Limites e Continuidade

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Exerc´ıcios sobre Limites
1. O gra´fico a seguir representa uma func¸a˜o f de [−6, 9] em R. Determine:
(a) f(2)
(b) lim
x→2−
f(x)
(c) lim
x→2+
f(x)
(d) lim
x→2
f(x)
(e) f(−2)
(f) f(7)
2. Um ga´s (vapor d’a´gua) e´ mantido a` temperatura constante. A medida que o ga´s e´
comprimido, o volume V decresce ate´ que atinja um certa pressa˜o (P ) cr´ıtica. Ale´m
dessa pressa˜o, o ga´s assume forma l´ıquida. Observando a figura a seguir, determine:
(a) lim
p→100−
V
(b) lim
p→100+
V
(c) lim
p→100
V
3. Dada a func¸a˜o f definida por:
f(x) =


4− x2 se x < 1
2 se x = 1
2 + x2 se x > 1
Esboce o gra´fico de f e calcule o limite quando x tende a 1.
4. O gra´fico a seguir representa uma func¸a˜o f de [−3, 4[ em R. Determine:
(a) f(1)
(b) lim
x→1−
f(x)
(c) lim
x→1+
f(x)
5. Para a func¸a˜o representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada
item abaixo. Caso na˜o exista, justifique.
1
(a) lim
x→0
f(x)
(b) lim
x→0−
f(x)
(c) lim
x→0+
f(x)
(d) lim
x→4
f(x)
(e) lim
x→4−
f(x)
(f) lim
x→4+
f(x)
(g) f(4)
(h) f(0)
(i) f(−5)
6. Calcule os limites laterais, se existir:
(a) lim
h→0+
√
h2 + 4h+ 5−√5
h
(b) lim
x→−2+
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
(c) lim
x→−2−
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
7. Seja f(x) =
{
3− x se x < −2
x
2
se x > −2
(a) Determine lim
x→−2+
f(x) e lim
x→−2−
f(x)
(b) Existe lim
x→−2
f(x)? Se exite, qual e´? Se na˜o, por queˆ?
(c) Determine lim
x→−4+
f(x) e lim
x→−4−
f(x).
(d) Existe lim
x→−4
f(x)? Se exite, qual e´? Se na˜o, por queˆ?
8. Calcule os seguintes limites laterais:
(a) lim
x→2−
x+ 2
x2 − 4
(b) lim
x→2+
x
x− 2
(c) lim
x→4−
x
x− 4
(d) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
(e) lim
x→6+
x+ 6
x2 − 36
(f) lim
x→3+
x
x2 − 9
9. Seja f(x) =


√
1− x2 se 0 ≤ x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2 se x = 2
(a) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f?
(b) Em que pontos c existe lim
x→c
f(x)?
(c) Em quais pontos existe apenas o limite a` esquerda?
2
(d) Em quais pontos existe apenas o limite aˆ direita?
10. Ache os limites lim
x→a−
f(x), lim
x→a+
f(x) e lim
x→a
f(x), caso existam.
(a) f(x) =
|x− 4|
x− 4 ; a = 4
(b) f(x) =
|x+ 5|
x+ 5
; a = −5
(c) f(x) =
1
x+ 8
; a = −8
11. Calcule o limite, se existir:
(a) lim
x→1
(x3 + x2 + 5x+ 1)
(b) lim
x→−1
(x3 − 2x2 − 4x+ 3)
(c) lim
x→−
√
2
(4x3 − 2x2 − 2x− 1)
(d) lim
x→3
x2 + 5x− 4
x2 − 5
(e) lim
x→2
x2 − 7x+ 10
x− 2
(r) lim
x→−3
x2 + 2x− 3
x+ 3
(g) lim
x→0
3x4 + x3 − 5x2 + 2x
x2 − x
(h) lim
x→1
x3 − 4x+ 3
x5 − 2x+ 1
(i) lim
x→6
x2 − 36
x− 6
(j) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
(k) lim
x→−2
x5 − 32
x+ 2
(l) lim
x→3
x4 − 8x3 + 18x2 − 27
x4 − 10x3 + 36x2 − 54x+ 27
(m) lim
x→2
x− 2√
2x− 4
(n) lim
x→4
x− 4√
x− 2
(o) lim
x→0
x
2−√4− x
(p) lim
x→0
x√
2−√2− x
(q) lim
x→1
2−√3 + x
x− 1
(r) lim
x→0
x√
x+ 1− 1
(s) lim
x→4
√
1 + 2x− 3√
x− 2
(t) lim
x→2
√
2x2 − 3x+ 2− 2√
3x2 − 5x− 1− 1
12. Calcule os limites no infinito, se existir:
(a) lim
x→+∞
x2 + x− 3
3x2 − 4
(b) lim
x→−∞
3x− 2
5x2 + 3
(c) lim
x→+∞
√
x− 3
2x2 + 6
(d) lim
x→+∞
√
4x+ 3
2 + x
(e) lim
x→+∞
√
x2 + 1− x
(f) lim
x→+∞
√
x2 + x− x
(g) lim
x→+∞
1√
x
(h) lim
x→+∞
2 +
1√
x
(i) lim
x→+∞
x+
√
x2 + 4
13. Calcule
(a) lim
x→+∞
(5x3 − 3x2 − 2x− 1)
(b) lim
x→−∞
(2x5 − x4 + 2x2 − 1)
(c) lim
x→−∞
(−3x4 + 2x2 − 1)
(d) lim
x→+∞
(3x4 + 5x2 + 8)
3
(e) lim
x→−∞
(−5x3 + 3x− 2)
(f) lim
x→+∞
(−x2 + 3x− 2)
(g) lim
x→+∞
2x3 − 3x2 + x− 1
x2 + x− 3
(h) lim
x→−∞
2x2 + 1
x2 − 1
(i) lim
x→−∞
3x
x2 − 3
(j) lim
x→−∞
3x3 − 5x2 + 2x+ 1
9x3 − 5x2 + x− 3
(k) lim
x→−∞
2x3 + 5x2 − 8
4x5 − 8x+ 7
(l) lim
x→−∞
5x3 − 2x2 + 1
x+ 7
(m) lim
x→−∞
x2 + x+ 1
(x+ 1)3 − x3
(n) lim
x→−∞
(3x+ 2)3
2x(3x+ 1)(4x− 1)
(o) lim
x→+∞
√
x2 + x+ 1
x+ 1
(p) lim
x→−∞
√
x2 + x+ 1
x+ 1
(q) lim
x→+∞
2x2 − 3x− 5√
x4 + 1
(r) lim
x→−∞
2x2 − 3x− 5√
x4 + 1
14. Se 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
f(x).
15. Se 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2 para todo x, encontre lim
x→1
g(x)
16. Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais das func¸o˜es abaixo:
(a) y =
1
x− 1
(b) y =
2x2 + x− 1
x2 − 1
(c) y =
x+ 4
x+ 3
(d) y =
x
x2 − 1
17. Calcule o limite:
(a) lim
x→+∞
2x
(b) lim
x→−∞
(
1
3
)x
(c) lim
x→0
(
1
3
)x
(d) lim
x→1
24X−1
(e) lim
x→pi
6
2sinx
(f) lim
x→1
3
4x
5
−2x
3
+2x
2x3−x+1
(g) lim
x→+∞
log3x
(h) lim
x→0+
log3x
(i) lim
x→+∞
ln x
(j) lim
x→0+
ln 2x
(k) lim
x→+∞
log 1
2
x
(l) lim
x→0+
log 1
2
x
18. Mostre que:
(a) lim
x→0
(1 + 3x)
4
x = e12
(b) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x = e2
(c) lim
x→0
(
1 +
x
3
) 1
x
= e
1
3 = 3
√
e
(d) lim
x→0
(
1 +
4x
7
) 1
x
= e
4
7
(e) lim
x→0
(1− x) 1x = e−1 = 1
e
(f) lim
x→0
(
1 +
x
pi
) 1
x
= e
1
pi
19. Calcule os seguintes limites:
4
(a) lim
n→+∞
(
1 +
1
n
)n+2
(b) lim
n→+∞
(
1 +
3
n
)n
(c) lim
x→+∞
(
x
1 + x
)x
(d) lim
x→+∞
(
1 +
5
x
)x+1
(e) lim
x→+∞
(1 + sin x)
1
sin x
(f) lim
x→−∞
ex
(g) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)2
(h) lim
x→+∞
(
1− 1
x
)3
(i) lim
x→−∞
(
3 + e−
1
x
)
(j) lim
x→+∞
ln(x2 + 1)
(k) lim
x→−∞
ln(x2 − 1)
(l) lim
x→+∞
x−
√
x2 − 1
20. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→−1
ln(2 + x)
x+ 1
(Fazer x+ 1 = u)
(b) lim
x→−2
ln(3 + x)
x+ 2
(Fazer x+ 2 = u)
(c) lim
x→0
2x − 1
x
(d) lim
x→0
esinx − 1
sin x
(e) lim
x→0
ln(1 + x)2
x
(f) lim
x→1
ln x3
x− 1
(g) lim
x→0
(1 + sin x)cossec x (Fazer sin x = u)
(h) lim
x→4
(
1 + x
5
) 1
x− 4
(i) lim
x→0
10x − 1
5x − 1 (dividir por x o num. e den.)
(j) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
21. Determine o limite das func¸o˜es trigonome´tricas, se existirem:
(a) lim
x→+∞
cos
1
x
(b) lim
θ→0
θ
cos θ
(c) lim
x→0
sin x
5x
(d) lim
x→pi
2

 cos x
x− pi
2


(e) lim
x→pi
sin x− sin pi
x− pi
(f) lim
x→0
sin x(1− cos x)
2x2
(g) lim
t→0
sin(3t)
2t
(h) lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
(i) lim
x→0
sin2(x)
x
(j) lim
x→0
tan2(x)
x
(k) lim
t→pi+
sin(t)
t− pi
22. Responda:
(a) Do gra´fico de f mostrado abaixo, diga
os nu´meros nos quais f e´ descont´ınua e
explique por queˆ.
(b) Para cada um dos nu´meros indicados
na parte (a), determine se f e´ cont´ınua
a` direita ou a` esquerda, ou nenhum de-
les.
5
23. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que e´ cont´ınua em toda parte, exceto em x = 3 e e´
cont´ınua a` esquerda em x = 3.
24. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha descontinuidade de salto em x = 2 e uma
descontinuidade remov´ıvel em x = 4, mas seja cont´ınua no restante.
25. Se f e g forem cont´ınuas, com f(3) = 5 e lim
x→3
[2f(x)− g(x)] = 4, encontre g(3).
26. use a definic¸a˜o de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma
das func¸o˜es abaixo e´ cont´ınua em um dado nu´mero a.
(a) f(x) = x2 +
√
7− x, a = 4
(b) f(x) = (x+ 2x3)4, a = −1
(c) f(x) =
2x− 3x2
1 + x3
, a = 1
27. Explique por que a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero a dado. Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = ln |x− 2|; a = 2
(b) f(x) =
{ 1
x− 1 se x6= 1
2 se x = 1
; a = 1
(c) f(x) =
{
ex se x < 0
x2 se x ≥ 0 ; a = 0
(d) f(x) =


x2 − x
x2 − 1 se x 6= 1
1 se x = 1
; a = 1
(e) f(x) =


cos x se x < 0
0 se x = 0
1− x2 se x > 0
; a = 0
28. Para quais valores da constante c a func¸a˜o f e´ cont´ınua em (−∞,∞)?
f(x) =
{
cx2 + 2x se x < 2
x3 − cx se x ≥ 2
29. Encontre os valores de a e b que tornam f cont´ınua em toda parte.
f(x) =


x2 − 4
x− 2 se x < 2
ax2 − bx+ 3 se 2 < x < 3
2x− a+ b se x ≥ 3
30. Nos itens a seguir sa˜o dados f(x), a e L, bem como lim
x→a
f(x) = L.
I) Determine δ > 0 para ε > 0 dado, de modo que satisfac¸a a definic¸a˜o de limite;
II) Prove tal limite.
(a) lim
x→3
(2x+ 4) = 10, ε = 0, 01
(b) lim
x→3
(x+ 2) = 5, ε = 0, 02
(c) lim
x→−2
(3x− 1) = −7, ε = 0, 1
(d) lim
x→1
(5x− 3) = 2, ε = 0, 05
(e) lim
x→2
(4x− 5) = 3, ε = 0, 001
6
(f) lim
x→−1
(3− 4x) = 7, ε = 0, 02
7
Respostas - Limites
1. (a) 3 (b) 2 (c) 5 (d) 6 ∃ (e) 0 (f) 0
2. (a) 0,8 (b) 0,4 (c) Na˜o existe
3.
lim
x→1
f(x) = 3
4. (a) 4 (b) -2 (c) 4
5. (a) +∞
(b) −∞
(c) Na˜o existe.
(d) −∞
(e) −∞
(f) Na˜o existe.
(g) Na˜o existe.
(h) Na˜o existe.
(i) Na˜o existe.
(j) Na˜o existe.
6. (a)
2√
5
(b) 1 (c) −1
7. (a) lim
x→2+
f(x) = 2 e lim
x→2−
f(x) = 1
(b) Na˜o existe lim
x→2
f(x), pois os limites laterais sa˜o diferentes.
(c) lim
x→−4+
f(x) = 7 e lim
x→−4−
f(x) = 7
(d) lim
x→−4
f(x) = 7, pois os limites laterais sa˜o iguais.
8. (a) −∞
(b) ∞
(c) −∞
(d) ∞
(e) ∞
(f) ∞
9. (a) D(f) = [0; 2] e Im(f) = [0; 1] ∪ {2}
(b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2
(c) c = 2
(d) c = 0
10. (a) lim
x→4+
f(x) = 1, lim
x→4−
f(x) = −1 e ∄ lim
x→4
f(x)
(b) lim
x→5+
f(x) = 1, lim
x→5−
f(x) = −1 e ∄ lim
x→5
f(x)
(c) lim
x→8+
f(x) =∞, lim
x→8−
f(x) = −∞ e ∄ lim
x→8
f(x)
11.
8
(a) 8
(b) 4
(c) −5− 6√2
(d) 5
(e) −3
(f) −6
(g) −2
(h) −1
3
(i) 12
(j) −2
(k) 80
(l) 2
(m) 0
(n) 4
(o) 4
(p) 2
√
2
(q) −1
4
(r) 2
(s)
4
3
(t)
5
14
12. (a)
1
3
(b) 0
(c) 0
(d) 2
(e) 0
(f) 1
(g) 0
(h) 2
(i) +∞
13. (a) +∞
(b) −∞
(c) −∞
(d) +∞
(e) +∞
(f) −∞
(g) +∞
(h) 2
(i) 0
(j)
1
3
(k) 0
(l) +∞
(m)
1
3
(n)
9
8
(o) 1
(p) 1
(q) 2
(r) 2
14. 7
15. 2
16. (a) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1
(b) Horizontal: y = 2, vertical: x = 1
9
(c) Horizontal: y = 1, vertical: x = −3
(d) Horizontal: y = 0, vertical: x = 1 e x = −1
17. (a) +∞
(b) +∞
(c) 1
(d) 8
(e)
√
2
(f) 6
(g) +∞
(h) −∞
(i) +∞
(j) −∞
(k) −∞
(l) +∞
18.
19. (a) e
(b) e3
(c) e−1
(d) e5
(e) e
(f) 0
(g) 1
(h) 1
(i) 4
(j) +∞
(k) +∞
(l) 0
20. (a) 1
(b) 1
(c)
1
log2 e
(d) 1
(e) 2
(f) 3
(g) e
(h) 5
√
e
(i)
1
log 5
(j) e2
21. (a) 1
(b) 0
(c)
1
5
(d) 1
(e) −1
(f) 0
(g)
3
2
(h)
2
3
(i) 0
(j) 0
(k) −1
22.
23. Infinitas soluc¸o˜es.
24. Infinitas soluc¸o˜es.
25. g(3) = 6
26.
10
27. (a) f(2) na˜o esta´ definido.
(b)
(c) lim
x→0
f(x) na˜o existe.
(d)
(e) lim
x→0
f(x) 6= f(0)
28. c =
2
3
11
29. a = b =
1
2
Coletaˆnea de exerc´ıcios elaborada pelos professores:
• Dra. Dayse Batistus;
• Msc. Ana Munaretto;
• Msc. Cristiane Pendeza;
• Msc. Adriano Delfino;
• Ms. Marieli Musial Tumelero
Digitac¸a˜o:
• 1a versa˜o: Acadeˆmico Bruno Brito.
• Versa˜o atual: Acadeˆmica Larissa Hagedorn Vieira e Professora Marieli
Musial Tumelero
Refereˆncia Bibliogra´fica:
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Ca´lculo. vol. 1. Traduc¸a˜o: Claus I.
Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de ca´lculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora,
Rio de Janeiro, RJ: 2002.
LEITHOLD, L. O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol.1. 3a ed. Sa˜o
Paulo: Harbra, 1994.
LIMA, J. D. Apostila de Ca´lculo I. UTFPR, Pato Branco, 2008.
STEWART, James. Ca´lculo. Vol. 2. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 1. 2a ed.
Sa˜o Paulo: Makron Books do Brasil,1994.
THOMAS, G. B. Ca´lculo. Vol. 1. 10aed. Sa˜o Paulo: Person, 2002.
12