AULA 06 - Introdução à análise de sistemas pelo método de Espaço de Estados

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Introdução à análise de sistemas pelo método de Espaço de Estados
Prof. Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
Modelagem no espaço de estados
Teoria de controle moderno
Tendência atual de maior complexidade e precisão;
Em razão da necessidade de atender às crescentes e rigorosas exigências de desempenho dos sistemas de controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e ao acesso fácil e em larga escala aos computadores, a teoria de controle moderno tem sido desenvolvida desde aproximadamente 1960.
Modelagem no espaço de estados
Controle Moderno X Controle Clássico
Modelagem no espaço de estados
Conceitos Iniciais
Estado: Menor conjunto de variáveis cujo conhecimento em t=t0, junto com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento de um sistema. Não se limita a sistemas físicos, pode ser estendido a sistemas biológicos, econômicos, etc.
Variáveis de estado: variáveis que constituem o menor conjunto de variáveis que determinam o estado do sistema. Não necessitam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou observáveis.
Modelagem no espaço de estados
Vetor de estado: se necessitamos de n variáveis para descrever o estado de um sistema, podemos considerá-las como um vetor de estado x com n componentes.
Espaço de estado: espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem no eixo x1, x2, ..., xn. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados. A representação por espaço de estados de um dado sistema não é única, exceto que o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer das diferentes representações por espaço de estados do mesmo sistema.
Modelagem no espaço de estados
Equações no espaço de estados:
Dado o Sistema 
Onde u(t) e y(t) são grandezas vetoriais. O número de variáveis de estado para descrever completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores envolvidos no sistema. Para um sistema com n integradores, r entradas e m saídas, teremos então:
Modelagem no espaço de estados
Para um sistema com n integradores, r entradas e m saídas, teremos então:
As saídas y1(t), y2(t),...,ym(t) serão:
Modelagem no espaço de estados
Podemos definir:
Modelagem no espaço de estados
Logo:
Equação de Estado
Equação de Saída
Se linearizadas sobre o espaço de operação, teremos:
Modelagem no espaço de estados
Equações de estado linearizada:
Onde
A(t) => matriz de estado
B(t) => matriz de entrada
C(t) => matriz de saída
D(t) => matriz de transmissão direta
Modelagem no espaço de estados
Equações de estado linearizada:
Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo, representado no espaço de estados.
Modelagem no espaço de estados
Exemplo Sistema Mecânico
Encontrando a equação de característica do sistema 
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Modelagem no espaço de estados
Exemplo Sistema Mecânico
Encontrando a equação de característica do sistema 
Pela lei de Newton, temos: 
Analisando as forças que atuam no sistema, temos:
Separando as saídas da entrada, encontra-se a equação característica do sistema. 
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Modelagem no espaço de estados
Exemplo Sistema Mecânico
Esse sistema é de segunda ordem, defini-se as variáveis de estado:
A equação de saída é:
Então
Observando a equação característica:
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Modelagem no espaço de estados
Tendo 
Temos que:
Sob a forma vetorial-matricial, as equações podem ser escritas como:
Analisando com as equações na sua forma padrão:
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Modelagem no espaço de estados
Observando as matrizes e as equações pode-se obter o diagrama de bloco do sistema
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Correlação entre a função de transferência e equações no espaço de estado
Veremos como obter a função de transferência de um sistema a partir das equações no espaço de estados.
Sendo a função de transferência de um sistema dada por:
Em espaço de estado, temos:
Onde u é uma entrada única e y é uma saída única. A transformada de Laplace das equações de estado nos dão:
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Correlação entre a função de transferência e equações no espaço de estado
Como função de transferência pressupõe condições iniciais iguais a zero, logo x(0) =0, e teremos:
Logo
Então
A equação a cima pode ser escrita como
Note que é igual ao polinômio característico de G(s). Ou seja os autovalores de A são identicos aos polos de G(s)
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Correlação entre a função de transferência e equações no espaço de estado
Exemplo, considere novamente o sistema mecânico
Pela substituição de A,B,C e D
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Correlação entre a função de transferência e equações no espaço de estado
Resolvendo a matriz 
Tem-se
Como
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Utilização da técnica de frações parciais para representação no espaço de estados.
Seja o sistema
Aplicando a transformada de Laplace achamos a função de transferência
Expandindo, temos:
Portanto,
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Utilização da técnica de frações parciais para representação no espaço de estados.
Fazendo a Transformada inversa de Laplace, temos:
Definindo
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Utilização da técnica de frações parciais para representação no espaço de estados.
Em diagrama de blocos teremos:
Como
Ou
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Transformação de modelos matemáticos com Matlab
O Matlab é amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de funções de transferência para o espaço de estados e vice versa.
Transformação da função de transferência para o espaço de estado.
Comando: [ A, B, C, D]= tf2ss(num,den)
Transformação no espaço de estados para a função de transferência.
Comando: [num, den] =ss2tf(A, B, C, D)
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Transformação de modelos matemáticos com Matlab
Exemplos 1
Utilizando o Matlab encontre o espaço de estados da função de transferência abaixo.
Exemplo 2
Utilizando o Matlab encontre a função de transferência do espaço de estado abaixo.
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Seja:
 Então teremos:
Representação de espaço de estados de sistemas de equações diferenciais lineares de ordem n em que a função de excitação não envolve termos em derivada.
Definindo
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Onde:
Ou
E a saída vale
Ou
Onde 
Representação da função de transferência 
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Seja:
Representação no espaço de estados de sistemas de equações diferenciais de ordem n em que a função de excitação envolve termos em derivada..
Definindo
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
E x1=y, Temos que o conjunto de variáveis acima não define o estado do sistema e o método anterior não pode ser usado, pois x1 = y pode não fornecer uma solução única.
Redefinindo as variáveis de estado, podemos Ter
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Onde
Isto garante a unicidade da solução
Então
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Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Logo
Ou
Representação da função de transferência
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Exemplo Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Sistema Massa-Mola-Amortecedor (Sistema Mecânico 
Exemplo Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Sistema Massa-Mola-Amortecedor (Sistema Mecânico)
Exemplo Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Com a forma padronizada:
Para obter o modelo no espaço de estado desse sistema. Primeiramente vamos comparar a equação diferencial do mesmo.
 Identifica-se
.
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Exemplo Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
Em relação a , temos
 Em relação a .
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Exemplo Representação de sistemas dinâmicos por espaço de estados
 E a saída da equação torna-se: 
Finalmente temos:
 Ou 
E
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