e um fluxo uniforme imediato. ... 34 
3.7 Fluxo de caixa perpétuo.................................................................................. 34 
3.7.1 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo imediato.............................. 34 
3.7.2 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo antecipado. ......................... 35 
3.7.3 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo diferido. .............................. 36 
3.8 Exercícios de aprendizagem. .......................................................................... 36 
3.9 Exercícios propostos....................................................................................... 39 
4 
4 Sistemas de amortização.............................................................................................40 
4.1 Conceitos básicos. .......................................................................................... 40 
4.2 Sistema de Amortização Constante – SAC. ................................................... 41 
4.3 Sistema de Amortização Francês – SAF. ....................................................... 45 
4.4 Sistema Price de Amortização........................................................................ 48 
4.5 Sistema de Amortização Misto – SAM. ......................................................... 50 
4.6 Sistema de Amortização Crescente – SACRE. .............................................. 56 
4.7 Sistema de Amortização Americano – SAA. ................................................. 58 
4.7.1 Fundo de Amortização............................................................................ 59 
4.8 Sistema de Amortização Alemão – SAI. ........................................................ 59 
4.9 Sistema de Amortizações Variáveis. Parcelas intermediárias. ....................... 61 
4.10 Custo efetivo do empréstimo.......................................................................... 61 
4.11 Exercícios propostos....................................................................................... 61 
5 Depreciação. ...............................................................................................................62 
5.1 Conceitos básicos. .......................................................................................... 62 
5.2 Método linear.................................................................................................. 63 
5.3 Método da taxa constante. .............................................................................. 64 
5.4 Método das taxas variáveis............................................................................. 65 
5.5 Método de Cole. ............................................................................................. 66 
5.6 Método da capitalização. ................................................................................ 67 
5.7 Método das anuidades. ...................................................................................68 
5.8 Exercícios propostos....................................................................................... 69 
6 Matemática Financeira e Inflação...............................................................................70 
6.1 Índices Financeiros e Taxas de Inflação......................................................... 70 
6.2 Valores monetários em inflação. .................................................................... 72 
6.3 Taxa de desvalorização da moeda. ................................................................. 74 
6.4 Taxa nominal e taxa real................................................................................. 75 
6.5 Caderneta de poupança................................................................................... 75 
6.6 Exercícios de aprendizagem. .......................................................................... 76 
6.7 Exercícios de propostos. ................................................................................. 77 
7 Bibliografia. ................................................................................................................77 
 
 
5
1 Juros simples. 
1.1 Conceitos básicos. 
Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por 
determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. 
1.2 Cálculo dos juros simples (ou linear). 
O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. Desta forma 
devemos utilizar a seguinte equação: 
 
niCj ××= 
 
Onde: 
j são os juros em unidades monetárias; 
C é o capital em unidades monetárias, também denominado principal; 
i é a taxa unitária; 
n é o número de períodos. 
 
Ex.1: Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um 
trimestre. Determine o valor dos juros acumulados no período. (Resp: R$6.000,00). 
 
Ex.2: Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples 
de 6% ao mês durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o 
total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do empréstimo. (Resp: 
R$500.000,00). 
 
Ex3: Um capital de R$40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 
meses, produzindo um rendimento financeiro de R$9.680,00. Determine a taxa de juros 
utilizada na aplicação. (Resp: 2,2% a.m.). 
 
Ex4: Uma aplicação de R$250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao 
mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$27.000,00. Calcule o 
prazo da aplicação. (Resp: 6 meses). 
1.3 Cálculo do Montante. 
Montante é o valor do capital acrescido de seus juros. É denotado por Cn e pode 
ser calculado pelas seguintes equações: (Alguns livros utilizam a letra M para 
Montante) 
 
jCCn += , 
 
Ou ainda, 
 ( )niCCn ×+×= 1 
6 
A expressão ( )ni×+1 é definida como fator de capitalização dos juros simples 
(ou fator de valor futuro – FCS). Seu inverso, ou seja, ( )ni×+11 é denominado de 
fator de atualização dos juros simples (ou fator de valor presente – FAS). 
 
Ex5. Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. 
Determine o montante. (Resp: R$20.160,00) 
 
Ex6. Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está 
oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento 
para hoje. Calcule o valor de liquidação da dívida. (Resp: R$703.125,00). 
1.4 Taxas proporcionais e taxas equivalentes. 
Todas as operações com cálculo de juros envolvem dois prazos: 
a) O prazo a que se refere à taxa de juros; 
b) O prazo de capitalização dos juros. 
 
Para entendermos essa questão podemos citar o caso de um empréstimo bancário 
no qual a taxa de juros é definida ao ano e os encargos (juros) incidem no principal 
apenas ao final de cada ano. Nesse caso os prazos considerados são coincidentes. O 
credito fornecido por financeiras é outro exemplo de operação com prazos semelhantes: 
Geralmente a taxa de juros cobrada é definida ao mês e a capitalização também é 
definida ao mês. 
 
Por outro lado podemos citar o exemplo da poupança, na qual a taxa de juros 
definida pelo governo é anual, porém a capitalização do principal (valor sobre o qual 
incide os juros) é feita mensalmente através de um percentual proporcional. Nesse caso 
temos prazos diferentes: o prazo da taxa é anual enquanto o prazo da capitalização é 
mensal. 
 
Para o uso das fórmulas de matemática financeira é necessário expressar os 
prazos, já mencionados, na mesma base de tempo. Essa transformação, se necessária, é 
processada pela denominada taxa proporcional de juros (ou taxa linear ou nominal), 
obtida da divisão entre a taxa de juros considerada e o número de vezes em que 
ocorrerão os juros. 
 
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo valor linear de juros. 
 
Ex7. Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. 
(Resp: (a)72% (b)60%) 
 
Ex8. Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao 
trimestre. (Resp: (a)30% (b) 18%) 
 
Ex9. Descubra se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre. (Resp: não) 
 
Ex10. Calcular o montante de um capital de R$600.000,00 aplicado à taxa de 
2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. (Resp: R$834.600,00). 
 
 
 
7
Ex11. Uma dívida de R$30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses 
antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. 
Calcule o valor da dívida a ser pago antecipadamente. (Resp: R$28.915,66) 
1.5 Juro exato e juro comercial. 
Geralmente nas operações de curto prazo, o período de capitalização pode ser 
definido em número de dias. Assim esse número pode ser definido de duas maneiras: 
a) pelo tempo exato, ou seja, 365 dias. O juro apurado dessa maneira é dito exato; 
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. O 
juro apurado dessa maneira é dito juro comercial ou ordinário. 
 
Ex12. Determine os juros gerados durante 2 meses e 28 dias, por um capital de 
R$300.000,00, sob a taxa de juros de 24% a.a. (a) Primeiro utilize juro exato. (b) 
Recalcule com juro comercial. (Resp: (a)R$17.358,90 (b)R$17600,00) 
 
Ex13. Qual o montante de um capital de R$8.000,00 no fim de 3 meses e 17 dias, 
a uma taxa de juros de 4,5% ao trimestre? (a) Usando juro exato. (b) Usando juro 
comercial. (Resp: (a)R$8422,13 (b)R$8428,00) 
1.6 Equivalência financeira em juros simples. 
Dois ou mais capitais representativos de certa data dizem-se equivalentes quando, 
a certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum de comparação, 
denominada de data focal. Essa equivalência pode ser generalizada a partir da seguinte 
representação gráfica: 
 
Os capitais A1, A2, e B1, B2, B3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em 
valores de uma data focal, e a mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais. 
 
Sendo a data de comparação o momento 0, tem-se: 
5141312111
32121
×++×++×+=×++×+ i
B
i
B
i
B
i
A
i
A
 
 
Sendo a data de comparação o momento 6, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1121314151 32121 ×+×+×+×+×+×=×+×+×+× iBiBiBiAiA 
 
Na consideração de equivalência financeira em juros simples, os prazos não 
podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras 
palavras, dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o 
mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. A mudança da data focal 
também altera os valores no caso de juros simples. 
 
8 
Ex14. Determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se 
receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês. (Resp: 
sim). 
 
Ex15. Admita que A deva a B os seguintes pagamentos: R$50.000,00 daqui a 4 
meses e R$80.000,00daqui a 8 meses. Suponha que A deseje modificar esse esquema 
de pagamento para: R$10.000,00 hoje, R$30.000,00 daqui a 6 meses, e o restante ao fim 
do ano. Determine o valor desse saldo sabendo que: (a) A deseja definir a data focal 
para hoje, enquanto que (b) B deseja definir a data focal no mês 12. Sabe-se ainda que B 
exige uma taxa de juros de 2,0% ao mês. (Resp: (a)R$97.310,00 (b)R$98.400,00) 
1.7 Descontos simples. 
Desconto é o abatimento sofrido por um título de crédito quando é resgatado antes 
do seu vencimento. Esse título de crédito possui um valor, chamado valor nominal, a ele 
declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Esse mesmo título pode 
ser resgatado antes do seu dia de vencimento por um valor menor que o nominal, sendo 
denominado valor atual ou valor presente. 
 
Chama-se desconto simples aquele calculado sobre um único valor do título, seja 
ele o valor atual ou nominal. 
1.7.1 Desconto comercial (ou bancário, ou “por fora”). 
É aquele calculado sobre o valor nominal, ou seja, sobre o valor de resgate do 
título (Sobre o montante). Equivale à equação de cálculo dos juros simples, onde o 
capital corresponde ao valor nominal do título. Assim temos: 
 
ndNDF ××= 
 
Onde: 
DF é o desconto “por fora”; 
N é o valor nominal do título; 
d é a taxa de desconto; 
n é o número de períodos de antecipação. 
 
O valor descontado “por fora” (VF) é obtido da seguinte maneira: 
 
FF DNV −= 
 
Logo: 
 ( )ndNVF ×−= 1 
1.7.2 Desconto racional (ou “por dentro”). 
É aquele calculado sobre o valor atual do título C (sobre o capital), e assim 
teremos: 
 
 
 
9
ndCDR ××= 
 
Logo: 
 
nd
ndNDR ×+
××=
1
 
 
O valor descontado racional, ou “por dentro” é dado por: 
 
( )nd
NVR ×+= 1 
 
Ex16. Seja um título de valor nominal de R$4.000,00 vencível em um ano, que 
esta sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa 
nominal de juros corrente (usado também como taxa de desconto), pede-se calcular o 
desconto e o valor descontado desta operação: (a) Usando desconto comercial. (b) 
Usando desconto racional. (Resp: (a)R$420,00 e R$3.580,00 (b)R$380,09 e 
R$3.619,91) 
 
Ex17. Seja um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor 
de resgate igual a R$26.000,00 e valor atual na dada de desconto de R$24.436,10. 
Calcule: (a)A taxa mensal de desconto comercial. (b) A taxa mensal de desconto 
racional. (Resp: (a)3,01% (b)3,20%) 
 
 
1.7.3 Taxa implícita de juros do desconto “por fora”. 
 
O valor do desconto “por fora” sempre será maior que o valor do desconto “por 
dentro” e podemos afirmar que, num mesmo momento do tempo, o desconto “por fora” 
equivale ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de 
prazo e taxa. Assim teremos: 
 ( )ndDD RF ×+×= 1 
 
Quando se utiliza o desconto “por fora” se verifica implicitamente uma taxa de 
juros superior àquela declarada para a operação. Esta taxa implícita é calculada da 
seguinte maneira: 
 
nV
Di
F
F
×= ou então: nd
ndi ×−
×=
1
 
10 
Ex18. Um título de valor nominal de R$50.000,00 é descontado num banco um 
mês antes do seu vencimento à taxa de 5% a.m. Pede-se: (a) O valor de desconto “por 
fora” (b) O valor descontado “por fora”. (c) O montante se o valor descontado for 
aplicado sob a mesma taxa, e mesmo período. (d) A taxa implícita de juros. (e) 
Recalcule tudo para o prazo de 2 meses. (Resp: (a)R$2.500,00 (b)R$47.500,00 
(c)R$49.875,00 (d)5,26% (e)R$5.000,00; R$45.000,00; 49.500,00; 5,56%) 
1.8 Exercícios de aprendizagem. 
1. Uma pessoa aplicou numa instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando 
R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples utilizada. 
(Resp: 4,8% a.m.) 
2. Se uma pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela 
depositar hoje num fundo de poupança que remunera a taxa linear de 12% ao ano? 
(Resp: R$90.909,09) 
3. Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital 
triplique de valor após 2 anos. (Resp: 16,666% a.b.) 
4. Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa 
de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor desse título: 
a) hoje (Resp: R$6.521,74); 
b) dois meses antes de seu vencimento (Resp: R$6.844,10); 
c) um mês após o seu vencimento (Resp: R$7.387,20) 
5. Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada. O 
primeiro vence daqui a dois meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor 
a substituição dessas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês 
(utilizado como data focal). Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, 
determinar o valor desse pagamento único. (Resp: R$86.610,00). 
6. Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: R$35.000,00 
vencíveis no fim de 3 meses, e R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate 
dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em 
uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o 
valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados 
os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na 
conta. (Resp: R$ 80.307,77) 
7. Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor 
pretende resgatar a divida pagando R$4.800,00 hoje, R$14.000,00 daqui a dois meses, e 
o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento desse último 
pagamento definido como a data focal de operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% 
ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar o montante do 
pagamento. (Resp:R$27.587,60) 
8. Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de 
desconto definida pelo banco é de 3,3% a.m. Sendo de R$25.000,00 o valor nominal 
desse título, pede-se: (a) O valor do desconto e o valor descontado do título se a 
instituição financeira trabalha com o sistema de desconto “por dentro” (b) O valor do 
desconto e o valor descontado do título se a instituição financeira trabalha com o 
sistema de desconto “por fora” (c) A taxa implícita de juros. (Resp: (a)R$2.252,05 e 
R$22.747,95 (b)R$2.475,00 e R$22.525,00 (c)3,66% a.m.) 
9. Uma instituição financeira publica que sua taxa de desconto é de 3,5% a.m. 
Calcular a taxa implícita mensal admitindo um prazo de desconto de dois meses. (Resp: 
3,76% a.m.) 
 
 
11
1.9 Exercícios propostos. 
a) Matemática financeira, Walter de Francisco, pg. 36. 
b) Matemática financeira e suas aplicações, Alexandre Assaf Neto, pg. 37 e pg. 
116. 
12 
2 Juros compostos. 
2.1 Conceitos básicos. 
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período 
são acrescidos ao capital formando o montante do período. Este montante, por sua vez, 
passará a condição de capital, rendendo juros no período seguinte, formando um novo 
montante, e assim por diante. Em outras palavras ocorre o cálculo de juros sobre juros. 
Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os 
primeiros crescem em progressão geométrica, enquanto os juros simples são constantes 
em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital. Essa progressão pode 
ser verificada através da seguinte figura: 
 
 
2.2 Cálculo dos juros compostos. 
Como já comentado anteriormente o juro é composto, também denominado de 
acumulado ou capitalizado, quando é produzido pelo capital inicial, acrescido pelo 
próprio juro a cada período após o primeiro. Desta forma devemos utilizar a seguinte 
equação: 
 
( ) ][ 11 −+×= niCj 
 
Onde: 
j são os juros em unidades monetárias; 
C é o capital em unidades monetárias, também denominado principal; 
i é a taxa unitária; 
n é o número de períodos.Ex.1: Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um 
trimestre. Determine o valor dos juros compostos acumulados no período. (Resp: 
R$6.151,25). 
 
Ex.2: Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros 
compostos de 6% ao mês durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em 
 
 
13
R$270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do 
empréstimo. (Resp: R$391.600,05). 
 
Ex3: Um capital de R$40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 
meses, produzindo um rendimento financeiro de R$9.680,00. Determine a taxa de juros 
utilizada na aplicação. (Resp: 1,99% a.m.). 
 
Ex4: Uma aplicação de R$250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao 
mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$28.244,56. Calcule o 
prazo da aplicação. (Resp: 6 meses). 
2.3 Cálculo do Montante. 
Da mesma forma que o item 1.3, montante é o valor do capital acrescido de seus 
juros. É denotado por Cn e pode ser calculado pelas seguintes equações: 
 
jCCn += , 
 
Ou ainda, 
 
( )nn iCC +×= 1 
 
Alguns livros utilizam a letra M para Montante. Outros utilizam a denominação 
de FV (future value) para o montante e PV (present value) para o capital. A expressão 
( )ni+1 é definida como fator de capitalização dos juros compostos (ou fator de valor 
futuro – FCC). Seu inverso, ou seja, ( )ni+11 é denominado de fator de atualização dos 
juros compostos (ou fator de valor presente – FAC). 
 
Ex5: Monte uma tabela comparando os montantes e os juros gerados, em cada 
ano, quando se utiliza juros simples e juros compostos. Admita uma aplicação de 
R$1.000,00, com uma taxa de juros de 20% a.a. durante 4 (quatro) anos. 
 
Ex6: Se uma pessoa deseja obter R$27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá 
ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao 
mês? (Resp: R$22.463,69). 
 
Ex7: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$12.000,00 em um título pelo 
prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? (Resp: R$15.801,70). 
 
Ex8: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de 
R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um quadrimestre. 
(Resp: 2,35% a.m.). 
 
Ex9: Uma aplicação de R$22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa 
composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em certa data futura. 
Calcule o prazo da operação. (Resp: 8 meses). 
 
Ex10: Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 pelo prazo de 5 
meses à taxa composta de 4,5% ao mês. (Resp: R$21.664,01). 
14 
Ex11: Dado que um empréstimo será quitado com o pagamento de R$20.000,00 
daqui a 14 meses, quanto o devedor deverá pagar se antecipar por 5 (cinco) meses à data 
do pagamento? Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida a taxa composta 
de 2,5% a.m. (Resp: R$17.677,08). 
 
Ex12: Admita um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: 
R$15.000,00 daqui a 2 meses; R$40.000,00 3 meses depois do 1º pagamento; 
R$50.000,00 1 mes depois do 2º pagamento e R$70.000,00 daqui a 8 meses. O devedor 
deseja apurar o valor presente (hoje) destes fluxos de pagamento, pois está negociando 
com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros acumulado 
nesta antecipação é de 3% ao mês. (Resp: R$145.776,14). 
2.4 Taxas proporcionais e taxas equivalentes. 
A mesma definição utilizada, para taxas proporcionais, ao tratarmos de juros 
simples, também é valida para juros compostos, ou seja, quando entre duas taxas existe 
a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem, elas são ditas proporcionais. 
 
Ex13: Verifique se a taxa de 12% ao ano é proporcional à taxa de 6% ao semestre. 
Verifique se a taxa de 5% ao trimestre é proporcional à taxa de 20% ao ano. (Resp: Sim 
e Sim). 
 
O mesmo conceito utilizado para taxa equivalente no item 1.4 permanece válido 
para o regime de juros compostos, porém, por se tratar de capitalização exponencial, a 
expressão utilizada será a seguinte: 
 
11 −+= qq ii 
 
Onde q é o numero de períodos de capitalização, iq é a chamada taxa equivalente, 
relativa a um período de tempo menor que a taxa i. 
 
Uma maneira simples de identificar a equivalência de taxas de juros é determinar 
o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de seus prazos e capitalizá-las para esse momento. 
 
Ex14: Qual a taxa composta mensal equivalente à taxa de 10,3826% ao semestre? 
Verifique qual o montante gerado de uma aplicação de R$100.000,00, durante 2 (dois) 
anos. (Resp: 1,66% a.m. e R$148.457,63). 
 
Ex15: Quais as taxas de juros compostos, mensal e trimestral, equivalentes a 25% 
ao ano? (Resp: 1,877% a.m. e 5,737% a.t.). 
 
Ex16: Escolher a melhor opção: aplicar um capital de R$60.000,00 à taxa de juros 
compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. (Resp: Indiferente.). 
 
Ex17: Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à 
taxa de 20,4999% para 5 (cinco) meses. Calcular também a taxa composta mensal 
equivalente de ambas. (Resp: 3,8% a.m.). 
 
 
15
2.5 Taxas nominais e taxas efetivas. 
 
Quando se diz que uma taxa de juros é nominal, geralmente é admitido que o 
prazo de capitalização dos juros, aquele no qual são formados e incorporados os juros 
ao principal, não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. 
Ainda, quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização 
ocorre por juros proporcionais simples. 
Já a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurados durante todo o prazo n, sendo 
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Em outras palavras, 
taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos e é 
definida pela seguinte equação: 
 ( ) 11 −+= qpf ii 
 
Sendo ainda: 
 
q
ii np = 
 
Onde q é o numero de períodos de capitalização, if é a chamada taxa efetiva, ip é a 
taxa proporcional simples, e in é a chamada taxa nominal. 
 
Por estarmos tratando de juros compostos, à medida que o número de períodos de 
capitalização de uma taxa de juros nominal aumenta a taxa efetiva também se eleva. Ou 
seja, quando maior for a freqüência de capitalização de uma taxa nominal, mais alto é o 
rendimento acumulado. 
 
Ex18: Sendo de 36% ao ano a taxa nominal de um determinado banco, com 
capitalização mensal, calcule a taxa proporcional mensal e a taxa efetiva anual. (Resp: 
3,0% a.m. e 42,6% a.a.). 
 
Ex19: Para que 36% ao ano fosse considerada uma taxa efetiva, qual deveria ser a 
taxa equivalente mensal? (Resp: 2,6% a.m.). 
 
Ex20: Um empréstimo no valor de R$11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano 
à taxa nominal de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se 
determinar o montante e o custo efetivo anual do empréstimo. (Resp: R$14.965,37 e 
36,05% a.a.). 
 
Ex21: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização 
mensal. Calcule a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. (Resp: 6,17% a.a.). 
 
Ex22: Sendo de 24,0% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, 
calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: 
(a) Mensal; (b) Trimestral e (c) Semestral. (Resp: (a) 26,82% a.a., (b) 26,25% a.a. e (c) 
25,44% a.a.). 
 
16 
Ex23: Uma aplicação financeira promete pagar 42,0% ao ano de juros. Sendo de 
um mês o prazo de aplicação, determine a sua rentabilidade anual efetiva. (Resp: 
51,1%). 
 
Ex24: O banco A anuncia que cobra uma taxa efetiva de 4,2% a.m. Já o banco B 
diz que está cobrando uma taxa nominal de apenas 4,12% a.m. Sabendo que em ambas 
as instituições os juros da operação são calculados diariamente sobre o saldo devedor da 
conta corrente, em qual dos dois bancos você usaria o cheque especial? (Resp: Qualquer 
uma das duas).Ex25: Admita uma taxa nominal de 18% a.a. e monte uma tabela de taxas 
efetivas, variando o período de capitalização entre: anual, semestral, quadrimestral, 
trimestral, mensal e diário. 
2.6 Equivalência financeira em juros compostos. 
As definições encontradas no item 1.6, relativas à equivalência financeira em 
juros simples, permanecem válidas para o caso de juros compostos. A única ressalva 
que precisamos fazer é que a denominada data focal não tem nenhum efeito sobre o 
resultado da equivalência. Assim podemos tomar qualquer momento para comparar o 
fluxo de capital. Logo, a partir da seguinte representação gráfica: 
 
Os capitais A1, A2, e B1, B2, B3 dizem-se equivalentes se, quando atualizados para 
um mesmo momento, e a mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais. 
 
Sendo a data de comparação o momento 0, tem-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5342312211 11111 i
B
i
B
i
B
i
A
i
A
+++++=+++ 
 
Um comentário a ser incluído aqui diz respeito ao conceito de taxa interna de 
retorno (ou de juros). Segundo a expressão acima, essa taxa, representada por i, é a taxa 
de juros que iguala, numa única data, os fluxos de entrada e saída de caixa produzidos 
por uma operação financeira (aplicação ou captação). Em outras palavras, é a taxa de 
juros que, se utilizada para descontar um fluxo de caixa, produz um resultado nulo. 
 
Ex26. Determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se 
receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros compostos de 6% ao mês. 
(Resp: não). 
 
Ex27: Admita que A deva a B os seguintes pagamentos: R$50.000,00 daqui a 4 
meses e R$80.000,00 daqui a 8 meses. Suponha que A deseje modificar esse esquema 
de pagamento para: R$10.000,00 hoje, R$30.000,00 daqui a 6 meses, e o restante ao fim 
do ano. Determine o valor desse saldo sabendo que: (a) A deseja definir a data focal 
 
 
17
para hoje, enquanto que (b) B deseja definir a data focal no mês 12. Sabe-se ainda que B 
exige uma taxa de juros de 2,0% ao mês. (Resp: (a) e (b)R$98.710,25) 
 
Ex28: Uma empresa deve R$180.000,00 a um banco sendo o vencimento definido 
em 3 meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa 
negocia com o banco a substituição desse compromisso por dois outros de valores 
iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% ao mês a taxa de juros 
compostos, pede-se calcular o valor dos pagamentos propostos, sendo a data focal: (a) 
hoje; (b) de hoje a 3 meses e (c) de hoje a 5 meses. (Resp: (a), (b) e (c) R$98.304,63). 
 
Ex29: Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal (valor de 
resgate) de R$407.164,90. É proposta uma troca deste título por outro de valor nominal 
de R$480.000,00 vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao mês a rentabilidade exigida 
pelo aplicador, pede-se avaliar se a troca é vantajosa: (a) pelo cálculo da rentabilidade, 
(b) pelo cálculo do valor presente do segundo título. (Resp: Não é vantajosa). 
2.7 Convenção para períodos não inteiros. 
Em algumas operações financeiras, o prazo dessas operações (de uma aplicação 
financeira, por exemplo) não é um número inteiro em relação ao prazo definido para a 
taxa de juros. 
Aqui convém compreender que o regime de capitalização, ou seja, o processo em 
que os juros são formados e incorporados ao principal, é classificado como contínuo ou 
descontínuo. A capitalização contínua é um regime que se processa em intervalos de 
tempo bastante reduzidos, promovendo grande freqüência de capitalização. Já na 
capitalização descontínua os juros são formados ao final de cada período de 
capitalização. 
Ao se adotar rigorosamente o conceito de capitalização descontínua não deveria 
haver a possibilidade de juros no intervalo de tempo fracionário, somente ao final de um 
período completo. Como isso não ocorre sempre se passa a adotar duas convenções para 
solucionar esse problema: convenção linear e convenção exponencial. 
2.7.1 Convenção Linear. 
A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do 
prazo e de juros simples para a parte fracionária. A expressão de cálculo do montante 
fica a seguinte: 
 
( ) ( )kmiiCC nn ×+×+×= 11 
 
Sendo m/k a parte fracionária do prazo. 
 
2.7.2 Convenção Exponencial. 
 
A convenção exponencial admite o mesmo regime de capitalização para todo o 
período. A expressão de cálculo do montante fica a seguinte: 
 
18 
( ) kmnn iCC ++×= 1 
 
Ex30: Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18,0% ao ano pelo 
prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular: (a) O montante desse empréstimo pela convenção 
linear; (b) pela convenção exponencial e (c) A diferença entre ambos. (Resp: (a) 
R$220.051,27; (b) R$219.502,53; (c)R$548,74) 
2.8 Capitalização contínua. 
O problema de juros compostos contínuos consiste em calcular o limite para o 
qual tende o montante quando o número de capitalizações tende para o infinito. Neste 
caso, o montante não cresce proporcionalmente ao número de capitalizações, e sim 
tende para um valor limite conforme a figura abaixo: 
 
 
A formulação da capitalização contínua é a seguinte: 
 
In
n eCC ×= 
 
Onde: 
e é um número constante de valor: 2,71828182846.... 
I é a taxa de juro periódica, conhecida por taxa instantânea. 
 
A capitalização contínua produzirá um resultado final maior que a calculada pelas 
condições de juros compostos. Sua utilização é restrita a certas operações em que os 
fluxos de caixa encontram-se de forma distribuída uniformemente no tempo (Ex: 
Receitas de vendas de um supermercado, depreciações de ativos fixos, formação de 
preço de venda, rentabilidade de um título cotado no mercado, etc.). 
 
Por outro lado se quisermos encontrar a taxa de juros composta, com capitalização 
discreta equivalente, a taxa instantânea devemos utilizar a seguinte equação: 
 ( )iI += 1ln 
 
Ou seja: 
 
1−= Iei 
 
 
 
19
Ex31: Admita uma aplicação de R$1.000,00 por dois anos, à taxa de 10,0% a.a. 
com capitalização contínua. Qual o montante apurado ao final do período com 
capitalização contínua e nas condições de capitalização discreta de juros compostos? 
(Resp: R$1.221,40 e R$1.210,00). 
 
Ex32: Qual a taxa anual equivalente à taxa instantânea de 10,0%? Qual a taxa 
instantânea equivalente a 10%a.a. (Resp: 10,51% a.a. e 9,53%). 
 
Ex33: Considerando de 4,5% a valorização de uma ação em determinado mês, 
apurar a taxa de juro instantânea. (Resp: 4,4% a.m.). 
2.9 Descontos compostos. 
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode 
ser identificado em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por 
fora” (comercial ou bancário). 
O desconto composto “por fora” é raramente empregado no Brasil, não 
apresentando uso prático. O desconto “por dentro”, no caso de capitalização segundo o 
regime de juros compostos, apresenta larga utilização prática. 
2.9.1 Desconto Composto “por fora” (comercial ou bancário). 
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa 
de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos 
descontos obtidos em períodos anteriores. Desta forma obtemos a seguinte expressão: 
 
( )[ ]nF dND −−×= 11 
 
Onde: 
DF é o desconto “por fora”; 
N é o valor nominal do título; 
d é a taxa de desconto; 
n é o número de períodos de antecipação. 
 
O valor descontado “por fora” (VF) é obtido da seguinte maneira: 
 
FF DNV −= 
 
Logo: 
( )nF dNV −×= 1 
 
 
2.9.2 Desconto “por dentro” (real ou racional). 
 
É aquele calculado sobre o valor atual do título C (sobre o capital), e assim 
teremos: 
 
20 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−×= nR dND 1
11 
 
O valor descontado racional, ou “por dentro” é dado por: 
 
( )nR d
NV += 1 
 
Ex34: Um título de valornominal R$35.000,00 é negociado mediante uma 
operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de 
desconto adotada atinge 5,0% ao mês. Pede-se determinar: (a) o desconto, (b) o valor 
descontado e (c) a taxa efetiva de juros da operação. (Resp: (a) R$4.991,87; (b) 
R$30.008,13; (c) 5,26% a.m.). 
 
Ex35: A partir das informações do exemplo anterior, efetuar uma demonstração 
mensal, ilustrando a formação do desconto e do valor descontado. 
 
Ex36: Uma empresa deve R$80.000,00 a um banco cujo vencimento se dará daqui 
a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar 
antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto. O banco informa que 
opera de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”, sendo de 3,5% o 
valor da taxa. Calcule o valor líquido que a empresa deverá pagar na liquidação 
antecipada do empréstimo. (Resp: R$69.374,40). 
 
Ex37: Um título foi descontado à taxa de 3,0% a.m. 5 meses antes de seu 
vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$39.000,00. 
Admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, calcular o valor nominal do 
título. (Resp: R$276.074,97). 
 
Ex38: Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 
meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$42.000,00 e à taxa de 
desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendo-se 
que foi utilizado o desconto composto “por dentro”. (Resp: 35.362,87). 
 
Ex39: Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de 
R$12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês. 
(Resp: R$1.128,59). 
 
Ex40: Um banco libera a um cliente R$6.800,00 provenientes do desconto de um 
título de valor nominal de R$9.000,00; descontado à taxa de 4,0% ao mês. Calcular o 
prazo de antecipação. (Resp: 7 meses e 4 dias). 
 
 
 
21
2.10 Exercícios de aprendizagem. 
1. Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$80.000,00 admitindo-se 
os seguintes prazos e taxas de juros compostas: (a) ..%5,5 mai = ; anosn 2= ; (b) 
..%0,9 bai = ; meseseanon 81= ; (c) ..%0,12 aai = ; mesesn 108= . (Resp: (a) 
R$289.167,19; (b) R$189.389,09; (c) R$221.846,30) 
2. Determinar o juro de uma aplicação de R$100.000,00 nas seguintes condições 
de taxa e prazo: (a) ..%5,1 mai = ; anon 1= ; (b) ..%5,3 tai = ; meioeanosn 2= ; (c) 
..%0,5 sai = ; anosn 3= ; (d) ..%2,4 qai = ; mesesn 84= . (Resp: (a) R$19.561,81; (b) 
R$41.059,87; (c) R$34.009,56; (d) R$137.258,67). 
3. Uma pessoa irá necessitar de R$12.000,00 daqui a 7 meses. Quanto deverá ela 
depositar hoje numa conta de poupança, para resgatar o valor desejado no prazo, 
admitindo uma taxa de juros de 3,5% a.m. (Resp: R$9.431,89). 
4. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de R$6.600,00 que produz 
um montante de R$7.385,81 ao final de 7 meses. (Resp: 1,62%). 
5. Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 
2,2% ao mês? (Resp: 31 meses e 26 dias). 
6. Uma aplicação de R$ 78.000,00 gerou um montante de R$ 110.211,96 numa 
certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo de 
aplicação. (Resp: 14 meses). 
7. Verificar se as taxas de juros de 13,789318% a.t. e 35,177214% para 7 meses 
são equivalentes. Pelo MMC e pela taxa mensal equivalente. (Resp: sim). 
8. Responda as seguintes perguntas: (a) Qual a taxa semestral equivalente a 20,0% 
a.a.? (b) Qual a taxa trimestral equivalente a 6,0% a.a.? (c) Qual a taxa anual 
equivalente a 5,0% ao trimestre? (d) Qual a taxa anual equivalente a 2,0% ao mês? 
(Resp: (a) 9,54%; (b) 1,467%; (c) 21,55% e (d) 26,82%) 
9. Calcular a taxa efetiva anual das seguintes taxas: (a) 2,5% a.m. (b) 4,0% a.b. (c) 
6,0% a.t. e (d) 10,0% a.s. (Resp: (a) 34,49% (b) 26,53% (c) 26,25% e (d) 21,0%). 
10. Calcular a taxa nominal e efetiva anual correspondente a 2,0% a.m. (Resp: 
24,0% e 26,824%). 
11. Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de 
R$4.000,00 e R$9.000,00 vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 meses. Desejando 
antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual, determine o valor a pagar 
considerando uma taxa de juros composta de 1,9% a.m. (Resp: R$11.529,75). 
12. Para uma taxa de 7,0% ao mês, qual das duas alternativas de pagamento 
apresenta menor custo para o devedor: (a) pagamento integral de R$ 140.000,00 a vista; 
(b) R$ 30.000,00 de entrada, R$ 40.000,00 em 60 dias e R$ 104.368,56 em 120 dias; (c) 
calcule o IRR da segunda alternativa. (Resp: (a) e 8,30% a.m.) 
13. Um proprietário de um terreno avaliado em R$1.500.000,00 recebeu as 
seguintes propostas para vendê-lo: Plano 1: R$1.000.000,00 a vista, R$300.000,00 em 6 
meses e R$500.000,00 em um ano. Plano 2: R$500.000,00 a vista, R$800.000,00 em 6 
meses e R$700.000,00 em um ano. Admita que esses títulos podem ser descontados à 
taxa de 2,0% a.m. e responda: (a) Qual o plano mais vantajoso? (b) Qual o valor do IRR 
de cada um deles? (Resp: (a)Plano 2; (b) 5,05% a.m. e 4,833% a.m.) 
14. Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18% 
ao ano. Determinar o valor da aplicação, sabendo-se que o montante produzido ao final 
do período atinge R$24.800,00. Resolver o problema utilizando as convenções linear e 
exponencial. (Resp: R$16.568,34 e R$16.624,04). 
22 
15. Um capital de R$900,00 é aplicado numa instituição financeira que oferece 
uma taxa nominal de 24,00% ao ano com capitalização semestral. Verifique qual é o 
montante gerado em 2 anos e 2 meses. Resolver o problema utilizando as convenções 
linear e exponencial. (Resp: R$1472,81 e R$1470,69). 
16. Calcular o montante gerado por uma aplicação de R$1.000,00, por 3 (três) 
anos, a 10%, capitalizados: (a) anualmente, (b) semestralmente, (c) trimestralmente, (d) 
mensalmente, (e) semanalmente, (f) diariamente, considerando ano comercial, (g) 
diariamente, considerando tempo exato, e (h) continuamente. (Resp: (a)R$1.331,00; 
(b)R$1340,10; (c)R$1344,89; (d)R$1348,18; (e) R$1349,44; (f)R$1349,80; 
(g)R$1349,80; (h)R$1349,86). 
17. Qual o capital que produz os juros de R$200,00, em 2 anos e meio, a 16,00% 
a.a. capitalizados continuamente? (Resp: R$406,65). 
18. Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa 
de desconto definida pelo banco é de 3,3% a.m. Sendo de R$25.000,00 o valor nominal 
desse título, pede-se: (a) O valor do desconto e o valor descontado do título se a 
instituição financeira trabalha com o sistema de desconto “por dentro” (b) O valor do 
desconto e o valor descontado do título se a instituição financeira trabalha com o 
sistema de desconto “por fora”. (Resp: (a)R$2.320,20 e R$22.679,80 (b)R$2.394,22 e 
R$22.605,78). 
19. Um título de valor nominal de R$500,00; para 3 anos, foi substituído por dois 
títulos de R$200,00 cada um, para 1 e 2 anos. Qual a taxa semestral do desconto real? 
(Resp: 7,62% a.s.). 
20. Um título de valor nominal de R$800,00, com vencimento para 3 anos, vai ser 
substituído por 2 outros de mesmo valor nominal cada, vencíveis em 2 e 5 anos, 
respectivamente. Calcular o valor nominal dos novos títulos, sabendo-se que os juros 
são de 12,0% ao semestre e o desconto é de 10,0% ao semestre. (Resp: R$433,48). 
21. Um título de valor nominal igual a R$800,00; com vencimento para 3 anos, 
deverá ser substituído por três títulos de mesmo valor nominal, para 1, 2 e 3 anos. 
Considerando o desconto de 18% a.a. capitalizados semestralmente, determinar o valor 
nominal dos novos títulos. (Resp: R$222,24). 
22. Um empréstimo no valor de R$1.500,00 deve ser pago no fim de 3 anos e 
meio com juros de 16% a.a. capitalizados trimestralmente. Entretanto, passado um ano, 
o devedor propõe resgatar a dívida com um pagamento imediato de R$1.000,00 e o 
saldo em um ano. Calcular o valor desse saldo,sabendo-se que desconto concedido é de 
16,0% a.a. capitalizados semestralmente. (Resp: R$895,59) 
2.11 Exercícios propostos. 
a) Matemática financeira, Walter de Francisco, pg. 69 e pg. 91. 
b) Matemática financeira e suas aplicações, Alexandre Assaf Neto, pg. 73 e pg. 
116. 
 
 
23
3 Fluxos de Caixa. 
3.1 Conceitos básicos. 
Um fluxo de caixa, que também se costuma denominar de rendas ou séries, 
representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em 
determinados intervalos distintos de tempo, cujo objetivo é constituir um capital ou 
amortizar uma dívida. Sua utilização se fará apenas sob o regime de juros compostos. 
A simbologia utilizada nesse capítulo também utilizará a mesma simbologia 
anterior, introduzindo apenas a letra T para designar os termos (valores) do fluxo 
(alguns livros utilizam as letras PMT no sentido de pagamento). 
3.2 Classificações. 
Resumidamente podemos representar as distintas classificações dos fluxos de 
caixa através do seguinte esquema: 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Diferida
Antecipada
ediata
teCons
Variável
Periódico
PeriódicoNão
Temporário
Perpétuo
fluxo
Im
tan
 
 
Assim sendo, os fluxos de caixa podem ser classificados segundo seu período de 
ocorrência, seus valores, sua periodicidade, e sua duração. Veremos então mais 
detalhes de cada uma dessas classificações: 
 
a) Segundo o período de ocorrência: 
Os fluxos de caixa podem ser: Imediatos (ou Postecipados), Antecipados, ou 
Diferidos (com carência). 
Quando o fluxo é imediato os seus termos começam a ocorrer ao final do primeiro 
intervalo de tempo. Em outras palavras o termo inicial ocorre no intervalo 1=n . Se o 
fluxo possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n períodos. 
O exemplo de fluxo imediato de 6 termos mensais de R$100,00 teria a seguinte 
representação: 
 
Já no caso antecipado o fluxo de caixa começa a ocorrer no início de cada 
período. Assim se o fluxo possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim 
de 1−n períodos, ou início do termo n . 
24 
O exemplo de fluxo antecipado de 6 termos mensais de R$100,00 teria a seguinte 
representação: 
 
Por sua vez, um fluxo diferido de m tem o vencimento do primeiro termo no fim 
do período 1+m . Se o fluxo possui n termos, o vencimento do último termo se dá no 
final de nm + períodos. Assim o fluxo diferido equivale a um fluxo imediato que tem 
um prazo de carência entre o valor atual (capital) e o início dos pagamentos (termos). 
O exemplo de fluxo diferido de 6 termos mensais de R$100,00, com 3 meses de 
carência, teria a seguinte representação: 
 
 
b) Segundo seus valores: 
Segundo os valores dos termos, o fluxo pode ser considerado, constante ou 
variável. Quando os termos do fluxo de caixa são iguais entre si o fluxo é considerado 
constante e deverá ser tratado conforme o modelo padrão a ser mostrado em seguida. Se 
o fluxo for variável ele deverá ser tratado como se fosse composto por vários fluxos 
constantes, porém com períodos de ocorrência diferentes. No caso extremo de todos os 
valores serem diferentes, deveremos tratar o problema como um caso de equivalência 
financeira, já estudado anteriormente. 
 
c) Segundo a sua periodicidade: 
Segundo a sua periodicidade os fluxos de caixa deverão ser considerados 
periódicos ou não periódicos. Um fluxo é dito periódico quando os intervalos entre os 
termos do fluxo são idênticos entre si. Quando isso não ocorre o fluxo é dito não 
periódico e o cálculo do capital (valor presente) ou do montante (valor futuro), deverá 
ser processado, respectivamente, pela somatória da atualização e capitalização de cada 
um dos termos. 
 
c) Segundo a sua duração: 
Segundo a sua duração os fluxos de caixa deverão ser considerados perpétuos (ou 
indefinidos, ou indeterminados) ou temporários (ou finitos, ou limitados). Um fluxo é 
dito limitado quando o prazo total do fluxo é conhecido a priori. Quando isso não ocorre 
o fluxo é dito não indefinido como é o caso dos alugueis. 
3.3 Modelo Padrão para fluxo de caixa postecipado (imediato). 
Para melhor entender as formulações que serão utilizadas se fará uso de um 
modelo-padrão de um fluxo de caixa uniforme para definir seu valor atualizado 
seguindo as seguintes características e classificações: 
- O termo T inicial ocorre em 1=n , ou seja, imediato; 
 
 
25
- A diferença entre a data de vencimento de um termo e outro é constante, ou seja, 
periódico; 
- O prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n períodos, ou seja, 
limitado ou finito; 
- Os valores dos termos são uniformes (iguais), ou seja, constantes. 
3.3.1 Valor presente (ou atual) e fator de valor presente. 
O Capital (valor presente) correspondente a um fluxo de caixa uniforme é 
determinado pelo somatório dos valores atualizados de cada um dos termos. 
Assim, a representação gráfica, desse fluxo e dos fatores de atualização a serem 
usados para cada termo, seria a seguinte: 
 
 
O cálculo do valor presente dessa série de termos seria o seguinte: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn i
T
i
T
i
T
i
T
i
TC ++++++++++= − 11111 132 K 
 
Colocando-se T em evidência teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++++++++++×= − nn iiiiiTC 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
132 K 
 
A expressão entre colchetes é chamada de Fator de Valor Presente, ou seja: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn iiiiiniFVP −+−−−− ++++++++++= 11111, 1321 K 
 
A formulação genérica do cálculo do capital assume a seguinte expressão: 
 ( )niFVPTC ,×= 
 
A expressão para o FVP corresponde à soma de uma progressão geométrica de n 
termos, onde: O primeiro termo 1a e a razão q são iguais a ( ) 11 −+ i , e o n-ésimo termo 
na igual a ( ) ni −+1 . 
A soma de uma P.G. é dada por: 
26 
 
q
qaaS nn −
×−=
1
1 
 
Substituindo os valores da expressão para o FVP na equação para a soma dos 
termos de uma P.G. teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
11
11
111, −
−−−
+−
+×+−+=
i
iiiniFVP
n
 
 
De acordo com algumas manipulações chega-se a seguinte formulação: 
 
( ) ( )
i
iniFVP
n−+−= 11, 
 
Essa expressão é ainda apresentada por alguns autores da seguinte maneira: 
 
( ) ( )( ) ii
iniFVP n
n
×+
−+=
1
11, 
 
Ex1: Calcule o valor atual de uma renda imediata de 10 termos mensais unitários, 
à taxa de 1% ao mês. (Resp: 9,47). 
 
Ex2: Calcule o valor atual de uma renda imediata de 12 termos trimestrais 
unitários, à taxa de 4% ao trimestre. (Resp: 9,38). 
 
Ex3: Calcular o valor atual de uma renda mensal de R$1.000,00 de 12 termos, a 
1% ao mês. (R$11255,08). 
 
Ex4: Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 
R$5.000,00, com juros de 20,0% a.a.? (Resp: R$42.567,81). 
 
Ex5: Calcular o valor nominal da prestação mensal para amortizar, com 12 
pagamentos, um empréstimo de R$60.000,00; com juros de 2,0% ao mês. (Resp: 
R$5.673,57). 
 
Ex6: Para resgatar um empréstimo de R$26.930,98 serão necessários 8 
pagamentos trimestrais de R$4.000,00. Qual a taxa de juros utilizada? (Resp: 4,0%). 
 
Ex7: Em 1984 uma pessoa tomou 2.000 UPC´s (Unidade Padrão de Capital) 
emprestados do BNH (Banco Nacional de Habitação) por 15 anos, a 10,0% a.a. 
capitalizados mensalmente. Calcule a prestação mensal que foi paga para resgatar a 
dívida. (Resp: 21,492 UPC). 
 
Ex8: Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais (O 1º para 30 dias), 
iguais e consecutivos de R$4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que 
preço compensa adquirir o aparelho à vista? (Resp: R$25.301,17). 
 
 
 
27
Ex9: Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, 
iguais e sucessivos de R$700,00sendo a taxa de juros igual a 1,7% a.m. Considere que 
esta taxa mensal seja proporcional à trimestral e depois recalcule considerando-a 
equivalente à trimestral (Resp: R$6.169,43 e R$6.139,29). 
 
Ex10: Um veículo está sendo vendido por R$4.000,00 de entrada mais 6 
pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$3.000,00. Sabendo-se que a taxa de 
juros aplicada foi de 5,5% a.m., determinar até que preço interessa comprar o veículo à 
vista. (Resp: R$18.986,59). 
3.3.2 Valor futuro e fator de valor futuro. 
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, correspondente a um 
fluxo de caixa uniforme é determinado pelo somatório dos montantes de cada um dos 
termos de uma série de pagamentos e/ou recebimentos. 
Assim, a representação gráfica, desse fluxo e dos fatores de capitalização a serem 
usados para cada termo, seria a seguinte: 
 
 
O cálculo do valor futuro dessa série de termos seria o seguinte: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 132 1111 −+×+++×++×++×+= nn iTiTiTiTTC K 
 
Colocando-se T em evidência teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]132 11111 −+++++++++×= nn iiiiTC K 
 
A expressão entre colchetes é chamada de Fator de Valor Futuro, ou seja: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 132 11111, −+++++++++= niiiiniFVF K 
 
A formulação genérica do cálculo do montante assume a seguinte expressão: 
 ( )niFVFTCn ,×= 
 
28 
A expressão para o FVF corresponde à soma de uma progressão geométrica de n 
termos, onde: O primeiro termo 11 =a , a razão ( )iq += 1 , e o n-ésimo termo 
( ) 11 −+= nn ia . 
 
Substituindo os valores da expressão para o FVF na equação para a soma dos 
termos de uma P.G. e fazendo as manipulações necessárias teremos: 
 
( ) ( )
i
iniFVF
n 11, −+= 
 
Ex11: Calcule o montante de uma renda unitária imediata de 10 termos mensais à 
taxa de 2,0% ao mês. (Resp: 10,95). 
 
Ex12: Calcule o montante de uma renda unitária imediata de 12 termos trimestrais 
à taxa de 7,0% ao trimestre. (Resp: 17,89). 
 
Ex13: Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada semestre, a importância 
de R$1.000,00; a 20,0% a.a. Quanto terá no fim de 4 anos? (Resp: R$11.435,88). 
 
Ex14: Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada 
trimestre, a 20,0% a.a., para, no fim de 2 anos, possuir R$10.000,00? (Resp: 
R$1.047,22). 
 
Ex15: Realizando depósitos trimestrais imediatos de R$500,00 obteve-se, no fim 
de 3 anos, o montante de R$7.732,02. Qual a taxa de juro dessa aplicação? (Resp: 4,5% 
a.t.) 
 
Ex16: Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma seqüência de 7 
depósitos mensais e sucessivos, no valor de R$800,00 cada, numa conta de poupança 
que remunera a taxa de juros de 2,1% a.m. (Resp: R$5.965,41) 
 
Ex17: Uma pessoa irá necessitar de R$22.000,00 daqui a um ano para realizar 
uma viagem. Para tanto, está sendo feita uma economia mensal de R$1.250,00; a qual é 
depositada numa conta de poupança que remunera os depósitos a uma taxa de juros 
compostos de 4,0% a.m. Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante 
necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem. 
 
 
3.4 Modelo Padrão para fluxo de caixa antecipado. 
Da mesma forma que no item 3.3, para melhor entender as formulações que serão 
utilizadas se fará uso de um modelo-padrão de um fluxo de caixa uniforme para definir 
seu valor atualizado seguindo as seguintes características e classificações: 
- O termo T inicial ocorre antes de 1=n , ou seja, antecipado; 
- As demais características permanecem as mesmas: fluxo periódico, finito e 
constante. 
 
 
29
3.4.1 Valor presente (ou atual) e fator de valor presente. 
 
O Capital (valor presente) correspondente a um fluxo de caixa uniforme é 
determinado pelo somatório dos valores atualizados de cada um dos termos. Se o fluxo 
de caixa for antecipado a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro 
período. Esse adiantamento pode ser de um ou mais períodos. 
Devemos então atualizar os termos individualmente, ou utilizar a fórmula 
desenvolvida para o fluxo de caixa imediato para a parte convencional e adicionar os 
termos antecipados corrigidos a esse resultado. 
Se o fluxo for antecipado de apenas um período podemos desenvolver uma 
formulação para o mesmo. Assim, a representação gráfica, desse fluxo (antecipado de 
um período) e dos fatores de atualização a serem usados para cada termo, seria a 
seguinte: 
 
 
O cálculo do valor presente dessa série de termos seria o seguinte: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1232 11111 −− +++++++++++= nn i
T
i
T
i
T
i
T
i
TTC K 
 
Colocando-se T em evidência teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++++++++++×= −− 1232 1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 nn iiiii
TC K 
 
A expressão entre colchetes é chamada de Fator de Valor Presente (para o fluxo 
antecipado de 1 período), ou seja: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12321 111111, +−+−−−− +++++++++++= nn iiiiiniFVP K 
 
A formulação genérica do cálculo do capital assume a seguinte expressão: 
 ( )niFVPTC ,×= 
 
30 
A expressão para o FVP corresponde à soma de uma progressão geométrica de n 
termos, onde: O primeiro termo 11 =a , a razão ( ) 11 −+= iq e o n-ésimo termo ( ) 11 +−+= nn ia . 
Substituindo os valores da expressão para o FVP na equação para a soma dos 
termos de uma P.G. e fazendo as manipulações necessárias teremos: 
 
( ) ( )( ) 11
11, −+×
−+= n
n
ii
iniFVP 
 
Ex18: Qual o valor de uma renda unitária antecipada (de um período) de 15 
termos mensais à taxa de 1,0% ao mês?(Resp: 14,00). 
 
Ex19: Qual o valor de uma renda unitária antecipada de 20 termos trimestrais, à 
taxa de 5,0% ao trimestre? (Resp: 13,08). 
 
Ex20: Calcular o valor atual de uma renda mensal antecipada de 10 termos de 
R$1.000,00, à taxa de 2,0% ao mês. (Resp: R$9.162,24). 
 
Ex21: Uma mercadoria é vendida a prazo por 6 prestações mensais de R$100,00, 
sendo uma no ato da compra e as demais para os meses seguintes, com juros de 1,5% ao 
mês. Qual o valor a vista dessa mercadoria? (Resp: R$578,26). 
 
Ex22: Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar, com 12 
pagamentos, um financiamento de R$10.000,00 com juros de 5,0% ao trimestre? (Resp: 
R$1.074,52). 
 
Ex23: Calcule o valor presente no tempo 0 (zero), para uma taxa de juros de 4,0% 
por período, do seguinte esquema de fluxo de caixa. (Resp: R$614,09). 
 
3.4.2 Valor futuro e fator de valor futuro. 
O que já foi desenvolvido, e comentado, no item 3.4.1 para o cálculo do capital de 
um fluxo de caixa antecipado também deve ser aplicado no que diz respeito ao valor do 
montante correspondente. Ou seja, o mesmo é determinado pelo somatório dos valores 
capitalizados de cada um dos termos. Devemos então capitalizar os termos 
individualmente, ou utilizar a fórmula desenvolvida para o fluxo de caixa imediato para 
a parte convencional e adicionar os termos antecipados corrigidos a esse resultado. 
Se o fluxo for antecipado de apenas um período também podemos desenvolver 
uma única formulação para o mesmo. Assim, a representação gráfica, desse fluxo 
(antecipado de um período) e dos fatores de capitalização a serem usados para cada 
termo, seria a seguinte: 
 
 
 
31
 
 
O cálculo do valor futuro dessa série de termos seria o seguinte: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn iTiTiTiTiTC +×++×++×+++×++×= −− 11111 122 K 
 
Colocando-se T em evidência teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnn iiiiiTC ++++++++++×= −− 11111 122 K 
 
A expressão entre colchetes é chamada de Fator de Valor Futuro (para o fluxo 
antecipado de 1 período), ou seja: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn iiiiiniFVF ++++++++++= −− 11111, 122 K 
 
A formulação genérica do cálculo do montante assume a seguinte expressão: 
 ( )niFVFTCn ,×= 
 
A expressão para o FVF , colocando em evidência o termo ( )i+1 fica da seguintemaneira: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1232 1111111, −−− +++++++++++×+= nnn iiiiiiniFVF K 
 
Por sua vez o valor da expressão entre colchetes já foi calculada no item 3.3.2. 
Assim a expressão para o FVF pode ser rearranjada da seguinte maneira: 
 
( ) ( ) ( )
i
iiniFVF
n 111, −+×+= 
 
Ex24: Calcule o montante de uma renda unitária antecipada (de um período) de 12 
termos mensais, à taxa de 2,0% ao mês. (Resp: 13,68). 
 
Ex25: Calcule o montante de uma renda unitária antecipada de 8 termos 
trimestrais, à taxa de 4,0% ao trimestre. (Resp: 9,58). 
 
32 
Ex26: Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos mensais de 
R$1.000,00, à taxa de 1,0% ao mês. (Resp: R$19.810,89). 
 
Ex27: Quanto se deve depositar, no início de cada semestre, numa instituição 
financeira que paga 18,0% a.a., para constituir o montante de R$5.000,00 no fim de 3 
anos ? (Resp: R$609,72). 
 
Ex28: Quantos depósitos trimestrais antecipados de R$1000,00 serão necessários 
para constituir o montante de R$10.000,00 à taxa de 5,0% ao trimestre? (Resp: 8). 
3.5 Modelo Padrão para fluxo de caixa diferido. 
Conforme já comentado anteriormente, um fluxo de caixa diferido de m períodos 
tem o vencimento do primeiro termo no fim do período 1+m . Se o fluxo possui n 
termos, o vencimento do último termo se dá no final de nm + períodos. Assim o fluxo 
diferido equivale a um fluxo imediato que tem um prazo de carência entre o valor atual 
(capital) e o início dos pagamentos (termos). Assim sendo, uma forma de calcular o 
valor atualizado desse fluxo é utilizar a formulação para o calculo de fluxo imediato e 
atualizar o valor obtido, utilizando a formulação de juros compostos, para os m 
períodos iniciais, ou seja, para o início do período de carência. 
De acordo com a figura abaixo teríamos a seguinte formulação: 
 
 
O valor presente do fluxo de caixa para o período m seria: 
 
( ) ( )( ) ii
iTniFVPTC n
n
m ×+
−+×=×=
1
11, 
 
Por sua vez o valor atualizado para o início do período da carência seria: 
 
( )mmi
CC += 10 
 
E assim o valor presente do fluxo de caixa com n termos, com carência de m 
períodos é dado por: 
( ) ( )( ) ( )mn
n
c iii
iTmniFVPTC +××+
−+×=×=
1
1
1
11,,0 
 
 
 
33
Ou seja: 
 
( ) ( )( ) mn
n
cc ii
iTmniFVPTC ++×
−+×=×=
1
11,, 
 
Ex29: Calcular o valor atual de uma renda unitária de 12 termos mensais, com 3 
meses de carência, à taxa de 2,0% ao mês. (Resp: 9,96). 
 
Ex30: Calcular o valor atual de uma renda unitária de 8 termos trimestrais, com 6 
meses de carência, à taxa de 4,0% ao trimestre. (Resp: 6,22). 
 
Ex31: Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de R$200,00 
com 9 meses de carência , à taxa de 5,0% ao trimestre. (Resp: R$1.334,06). 
 
Ex32: Um empréstimo de R$100.000,00 vai ser amortizado com 12 prestações 
trimestrais com 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao 
trimestre. (Resp: R$15.595,63). 
 
Ex33: Calcule o valor do capital e do montante do fluxo de caixa do esquema 
abaixo sabendo que a taxa de juros aplicada é de 2,0% por período. (Resp: 
06,622$0 RC = e 42,743$9 RC = ). 
 
3.6 Fluxo de caixa em gradiente. 
Um fluxo de caixa em gradiente se comporta de maneira tal que, a cada novo 
período, um gradiente G constante é adicionado ao termo da série. Este fluxo é 
utilizado para representar, por exemplo, a variação do custo de manutenção de um 
determinado equipamento. 
Conforme a figura a seguir, esse fluxo é representado de tal maneira que: ao final 
do segundo período o valor do termo equivale a G ; ao final do terceiro período o valor 
do termo equivale a G2 ; e assim sucessivamente até que ao final do último período o 
valor do termo equivale a ( )Gn 1− . 
 
 
Figura 3.1: Série Gradiente. (adaptado de Hocchein, 2003). 
34 
3.6.1 Valor presente de um fluxo de caixa em gradiente. 
Uma vez que se queira calcular o valor presente 0C do fluxo de caixa em 
gradiente teremos: 
 ( )niFVPGC G ,0 ×= 
 
Onde o Fator de Valor Presente do fluxo em Gradiente é dado por: 
 
( ) ( ) ( )n
n
G ii
n
i
iniFVP +×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
1
111, 2 
 
Ex36: Um determinado veículo tem um custo anual de manutenção de 
R$2.000,00. Estima-se que, a partir do 2º ano de uso, devido ao crescente desgaste, este 
custo aumente em R$200,00 ao ano. Considerando que este veículo tem 6 anos de vida 
útil, calcule o valor presente dos custos de manutenção, para uma taxa de 10% a.a. 
(Resp: 35,647.10$0 RC = ). 
3.6.2 Relação entre um fluxo em gradiente e um fluxo uniforme 
imediato. 
Pode ser de interesse de uma determinada empresa determinar o termo T de uma 
série uniforme equivalente a um fluxo em gradiente. Em outras palavras, se estes fluxos 
tiverem o mesmo valor presente teremos: 
 
( )
( )
( )
( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ +×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+×=×+
−+×= n
n
n
n
ii
n
i
iG
ii
iTC
1
111
1
11
20 
 
Manipulando essa expressão teremos: 
 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−×= 11
1
ni
n
i
GT 
 
Ex37: Calcule o termo de um fluxo uniforme imediato equivalente ao fluxo em 
gradiente do exemplo anterior. (Resp: 71,444.2$RT = ). 
3.7 Fluxo de caixa perpétuo. 
Conforme já definido anteriormente um fluxo de caixa (ou renda) é dito perpétuo 
(ou perpétua) quando o número de termos é infinito. 
3.7.1 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo imediato. 
Conforme já definido no item 3.3.1 o valor atual de uma renda imediata finita é 
dado por: 
 
 
 
35
( ) ( )( ) ii
iTniFVPTC n
n
×+
−+×=×=
1
11, 
Como queremos saber o valor presente de um fluxo de caixa infinito, ou seja, 
quando ∞→n , permanecendo os valores de T e i constantes teremos: 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−×=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
×+
+−+
+
×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
×+
−+×= ∞→∞→∞→∞→ i
iT
i
ii
ii
i
T
ii
iTC
n
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
1
11
lim
1
1
1
1
1
1
lim
1
11limlim 
( )
ii
iTC
n
011
11
lim −=+
−
×=
∞
∞→
 
 
Desta forma o valor presente de um fluxo infinito imediato, que simbolizaremos 
por ∞Cimd será dado por: 
 
i
TCimd =∞ 
 
Ex34: Calcular o valor atual de uma renda mensal perpétua de R$100,00 com 
juros de 1,5% ao mês. (Resp: R$6.666,66). 
 
Ex35: Qual a prestação anual imediata necessária para amortizar um empréstimo 
de R$30.000,00 com juros de 12,0% a.a.? (R$3.600,00). 
 
Ex36: Uma dívida de R$5.000,00 será resgatada com prestações semestrais 
perpétuas imediatas de R$360,00. Qual a taxa de juros? (Resp: 7,2% a.s.). 
3.7.2 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo antecipado. 
Como um fluxo antecipado corresponde à soma dos termos antecipados 
capitalizados desse fluxo, ao valor atual de um fluxo imediato, para o caso mais simples 
de apenas um período de antecipação teremos: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=+=+= ∞∞ iTi
TTCimdTCant 11 
 
Ex37: Calcular o valor atual de uma renda mensal perpétua antecipada de 
R$300,00 à taxa de 2,0% ao mês. (Resp: R$15.300,00). 
 
Ex38: Uma dívida de R$10.000,00 deverá ser amortizada com prestações 
perpétuas antecipadas trimestrais, com juros de 5,0% ao trimestre. Qual o valor das 
prestações? (Resp: R$476,19). 
36 
3.7.3 Valor atual de um fluxo de caixa perpétuo diferido. 
Para calcular o valor atual de uma renda diferida de m períodos, basta calcular o 
valor de uma renda imediata perpétua no final da carência e atualiza-la para o início 
desse período. Assim teríamos: 
 
( )mi
CimdCdif +=
∞
∞ 1
 
Ou seja: 
 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+××=∞ miiTCdif 1
1
 
Ex39: Calcular o valor atual de uma renda perpétua trimestral de R$200,00 com 
um ano de carênciae juros de 3,0% ao trimestre. (Resp: R$5.923,25). 
 
Ex40: Uma dívida de R$8.000,00 deverá ser resgatada por prestações perpétuas 
mensais, com 6 meses de carência, com juros de 1,0% ao mês. Qual o valor das 
prestações? (Resp: R$84,92). 
3.8 Exercícios de aprendizagem. 
1. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de R$700,00. 
Sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros. Determinar o seu preço a vista admitindo que: 
O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; 
O primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês; 
O primeiro pagamento é efetuado ao final do segundo mês. 
(Resp: (a)R$3.271,16; (b)R$3.160,54; (c)R$3.053,66) 
2. Uma pessoa irá necessitar de R$7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto deverá ela 
depositar mensalmente num fundo de poupança que rende 1,7% a.m. de juros? (Resp: 
R$648,10). 
3. Uma pessoa possui hoje R$50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de 
poupança de R$3.000,00 mensais no próximo semestre e R$4.000,00 mensais no 4 
meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente 
num fundo que rende 2,5% a.m. quanto essa pessoa terá acumulado ao final de: (a) 10 
meses; (b) 15 meses. (Resp: (a)R$101.766,88; (b)R$115.139,89). 
4. Um veículo, cujo preço a vista é de R$30.000,00, está sendo vendido nas 
seguintes condições: (a) Entrada de 30%; (b) Saldo em 6 prestações mensais, iguais e 
sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses. Determinar o valor de cada 
prestação, admitindo uma taxa de juros de 2,0% a.m. (Resp: R$3.824,02). 
5. Determinado produto está sendo vendido por R$1.800,00 a vista, ou em 3 
pagamentos mensais e iguais de R$650,00. Estando atualmente em 3,3% a.m. as taxas 
de juros de mercado, pede-se avaliar a melhor alternativa de compra. (Resp: À vista). 
6. Calcular o valor presente de cada um dos fluxos abaixo: 
a) 48 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$4.000,00 com taxa de juros 
de 1,2% a.m. (Resp: R$145.309,00); 
b) 14 prestações trimestrais, iguais e sucessivas de R$7.000,00 com taxa de 
juros de 5,0% a.m. (Resp: R$38.691,94); 
 
 
37
c) 5 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA à razão de R$2.000,00. 
O valor da primeira prestação é de R$10.000,00 com taxa de juros de 2,6% 
a.m. (Resp: 64.379,30). 
7. Determinada mercadoria é vendida por R$2.500,00 à vista ou por 20,0% de 
entrada mais prestações mensais de R$309,00. Sendo de 2,0% a.m. a taxa corrente de 
juros, determinar o número de prestações mensais. (Resp: 7). 
8. Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$8.000,00, ou em 4 pagamentos 
mensais de R$2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual 
deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 4,0% a.m. (Resp: 
R$1.000,00). 
9. Um financiamento no valor de R$35.000,00 é concedido para pagamento em 12 
prestações mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5% 
a.m., determinar o valor das prestações. (R$4.015,70). 
10. Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de R$1.200,00. 
Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere 
uma taxa de juros de 1,5% a.m. (Resp: R$2.987,40). 
11. Um empréstimo no valor de R$15.000,00 é concedido à taxa de juro de 2,23% 
ao mês. Os fluxos de caixa da operação são apresentados abaixo: 
 
Para esse dados, pede-se calcular o valor da parcela referente ao 2º mês. (Resp: 
R$2.782,00) 
12. Um empréstimo no valor de R$12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas 
trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence 
de hoje a 3 meses, e as demais seqüencialmente. A taxa de juro contratada para a 
operação é de 27,0% ao ano (efetiva). Determinar o valor da cada pagamento do 
empréstimo. (Resp: R$3.091,80; R$3.462,80; R$3.833,80; R$4.204,80). 
13. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$90.000,00 para ser pago em 6 
prestações mensais uniformes de R$16.284,90 cada. No entanto, ao pagar a 2ª 
prestação, a empresa, passando por dificuldades financeiras, solicita ao banco que 
refinancie o saldo de sua dívida em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, 
vencendo a primeira a partir de 30 dias dessa data. A taxa de juro cobrada pelo banco no 
refinanciamento é de 3,5% a.m. Determinar o valor de cada prestação do 
refinanciamento solicitado. (R$6.355,08). 
14. Calcular o montante de uma renda mensal imediata de 18 termos de 
R$1.000,00 a 2,0% ao mês, diferido de 6 meses. (Resp: R$24.113,74). 
15. Uma pessoa deposita durante dois anos, R$500,00 no fim de cada mês, a 3,0% 
ao mês. O montante constituído no fim desse tempo ficará depositado por mais um ano. 
Qual o montante gerado no final? (Resp: R$24.541,96). 
16. Qual o montante de uma renda unitária antecipada de 12 termos, a 3,0% ao 
mês, com diferimento de 6 meses? (Resp: 17,45). 
17. Calcular o montante de uma renda antecipada de 12 termos trimestrais de 
R$2.000,00 a 5,0% a.t. com um ano de diferimento. (R$40.629,47). 
18. Uma pessoa deposita R$300,00 no início de cada mês, durante 3 anos, numa 
instituição que paga juros de 1,5% ao mês. Depois desse tempo, deixa seu capital 
depositado por mais 2 anos. Qual o montante? (Resp: R$20.578,45). 
38 
19. Um automóvel foi comprado por R$10.000,00 de entrada mais um saldo de 18 
prestações mensais de R$1.200,00. Calcular o valor à vista do automóvel, sabendo-se 
que o juro do financiamento foi de 1,0% ao mês. (Resp: R$29.677,92). 
20. Uma pessoa toma 2.000UPC emprestadas junto à CEF por 15 anos. Calcular o 
valor da prestação mensal para amortizar essa dívida, sabendo-se que o juro cobrado é 
de 12,0% a.a. capitalizados mensalmente. (Resp: 24,002UPC). 
21. Um televisor, cujo valor a vista é de R$500,00 é vendido a prazo com 40% de 
entrada e 12 prestações mensais iguais com juros de 2,0% a.m. Qual o valor das 
prestações? (Resp: R$28,36). 
22. Uma empresa obteve, junto a um banco, um empréstimo de R$100.000,00 
resgatável em 10 prestações semestrais com juros de 20,0% a.a. Calcular o valor das 
prestações, sabendo-se que a primeira deve ser paga 3 anos depois da data do 
empréstimo. (Resp: R$26.210,31). 
23. Uma pessoa deposita R$4.000,00 em um banco no início de cada semestre. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 10,0% ao semestre, qual o montante no fim de 3 
anos? (Resp: R$33.948,68). 
24. Uma empresa deseja constituir um fundo de provisão, de forma que depois do 
décimo ano possua o montante de R$300.000,00. Quando deve depositar, no fim de 
cada ano, num banco que paga juros de 12,0% a.a. (Resp: 17.095,20). 
25. Quantas prestações anuais de R$100.000,00 são necessárias para resgatar um 
empréstimo de R$446.419,60 sabendo que a taxa de juros é de 9,0% a.a. e que o 
pagamento da primeira prestação deve ser efetuado 7 anos depois de realizado o 
empréstimo? (Resp: 13). 
26. Uma empresa pode dispor semestralmente de R$10.000,00. Que empréstimo 
pode pretender de uma instituição financeira que realiza empréstimo a ser pago em 20 
prestações semestrais a 18,0% a.a.? Fazer os cálculos para rendas imediatas, antecipadas 
e diferidas de 5 anos. (Resp: R$91.285,45; R$99.501,15 e R$38.559,97). 
27. Quantas prestações mensais de R$500,00 são necessárias para amortizar uma 
dívida de R$5.000,00 com juros de 2,0% ao mês? (Resp: Entre 11 e 12). 
28. Parte do pagamento de uma máquina, cujo valor a vista é de R$30.000,00 é 
financiada em 12 prestações mensais de R$1.500,00. Calcular o pagamento que deve ser 
feito à vista, sabendo que o financiamento é de 1,5% ao mês. (R$13.638,74). 
29. Uma pessoa tomou 3.000UPC’s emprestados do BNH por 10 anos, com juros 
de 10,0% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o valor da prestação mensal que 
foram pagas para amortizar essa dívida. (Resp: 39,645UPC). 
30. Um consumidor, ao adquirir um televisor, tem as seguintes ofertas: (a) 
R$500,00 de entrada e 10 prestações mensais de R$100,00 e (b) R$550,00