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15/02/2013
1
Dr. ANTÔNIO RAFAEL DE SOUZA ALVES BÔSSO
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
E-mail: rafaelbosso@catolica-to.edu.br
CONTEÚDO 4CONTEÚDO 4
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL, MEDIDAS DE 
SEPARATRIZES,
E ASSIMETRIA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL
SÃO:
MÉDIA ARITMÉTICA
MEDIANA
MODA
ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA
DADOS NÃO-AGRUPADOS
EXEMPLO 1: IDADE DE PESSOAS
VOLUNTÁRIAS NUMA PESQUISA.
20 25 18 32 21
27 19 18 23 21
ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA
1
 
=
=
∑
n
i
i
x
x
n
VALOR DOS 
ELEMENTOS
NÚMERO DE 
ELEMENTOS
SOMATÓRIO
ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA
A MÉDIA DO EXEMPLO 1 É:
20 25 18 32 21
27 19 18 23 211
20 25 18 32 21 27 19 18 23 21
10
22,4
n
i
i
x
x
n
x
x anos
=
=
+ + + + + + + + +
=
=
∑
A MÉDIA DEVE ESTAR ENTRE
O MAIOR E O MENOR VALOR
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2
ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO
EXEMPLO 2: OS DADOS A SEGUIR,
REPRESENTAM A TAXA DE GLICOSE EM
MILIGRAMAS EM 100 MILILITROS DE SANGUE DE
50 PESSOAS. CALCULE A TAXA MÉDIA.
Taxa de Glicose Pessoas
84 4
92 3
96 8
100 16
104 10
108 6
116 3
50
xi fi xi.fi
84 4 336
92 3 276
96 8 768
100 16 1600
104 10 1040
108 6 648
116 3 348
50 5016
i ix f 5016
x x x 100,32
n 50
= = = = =
∑
ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO
EXEMPLO 3: O HDL é o colesterol bom. A tabela a
seguir representa a classificação de valores nos
homens e nas mulheres.
HDL Colesterol Classificação
60 ou acima Ideal; ajuda a reduzir os riscos
Menor que 40 em homens e 
menor que 50 em mulheres
Baixo; considerado um fator de 
risco para doenças do coração
Calcule a taxa média de HDL nos homens
usando a distribuição de frequência a seguir.
Classe fi
10 – 20 1
20 - 30 5
30 - 40 11
40 - 50 18
50 - 60 30
60 - 70 35
70 - 80 20
120
C ix f 6760
x x x 56,33
n 120
= = = = =
∑
Classe fi xc xcfi
10 – 20 1 15 15
20 - 30 5 25 125
30 - 40 11 35 385
40 - 50 18 45 810
50 - 60 30 55 1650
60 - 70 35 65 2275
70 - 80 20 75 1500
120 6760
MÉDIA PONDERADA
DADOS QUE POSSUEM PESOS
DIFERENTES
1 1
1
....
=
+ +
=
∑
n n
P
n
i
i
X P X P
X
P
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3
MÉDIA PONDERADA
EXEMPLO 4. NUM CONCURSO FORAM
APLICADAS TRÊS PROVAS. QUAL DEVE
SER A NOTA MÍNIMA EM INFORMÁTICA
PARA O CANDIDATO SER APROVADO?
PROVAS PESO NOTA
MATEMÁTICA 5 84
PORTUGUÊS 3 72
INFORMÁTICA 2
MÉDIA 70
IN
MÉDIA PONDERADA
84.5 72.3 .2
70
5 3 2
700 636 .2
.2 700 636
64
 
2
32
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
= +
= −
=
=
M M P P I I
P
M P I
I
I
I
I
I
N P N P N P
X
P P P
N
N
N
N
N
A NOTA 
MÍNIMA PARA 
PASSAR NO 
CONCURSO É 
TIRAR 32 EM 
INFORMÁTICA
DESVIO EM RELAÇÃO A MÉDIA
i id x x= −
EXEMPLO 5. CALCULE O DESVIO EM
RELAÇÃO A MÉDIA DO EXEMPLO 1.
DADOS DO EXEMPLO 1.
id =∑
ix
20 -2,4
27 4,6
25 2,6
19 -3,4
18 -4,4
18 -4,4
32 9,6
23 0,6
21 -1,4
21 -1,4
0,00
i id x x= −
1
 0
=
=∑
n
i
i
d
20 22,4
= −
= −
i i
i
d x x
d
MODA
É O VALOR QUE TEM MAIOR
FREQUÊNCIA OU REPETÊNCIA NUMA
SEQUÊNCIA.
DADOS NÃO AGRUPADOS
12 18 18 19 18 16
17 16 18 18 19 18
18 16 19 17 11 18
12 18 19 17 12 21
18Mo =
EXEMPLO 6. CALCULE A MODA.
MODA
OBSERVE AGORA A TABELA.
DADOS NÃO AGRUPADOS
12 18 18 19 12 16
12 18 19 17 13 21
18 12=Mo e
BIMODAL
EXEMPLO 7. CALCULE A MODA.
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4
Exemplo 8. Calcule a moda dos dados a
seguir, sabendo que os dados representam a
idade de pessoas que possuem a taxa normal
de hemoglobina em gramas em 100 mililitros
de sangue. Idade Mulheres
30 2
32 3
34 8
35 11
36 5
40 3
41 3
35
MODA - DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE
Exemplo 9. Calcule a moda dos dados a
seguir, que representam a quantidade de
mulheres grávidas que possuem valores
normais de hemoglobina em gramas em 100
mililitros de sangue.
MODA - DADOS AGRUPADOS COM CLASSE
Taxa de Hemoglobina Mulheres
10 - 11,5 5
11,5 - 13 12
13 - 14,5 24
14,5 - 16 16
16 - 17,5 3
60
Nota. Valores normais de hemoglobina em mulheres
grávidas: 11,5 a 16
2
s iL LMo +=
MEDIANA
É O VALOR DO ELEMENTO QUE
OCUPA A POSIÇÃO CENTRAL DA
DISTRIBUIÇÃO. DIVIDE UM
CONJUNTO ORDENADO DE DADOS
EM DOIS GRUPOS IGUAIS.
MEDIANA – NÃO-AGRUPADOS
� QUANTIDADE ÍMPAR
1 12 15 24 2
3 45 25 32 65
11 14 63 24 50
MEDIANA
PRECISAMOS ORGANIZAR OS
DADOS EM ORDEM CRESCENTE OU
DECRESCENTE
1 2 3 11 12
14 15 24 24 25
32 45 50 63 65
24Md =
EXEMPLO 10. CALCULE A MEDIANA.
MEDIANA
DADOS NÃO AGRUPADOS
2 6 7 10
12 13 18 21
� QUANTIDADE PAR
10 12 11
2
Md += =
MÉDIA ENTRE OS 
VALORES CENTRAIS
EXEMPLO 11. CALCULE A MEDIANA.
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MEDIANA – AGRUPADOS SEM CLASSE
A MEDIANA PARA DADOS
AGRUPADOS SEM CLASSE OBEDECE
O MESMO RACIOCÍNIO DOS DADOS
NÃO AGRUPADOS PARA A
QUANTIDADE ÍMPAR OU PAR.
MEDIANA
DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE
� QUANTIDADE PAR
150 1
151 2
153 4
155 6
156 3
157 2
18
ix if
if =∑
18
= 9º 
2 2
181 1 10º
2 2
n
n
⇒
 
+ = + ⇒ 
 
155 155
2
155
Md
Md
+
=
=
EXEMPLO 12. CALCULE A MEDIANA.
MEDIANA
DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE
� QUANTIDADE ÍMPAR
150 2
151 2
155 2
156 3
157 2
11
ix if
if =∑
1 11+1
= 6º
2 2
+
⇒ =
n
155=Md
EXEMPLO 13. CALCULE A MEDIANA.
MEDIANA
( )
 
⋅  
 
∑ i
ac ant
i
i
f
- f h
2
Md = L + f
DADOS AGRUPADOS COM CLASSE
LIMITE INFERIOR 
DA CLASSE DO 
ELEMENTO
AMPLITUDE
FREQUÊNCIA 
ACUMULADA 
ANTERIOR À 
CLASSE DO 
ELEMENTO
FREQUÊNCIA 
DA CLASSE
i
Estaturas em 
cm
1 150 ⊢ 160 4
2 160 ⊢ 170 10
3 170 ⊢ 180 20
4 180 ⊢ 190 6
5 190 ⊢ 200 6
6 200 ⊢ 210 2
MEDIANA
DADOS
AGRUPADOS COM
CLASSE
if
∑∑∑∑48
∑ if
2
EXEMPLO 14. CALCULE A MEDIANA.
MEDIANA
( )
 
⋅  
 
∑ i
ac ant
i
i
f
- f h
2
Md = L + f
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6
i Estaturas em cm
1 150 ⊢ 160 4 4
2 160 ⊢ 170 10 14
3 170 ⊢ 180 20 34
4 180 ⊢ 190 6 40
5 190 ⊢ 200 6 46
6 200 ⊢ 210 2 48
if
∑∑∑∑ 48
acf MEDIANA
( )
( )
 
⋅ 
 
⋅
∑ i
ac ant
i
i
f
- f h
2
Md = L + f
24 -14 10
Md = 170+
20
Md = 175
DADOS AGRUPADOS COM CLASSE
ASSIMETRIA
o
o
o
x M 0 SIMÉTRICA
x M 0 ASSIMÉTRICA NEGATIVA
x M 0 ASSIMÉTRICA POSITIVA
− = →
− < →
− > →
SIMETRIA
GRAFICAMENTE
ox M 0 SIMÉTRICA− = →
ASSIMETRIA POSITIVA
ox M 0− >
ASSIMETRIA
GRAFICAMENTE
ox M 0− <
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7
ASSIMETRIA
x Frequência
4 3
5 4
6 8
7 12
9 3
CONSIDERE x SENDO NOTAS DE UMA
TURMA DE 30 ALUNOS:
VAMOS ENCONTRAR AS 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL
EXEMPLO 15. CALCULE A
ASSIMETRIA.
ASSIMETRIA
CÁLCULO DA MÉDIA:
xi fi xifi
4 3 12
5 4 20
6 8 48
7 12 84
9 3 27
30 191
191
30
6,37
i i
i
x f
x f
x
x
=
=
=
∑
∑
ASSIMETRIA
CÁLCULO DA MODA:
xi fi
4 3
5 4
6 8
7 12
9 3
30
7Mo=
15º POSIÇÃO = 6
16º POSIÇÃO = 7
CÁLCULO DA MEDIANA:
xi fi fac
4 3 3
5 4 7
6 8 15
7 12 27
9 3 30
30
Posição
2
30Posição
2
Posição 15
if
=
=
=
∑
6 7
2
6,5
Md
Md
+
=
=
ASSIMETRIA
6,37
6,5
7
x
Md
Mo
=
=
=
x Md Mo< <
ASSIMETRIA 
NEGATIVA
ox M 0 ASSIMÉTRICA NEGATIVA− < →
ASSIMETRIA NEGATIVA
3
4
8
12
3
0
2
4
6
8
10
12
14
4 5 6 7 9
Notas
Fr
eq
u
ên
ci
a
6,37
6,5
7
x
Md
Mo
=
=
=
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MEDIDAS DE 
SEPARATRIZES
QUARTIL
DECIL
PERCENTIL
QUARTIL
SÃO VALORES QUE DIVIDEM A SÉRIE EM
QUATRO PARTES IGUAIS. TEMOS TRÊS
QUARTIS:
1º QUARTIL (Q1) – SÃO OS PRIMEIROS
25% DOS DADOS QUE SÃOMENORES
QUE OS OUTROS 75% RESTANTES.
QUARTIL
2º QUARTIL (Q2) – É O VALOR QUE
COINCIDE COM A MEDIANA.
3º QUARTIL (Q3) – VALOR QUE
CORRESPONDE AOS 75% DOS DADOS
QUE SÃO MENORES QUE OS 25%
RESTANTES.
EXEMPLO 16. CONSIDERE OS DADOS:
0, 1, 3, 4, 6, 8, 9
1º PASSO. ORDENAR OS DADOS
0, 1, 3, 4, 6, 8, 9
2º PASSO. CALCULAR O 2º QUARTIL
Q2= Md=4
3º PASSO. CALCULAR O 1º QUARTIL,
QUE SERÁ A MEDIANA DOS
ELEMENTOS QUE ESTÃO A
ESQUERDA DO 2º QUARTIL.
0, 1, 3
Q1= 1
4º PASSO. CALCULAR O 3º QUARTIL,
QUE SERÁ A MEDIANA DOS
ELEMENTOS QUE ESTÃO A DIREITA
DO 2º QUARTIL.
6, 8, 9
Q3= 8
0, 1, 3, 4, 6, 8, 9
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9
EXEMPLO 17. CALCULAR O
PRIMEIRO, SEGUNDO E TERCEIRO
QUARTIL DO CONJUNTO {18, 20, 22,
22, 24, 25, 25, 26, 26, 10, 15, 10}.
{10, 10, 15, 18, 20, 22, 22, 24, 25, 25, 26,
26}
1º PASSO. ORDENAR OS DADOS
EXEMPLO 18. CALCULAR O
TERCEIRO QUARTIL DO CONJUNTO
{2, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 9}.
1º PASSO. ORDENAR OS DADOS
{2, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 9}
QUARTIL PARA DADOS 
AGRUPADOS COM CLASSE
( )
1
4
 
− ⋅ 
 
= +
∑ i
ac Ant
i
i
k f f h
Q L f
EXEMPLO 19. DETERMINAR O PRIMEIRO
E O TERCEIRO QUARTIL DA
DISTRIBUIÇÃO A SEGUIR:
i Estaturas (cm)
1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4
2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14
3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34
4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40
5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46
6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48
∑∑∑∑ = 48
if acf
QUARTIL
1 48 12
4
ik f
4
⋅
⇒ =
∑
� O PASSO INICIAL PARA CALCULAR O 1º
QUARTIL (k=1) É OBTER:
QUARTIL
� O SEGUNDO PASSO É ENCONTRAR A
FREQUÊNCIA ACUMULADA QUE SEJA
IGUAL OU MAIOR AO VALOR 12. O VALOR
CORRESPONDENTE ESTÁ NA 2ª CLASSE,
14.
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10
i Estaturas (cm)
1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4
2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14
3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34
4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40
5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46
6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48
∑∑∑∑ = 48
if acf QUARTIL
� O TERCEIRO PASSO É USAR A
EQUAÇÃO PARA ENCONTRAR O VALOR
DO 1º QUARTIL:
( )
( )
1
1
4
12 4 .10
160 168
10
 
− ⋅ 
 
= +
−
= + =
∑ i
ac Ant
i
i
k f f h
Q L f
Q
QUARTIL
PARA CALCULAR O 3º QUARTIL:
3 48 36
4
ik f
4
⋅
⇒ =
∑
i Estaturas (cm)
1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4
2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14
3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34
4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40
5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46
6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48
∑∑∑∑ = 48
if acf
QUARTIL
USANDO A EQUAÇÃO DO QUARTIL,
TEMOS:
( )
( )
3
3
3
4
36 34 .10
180
6
183,333
 
− ⋅ 
 
= +
−
= +
=
∑
…
i
ac Ant
i
i
k f f h
Q L f
Q
Q
DECIL E 
PERCENTIL