lista 01 - funções vv LAURITO

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Uni-BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia 
Cálculo de Várias Variáveis – Lista de Exercícios
Prof. Laurito Alves 
1a parte - Para aquecer...
Determine a derivada das funções abaixo, simplificando a resposta o máximo possível. Tudo bem que são funções de uma variável, mas calcule assim mesmo, só para lembrar
Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia
Cálculo de Várias Variáveis - Prof. Laurito Alves
f(x) = x ln x
f(x) = cos (ln x) + ln (cos x)
f(x) = ln (sec x + tg x)
f(x) = 
f(x) = ln ( 1 + )
f(x) = ln (ln x)
f(x) = ln 
f(x) = ex + xe + ee 
f(x) = x e5x
f(x) = ln (ex + e-x)
f(x) = ex sen e2x
f(x) = esen 2x + sen e2x
f(x) = tg e3x + e3tgx
f(x) = 35x + 
f(x) = ln( sec x + tg x)
f(x) = 
f(x) = (ln x2)2
f(x) = log (x2 2x)
f(x) = ln (x cos x)
f(x) = 
f(x) = x sen 2x
f(x) = tg 
f(x) = ln (cos 3x)
f(x) = sen x2 + sen2 x 
f(x) = x sen (1/x)
f(x) = (sen 3x)/x
2a parte - Do nosso livro
No livro do Thomas, volume 2, fazer os seguintes exercícios:
Seção 14.1 - Página 215
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 31 a 36, 37, 46, 52, 69 a 72.
3a parte - Exercícios avulsos
A temperatura T (em graus centigrados) abaixo da superfície da terra é uma função da profundidade x (em pés) do ponto e do mês m (de 1 a 12) em que é feita a medição. Se T(x,m) = e-0,2 x cos (1,7 . 10-2 m – 0,2 x), determine:
A temperatura em junho de um ponto a 10 pés de profundidade
A temperatura em abril de um ponto a 2 pés de profundidade
A temperatura em dezembro a 1 pé de profundidade
Considere que a temperatura, em graus centígrados, em um ponto qualquer (x,y) de uma chapa de metal é dada por T(x,y) = 10 +25 . Uma formiguinha está no ponto A(1,1). Determine:
A temperatura no ponto A.
Dê exemplo de dois pontos distintos da chapa com a mesma temperatura do ponto (2,3). Qual é essa temperatura ?
Esboce o gráfico dessa função para . Use um computador 
A profundidade de um lago, em metros, em um ponto (x,y) é dada por P(x,y) = [ 100 + (x2 + 100x)(10 – y) + y + y2 + 280 cos(xy) ] / 23. Um barco está parado no ponto A(3 , 4) e vai se deslocar, em linha reta, até a origem. Determine:
A profundidade no ponto A
A profundidade na origem
Esboce o gráfico da profundidade do lago 
Uma fábrica pretende produzir x unidades do produto A e y unidades do produto B. Essa fábrica possui um custo fixo e independente da produção de R$ 85.000,00 (gastos com salários, água, luz, telefone, material de escritório, etc). Além disso, para produzir cada unidade do produto A há um gasto de a reais em matéria prima e para o produto B o gasto em matéria prima é de b reais por unidade. Serão vendidas z unidades do produto A por c reais cada uma e w unidades do produto B por d reais cada uma. Determine a lei da função que representa o lucro dessa fábrica. Essa é uma função de quantas variáveis ?
As ondas de choque produzidas por um avião Concorde dependem da temperatura abaixo do avião e da altitude na qual ele voa. O tapete de ondas é a região do solo que recebe as ondas de choque diretamente do Concorde, e não as ondas refletidas pelo solo ou as difratadas pela atmosfera. O comprimento w do tapete de onda, que é a região onde as pessoas no solo recebem as ondas de choque, depende de:
T: a temperatura no solo (em graus Kelvin)
H = a altitude do Concorde (em km)
D = a taxa de variação da temperatura entre o avião e o solo (em graus Kelvin por km)
A expressão de w é w = . A rota Paris-Washington do Concorde passa ao sul da ilha Nantucket a uma altitude de 16,8 km. Se a temperatura na ilha é 290K e a taxa de variação da temperatura é de 5k/km, a quantos km ao sul da ilha o avião deve passar para que a ilha fique fora do tapete de onda ?
Considere as funções f(x,y,z) = 2x + 3y + z e g(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Mostre que f(0,0,0) = g(0,0,0). Existe algum outro ponto P do espaço que não é a origem tal que f(P) = g(P) ? Caso exista, qual ?
Considere a função f(x,y,z,w) = xy + yz – 3zw. Determine, de forma mais simples possível, o valor de 
Se f(x,y,z) = 3x2yz3, determine, de forma mais simples possível, o valor de
A bandeirada de um táxi em Belo Horizonte é de R$ 3,90, a cada quilômetro rodado deve-se pagar R$ 2,24 em bandeira 1 ou R$ 2,69 em bandeira 2. Além disso, deve-se pagar R$ 22,00 a cada hora parada.
Determine o preço de uma corrida de táxi que percorre 12km em bandeira 1 e que fica 30 minutos parado nesse trajeto.
Determine o preço de uma corrida de táxi que percorre x km em bandeira 1 e que fica y minutos parado nesse trajeto.
Determine o preço de uma corrida de táxi que percorre x km em bandeira 2 e que fica y minutos parado nesse trajeto.
Esboce o gráfico das duas funções obtidas nos itens “b” e “c” acima. Observe que elas só tem sentido para valores não negativos de x e y.
No plano cartesiano, considere os pontos A(a,0), B(-a,0) e C(x,y), onde “a” é uma constante real. A função f(x,y) representa a soma dos quadrados das distâncias de C até A e B. Determine a lei de f(x,y). Esboce o gráfico de f(x,y) para alguns valores de “a”.
A figura abaixo mostra vários gráficos e suas respectivas curvas de nível. Associe cada gráfico à sua curva de nível, justificando brevemente sua resposta.
Para a medicina, a área de uma pessoa, em cm2, é dada pela expressão A = 71,84 w0,425 h0,725 em que w é o peso do indivíduo em kg e h é sua altura em cm. Seu amado professor pesa 82kg e mede 1,76m. Quem possui maior área: você ou eu ?
Quanto maior a área de uma pessoa, mais calor ela perde para o ambiente, fazendo-a sentir frio. O calor é produzido pelas células do organismo, assim, pessoas de maior massa podem produzir mais calor. Um índice interessante é obtido dividindo-se a área do indivíduo por sua massa. Explique por que um valor alto para esse índice significa que a pessoa sente mais frio. A seguir, calcule esse índice para você e para um recém nascido de 51cm de altura e 3,5 kg de peso.
Considere que a temperatura T, em graus centígrados, em um ponto P de coordenadas (x,y,z) – com x, y e z dados em metros - é dada por T(x,y,z) = . Determine a temperatura nos pontos A(3,2,1) e B(4,5,6)
Você está em uma montanha que tem exatamente a forma do gráfico de f(x,y) = x2y – 2xy +4x + 2y (a unidade é o metro). Suponha que você está nessa montanha exatamente sobre o ponto (1,0). A que altura você está ? Faça uma figura mostrando essa montanha e sua posição nela.
Qualquer ponto na superfície da Terra possui uma latitude x e uma longitude y, que definem um par ordenado (x,y). Temos e ; com latitude negativa representando o hemisfério sul e latitude positiva representando o hemisfério norte; e longitude negativa representando o hemisfério oriental e longitude positiva representando o hemisfério ocidental. Por exemplo, uma localização aproximada de Belo Horizonte é (-20 , 44). Considere que a temperatura, em Celsius, no ponto (x,y) é dada por T(x,y) = .
Qual é a temperatura aqui em BH ?
Qual seria a temperatura em Nova York ? E em Moscou ?
Esboce o gráfico dessa função temperatura. Cuidado com o domínio dessa função. 
Essa função é realista ? Justifique sua resposta
4a parte - ESSAS SÃO PARA O TRABALHO
Para desenhar um gráfico no winplot você deve baixar o programa e instalá-lo em sua máquina. A seguir, digite em “Janela” e a seguir em 3D. Abrirá uma nova janela. Nela clique em “Equação” e depois em “Explícita”. Abrirá uma nova janela como a mostrada abaixo:
Na caixa destacada em azul devemos escrever a lei da função. Em xmin e xmax os valores mínimo e máximo de x que devem ser atribuídos, no caso acima está de - a . O mesmo vale para ymin e ymax. A seguir, clique em OK. Clique no gráfico e aperte as setas no teclado. Para escrever ex digite exp(x), senos e cossenos são sin(x) e cos(x). Produto é * e divisão é /. Raiz quadrada de x é sqrt(x) e módulo de x é abs(x). Divirtam-se. Uma cerejinha para o bolo, pressione as teclas “Page Up” e “Page Dn” doteclado.
Abaixe o software Winplot em seu computador, e, com ele, esboce o gráfico das funções dadas abaixo
F(x,y) = xy2 + 2x + y
F(x,y) = 2 + cos(3x+y) + sen(2x – y)
F(x,y) = 1 – x – y
F(x,y) = 4x2 + y2 + 1
F(x,y) = cos x
F(x,y) = ey
F(x,y) = x ey
F(x,y) = 
F(x,y) = 
F(x,y) = 
F(x,y) = 
F(x,y) = cos (xy)
F(x,y) = xy2 – x3 (sela do macaco)
F(x,y) = xy3 – yx3 (sela do cachorro)
Esboce o gráfico de f(x,y) = para vários valores diferentes da constante c. A seguir, explique como a forma do gráfico é afetada pelo valor de c.