WEB AULA - 5º SEM - MATEMÁTICA FINANCEIRA

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DMINISTRAÇÃO
WEB AULA 1
Unidade 2
 
Caso você não tenha a calculadora, utilize-se do emulador da HP12C encontrado no sitehttp://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php.
Taxas para Juros Compostos
Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante em um mesmo tempo.
Somente no contexto de juros compostos é que se encontra a nomenclatura Taxas Nominais e Taxas Efetivas.
O efeito de capitalização existe somente no sistema de juros compostos. Neste utilizam-se as taxa nominais e efetivas, o que não ocorre nos juros simples.
 
Taxa Nominal
É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A taxa nominal é em geral uma taxa anual.
Exemplo:O senhor Arildo possui um capital de R$ 3.000,00 e este está aplicado a uma taxa nominal de 30% ao ano, capitalizado mensalmente num ano. Qual é o montante da taxa efetiva anual?Observe, se a capitalização ocorre mensalmente, a taxa nominal de 30% ao ano NÃO será utilizada para calcular o valor dos juros. Então ela é conhecida como sendo uma taxa “FALSA”. Logo, a taxa de 30% ao ano não coincide com o período de capitalização que ocorre mensalmente.Conclui-se que, se no exemplo atrás, menciona que “será capitalizado mensalmente” significa que a taxa de capitalização será uma taxa mensal. Então “a uma taxa nominal de 30% ao ano” é uma taxa nominal pois não indica a realidade.
Exemplo:
a) A taxa nominal de 70% a.a., capitalizado trimestral.
b) A taxa nominal de 60% a.a., capitalizado mensal.
Como a taxa nominal é muito utilizada no mercado, embora ela não represente a taxa efetiva o cálculo efetuado será proporcional. Por exemplo:
a) 120% a.a., capitalizado mensal - 120 dividido por 12 meses120 / 12 = 10% ao mês
b) 30% ao ano, capitalizado trimestralmente - 30 dividido por 3 meses30 / 3 = 10% ao trimestre
 
Taxas Efetivas
As taxas efetivas são as taxas que coincidem com o período de capitalização.                                   
Exemplo:
a) A taxa efetiva de 10% ao mês, capitalizado mensal.
b) A taxa efetiva de 15% ao semestre, capitalizado semestral.
c) A taxa efetiva de 1000% ao ano, capitalizado anual.Para realizar o cálculo da taxa efetiva deve-se utilizar a fórmula abaixo:
if = (1+i/k) k - 1
if = taxa efetiva
i = taxa nominal
k = frequência de capitalização
Exemplo
Um banco emprestou R$5.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal qual a taxa efetivaPara resolução utiliza-se a taxa de 36% em sua forma decimal, onde 36 dividido por 100 seja igual a 0,36.
if  =  (1 + i/k)k  -  1   
if =  (1 + 0,36 / 12)12 -  1   
if  =  (1 + 0,36 / 12)12  -  1  
if  =  (1 +  0,03)12  -  1  
if  =  ( 1,03)12  -  1  
if  =  (1,425760886846178945447841)  -  1  
if  =  (0,425760886846178945447841) Transformando O VALOR ENCONTRADO em VALOR PERCENTUAL
if  =  if  =  (0,425760886846178945447841)  * 100
if  =  42,57%  aproximadamente
Taxas Equivalentes
As taxas são equivalentes quando as duas taxas são aplicadas a um mesmo capital e produzem o mesmo juro ao final de um ano.
A fórmula para cálculo da taxa equivalente:
 
Ie = (1+i)n - 1
 
ie = taxa equivalente
i = taxa do período
n = número de períodos
 
Exemplo:
Um recurso de R$ 4.000,00 está aplicado a uma taxa nominal de 36% ao ano, capitalizado mensalmente num ano. Determinar o montante da taxa efetiva anual.
Se 36% ao ano é capitalizado mensalmente, as taxas do período e da capitalização não coincidem.
Lembrete: Montante, é o valor futuro do recurso aplicado ao final de um determinado período de tempo, a uma determinada taxa de juros. A fórmula utilizada é:
M = C (1 + i) n
M = Montante ou Valor Futuro
C = Capital/Recurso aplicado ou Valor Presente
i   = Taxa
n  = Período ou tempo
 
Vamos dividir a taxa “Nominal” por 12(meses) para que possamos então encontrar uma taxa proporcional mensal à taxa dada em anos.
i  =  36 % ao ano dividido por 12 meses, tem-se:
i  =  3 %   ao mês  à 3 dividido por 100 transforma-se em decimal  à 0,03
 
M = ?
C = 4.000,00
i   = 0,03
n  = 12 meses
 
 
M = C (1 + i) n
M = 4.000,00   x  (1 + 0,03) 12
M = 4.000,00   x ( 1,03) 12
M = 4.000,00  x  1,425760886846178945447841
M = 5703,043547384715781791364
Montante é aproximadamente R$ 5.702,04
 
Pudemos observar que o recurso inicial era de R$4.000,00 e agora o montante é de R$5.702,04 que foi conseguido através dos juros.
 
 
 
Juros = Montante – Capital/Recurso
 
J = M - C
J = 5.702,04  -  4.000,00
J = R$ 1703,04
Para calcular a taxa efetiva anual, fazemos:
i = (Juros / Capital Inicial) x 100
i =  (1.703,04/ 4.000,00)  x 100
i =  0,425760886846178945447841 x 100
i = 42,57 aproximandamente
 
Juros Compostos
Este é o regime de capitalização mais comumente usado. 
Nele, os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior.
Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 aplicado no regime de juros compostos por 3 meses à taxa de 10% ao mês.
Relembrando:  Montante simples,
Montante Simples = Valor do Capital + Juros do período
Montante Composto (Valor futuro), sabemos que a taxa é capitalizada e deve-se atualizar o capital antes de recalcular os juros.
            Montante Composto = Capital x (1 + taxa) número de períodos ou tempo
OBS.: Quando se faz necessário a conversão NUNCA, NUNCA, NUNCA se deve alterar a taxa. A conversão será feita SEMPRE no prazo/no tempo/no período, pois a taxa é capitalizada no sistema de juros compostos.
Exemplo:
A empresa Empregar está sendo modificada e necessita de móveis novos. Para esta compra ela aplicou o capital de R$20.000,00 pelo período de 1 ano e com a taxa de 40% ao ano.
M = 20.000 (1 + 0,40)1
M = 20.000 (1,40)2
M = 20.000  x 1,96   =>   M = R$ 39.200,00
 
Fazendo o cálculo utilizando a calculador HP12C
1) Digita-se o valor do capital 20.000
2) A tecla CHS
3) A tecla PV (valor presente)
4) Digita-se 40 e a tecla i (a taxa que está sendo utilizada)
5) Digita-se 1 e a tecla n.(tempo)
6) Pressionar a tecla FV (Valor Futuro ou Montante) e obteremos o resultado.
 
Rendas
Renda é uma sucessão de depósitos ou prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida. A estes capitais disponíveis chamamos “termos” ou “anuidades” e podem ser iguais ou não. Se os valores dos termos forem iguais aos valores das Rendas, serão chamados de Termos Constantes ou Rendas Constantes; se forem variáveis, serão chamadas de Rendas Variáveis. O espaço de tempo que sucede entre os vencimentos de dois termos consecutivos recebe o nome de período da renda e é sempre o mesmo.
Tipos de Rendas
a) Rendas certas ou anuidades:
Ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados. Por exemplo a compra de uma TV Led em 7 prestações de R$200,00.
b) Rendas aleatórias:
Ocorrem quando pelo menos um dos seus elementos não pode ser previamente determinado. Por exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado).
 
Quanto à data de vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ter três situações:
a) Renda imediata:
 Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Por exemplo: a compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato.
b) Rendas antecipadas:
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero.
c) Rendas diferidas:
Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. Este tipo de renda é mais conhecido na matemática financeira com o nome de carência.
Fonte: Helenara Sampaio (Classificação de Rendas)
Sistemas de Amortização
Considere que uma dívida deve ser paga em prestações periódicas e com vencimento ao fim de cada período. Quando a dívida vai sendo paga, dizemos que ela está sendo amortizada. Veremosos sistemas de amortização mais utilizados que são: S.A.C. – Sistema de Amortização Constante e o Sistema PRICE criado pelo inglês Richard Price, este sistema diferencia do anterior pelo uso da taxa proporcional.   
O S.A.C. - Sistema de Amortização Constante trabalha com amortizações fixas, ou seja constantes, já o sistema PRICE trabalha com prestações fixas e com amortizações variáveis. O sistema PRICE é comum em empréstimos habitacionais, por exemplo, o Minha Casa Minha Vida.
Exemplo:
Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. A taxa é de 5% ao mês. Pelo sistema SAC.
Como este sistema prevê uma amortização constante, antes de saber o valor das prestações é necessário saber o valor da amortização. Assim:
Amortização = Capital dividido pelo número de períodos
Amortização = Capital / tempo
A = C / n
C = 5.000,00
n = 10 prestações mensais
i  = 5 % ao mês
A = C / n
A = 5.000 / 10
A = R$ 500,00 então a amortização será de quinhentos reais por mês.
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C
5.000 CHS PV
1 n(será calculado um mês)
5 i (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV  (future value)
FV = R$ 5.250,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 5250,00 – 5.000,00
Juros = 250,00
Neste sistema de amortização sabe-se que:
O valor da prestação será igual ao valor da amortização somado aos juros produzidos no período
Assim, para o primeiro mês tem-se: que o valor da prestação, ou seja, o PMT será de:
R$ 500,00(amortização)+ R$ 250,00 (com os juros) = 750,00 (valor da 1ª prestação)
Tem-se a seguinte tabela para o primeiro mês.
Para o cálculo do segundo mês:
Saldo atual será R$ 5.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 4.500,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
4.500 CHS PV
1 n (será calculado um mês)
5 i  (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV (value future)
FV = R$ 4.725,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. Temos então:
Juros = FV - PV
Juros = 4725 - 4500
Juros = 225
Para o cálculo do terceiro mês:
Saldo atual será R$ 4.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00= R$ 4.000,00.
 
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
4000 CHS PV
1 n  (será calculado um mês)
5 i   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV (value future)
FV = R$ 4.200,00
 
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 4200 – 4.000
Juros = 200
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 200 = 700,00
 
Para o cálculo do quarto mês:
Saldo atual será R$ 4.000,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 3.500,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
3500 CHS PV
1 n  (será calculado um mês)
5 i  (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV (value future)
FV = R$ 3.675,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual temos:
Juros = FV - PV
Juros = 3.675 – 3.500
Juros = 175
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 175 = 675,00
Para o cálculo do quinto mês:
Saldo atual será R$ 3.500,00 subtraído do valor da amortização R$ 500,00 = R$ 3.000,00.
Vamos fazer o cálculo do valor futuro:
3000 CHS PV
1 n                  (será calculado um mês)
5 i                   (trata-se da taxa mensal)
Tecle FV       (value future)
FV = R$ 3.150,00
Sabe-se que Juros é igual ao Montante final do período menos Capital atual. Temos então:
Juros = FV - PV
Juros = 3.150 – 3.000
Juros = 150
 
Logo, a prestação será Amortização somado dos juros = 500 + 150 = 650,00
 
Confira a tabela abaixo com 5 meses calculados:
O problema dizia que teria 10 parcelas para pagar a dívida. Seguindo os passos mencionados acima, complete a tabela até o décimo mês:
Veja a tabela S.A.C. completa !!!!!!!
RESPOSTAS do exercício
ATENÇÃO
 
O Valor da AMORTIZAÇÃO é diminuído do valor do Saldo Atual, resultando nos juros que a pessoa está pagando.
O Saldo Atual no último mês é zerado, pois após 10 meses paga
SISTEMA PRICE A taxa é dada em termos anuais; as prestações são mensais e no cálculo é utilizada a taxa proporcional.
Exemplo:
Uma financeira emprestou R$ 100.000,00, a taxa de juro cobrada é de 18% ao ano e o pagamento deve ser feito em 6 meses. Qual o valor das prestações utilizando o sistema Price.
C =100.000,00
n = 6 prestações mensais
i = 18 % ao ano
Taxa equivalente = 18% a.a. / 12 (número de meses)
Te = 18 / 12  è  Te = 1,5 ao mês.
Fazendo o cálculo utilizando na calculador HP12C
IMPORTANTE: não apague/limpe a memória da calculadora HP12C após iniciar este cálculo, pois trata-se de uma sequência.
100.000,00 CHS PV
6 n
1,5 i
PMT
Sendo PMT = R$ 17.552,52 ou o valor da prestação durante seis meses
No sistema de amortização PRICE, os valores das prestações são fixos, porém as amortizações são VARIÁVEIS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que sejam calculados os JUROS, então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n
N é a tecla de amortização quando ativado a função f.
No visor da calculadora aparecerá o valor de R$ 1.500,00 que caracterizam os JUROS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que seja calculado a AMORTIZAÇÃO, então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle
No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 16.052,52 que indica o valor de AMORTIZAÇÃO.
 
Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização 1.500,00 + 16.052,52 = 17.552,52 que é a Prestação do Período:
Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL.
Pressione RCL PV
No visor da calculadora aparecerá o valor R$ 83.947,48 que indica o valor do SALDO ATUAL.
A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.
Com a sequência de comandos executados na ordem informada neste documento, foi possível montar a primeiralinha da tabela do sistema PRICE:
Caros alunos, para calcularem as demais linhas da tabela acima e chegar até 6 prestações mensais, basta não perder a memória da calculadora e iniciar a sequência de comandos novamente.
Tecle o número 1, agora a tecle f, e tecle n
N é a tecla de amortização quando ativada a função f.
Na calculadora aparecerá o valor de R$ 1.259,21 que caracterizam os JUROS.
A sequência de comandos da calculadora HP12c apresentada abaixo, fará com que seja calculada a AMORTIZAÇÃO. Então continuando na calculadora HP, tecle os comandos:
Procure a tecla   “X <> Y” e Tecle
Na calculadora aparecerá o valor R$ 16.293,31 que indica o valor de amortização.
Agora pressione a tecla “+”, assim a calculadora irá somar os dois valores acima mencionados de juros e amortização 1.259,21 + 16.293,31 = 17.552,52 que é a prestação do período:
Sem perder nenhum dos valores até o momento, siga a sequência abaixo para encontrar o valor do SALDO ATUAL.
 
Pressione RCL PV
Na calculadora aparecerá o valor R$ 67.654,17 que indica o valor do SALDO ATUAL.
A saber: A tecla RCL resgata um determinado valor neste caso o valor presente com a tecla PV.
om a sequência de comandos executadas na ordem informada neste documento, foi possível montar a segundalinha da tabela do sistema PRICE:
 
Atividade: Como você está estudando é muito importante que finalize até a sexta parcela do financiamento, mas não limpe a memória da calculadora.
Veja a tabela PRICE completa !!!!!!!
RESPOSTAS do exercício
Além dos sistemas de amortização SAC e PRICE, existem outros que são importantes para você conhecer.
Sistema de Amortização Misto, também conhecidos como SAM. O cálculo deste sistema resume-se em: para cada um dos valores de seu plano de pagamentos somam-se aqueles obtidos peloSistema Francês (SAF), com os do Sistema de Amortização Constante (SAC), dividindo-se o resultado por dois.
Desta forma:
As amortizações são crescentes
Os juros são decrescentes
As prestações são decrescentes
Sistema de Amortizações Variáveis. (Parcelas Intermediárias)
Usados pelas incorporadoras nas vendas financiadas diretamente aos mutuários.
Fonte: Helenara Sampaio (Sistemas Mistos e Variáveis)