AULA 16 - Critério de Estabiliadade de Nyquist

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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST
Prof: Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
 
Critério de Estabilidade de Nyquist
Determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos pólos de malha aberta.
Para obter estabilidade, todas as raízes da equação característica de 1+G(s)H(s)=0 devem ficar no semiplano esquerdo do plano s .
O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta G(jω)H(jω) ao número de zeros e polos de 1+ G(jω)H(jω).
Critério de Estabilidade de Nyquist
A principal vantagem desse critério consiste que pode-se determinar a estabilidade absoluta do sistema de malha fechada, pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta e não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fechada.
As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente, podem ser utilizadas na análise de estabilidade.
Isso é conveniente porque, no projeto de um sistema de controle, expressões matemáticas de alguns dos componentes frequentemente não são conhecidas; apenas os dados da resposta em frequência estão disponiveis.
O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas. 
Para entender o critério, primeiro discutiremos o mapeamento de contorno no plano complexo.
Vamos supor que a função de transferência de malha aberta G(s)H(s) seja representada pela relação de polinômios em s.
Equação característica do sistema
Critério de Estabilidade de Nyquist
Estudo Preliminar
A uma dada trajetória contínua e fechada, no plano s, corresponde uma curva fechada no plano F(s).
O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano F(s) pela curva fechada serão relacionados com a estabilidade do sistema
Temos a seguinte função de transferência de malha aberta:
A equação característica é:
Princípio do argumento
Para cada ponto no plano s corresponde um ponto no plano F(s)
Por exemplo: s= 2+j1, então F(s) será:
Assim, o ponto s=2+j1 no plano s é mapeado no ponto 2-j1 no plano F(s).
Princípio do argumento
Princípio do argumento
Princípio do Argumento
Pela análise, podemos ver que o sentido do envolvimento da origem do plano F(s) pelo lugar geométrico de F(s) depende do fato de o contorno no plano s envolver um polo ou um zero.
Note que a localização de um polo ou um zero no plano s, seja no semiplano direito ou no semiplano esquerdo, não faz diferença, mas o envolvimento de um polo ou um zero faz.
Por ultimo se o contorno no plano s envolver igual número de polos e de zeros, então a curva fechada correspondente no plano F(s) não envolverá a origem do plano F(s).
A discussão realizada é uma explicação gráfica do teorema do mapeamento, que é a base do critério de estabilidade de Nyquist.
Princípio do argumento
Critério de estabilidade de Nyquist
O plano s para o critério de estabilidade de Nyquist e denominada contorno de Nyquist, constítuida do eixo imaginário do plano s e de uma semi circunferência de raio arbitrariamente grande, que envolva inteiramente o semiplano direito s. conforme é mostrado na figura abaixo.
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Critério de estabilidade de Nyquist
Seja F(s) a curva representativa da imagem 1+G(s)H(s), calculada sobre o contorno de Nyquist.
Pelo princípio do argumento:
Como Nz é o numero de polos de malha fechada no semiplano direito, então o sistema é estável se e somente Nz=0, ou seja,
Que é o critério de estabilidade de Nyquist
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Critério de estabilidade de Nyquist
Geralmente, desenha-se a curva de G(s)H(s) em vez de 1+G(s)H(s). Nesse caso, o número de envolvimento da origem do plano 1+G(s)H(s) se transforma no número de envolvimentos no ponto -1+j0 do plano G(s)H(s).
Portanto, o critério de estabilidade de Nyquist pode ser enunciado assim:
Um sistema em malha fechada é estável se e somente se o número de envolvimentos do ponto -1+j0 pela curva G(s)H(s) no sentido anti-horário for igual ao número de polos de malha aberta com parte real positiva
Se G(s)H(s) não possuir polos no semiplano direito de s (Np=0), então para que o sistema em malha fechada seja estável, a curva G(s)H(s) não deve envolver o ponto -1+j0.
Como Nz é o numero de polos de malha fechada no semiplano direito, então o sistema é estável se e somente Nz=0, ou seja,
Que é o critério de estabilidade de Nyquist
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Exemplo
Considere um sistema com a função de transferência de malha aberta
Cujos polos são s=-1 e s=-10.
O módulo de G(jω)H(jω) é dado por 
E a fase
Exemplo
Na tabela abaixo são apresentados os valores do módulo e da fase de G(jω)H(jω) para algumas freqüências 0< ω <∞.
Exemplo
O sistema em malha aberta não possui polos no semiplano direito. O diagrama polar de Nyquist não envolve o ponto -1+j0. Portanto, conclui-se que o sistema em malha fechada é estável.
Exemplo
Considere um sistema com a função de transferência de malha aberta
Cujo os polos são s=+2 e s=-10.
O módulo de G(jω)H(jω) é dado por 
E a fase
Exemplo
Na tabela abaixo são apresentados os valores do módulo e da fase de G(jω)H(jω) para algumas freqüências 0< ω <∞.
Exemplo
O sistema em malha aberta possui um polo no semiplano direito (Np=1). Como o diagrama polar envolve o ponto -1+j0 uma vez no sentido anti-horário (N=-Np=-1), então o sistema em malha fechada é estavel
Critério de estabilidade de Nyquist
Examinando a estabilidade de sistemas lineares de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, observa-se que pode ocorrer três possibilidades:
Não existe nenhum envolvimento do ponto -1+j0. Isso implica que o sistema será estável se não houver polos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s; caso contrário, o sistema é instável.
Existe um ou mais envolvimentos do ponto -1+j0 no sentido anti-horário. Nesse caso, o sistema será estável se o número de envolvimentos no sentido anti-horário for o mesmo que o número de polos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s; caso contrário o sistema será instável.
Existe um ou mais envolvimentos no ponto -1+j0 no sentido horário. Nesse caso o sistema é instável
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Margens de Estabilidade Diagrama de Nyquist
As principais vantagens são:
Pode ser aplicada tanto a função de transferência calculada como para a resposta em frequência medida experimentalmente, que muitas vezes é mais fácil de ser obtida
Fornece uma indicação de margens de segurança nos sistemas estáveis em malha fechada, tais como variações máximas no ganho CC ou em quaisquer parâmetro, que o sistema tolera sem perder a estabilidade;
Sugere modificações no sistema para evitar a instabilidade ou melhorar o desempenho;
Sinteticamente, as margens de estabilidade são medidas de distância do diagrama de Nyquist ate o ponto -1 + j0. Essas medidas são as margem de ganho MG e a margem de fase MF
Margens de Estabilidade Diagrama de Nyquist
A margem de ganho MG indica quantas vezes o módulo da função de transferência de um sistema de malha aberta na frequência ω em que a fase é -180°, deve ser aumentado ou diminuído para que o diagrama de Nyquist passe pelo ponto crítico -1+j0, ou seja,
A margem de fase MF indica quanto a fase de um sistema em malha aberta, na frequência em que o módulo é igual a 1, deve ser variada para que o diagrama de Nyquist passe pelo ponto crítico -1+j0, ou seja,
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)
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PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)
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PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)
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PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS POLARES)
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PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMASPOLARES)
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