INTEGRAL POR PARTES

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Integração por Partes
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Se f e g são funções diferenciáveis, então pela regra da 
diferenciação do produto:
[ ] )(').()(').()().( xfxgxgxfxgxf
dx
d
+=
Integrando ambos os lados, obtemos:
[ ] ∫∫∫ += dxxfxgdxxgxfxgxfdx
d
 )(').()(').()().(
Ou:
∫∫ +=+ dxxfxgdxxgxfCxgxf )(').()(').()().(
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Ou:
Cdxxfxgxgxfdxxgxf +−= ∫∫ )(').()().()(').(
Uma vez que a integral da direita irá produzir uma outra 
constante de integração, não há necessidade de 
manter o C nesta última equação; asim:
∫∫ −= dxxfxgxgxfdxxgxf )(').()().()(').(
a qual é chamada de fórmula de integração por partes.
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Na prática, é usual reescrever:
( ) ( )
( ) ( )dxxgdvxgv
dxxfduxfu
',
',
==
==
 
 
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa:
duvuvdvu ∫∫ −=
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Exemplo 01: Calcule
∫ dxxe
x
Solução: Precisamos escrever a integral na forma:
dvu ∫
Uma maneira de fazer isso é colocar e xu = dxedv x =
Para que, e dxdu = xx edxev == ∫ 
{ {{ { { Cexedx eexdxex dxxe
xx
duv
x
v
x
udv
x
u
x +−=−== ∫ ∫∫ 321 
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Exemplo 02: Calcule
∫
−
 dxex x2
Solução: Seja
∫
−−−
−=====
xxx edxevdxxdudxedvxu ,2,,2
Portanto:
( ) xdxeexduvuvdvudxex xxx 222 ∫∫∫∫ −−− −−−=−== 
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Exemplo 02:
ou:
(1)dxexexdxex xxx ∫∫
−−− +−= 222
A última integral é semelhante à original, com a 
exceção de que x2 foi substituído por x. 
Outra integração por partes aplicada a:
completará o problema.
dxex x∫
−
Seja: xu = dxedv x−=
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Exemplo 02:
Assim: dxdu =
xxx edxevdxedv −−− −==→= ∫∫∫
Portanto:
( )dxeexduvuvdvudxex xxx ∫∫∫∫ −−− −−−=−== 
ou:
1Ceexdxeexdxex
xxxxx +−−=+−= −−−−− ∫∫ (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
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Exemplo 02:
[ ]
1
2
1
2
22
222
2
2
Ceexex
Ceexex
dxexexdxex
xxx
xxx
xxx
+−−−=
+−−+−=
+−=
−−−
−−−
−−−
∫∫
Portanto:
( ) Cexxdxex xx +++−= −−∫ 2222
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Exemplo 03: Calcule
∫ x dxln
Solução: Seja
Para que:
∫ ===== xdxvdxx
dudxdvxu ,1,,ln
∫
∫∫∫∫
+−=−=






−=−==
Cxxxdxxx
dx
x
xxxduvuvdvux dx
lnln
1lnln
 
 
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Exemplo 03: Calcule
∫ dxx e
x cos
Solução: Seja
Assim:
∫ ===== xsendxxvdxedudxxdveu
xx cos,,cos,
∫
∫∫∫
−=
−==
dxxsenexsene
duvuvdvux dxe
xx
x
 
 cos
(1)
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Exemplo 03: 
A última integral é semelhante à original, com a 
exceção de que sen x foi substituído por cos x. 
Outra integração por partes aplicada a:
completará o problema.
dxxsene x∫ 
Seja:
xeu = dxxsendv =
dxedu x= xdxxsenv cos−== ∫ 
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Exemplo 03: 
Deste modo, 
∫
∫ ∫∫
+−=
−==
dxxexe
vduuvudvdxxsene
xx
x
 
 
coscos
Substituindo (2) em (1) resulta:
(2)
∫
∫∫
−+=
+−−=
dxxexexsene
dxxexexsenedxxe
xxx
xxxx
 
 
coscos
]coscos[cos
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Exemplo 03: 
É uma equação que pode ser resolvida em termos da 
integral desconhecida. 
xexsenedxxe xxx coscos2 +=∫ 
E, assim, 
Cxexsenedxxe xxx ++=∫ cos2
1
2
1
cos