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ANDRADINA 2017 1 Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB Engenharia Mecânica 5º Período Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 LISTA DE EXERCÍCIOS – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 1) Para o estado plano de tensão mostrado abaixo, determine as tensões normal e de cisalhamento que atuam na face do elemento triangular sombreado. Use o método de análise com base no equilíbrio desse elemento (Analiticamente). Solução. No triângulo retângulo, temos: i) Tensões normal 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 + ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) ⋅ cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 = −60 + 0 2 + ( −60 − 0 2 ) ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) + 90 ⋅ sen(2 ⋅ 30∘) 𝜎𝑥′ = −30 + (−30) cos 60 ∘ + 90 sen 60∘ = −30 − 15 + 77,94 𝝈𝒙′ = 𝟑𝟐, 𝟗𝟒 MPa 𝜎𝑦′ = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 − ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) ⋅ cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 = −60 + 0 2 − ( −60 − 0 2 ) ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) − 90 ⋅ sen(2 ⋅ 30∘) 𝜎𝑦′ = −30 − (−30) cos 60 ∘ + 90 sen 60∘ = −30 + 15 − 77,94 𝝈𝒚′ = −𝟗𝟐, 𝟗𝟒 MPa ii) Tensão de cisalhamento 𝜏𝑥′𝑦′ = − ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) sen 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = − ( −60 − 0 2 ) sen(2 ⋅ 30∘) + 90 ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) 𝜏𝑥′𝑦′ = −(−30) sen 60 ∘ + 90 cos 60∘ = 25,98 + 45 𝝉𝒙′𝒚′ = 𝟕𝟎, 𝟗𝟖 𝐌𝐏𝐚 2) Para o estado de tensão dado, determine as tensões normal e de cisalhamento depois que o elemento abaixo sofreu uma rotação de 25° no sentido horário. Utilize o método analítico para solucionar o problema. 𝜏𝑥′𝑦′ 𝜎𝑥′ 𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 = −60 MPa. 𝜎𝑦 = 0. 𝜏𝑥𝑦 = 90 MPa. 𝜃 = 30°. 60° ANDRADINA 2017 2 Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB Engenharia Mecânica 5º Período Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 Solução. No triângulo retângulo, temos: i) Tensões normal 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 + ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 = −40 + 60 2 + ( −40 − 60 2 ) cos[2 ⋅ (−25∘)] + 20 sen[2 ⋅ (−25∘)] 𝜎𝑥′ = 10 + (−50) cos(−50 ∘) + 20 sen(−50∘) = 10 − 32,14 − 15,32 𝝈𝒙′ = −𝟑𝟕, 𝟒𝟔 MPa 𝜎𝑦′ = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 − ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 = −40 + 60 2 − ( −40 − 60 2 ) cos[2 ⋅ (−25∘)] − 20 sen[2 ⋅ (−25∘)] 𝜎𝑦′ = 10 − (−50) cos(−50 ∘) − 20 sen(−50∘) = 10 + 32,14 + 15,32 𝝈𝒚′ = 𝟓𝟕, 𝟒𝟔 MPa ii) Tensão de cisalhamento 𝜏𝑥′𝑦′ = − ( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) sen 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = − ( −40 − 60 2 ) sen[2 ⋅ (−25∘)] + 20 ⋅ cos[2 ⋅ (−25∘)] 𝜏𝑥′𝑦′ = −(−50) sen(−50 ∘) + 20 cos(−50∘) = −38,302 + 12,855 𝝉𝒙′𝒚′ = −𝟐𝟓, 𝟒𝟒𝟕 𝐌𝐏𝐚 3) Para o estado de tensão dado, determine (utilizando o método analítico): a) Os planos principais; b) As tensões principais; c) A orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento; d) Máxima tensão de cisalhamento no plano; e) Tensão normal correspondente. Solução. Dados: 𝜎𝑥 = −60 MPa. 𝜎𝑦 = −40 MPa. 𝜏𝑥𝑦 = 35 MPa. Ponto: 𝑋(𝜎𝑥; −𝜏𝑥𝑦) ⟶ 𝑋(−60; −35) Ponto: 𝑌(𝜎𝑦; 𝜏𝑦𝑥) ⟶ 𝑌(−40; 35) a) Planos principais tg 2𝜃𝑝 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 = 2 ⋅ 35 −60 + 40 = − 70 20 = −3,5 2𝜃𝑝 = −74,054 ∘ 𝜽𝒑 = −𝟑𝟕, 𝟎𝟐𝟕 ∘ 𝜃𝑝 = −37,027 ∘ + 90∘ ⟹ 𝜽𝒑 = 𝟓𝟐, 𝟗𝟕𝟑 ∘ 𝜏𝑥′𝑦′ 𝜎𝑥′ 𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 = −40 MPa. 𝜎𝑦 = 60 MPa. 𝜏𝑥𝑦 = 20 MPa. 𝜃 = −25°. 65° ANDRADINA 2017 3 Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB Engenharia Mecânica 5º Período Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 b) Tensões principais 𝜎máx = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 + √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = −60 − 40 2 + √( −60 + 40 2 ) 2 + 352 = −50 + √1325 𝝈máx ≅ −𝟏𝟑, 𝟔 𝐌𝐏𝐚 𝜎mín = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 − √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = −60 − 40 2 − √( −60 + 40 2 ) 2 + 352 = −50 − √1325 𝝈mín ≅ −𝟖𝟔, 𝟒 𝐌𝐏𝐚 c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento 2𝜃𝑐 = 2𝜃𝑝 + 90 ° = −74,054∘ + 90° = 15,946° 𝜽𝒑 = 𝟕, 𝟗𝟕𝟑 ∘ 𝜃𝑐 = 7,973 ° + 90∘ ⟹ 𝜽𝒄 = 𝟗𝟕, 𝟗𝟕𝟑 ∘ d) Máxima tensão de cisalhamento no plano 𝑟 = √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = √( −60 + 40 2 ) 2 + 352 = √1325 ⟹ 𝒓 = 𝟑𝟔, 𝟒 MPa e) Tensão normal 𝜏′ = 𝜏méd = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 = −60 + 40 2 = − 100 2 𝝉′ = −𝟓𝟎 MPa 4) Para o estado de tensão dado, determine através do Círculo de Mohr: a) Os planos principais; b) As tensões principais; c) A orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento; d) Máxima tensão de cisalhamento no plano; e) Tensão normal correspondente. 𝑌 𝑋 𝑥 𝑦 𝜏máx 𝜏mín 0 35 −35 −60 −40 𝜏méd 𝑟 2𝜃𝑝 ANDRADINA 2017 4 Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB Engenharia Mecânica 5º Período Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 Solução. Dados: 𝜎𝑥 = 16 MPa. 𝜎𝑦 = −48 MPa. 𝜏𝑥𝑦 = 60 MPa. Ponto: 𝑋(𝜎𝑥; −𝜏𝑥𝑦) ⟶ 𝑋(16; 60) Ponto: 𝑌(𝜎𝑦; 𝜏𝑦𝑥) ⟶ 𝑌(−48; −60) a) Planos principais tg 2𝜃𝑝 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 = 2 ⋅ 60 16 + 48 = 120 64 = 1,875 2𝜃𝑝 = 61,92 ∘ 𝜽𝒑 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔 ∘e 𝜽𝒑 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔 ∘ + 𝟗𝟎∘ = 𝟏𝟐𝟎, 𝟗𝟔∘ b) Tensões principais 𝜎máx = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 + √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = 16 − 48 2 + √( 16 + 48 2 ) 2 + 602 = −16 + √4624 𝝈máx = 𝟓𝟐 𝐌𝐏𝐚 𝜎mín = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 − √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = 16 − 48 2 − √( 16 + 48 2 ) 2 + 602 = −16 − √4624 𝝈mín = −𝟖𝟒 𝐌𝐏𝐚 c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento 2𝜃𝑐 = 2𝜃𝑝 + 90 ° = 90° − 61,92∘ = 28,08° 𝜽𝒄 = 𝟏𝟒, 𝟎𝟒 ∘ 𝜃𝑐 = 14,04 ° + 90∘ ⟹ 𝜽𝒄 = 𝟏𝟎𝟒, 𝟎𝟒 ∘ d) Máxima tensão de cisalhamento no plano 𝑟 = √( 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = √( 16 + 48 2 ) 2 + 602 = √4624 ⟹ 𝒓 = 𝟔𝟖 MPa e) Tensão normal 𝜏′ = 𝜏méd = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 = 16 − 48 2 = − 32 2 𝝉′ = −𝟏𝟔 MPa ANDRADINA 2017 5 Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB Engenharia Mecânica 5º Período Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017𝑌 𝑥 𝑋 𝜏máx 𝜏mín 0 16 −60 −48 𝜏méd 𝑟 2𝜃𝑝 2𝜃𝑝 60 𝑦
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