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15/02/2013 1 Dr. ANTÔNIO RAFAEL DE SOUZA ALVES BÔSSO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA E-mail: rafaelbosso@catolica-to.edu.br CONTEÚDO 4CONTEÚDO 4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, MEDIDAS DE SEPARATRIZES, E ASSIMETRIA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL SÃO: MÉDIA ARITMÉTICA MEDIANA MODA ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA DADOS NÃO-AGRUPADOS EXEMPLO 1: IDADE DE PESSOAS VOLUNTÁRIAS NUMA PESQUISA. 20 25 18 32 21 27 19 18 23 21 ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA 1 = = ∑ n i i x x n VALOR DOS ELEMENTOS NÚMERO DE ELEMENTOS SOMATÓRIO ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA A MÉDIA DO EXEMPLO 1 É: 20 25 18 32 21 27 19 18 23 211 20 25 18 32 21 27 19 18 23 21 10 22,4 n i i x x n x x anos = = + + + + + + + + + = = ∑ A MÉDIA DEVE ESTAR ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR 15/02/2013 2 ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO EXEMPLO 2: OS DADOS A SEGUIR, REPRESENTAM A TAXA DE GLICOSE EM MILIGRAMAS EM 100 MILILITROS DE SANGUE DE 50 PESSOAS. CALCULE A TAXA MÉDIA. Taxa de Glicose Pessoas 84 4 92 3 96 8 100 16 104 10 108 6 116 3 50 xi fi xi.fi 84 4 336 92 3 276 96 8 768 100 16 1600 104 10 1040 108 6 648 116 3 348 50 5016 i ix f 5016 x x x 100,32 n 50 = = = = = ∑ ESTUDO DA MÉDIA ARITMÉTICA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO EXEMPLO 3: O HDL é o colesterol bom. A tabela a seguir representa a classificação de valores nos homens e nas mulheres. HDL Colesterol Classificação 60 ou acima Ideal; ajuda a reduzir os riscos Menor que 40 em homens e menor que 50 em mulheres Baixo; considerado um fator de risco para doenças do coração Calcule a taxa média de HDL nos homens usando a distribuição de frequência a seguir. Classe fi 10 – 20 1 20 - 30 5 30 - 40 11 40 - 50 18 50 - 60 30 60 - 70 35 70 - 80 20 120 C ix f 6760 x x x 56,33 n 120 = = = = = ∑ Classe fi xc xcfi 10 – 20 1 15 15 20 - 30 5 25 125 30 - 40 11 35 385 40 - 50 18 45 810 50 - 60 30 55 1650 60 - 70 35 65 2275 70 - 80 20 75 1500 120 6760 MÉDIA PONDERADA DADOS QUE POSSUEM PESOS DIFERENTES 1 1 1 .... = + + = ∑ n n P n i i X P X P X P 15/02/2013 3 MÉDIA PONDERADA EXEMPLO 4. NUM CONCURSO FORAM APLICADAS TRÊS PROVAS. QUAL DEVE SER A NOTA MÍNIMA EM INFORMÁTICA PARA O CANDIDATO SER APROVADO? PROVAS PESO NOTA MATEMÁTICA 5 84 PORTUGUÊS 3 72 INFORMÁTICA 2 MÉDIA 70 IN MÉDIA PONDERADA 84.5 72.3 .2 70 5 3 2 700 636 .2 .2 700 636 64 2 32 + + = + + + + = + + = + = − = = M M P P I I P M P I I I I I I N P N P N P X P P P N N N N N A NOTA MÍNIMA PARA PASSAR NO CONCURSO É TIRAR 32 EM INFORMÁTICA DESVIO EM RELAÇÃO A MÉDIA i id x x= − EXEMPLO 5. CALCULE O DESVIO EM RELAÇÃO A MÉDIA DO EXEMPLO 1. DADOS DO EXEMPLO 1. id =∑ ix 20 -2,4 27 4,6 25 2,6 19 -3,4 18 -4,4 18 -4,4 32 9,6 23 0,6 21 -1,4 21 -1,4 0,00 i id x x= − 1 0 = =∑ n i i d 20 22,4 = − = − i i i d x x d MODA É O VALOR QUE TEM MAIOR FREQUÊNCIA OU REPETÊNCIA NUMA SEQUÊNCIA. DADOS NÃO AGRUPADOS 12 18 18 19 18 16 17 16 18 18 19 18 18 16 19 17 11 18 12 18 19 17 12 21 18Mo = EXEMPLO 6. CALCULE A MODA. MODA OBSERVE AGORA A TABELA. DADOS NÃO AGRUPADOS 12 18 18 19 12 16 12 18 19 17 13 21 18 12=Mo e BIMODAL EXEMPLO 7. CALCULE A MODA. 15/02/2013 4 Exemplo 8. Calcule a moda dos dados a seguir, sabendo que os dados representam a idade de pessoas que possuem a taxa normal de hemoglobina em gramas em 100 mililitros de sangue. Idade Mulheres 30 2 32 3 34 8 35 11 36 5 40 3 41 3 35 MODA - DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE Exemplo 9. Calcule a moda dos dados a seguir, que representam a quantidade de mulheres grávidas que possuem valores normais de hemoglobina em gramas em 100 mililitros de sangue. MODA - DADOS AGRUPADOS COM CLASSE Taxa de Hemoglobina Mulheres 10 - 11,5 5 11,5 - 13 12 13 - 14,5 24 14,5 - 16 16 16 - 17,5 3 60 Nota. Valores normais de hemoglobina em mulheres grávidas: 11,5 a 16 2 s iL LMo += MEDIANA É O VALOR DO ELEMENTO QUE OCUPA A POSIÇÃO CENTRAL DA DISTRIBUIÇÃO. DIVIDE UM CONJUNTO ORDENADO DE DADOS EM DOIS GRUPOS IGUAIS. MEDIANA – NÃO-AGRUPADOS � QUANTIDADE ÍMPAR 1 12 15 24 2 3 45 25 32 65 11 14 63 24 50 MEDIANA PRECISAMOS ORGANIZAR OS DADOS EM ORDEM CRESCENTE OU DECRESCENTE 1 2 3 11 12 14 15 24 24 25 32 45 50 63 65 24Md = EXEMPLO 10. CALCULE A MEDIANA. MEDIANA DADOS NÃO AGRUPADOS 2 6 7 10 12 13 18 21 � QUANTIDADE PAR 10 12 11 2 Md += = MÉDIA ENTRE OS VALORES CENTRAIS EXEMPLO 11. CALCULE A MEDIANA. 15/02/2013 5 MEDIANA – AGRUPADOS SEM CLASSE A MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE OBEDECE O MESMO RACIOCÍNIO DOS DADOS NÃO AGRUPADOS PARA A QUANTIDADE ÍMPAR OU PAR. MEDIANA DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE � QUANTIDADE PAR 150 1 151 2 153 4 155 6 156 3 157 2 18 ix if if =∑ 18 = 9º 2 2 181 1 10º 2 2 n n ⇒ + = + ⇒ 155 155 2 155 Md Md + = = EXEMPLO 12. CALCULE A MEDIANA. MEDIANA DADOS AGRUPADOS SEM CLASSE � QUANTIDADE ÍMPAR 150 2 151 2 155 2 156 3 157 2 11 ix if if =∑ 1 11+1 = 6º 2 2 + ⇒ = n 155=Md EXEMPLO 13. CALCULE A MEDIANA. MEDIANA ( ) ⋅ ∑ i ac ant i i f - f h 2 Md = L + f DADOS AGRUPADOS COM CLASSE LIMITE INFERIOR DA CLASSE DO ELEMENTO AMPLITUDE FREQUÊNCIA ACUMULADA ANTERIOR À CLASSE DO ELEMENTO FREQUÊNCIA DA CLASSE i Estaturas em cm 1 150 ⊢ 160 4 2 160 ⊢ 170 10 3 170 ⊢ 180 20 4 180 ⊢ 190 6 5 190 ⊢ 200 6 6 200 ⊢ 210 2 MEDIANA DADOS AGRUPADOS COM CLASSE if ∑∑∑∑48 ∑ if 2 EXEMPLO 14. CALCULE A MEDIANA. MEDIANA ( ) ⋅ ∑ i ac ant i i f - f h 2 Md = L + f 15/02/2013 6 i Estaturas em cm 1 150 ⊢ 160 4 4 2 160 ⊢ 170 10 14 3 170 ⊢ 180 20 34 4 180 ⊢ 190 6 40 5 190 ⊢ 200 6 46 6 200 ⊢ 210 2 48 if ∑∑∑∑ 48 acf MEDIANA ( ) ( ) ⋅ ⋅ ∑ i ac ant i i f - f h 2 Md = L + f 24 -14 10 Md = 170+ 20 Md = 175 DADOS AGRUPADOS COM CLASSE ASSIMETRIA o o o x M 0 SIMÉTRICA x M 0 ASSIMÉTRICA NEGATIVA x M 0 ASSIMÉTRICA POSITIVA − = → − < → − > → SIMETRIA GRAFICAMENTE ox M 0 SIMÉTRICA− = → ASSIMETRIA POSITIVA ox M 0− > ASSIMETRIA GRAFICAMENTE ox M 0− < 15/02/2013 7 ASSIMETRIA x Frequência 4 3 5 4 6 8 7 12 9 3 CONSIDERE x SENDO NOTAS DE UMA TURMA DE 30 ALUNOS: VAMOS ENCONTRAR AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EXEMPLO 15. CALCULE A ASSIMETRIA. ASSIMETRIA CÁLCULO DA MÉDIA: xi fi xifi 4 3 12 5 4 20 6 8 48 7 12 84 9 3 27 30 191 191 30 6,37 i i i x f x f x x = = = ∑ ∑ ASSIMETRIA CÁLCULO DA MODA: xi fi 4 3 5 4 6 8 7 12 9 3 30 7Mo= 15º POSIÇÃO = 6 16º POSIÇÃO = 7 CÁLCULO DA MEDIANA: xi fi fac 4 3 3 5 4 7 6 8 15 7 12 27 9 3 30 30 Posição 2 30Posição 2 Posição 15 if = = = ∑ 6 7 2 6,5 Md Md + = = ASSIMETRIA 6,37 6,5 7 x Md Mo = = = x Md Mo< < ASSIMETRIA NEGATIVA ox M 0 ASSIMÉTRICA NEGATIVA− < → ASSIMETRIA NEGATIVA 3 4 8 12 3 0 2 4 6 8 10 12 14 4 5 6 7 9 Notas Fr eq u ên ci a 6,37 6,5 7 x Md Mo = = = 15/02/2013 8 MEDIDAS DE SEPARATRIZES QUARTIL DECIL PERCENTIL QUARTIL SÃO VALORES QUE DIVIDEM A SÉRIE EM QUATRO PARTES IGUAIS. TEMOS TRÊS QUARTIS: 1º QUARTIL (Q1) – SÃO OS PRIMEIROS 25% DOS DADOS QUE SÃOMENORES QUE OS OUTROS 75% RESTANTES. QUARTIL 2º QUARTIL (Q2) – É O VALOR QUE COINCIDE COM A MEDIANA. 3º QUARTIL (Q3) – VALOR QUE CORRESPONDE AOS 75% DOS DADOS QUE SÃO MENORES QUE OS 25% RESTANTES. EXEMPLO 16. CONSIDERE OS DADOS: 0, 1, 3, 4, 6, 8, 9 1º PASSO. ORDENAR OS DADOS 0, 1, 3, 4, 6, 8, 9 2º PASSO. CALCULAR O 2º QUARTIL Q2= Md=4 3º PASSO. CALCULAR O 1º QUARTIL, QUE SERÁ A MEDIANA DOS ELEMENTOS QUE ESTÃO A ESQUERDA DO 2º QUARTIL. 0, 1, 3 Q1= 1 4º PASSO. CALCULAR O 3º QUARTIL, QUE SERÁ A MEDIANA DOS ELEMENTOS QUE ESTÃO A DIREITA DO 2º QUARTIL. 6, 8, 9 Q3= 8 0, 1, 3, 4, 6, 8, 9 15/02/2013 9 EXEMPLO 17. CALCULAR O PRIMEIRO, SEGUNDO E TERCEIRO QUARTIL DO CONJUNTO {18, 20, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 26, 10, 15, 10}. {10, 10, 15, 18, 20, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 26} 1º PASSO. ORDENAR OS DADOS EXEMPLO 18. CALCULAR O TERCEIRO QUARTIL DO CONJUNTO {2, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 9}. 1º PASSO. ORDENAR OS DADOS {2, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 9} QUARTIL PARA DADOS AGRUPADOS COM CLASSE ( ) 1 4 − ⋅ = + ∑ i ac Ant i i k f f h Q L f EXEMPLO 19. DETERMINAR O PRIMEIRO E O TERCEIRO QUARTIL DA DISTRIBUIÇÃO A SEGUIR: i Estaturas (cm) 1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4 2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14 3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34 4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40 5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46 6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48 ∑∑∑∑ = 48 if acf QUARTIL 1 48 12 4 ik f 4 ⋅ ⇒ = ∑ � O PASSO INICIAL PARA CALCULAR O 1º QUARTIL (k=1) É OBTER: QUARTIL � O SEGUNDO PASSO É ENCONTRAR A FREQUÊNCIA ACUMULADA QUE SEJA IGUAL OU MAIOR AO VALOR 12. O VALOR CORRESPONDENTE ESTÁ NA 2ª CLASSE, 14. 15/02/2013 10 i Estaturas (cm) 1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4 2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14 3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34 4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40 5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46 6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48 ∑∑∑∑ = 48 if acf QUARTIL � O TERCEIRO PASSO É USAR A EQUAÇÃO PARA ENCONTRAR O VALOR DO 1º QUARTIL: ( ) ( ) 1 1 4 12 4 .10 160 168 10 − ⋅ = + − = + = ∑ i ac Ant i i k f f h Q L f Q QUARTIL PARA CALCULAR O 3º QUARTIL: 3 48 36 4 ik f 4 ⋅ ⇒ = ∑ i Estaturas (cm) 1 150 ⊢⊢⊢⊢ 160 4 4 2 160 ⊢⊢⊢⊢ 170 10 14 3 170 ⊢⊢⊢⊢ 180 20 34 4 180 ⊢⊢⊢⊢ 190 6 40 5 190 ⊢⊢⊢⊢ 200 6 46 6 200 ⊢⊢⊢⊢ 210 2 48 ∑∑∑∑ = 48 if acf QUARTIL USANDO A EQUAÇÃO DO QUARTIL, TEMOS: ( ) ( ) 3 3 3 4 36 34 .10 180 6 183,333 − ⋅ = + − = + = ∑ … i ac Ant i i k f f h Q L f Q Q DECIL E PERCENTIL
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