LISTA RM I 02

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ANDRADINA 
2016 
 
 
1 
Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB 
Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
TENSÃO NORMAL E DEFORMAÇÃO 
 
1) Na construção representada na figura, a barra 1 é de aço, mede 1,2 m e possui área da secção transversal 800 mm2. A 
barra 2 é de cobre, mede 0,4 m e possui área da secção transversal 2300 mm2. Determinar: 
 
 
 
Dados: 
 
𝑙1 = 1,2 m. 
 
𝑙2 = 0,4 m. 
 
𝐴1 = 800 mm
2 ⋅ (
1⋅10−3 m
1 mm
)
2
= 800 mm2 ⋅
1⋅10−6 m2
1 mm2
⟹ 𝐴1 = 800 ⋅ 10
−6 m2. 
 
𝐴2 = 2300 mm
2 ⋅ (
1⋅10−3 m
1 mm
)
2
= 2300 mm2 ⋅
1⋅10−6 m2
1 mm2
⟹ 𝐴2 = 2300 ⋅ 10
−6 m2. 
 
𝐸Aço = 2,1 ⋅ 10
5 MPa = 2,1 ⋅ 105 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝐸Aço = 210 ⋅ 10
9 Pa. 
 
𝐸Cu = 1,12 ⋅ 10
5 MPa = 1,12 ⋅ 105 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝐸Cu = 112 ⋅ 10
9 Pa. 
 
𝜈Aço = 0,30. 
 
𝜈Cu = 0,32. 
 
𝐹𝐶 = 2 ⋅ 30 = 60 kN ⟹ 𝐹𝐶 = 60 ⋅ 10
3 N. 
 
𝑀𝐴 = 12 kN⋅m ⟹ 𝑀𝐴 = 12 ⋅ 10
3 N⋅m. 
 
a) carga axial nas barras. 
 
Barra 1: Aço 
 
∑ 𝑀1 = 0 
 
−𝐹1 ⋅ 3 + 𝐹𝐶 ⋅ 2 + 𝑀𝐴 = 0 
 
−𝐹1 ⋅ 3 + 60 ⋅ 10
3 ⋅ 2 + 12 ⋅ 103 = 0 
 
3𝐹1 = 132 ⋅ 10
3 
 
𝐹1 = 44 ⋅ 10
3 N ⟹ 𝑭𝟏 = 𝟒𝟒 𝐤𝐍 
Barra 2: Cobre 
 
∑ 𝑀2 = 0 
 
−𝐹2 ⋅ 4 + 𝐹1 ⋅ 2 = 0 
 
−𝐹2 ⋅ 4 + 44 ⋅ 10
3 ⋅ 2 = 0 
 
4𝐹2 = 88 ⋅ 10
3 
 
𝐹2 = 22 ⋅ 10
3 N ⟹ 𝑭𝟐 = 𝟐𝟐 𝐤𝐍 
 
b) tensão normal nas barras 1 e 2. 
 
𝜎1 =
𝐹1
𝐴1
=
44 ⋅ 103
800 ⋅ 10−6
= 55 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝝈𝟏 = 𝟓𝟓 MPa 
 
𝜎2 =
𝐹2
𝐴2
=
22 ⋅ 103
2300 ⋅ 10−6
= 9,5652 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝝈𝟐 = 𝟗, 𝟓𝟔𝟓𝟐 MPa 
 
c) os respectivos alongamentos. 
 
∆𝑙1 =
𝜎1 ⋅ 𝑙1
𝐸Aço
=
55 ⋅ 106 ⋅ 1,2
210 ⋅ 109
⟹ ∆𝒍𝟏 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟐𝟖 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟒 𝐦 
 
∆𝑙2 =
𝜎2 ⋅ 𝑙2
𝐸Cu
=
9,5652 ⋅ 106 ⋅ 0,4
112 ⋅ 109
⟹ ∆𝒍𝟐 = 𝟑, 𝟒𝟏𝟔𝟏 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟓 𝐦 
 
d) as respectivas deformações longitudinais. 
 
𝜀1 =
∆𝑙1
𝑙1
=
3,1428 ⋅ 10−4
1,2
⟹ 𝜺𝟏 = 𝟐, 𝟔𝟏𝟗𝟎 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟒 
 
𝜀2 =
∆𝑙2
𝑙2
=
3,4161 ⋅ 10−5
0,4
⟹ 𝜺𝟐 = 𝟖, 𝟓𝟒𝟎𝟑 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟓 
 
e) as respectivas deformações transversais. 
 
𝜀𝑡1 = −𝜈Aço ⋅ 𝜀1 = −0,30 ⋅ 2,6190 ⋅ 10
−4 ⟹ 𝜺𝒕𝟏 = −𝟕, 𝟖𝟓𝟕 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟓 
 
𝜀𝑡2 = −𝜈Cu ⋅ 𝜀2 = −0,32 ⋅ 8,5403 ⋅ 10
−5 ⟹ 𝜺𝒕𝟐 = −𝟐, 𝟕𝟑𝟐𝟖𝟗𝟔 ⋅ 𝟏𝟎
−𝟓 
 
 
𝐹2 
2 m 
2 m 
𝐹𝑥𝐵 
 
𝐹1 
𝐹1 
 
𝑀𝐴 
1 m 1 m 1 m 
3 m 
𝐹𝐶 
 𝐹𝑥𝐴 
 
3 m 
 
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2016 
 
 
2 
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Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
2) Duas barras cilíndricas maciças 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 são soldadas uma à outra em 𝐵 e submetidas a um carregamento conforme 
mostra a figura. Determine a tensão normal no ponto médio da 
 
 
Dados: 
 
𝑃 = 180 kN ⟹ 𝑃 = 180 ⋅ 103 N. 
 
𝐹1 = 𝐹2 = 130 kN ⟹ 𝐹1 = 𝐹2 = 130 ⋅ 10
3 N. 
 
𝐷1 = 50 mm ⟹ 𝐷1 = 50 ⋅ 10
−3 m. 
 
𝐷2 = 75 mm ⟹ 𝐷2 = 75 ⋅ 10
−3 m. 
 
a) Barra 𝐴𝐵. 
 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴1
=
𝑃
𝜋 ⋅ 𝐷1
2
4
=
4𝑃
𝜋 ⋅ 𝐷1
2 =
4 ⋅ 180 ⋅ 103
𝜋 ⋅ (50 ⋅ 10−3)2
= 91,673 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝝈𝑨𝑩 = 𝟗𝟏, 𝟔𝟕𝟑 MPa 
 
b) Barra 𝐵𝐶. 
 
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃 − (𝐹1 + 𝐹2)
𝐴2
=
4(𝑃 − 2𝐹1)
𝜋 ⋅ 𝐷2
2 =
4 ⋅ (180 ⋅ 103 − 2 ⋅ 130 ⋅ 103)
𝜋 ⋅ (75 ⋅ 10−3)2
= −18,108 ⋅ 106 Pa ⟹ 𝝈𝑨𝑩 = −𝟏𝟖, 𝟏𝟎𝟖 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
FLEXÃO (DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR) E TENSÃO DE FLEXÃO 
 
1) Calcule as tensões de flexão e elabore os gráficos de força cortante e momento fletor das estruturas abaixo: 
 
a) 
 
 
i) CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
Temos que a carga distribuída é 𝐹𝐷 = 300 kN m⁄ , logo a carga concentrada retangular será 𝐹𝐶 = 3 ⋅ 300 = 900 kN. 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
 
𝐹𝑥 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
 
𝑅𝑦1 − 50 − 40 − 𝐹𝐶 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 − 50 − 40 − 900 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 + 𝑅𝑦2 − 990 = 0 
 
𝑅𝑦1 = −𝑅𝑦2 + 990 
∑ 𝑀 = 0 
 
−50 ⋅ 2 − 40 ⋅ (2 + 3) − 𝐹𝐶 ⋅ (2 + 3 + 4 + 1,5) + 𝑅𝑦2 ⋅ 12 = 0 
 
−100 − 200 − 900 ⋅ (2 + 3 + 4 + 1,5) + 12𝑅𝑦2 = 0 
 
−9750 + 12𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦2 =
9750
12
 
 
𝑹𝒚𝟐 = 𝟖𝟏𝟐, 𝟓 kN 
 
∴ 𝑹𝒚𝟏 = 𝟏𝟕𝟕, 𝟓 kN 
 
ii) CÁLCULO DAS SEÇÕES: FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
 
 Seção 1: 0 < 𝑥 < 2 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) − 𝑅𝑦1 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 177,5 = 0 
 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟕𝟕, 𝟓 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) + 𝑅𝑦1 ⋅ 𝑥 = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 177,5𝑥 = 0 
 
𝑴(𝒙) = 𝟏𝟕𝟕, 𝟓𝒙 
 
{
𝑥 = 0 ⟹ 𝑀(0) = 0
𝑥 = 2 ⟹ 𝑀(2) = 355 kN⋅m
 
 
 Seção 2: 2 < 𝑥 < 5 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) − 𝑅𝑦1 + 50 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 177,5 + 50 = 0 
 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟐𝟕, 𝟓 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) + 𝑅𝑦1 ⋅ 𝑥 − 50(𝑥 − 2) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 177,5𝑥 − 50𝑥 + 100 = 0 
 
𝑴(𝒙) = 𝟏𝟐𝟕, 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 
 
{
𝑥 = 2 ⟹ 𝑀(2) = 355 kN⋅m
𝑥 = 5 ⟹ 𝑀(5) = 737,5 kN⋅m
 
 
 Seção 3: 5 < 𝑥 < 9 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) − 𝑅𝑦1 + 50 + 40 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 177,5 + 50 + 40 = 0 
 
𝑸(𝒙) = 𝟖𝟕, 𝟓 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) + 𝑅𝑦1 ⋅ 𝑥 − 50(𝑥 − 2) − 40(𝑥 − 5) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 177,5𝑥 − 50𝑥 + 100 − 40𝑥 + 200 = 0 
 
𝑴(𝒙) = 𝟖𝟕, 𝟓𝒙 + 𝟑𝟎𝟎 
 
{
𝑥 = 5 ⟹ 𝑀(5) = 737,5 kN⋅m
𝑥 = 9 ⟹ 𝑀(9) = 1087,5 kN⋅m
 
 
 Seção 4: 9 < 𝑥 < 12 
 
Por semelhança, temos a carga distribuída: 
 
300
3
=
𝐶𝐷
(𝑥 − 9)
⟹ 𝐶𝐷 = 100 ⋅ (𝑥 − 9) ⟹ 𝐶𝐷 = 100𝑥 − 900 
 
Logo a carga concentrada para a forma retangular será 
 
𝐶𝐶 = 3 ⋅ (100𝑥 − 900) ⟹ 𝐶𝐶 = 300𝑥 − 2700 
 
 
 
 
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Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
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 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IForça cortante 
 
 
𝑄(𝑥) − 𝑅𝑦1 + 50 + 40 + 𝐶𝐶 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 177,5 + 50 + 40 + 300𝑥 − 2700 = 0 
 
𝑄(𝑥) + 300𝑥 − 2787,5 = 0 
 
𝑸(𝒙) = −𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟕𝟖𝟕, 𝟓 
 
{
𝑥 = 9 ⟹ 𝑄(9) = 87,5 kN
𝑥 = 12 ⟹ 𝑄(12) = −812,5 kN
 
Momento fletor 
−𝑀(𝑥) + 𝑅𝑦1 ⋅ 𝑥 − 50(𝑥 − 2) − 40(𝑥 − 5) − (300𝑥 − 2700) ⋅ (
𝑥 − 9
2
) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 87,5𝑥 + 300 − (150𝑥2 − 1350𝑥 − 1350𝑥 + 12150) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 87,5𝑥 + 300 − 150𝑥2 + 2700𝑥 − 12150 = 0 
 
−𝑀(𝑥) − 150𝑥2 + 2787,5𝑥 − 11850 = 0 
 
𝑴(𝒙) = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟕𝟖𝟕, 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏𝟖𝟓𝟎 
 
{
𝑥 = 9 ⟹ 𝑀(9) = 1087,5 kN⋅m
𝑥 = 12 ⟹ 𝑀(12) = 0
 
 
iii) DIAGRAMA 
 
Força cortante 𝑄(𝑥) 
 
 
 
Momento fletor 𝑀(𝑥) 
 
O valor da abcissa do ponto máximo para a função 𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 2787,5𝑥 − 11850 é sua derivada igual a zero. Logo 
 
𝑀′(𝑥) = 𝑄(𝑥) = −300𝑥 + 2787,5 = 0 
 
−300𝑥 + 2787,5 = 0 ⟹ 𝑥 = 9,3 m 
 
Portanto o valor da ordenada é 
 
𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 2787,5𝑥 − 11850 
 
𝑀(9,3) = −150 ⋅ (9,3)2 + 2787,5 ⋅ 9,3 − 11850 
 
𝑀(9,3) = 1100,26 kN⋅m 
 
 
 
iv) TENSÃO DE FLEXÃO 
 
No diagrama, o momento fletor máximo é |𝑀máx| = |𝑀(9,3)| = 1100,26 kN⋅m = 1100,26 ⋅ 10
3 N⋅m. Conforme o perfil da 
estrutura, temos as medidas 
 
𝑎 = 140 mm ⟹ 𝑎 = 0,14 m. 
 
𝑏 = 80 mm ⟹ 𝑏 = 0,08 m. 
 
Logo o valor do módulo de resistência para esta estrutura vale 
 
𝑊𝑓 =
𝑎4 − 𝑏4
6 ⋅ 𝑎
=
0,144 − 0,084 
6 ⋅ 0,14
=
3,432−4
0,84
⟹ 𝑊𝑓 = 4,0857 ⋅ 10
−4 m3 
2 5 9 12 𝑥 
355 
737,5 
1087,5 ⋅ 
(9,3; 1100,26) 
𝑥 
177,5 
127,5 
87,5 
−812,5 
𝑀(𝑥) 
2 5 9 12 
𝑄(𝑥) 
0 
0 
 
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Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
Portanto a tensão de flexão é: 
 
𝜎 =
|𝑀máx|
𝑊𝑓
=
|𝑀(9,3)|
𝑊𝑓
=
1100,26 ⋅ 103
4,0857 ⋅ 10−4
= 2,69 ⋅ 109 Pa ⟹ 𝝈 = 𝟐, 𝟔𝟗 GPa 
 
 
b) 
 
 
i) CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
Temos que a carga distribuída é 𝐹𝐷 = 300 kN m⁄ , logo a carga concentrada retangular será 𝐹𝐶 = 8 ⋅ 300 = 2400 kN. 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
 
𝐹𝑥 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
 
𝑅𝑦1 − 𝐹𝐶 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 − 2400 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 = −𝑅𝑦2 + 2400 
∑ 𝑀 = 0 
 
−𝐹𝐶 ⋅ 4 + 𝑅𝑦2 ⋅ 8 = 0 
 
−2400 ⋅ 4 + 8𝑅𝑦2 = 0 
 
−9600 + 8𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦2 =
9600
8
 
 
𝑹𝒚𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 kN 
 
∴ 𝑹𝒚𝟏 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 kN 
 
ii) CÁLCULO DAS SEÇÕES: FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
 
 Seção 1: 0 < 𝑥 < 8 
 
Por semelhança, temos a carga distribuída: 
 
300
8
=
𝐶𝐷
𝑥
⟹ 𝐶𝐷 = 37,5𝑥 
 
Logo a carga concentrada para a forma retangular será 
 
𝐶𝐶 = 3 ⋅ 37,5𝑥 ⟹ 𝐶𝐶 = 300𝑥 
 
Força cortante 
 
 
𝑄(𝑥) − 𝑅𝑦1 + 𝐶𝐶 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 1200 + 300𝑥 = 0 
 
𝑸(𝒙) = −𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 
 
{
𝑥 = 0 ⟹ 𝑄(0) = 1200 kN
𝑥 = 8 ⟹ 𝑄(8) = −1200 kN
 
Momento fletor 
−𝑀(𝑥) + 𝑅𝑦1 ⋅ 𝑥 − 𝐶𝐶 ⋅
𝑥
2
= 0 
 
−𝑀(𝑥) + 1200𝑥 − 150𝑥2 = 0 
 
𝑴(𝒙) = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 
 
{
𝑥 = 0 ⟹ 𝑀(0) = 0
𝑥 = 8 ⟹ 𝑀(8) = 0
 
 
iii) DIAGRAMA 
 
Força cortante 𝑄(𝑥) 
 
 
 
𝑥 
𝑄(𝑥) 
4 
1200 
−1200 
8 0 
 
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Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
Momento Fletor 𝑀(𝑥) 
 
O valor da abcissa do ponto máximo para a função 𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 1200𝑥 é sua derivada igual a zero. Logo 
 
𝑀′(𝑥) = 𝑄(𝑥) = −300𝑥 + 1200 = 0 
 
−300𝑥 + 1200 = 0 ⟹ 𝑥 = 4 m 
 
Portanto o valor da ordenada é 
 
𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 1200 
 
𝑀(4) = −150 ⋅ 42 + 1200 ⋅ 4 
 
𝑀(4) = 2400 kN⋅m 
 
 
 
 
 
iv) TENSÃO DE FLEXÃO 
 
No diagrama, o momento fletor máximo é |𝑀máx| = |𝑀(4)| = 2400 kN⋅m = 2400 ⋅ 10
3 N⋅m. Conforme o perfil da estrutura, 
temos as medidas 
 
𝑎 = 140 mm ⟹ 𝑎 = 0,14 m. 
 
𝑏 = 80 mm ⟹ 𝑏 = 0,08 m. 
 
Logo o valor do módulo de resistência para esta estrutura vale 
 
𝑊𝑓 =
𝑎4 − 𝑏4
6 ⋅ 𝑎
=
0,144 − 0,084 
6 ⋅ 0,14
=
3,432−4
0,84
⟹ 𝑊𝑓 = 4,0857 ⋅ 10
−4 m3 
 
Portanto a tensão de flexão é: 
 
𝜎 =
|𝑀máx|
𝑊𝑓
=
|𝑀(4)|
𝑊𝑓
=
2400 ⋅ 103
4,0857 ⋅ 10−4
= 5,87 ⋅ 109 Pa ⟹ 𝝈 = 𝟓, 𝟖𝟕 GPa 
 
 
c) 
 
 
i) CÁLCULO DAS REAÇÕES 
 
Temos que a carga distribuída é 𝐹𝐷 = 300 kN m⁄ , logo a carga concentrada retangular será 𝐹𝐶 = 3 ⋅ 300 = 900 kN. 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
 
𝐹𝑥 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
 
−50 + 𝑅𝑦1 − 40 − 𝐹𝐶 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 − 50 − 40 − 900 + 𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦1 + 𝑅𝑦2 − 990 = 0 
 
𝑅𝑦1 = −𝑅𝑦2 + 990 
∑ 𝑀 = 0 
 
50 ⋅ 2 − 40 ⋅ 3 − 𝐹𝐶 ⋅ (3 + 4 + 1,5) + 𝑅𝑦2 ⋅ (3 + 4 + 3) = 0 
 
100 − 120 − 900 ⋅ 8,5 + 𝑅𝑦2 ⋅ 10 = 0 
 
−7670 + 10𝑅𝑦2 = 0 
 
𝑅𝑦2 =
7670
10
 
 
𝑹𝒚𝟐 = 𝟕𝟔𝟕 kN 
 
∴ 𝑹𝒚𝟏 = 𝟐𝟐𝟑 kN 
𝑥 
𝑀(𝑥) 
8 
⋅ 
(4; 2400) 
0 
 
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Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
ii) CÁLCULO DAS SEÇÕES: FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
 
 Seção 1: 0 < 𝑥 < 2 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) + 50 = 0 
 
𝑸(𝒙) = −𝟓𝟎 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 = 0 
 
𝑴(𝒙) = −𝟓𝟎𝒙 
 
{
𝑥 = 0 ⟹ 𝑀(0) = 0
𝑥 = 2 ⟹ 𝑀(2) = −100 kN⋅m
 
 
 Seção 2: 2 < 𝑥 < 5 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) + 50 − 223 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 173 = 0 
 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟕𝟑 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 + 223 ⋅ (𝑥 − 2) = 0 
 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 + 223𝑥 − 446 = 0 
 
𝑴(𝒙) = 𝟏𝟕𝟑𝒙 − 𝟒𝟒𝟔 
 
{
𝑥 = 2 ⟹ 𝑀(2) = −100 kN⋅m
𝑥 = 5 ⟹ 𝑀(5) = 419 kN⋅m
 
 
 Seção 3: 5 < 𝑥 < 9 
 
Força cortante 
 
𝑄(𝑥) + 50 − 223 + 40 = 0 
 
𝑄(𝑥) − 133 = 0 
 
𝑸(𝒙) = 𝟏𝟑𝟑 kN 
Momento fletor 
 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 + 223 ⋅ (𝑥 − 2) − 40 ⋅ (𝑥 − 5) = 0 
 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 + 223𝑥 − 446 − 40𝑥 + 200 = 0 
 
𝑴(𝒙) = 𝟏𝟑𝟑𝒙 − 𝟐𝟒𝟔 
 
{
𝑥 = 5 ⟹ 𝑀(5) = 419 kN⋅m
𝑥 = 9 ⟹ 𝑀(9) = 951 kN⋅m
 
 
 Seção 4: 9 < 𝑥 < 12 
 
Por semelhança, temos a carga distribuída: 
 
300
3
=
𝐶𝐷
(𝑥 − 9)
⟹ 𝐶𝐷 = 100 ⋅ (𝑥 − 9) ⟹ 𝐶𝐷 = 100𝑥 − 900 
 
Logo a carga concentrada para a forma retangular será 
 
𝐶𝐶 = 3 ⋅ (100𝑥 − 900) ⟹ 𝐶𝐶 = 300𝑥 − 2700 
 
Força cortante𝑄(𝑥) + 50 − 223 + 40 + 𝐶𝐶 = 0 
 
𝑄(𝑥) + 50 − 223 + 40 + 300𝑥 − 2700 = 0 
 
𝑄(𝑥) + 300𝑥 − 2833 = 0 
 
𝑸(𝒙) = −𝟑𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟖𝟑𝟑 
 
{
𝑥 = 9 ⟹ 𝑄(9) = 133 kN
𝑥 = 12 ⟹ 𝑄(12) = −767 kN
 
Momento fletor 
−𝑀(𝑥) − 50𝑥 + 223 ⋅ (𝑥 − 2) − 40 ⋅ (𝑥 − 5) − (300𝑥 − 2700) ⋅ (
𝑥 − 9
2
) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 133𝑥 − 246 − (150𝑥2 − 1350𝑥 − 1350𝑥 + 12150) = 0 
 
−𝑀(𝑥) + 133𝑥 − 246 − 150𝑥2 + 2700𝑥 − 12150 = 0 
 
−𝑀(𝑥) − 150𝑥2 + 2833𝑥 − 12396 = 0 
 
𝑴(𝒙) = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝟑𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝟑𝟗𝟔 
 
{
𝑥 = 9 ⟹ 𝑀(9) = 951 kN⋅m
𝑥 = 12 ⟹ 𝑀(12) = 0
 
 
iii) DIAGRAMA 
 
Força Cortante 𝑄(𝑥) 
 
 
 
Momento Fletor 𝑀(𝑥) 
 
O valor da abcissa do ponto máximo para a função 𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 2833𝑥 − 12396 é sua derivada igual a zero. Logo 
−50 
2 5 9 12 𝑥 
173 
133 
−951 
𝑄(𝑥) 
0 
 
 ANDRADINA 
2016 
 
 
8 
Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB 
Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
𝑀′(𝑥) = 𝑄(𝑥) = −300𝑥 + 2833 = 0 
 
−300𝑥 + 2833 = 0 ⟹ 𝑥 = 9,44 m 
 
Portanto o valor da ordenada é 
 
𝑀(𝑥) = −150𝑥2 + 2833𝑥 − 12396 
 
𝑀(9,44) = −150 ⋅ (9,44)2 + 2833 ⋅ 9,44 − 12396 
 
𝑀(9,44) = 980,48 kN⋅m 
 
 
 
iv) TENSÃO DE FLEXÃO 
 
No diagrama, o momento fletor máximo é |𝑀máx| = |𝑀(9,44)| = 980,48 kN⋅m = 980,48 ⋅ 10
3 N⋅m. Conforme o perfil da 
estrutura, temos as medidas 
 
𝑏 = 70 mm ⟹ 𝑎 = 0,07 m. 
 
ℎ = 90 mm ⟹ 𝑏 = 0,09 m. 
 
Logo o valor do módulo de resistência para esta estrutura vale 
 
𝑊𝑓 =
𝑏 ⋅ ℎ2
6
=
0,07 ⋅ 0,092
6
=
5,67 ⋅ 10−4
6
⟹ 𝑊𝑓 = 9,45 ⋅ 10
−5 m3 
 
Portanto a tensão de flexão é: 
 
𝜎 =
|𝑀máx|
𝑊𝑓
=
|𝑀(9,44)|
𝑊𝑓
=
980,48 ⋅ 103
9,45 ⋅ 10−5
= 10,375 ⋅ 109 Pa ⟹ 𝝈 = 𝟏𝟎, 𝟑𝟕𝟓 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀(𝑥) ⋅ 951 
419 
(9,44; 980,48) 
−100 
2 5 9 12 𝑥 0 
 
 ANDRADINA 
2016 
 
 
9 
Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB 
Engenharia Mecânica 
Turma A - 4º Período 
 
 Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
 Discentes: Jards Martins Oliveira de Souza RA: 1530096672 
 Docente: Prof. MSc. Carlos Eduardo Silva Britto 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
ANEXOS 
DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE E SEÇÕES 
 
a) 
 
 
 
 
Seção 1: 0 < 𝑥 < 2 Seção 2: 2 < 𝑥 < 5 Seção 3: 5 < 𝑥 < 9 Seção 4: 9 < 𝑥 < 12 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Seção 1: 1< 𝑥 < 8 
 
 
 
c) 
 
 
 
Seção 1: 0 < 𝑥 < 2 Seção 2: 2 < 𝑥 < 5 Seção 3: 5 < 𝑥 < 9 Seção 4: 9 < 𝑥 < 12 
 
 
 
𝐹𝑥 
50 kN 
 
40 kN 𝐹𝐶 
2 m 3 m 4 m 1,5 m 1,5 m 
12 m 
−𝑀 
+𝑄 
𝐹𝑦1 𝐹𝑦2 
𝐹𝑦1 
𝑥 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 𝐹𝑦1 
𝐹𝑦1 
𝐹𝑦2 
𝐹𝑦2 
𝐹𝐶 
𝐹𝐶 
𝐹𝑥 
𝑆2 𝑆3 
𝑆4 
𝑆1 
𝑆1 
𝑆2 𝑆3 𝑆4 
+𝑄 +𝑄 
+𝑄 
+𝑄 
+𝑄 +𝑄 
+𝑄 
−𝑀 −𝑀 
−𝑀 
−𝑀 
−𝑀 −𝑀 −𝑀 −𝑀 
50 kN 50 kN 
50 kN 
40 kN 
40 kN 
40 kN 50 kN 
40 kN 40 kN 50 kN 50 kN 50 kN 
50 kN 
𝐶𝐶 
𝐶𝐶 
𝐶𝐶 
+𝑄 
(𝑥 − 2) 2 m (𝑥 − 5) 2 m 3 m 
(𝑥 − 9) 
𝑥 
2 m 3 m 5,5 m 
𝑥 
𝑥 
𝑥 2⁄ 𝑥 2⁄ 
2 m 3 m 4 m 1,5 m 1,5 m 
12 m 
2 m 2 m 2 m 3 m 3 m 5,5 m 
(𝑥 − 9)
2
 
(𝑥 − 9)
2
 
(𝑥 − 9) (𝑥 − 5) (𝑥 − 5) 𝑥 
𝑥 𝑥 𝑥