Cálculo A derivadas (parte A)

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A 
 Engenharia Civil 
 
 
Derivadas 
(parte A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Fernando B. Salomão 
 
 
 
 
 
 
Revisando: 
 
 
No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante 
e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação 
surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com a 
introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento 
poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. 
Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da 
Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja 
trajetória é descrita pela equação de movimento s = s(t), onde t representa o tempo, para explicar o 
funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora 
de um tanque e para prever as consequências de erros cometidos durante as medições. 
Veremos nesta apostila que a DERIVADA representa a inclinação de uma curva num ponto (calculo 
da variação de uma quantidade, função). Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em 
diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc. 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO. 
Considere uma função y = f(x), continua e definida num intervalo, e x0 um elemento desse intervalo, 
representada no gráfico: 
 
Se a variável x0 for acrescida Δx, teremos x0 + Δx = x ou Δx = x – x0 (incremento da variável x) 
Logo, à função f(x) também será acrescida Δy a partir de f(x0). Então, f(x0)+ Δy = f(x) ou Δy = 
f(x) – f(x0) (incremento da função). 
 
Razão incremental de uma função: 
 
Dizemos que a função f(x) é derivável no ponto x0, se o limite da razão incremental
ou existir e for finito. 
Neste caso, a derivada da função f(x) no ponto x0 será determinada pelo valor desse limite e 
representada por f `(x0) 
f `(x0) = 
 
 
 
Exemplo: Calcular a derivada de f(x) = x
2
 no ponto x0 = 3 
 Se f(x) = x
2
 , temos para x0 = 3, f(3) = 3
2
 = 9 e 
 
 – 
 – 
 , temos para x0 = 3 
 
 – – → 6 
 Assim temos que f `(3) = 6 
 
Exercícios: 
1) Calcular a derivada de f(x) = 2x3 – 1 no ponto x0 = -2 
2) Calcular a derivada de f(x) = x2 + 1 no ponto x0 = 5 
 
A Derivada de uma Função (forma genérica) 
 
 
 
 
Entendeu? Encontre a derivada de √ para x>0 
 
 
Praticando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA 
 
A Reta Tangente 
Definição. Dada uma curva de equação y = f (x), seja P(x0, y0) um ponto sobre ela, ou seja , 
y0= f (x0) . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular 
mT é dado pela expressão: 
 quando este limite existe. 
 
Entendeu? Encontre a equação da reta tangente a curva √ para x=4 
 
 
Solução: Acima vimos que 
 
Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em x = 4 é dado por: 
 Notamos assim que a reta tangente passa pelo ponto P(4,2) e tem como equação: 
Y – Y0 = m(X – X0) ...... Y – 2 = 
 
 
 (X -4) ................ Y = 
 
 
 +1 
 
 
REVISANDO 
 
 
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é igual ao coeficiente angular (m) da reta t tangente ao 
gráfico da função f(x) no ponto P(x0, f(x0)) 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
 Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x
2
 + 3 no ponto cuja abscissa é 2. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) f(x) = 12 , f’(x) = 0 
b) f(x) = -10 , f’(x) = 0 
 
Calcule a derivada de: 
A) 
B) 
C) 
Que regra você pode ter como conclusão a partir desses cálculos? 
 
 
 
 
Exemplo: 1) Calcule as derivadas das funções abaixo 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
ENTÃO TEMOS QUE: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Proposição. Se 
nxxf )(
 onde n é um inteiro positivo e x ≠ 0, então 
1.)('  nxnxf
. 
 
Prova: Podemos escrever 
nx
xf
1
)( 
. Aplicando a regra do quociente, temos: 
2
1
)(
.10.
)('
n
nn
x
nxx
xf


 
2
1
)(
)('
n
n
x
nx
xf


 
nn xxnxf 21..)(' 
 
1)('  nnxxf 
 
 
 
Revisando as Regras de Derivação 
Teorema: Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são deriváveis em x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisando 
 
Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: