AULA 03 - Modelagem Matemática de Sistema Dinâmicos (Parte I) Diagrama de Blocos

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Modelagem Matemática de Sistema Dinâmicos (Parte I)
Diagrama de Blocos
Prof: Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
 
Modelagem Matemática (definições)
Modelos Matemáticos 
Função de Transferência:Resposta Transitória ou em Frequência de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e saídas únicas.
Modelo de Estado: Modelos Ótimos
Sistemas Lineares
Dito Limiar se o princípio de superposição se aplicar sobre o sistema.
Se em um sistema dinâmico a causa e o efeito forem proporcionais o sistema e linear
Modelagem Matemática (definições)
Sistemas lineares invariante no tempo
Descritos por equações diferencias lineares invariantes no tempo (de coeficientes constantes).
Sistemas lineares variantes no tempo
Os coeficientes são em função de tempo
Ex: A massa de um veículo espacial muda devido ao consumo de combustível.
Simplicidade versus precisão
Atenção na frequência: 
Exemplo Massa de uma Mola
Baixa Frequência (desprezível)
Alta Frequência (Necessário)
Função de Transferência
FT: Razão entre a transforma de Laplace da variável de saída (função resposta) pela a transforma de Laplace da variável de entrada (função excitação), considerando todas as condições iniciais nulas.
Seja o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial
Onde y é o sinal de saída e x é o sinal de entrada do sistema. 
Função de Transferência
A função de transferência é obtida por:
Portanto
Define-se Equação Característica do sistema o G(s). 
Função de Transferência
Comentários:
A função de transferência é um modelo matemático.
Independe do sinal de entrada e de saída.
Inclui unidades necessárias para relacionar entrada e saída.
Sistemas físicos diferentes podem ter a mesma função de transferência.
Se a função de transferência é conhecida, a saída pode ser analisada para várias formas de entradas.
Se a função de transferência é desconhecida, através da análise entrada e saída, ela pode ser obtida experimentalmente. 
Função de Resposta Impulsiva
Para um sistema linear, invariante no tempo a função de transferência G(s) é:
Então
Sendo a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade, a transformada da saída do sistema é:
Função de Resposta Impulsiva
Resposta Impulsiva do sistema
Essa função g(t) é também chamada de função característica do sistema.
Importante: A função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema.
(Na prática, um pulso de entrada de duração muito pequena, comparando com constante de tempo dominantes do sistema, pode ser considerado um impulso)
Sistemas De Controle Automático
Um sistema de controle, em geral, tem vários componentes:
Diagrama de blocos: Tem como função mostrar as funções que são executadas por cada um dos componentes do sistema. 
Sistemas De Controle Automático
Diagrama de blocos: É uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinal entre eles.
Descrevem o inter-relacionamento que existe entre os vários componentes.
Representação mais realística o fluxo de sinais do sistema.
Possui propriedades unilaterais
As setas são designadas como sinais.
Dimensões do sinal de saída= sinal de entrada X dimensão da função de transferência do bloco
Diagrama de blocos
Vantagens:
 Fácil a construção de um diagrama de blocos para todo o sistema pela simples interligação dos blocos componentes, de acordo com o fluxo de sinais.
Possibilidade de avaliar a contribuição de cada componente para o desempenho global do sistema.
Contém informações relativas ao comportamento dinâmico
Desvantagens:
Não contém informações sobre a construção física do sistema.
A fonte de principal de energia não é mostrada explicitamente na utilização de diagramas de bloco
Diagrama de blocos
Somador:Um círculo com uma cruz é o símbolo que indica a operação de soma. O sinal de mais ou menos na extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado ou subtraído
IMPORTANTE: As quantidades a serem somadas ou subtraídas devem ter as mesmas dimensões e as mesmas unidades.
 Diagrama de Bloco
Ponto de ramificação: Um ponto de ramificação é um ponto em que vem de um bloco avanço simultaneamente em direção a outros blocos ou somadores.
A saída do bloco, C(s)=G(s) x E(s)
Diagrama de Blocos
Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada:
H(s) [ Função de Transferência ] : converter a forma do sinal de saída à sinal de entrada
Ex: Sistema de Controle de Temperatura.
Saída: Tem a dimensão de temperatura
Entrada: Força, Posição ou tensão
Sinal de Realimentação: 
B(s)=H(s)C(s)
Diagrama de Blocos
Função de transferência de malha aberta e função de transferência de malha direta:
IMPORTANTE: se a função de transferência de realimentação H(s) for unitária, então a FTMA e FTMD serão iguais
Diagrama de Blocos
Função de transferência de malha fechada:
 Diagrama de Bloco
Obtendo funções de transferência em cascata, em paralelo e com realimentação (de malha fechada) com o MATLAB.
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)
 Diagrama de Bloco
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2)
Como exemplo, temos:
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 1 – Eliminação de uma malha fechada com realimentação negativa
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 2 – Eliminação de uma malha fechada com realimentação positiva
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 3 – Passagem de um ponto de ramificação para trás de um bloco
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 4 – Passagem de um ponto de ramificação para frente de um bloco
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 5 – Inversão do sinal
REGRA 6 – Combinação de blocos em série ou em cascata
Regras para redução de diagramas de blocos
REGRA 7 – Movimentação de um ponto de soma para frente de um bloco
REGRA 8 – Movimentação de um ponto de soma para trás de um bloco
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3: Feedforward
Exemplo 3: Feedforward
Sistema de malha fechada submetida a um distúrbio
Considerando somente o distúrbio.
O novo sinal de realimentação é:
Sendo a fórmula de realimentação positiva dada por:
Temos que:
Sistema de malha fechada submetida a um distúrbio
As entradas são tratadas independentemente.
MUITO OBRIGADO