AULA 17 - Controladores PID Sintonização

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Controladores PID
Sintonização 
Exemplo das ações dos controladores PID
Considere o diagrama de blocos da figura abaixo.
Sendo a função de transferência da planta
Deseja-se analisar o comportamento deste sistema com os controladores P,PI, PD e PID
Exemplo
Controlador P
Para Gc(s)=Kc o diagrama do lugar das raízes é apresentado.
Para s= -3 os polos de malha fechada são reais e iguais. Neste ponto o ganho vale
Polos reais e a resposta ao degrau é amortecida
Polos complexos conjugados e a resposta ao degrau subamortecida
Controlador P
Para entradas do tipo degrau unitário na referência R(s) e na perturbação D(s) tem-se que 
O erro estacionário pode ser calculado por meio do teorema do valor final
Logo o erro estacionário é não nulo para Kc > 0. Porém
Para Kc “pequeno” o erro estacionário é “grande”
Para Kc “grande” o erro estacionário é “pequeno”
Controlador P
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau unitário na referência para Kc=4 e Kc= 100. sobressinal Mp=31,6% 
Para Kc= 4, a resposta transitória é mais lenta, amortecida e o erro estacionário vale:
Para Kc=100, a resposta transitória é mais rápida, subamortecida e o erro estacionário vale:
Controlador P
Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo
Para Kc= 4, a margem de ganho é infinita, pois o gráfico de fase nunca cruza a linha 180° e a margem de fase também é infinita, pois o gráfico de fase nunca cruza a linha de 0 dB.
Para Kc=100, a margem de ganho é infinita e a margem de fase vale MF=34,2°
A função de transferência do controlador PI é dada por:
Lugar das raízes
Um análise usual é adotar Ti de forma que o zero do controlador cancele o polo mais lento da planta, então s= -1, consequentemente Ti=1
Para s= -2,5 os polos de malha fechada são reais e iguais. Neste ponto o ganho vale
Controlador PI
Polos reais e a resposta ao degrau é amortecida
Polos complexos conjugados e a resposta ao degrau subamortecida
Controlador PI
Como visto anteriormente por termos o integrador para entradas do tipo degrau o erro estacionário é igual a zero.
Essa propriedade pode ser verificada analiticamente a partir do teorema do valor final
Para
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau unitário na referência e pertubação para Ti=1 e Kc= 6,25 e Kc =100
Controlador PI
Verifica-se que o erro estacionário e sempre nulo
Para Kc= 100 a resposta ao degrau na referência tem um sobressinal Mp= 44,4%, que é maior que o sobressinal Mp=31,6% do controlador proprocional .
O controlador Pi piorou a estabilidade relativa do sistema
Controlador PI
Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo
O grafico de fase nunca cruza 180° por isso as margem de ganho para Kc = 6,25 e Kc = 100 são infinitas
Porém, para Kc =6,25 a margem de fase vale MF=76° e para Kc=100 a margem de fase vale MF=28 °
Para Kc=100 a margem de fase é menor , quando comparado com a margem de fase com o controlador proporcional (margem de fase vale MF=34,2°)
A função de transferência do controlador PD é dada por:
Adotando Td=1 de forma que o zero do controlador cancele o polo mais lento da planta.
 Lugar das raízes
Pode-se verificar o lugar das raízes se desloca para a esquerda, aumentado a estabilidade relativa do sistema.
Em particular para o valor de Td adotado pode-se ajustar um ganho elevado para Kc, que a resposta transitória é sempre superamortecida
Controlador PD
Controlador PD
Para entradas do tipo degrau unitário na referência R(s) e na perturbação D(s) o erro estacionário vale: 
Logo o erro estacionário é não nulo para Kc > 0. Porém
Para Kc “pequeno” o erro estacionário é “grande”
Para Kc “grande” o erro estacionário é “pequeno”
Controlador PD
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau unitário na referência com perturbação nula, para Kc=100
Verifica-se que o controlador PD foi possível obter uma resposta rápida e sem sobressinal, o que não ocorre com os controladores P e Pi.
Para D(s)=0 o erro estacionário vale
Controlador PD
Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo
A margem de ganho é infinita e a margem de fase vale MF=93°.
Observa-se que para o mesmo ganho Kc=100 a margem de fase obtida com o controlador PD é maior que as margens de fase obtidas com controladores P e PI
A função de transferência do controlador PID é dada por:
Adotando Ti=6/5 e Td=1/6, de forma que os zeros do controlador cancele os polos da planta.
A função de transferência de malha aberta resulta 
 Lugar das raízes
Neste exemplo o controlador PID possui todas as vantagens dos controles P, PI e PD
Aumentado-se o ganho Kc pode-se obter uma resposta rápida e sempre superamortecida
O erro estacionário é nulo para entradas do tipo degrau na referência e na pertubação
Controlador PID
Controlador PID
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau unitário na referência com perturbação nula, para Kc=100
Controlador PID
Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo
A margem de ganho é infinita e a margem de fase vale MF=90°, que é maior que as margens de fase obtidas com os controladores P e Pi
Introdução (Sintonia de Controladores PID)
A aula anterior, discutimos brevemente esquemas básicos de controle PID.
É interessante notar que mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente emprega esquema de controle PID
Como a maioria dos controladores PID é ajustada em campo, diferentes tipos de regras de sintonia vêm sendo proposta na literatura
A utilidade dos controles PID está na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de controle.
Introdução
É mais utilizado quando o modelo matemático da planta não é conhecido e, portanto, métodos de projeto analítico não podem ser utilizados, controles PID se mostram os mais úteis.
Na área dos sistemas de controle de processos, o controle PID provaram um controle satisfatório, embora em muitas situações eles possam não proporcionar um controle ótimo
Será apresentado um projeto de um sistema de controle com um PID, utilizando as regras de ajuste Ziegler e Nichols, em seguida abordaremos a otimização computacional no projeto de controladores PID.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID
A figura abaixo mostra o controle PID de uma planta.
Se o modelo matemático for conhecido, é possível aplicar técnica de projetos na determinação dos parâmetros do controlador que atenderão às especificações do regime transitório e do regime permanente do sistema de malha fechada.
Porém se a planta for muito complexa, (dificultando a modelagem matemática) , então a abordagem analítica do projeto do controlador PID não será possível.
Aplica-se abordagem experimentais de sintonia de controladores PID.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID
Sintonia do controlador = O processo de selecionar parâmetros do controlador que garantam dada especificação de desempenho.
Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID ( parâmetros Kp, Ti e Td).
Baseada na resposta experimental ao degrau
Baseada no valor Kp que resulta em uma estabilidade marginal, quando somente uma ação proporcional é utilizada.
Elas são uteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos.
Tem como função sugerir um conjunto de valores de Kp,Ti e Td. que vão proporcionar uma operação estável do sistema.
As regras de sintonia de Ziegler-Nichols fornecem estimativas dos valores dos parâmetros e proporcionam um ponto de partida na sintonia fina, e não
os valores definitivos de Kp, Ti e Td logo na primeira tentativa.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID
PRIMEIRO MÉTODO
É obtido experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário como mostrado abaixo.
Se a planta não possuir integradores ou polos complexos conjugados dominantes , então essa curva de resposta ao degrau unitário pode ter o aspecto de um s.
Esse método só se aplica se a curva de resposta ao degrau de entrada tiver o aspecto de um s.
Pode-se gerar essa curva experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (PRIMEIRO MÉTODO)
Ampliando a curva de resposta s temos:
Essa curva pode ser caracterizada por duas constantes, o atraso L e a constante de tempo T.
Esses parâmetros são determinados desenhando-se uma linha tangente ao ponto de inflexão da curva e determinando-se a intersecção da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha c(t)=K.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (PRIMEIRO MÉTODO)
A função de transferência C(s)/U(s) pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com um atraso de transporte:
Sugeri-se os valores de acordo com as equações da tabela abaixo
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (PRIMEIRO MÉTODO)
Analisando os valores da tabela proposta por Ziegler-Nichols com as regras de ação do controle PID temos:
Temos então um controlador PID que possui um polo na origem e zeros duplos em s= - 1/L.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID
SEGUNDO MÉTODO
Definimos inicialmente Ti=∞ e Td=0. Temos então somente o controle proporcional como mostrado na figura abaixo.
Varia-se o Kp de 0 a Kcr. Onde Kcr e o K crítico. No momento do K critico teremos uma resposta oscilatória.
Determina-se experimentalmente o ganho crítico e o período crítico Kcr e Pcr.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (segunda Ordem)
Temos então a seguinte tabela proposta:
Analisando os valores da tabela proposta por Ziegler-Nichols com as regras de ação do controle PID temos:
Portanto, o controlador PID tem um polo na origem e zeros duplos em s= - 4/Pcr.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (segunda Ordem)
Note que, se o sistema tem um modelo matemático conhecido (como a função de transferência), então podemos utilizar o método do lugar das raízes para encontrar o ganho critico e a frequência de oscilações sustentadas ωcr, onde:
Esses valores podem ser encontrados a partir dos pontos de cruzamento dos ramo do lugar das raízes com o eixo jω.
COMENTÁRIOS: As regras de sintonia de Ziegler-Nichols vêm sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em sistemas de controle de processo em que as dinâmicas da planta não são precisamente conhecidas. Por muitos anos, essas regras de sintonia provaram ser muito úteis. As regras de Ziegler-Nichols podem, é claro, ser aplicadas às plantas cujas dinâmicas são conhecidas.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo no qual um controlador PID é utilizado para o controlar o sistema. Deseja-se que o sistema projetado exibe aproximadamente 30% de sobressinal máximo.
O controlador PID tem a seguinte função de transferência
Como a planta tem um integrador , utiliza-se o segundo método, obtemos a seguinte função de transferência de malha fechada
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Obtemos o ganho crítico utilizando o critério de estabilidade de Routh. Equação característica do sistema de malha fechada é:
Critério de Routh
Examinando os termos da primeira colona temos que o valor crítico Kcr é iqual a:
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Para o ganho Kp igual a Kcr (=30), a equação característica é:
Para encontrar a frequência da oscilação sustenda, substituímos s=jω na equação característica:
Defini-se a frequência de oscilação:
Logo o período de oscilação critica é:
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Referindo-se a tabela dos parâmetros
Substituindo os parâmetros temos 
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Temos então:
O controlador PID tem um polo na origem e um zero duplo em s= - 1,4235. 
Temos então o seguinte diagrama em bloco do sistema 
Vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitário. A função de transferência C(s)/R(s) é dada por 
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Programa em Matlab para a resposta em degrau desse sistema:
%------------Reposta ao degrau unitário--------------
num=[6.3223 18 12.811]
den=[1 6 11.3223 18 12.811]
step(num,den)
O sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário é de 62%
Esse valor é maior do que o pedido pelo problema
Então,
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Esse sobressinal pode ser reduzido fazendo-se uma sintonia fina dos parâmetros do controlador. Mantendo Kp= 18 e movendo o zero duplo do controlador PID para s= -0,65 temos
O sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário foi reduzido a aproximadamente 18%
Esse valor é menor do que o pedido pelo problema
Então,
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
Aumentando o Kp para 39,42 mantendo a localização dos polos temos
O sobressinal máximo é aproximadamente 28%
De acordo com as especificações do problema
Então
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
É instrutivo notar que, para o caso em que o zero duplo está localizado em s= 1,42235, aumentar o valor de Kp aumenta a velocidade da resposta. Contudo, sendo o sobressinal máximo o objetivo, a variação do ganho Kp tem pouquíssima influência.
Os ramos dominantes do lugar das raízes estão sobre as linhas ζ = 0,3 para uma faixa considerável de K
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
A variação da localização do zero duplo tem um efeito significativo no sobressinal máximo, porque o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes da malha fechada pode ser alterado significativamente.
Regras de sintonia de Ziegler-Nichols para controladores PID (Exemplo)
E possível fazer uma terceira, uma quarta e ainda outras tentativas para obter uma resposta melhor.
No entanto, isso requer muitos cálculos, gastando-se muito tempo. Se mais tentativas forem desejadas sugere-se o uso da abordagem computacional.