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TEORÍA DE MÁQUINAS Y
MECANISMOS
tomo I 
Vectores y Geometría de Masas 
Jesús Benet Mancho
Vicente Yagüe Hoyos
Marta Hernández Toledo
2
ÍNDICE
Fundamentos de cálculo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Sistemas de vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Geometría de masas: centros de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Geometría de masas: momentos de inercia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 
Problemas de vectores deslizantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Problemas de geometría de masas: centros de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Problemas de geometría de masas: momentos de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Fundamentos de cálculo vectorial
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FUNDAMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
1. CONCEPTO DE VECTOR. COMPONENTES
2. OPERACIONES CON VECTORES
2.1. Suma y resta de vectores
2.2. Producto escalar
2.3. Producto vectorial
2.4. Productos especiales
2.5. Cálculo de áreas y volúmenes
3. FUNCIONES VECTORIALES. GENERALIDADES
4. FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR. DERIVACIÓN
4.1. Derivada de una función vectorial de variable escalar
4.2. Propiedades
5. TRIEDRO INTRÍNSECO
6. FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL
Fundamentos de cálculo vectorial
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1. CONCEPTO DE VECTOR. COMPONENTES
Un vector es un elemento físico que se utiliza para representar fuerzas, posiciones de puntos,
velocidades, aceleraciones, etc. Los vectores se pueden considerar como segmentos de recta
orientados, y están definidos por los siguientes elementos: 
- Módulo o magnitud del vector.
- Dirección, del vector.
- Orientación o sentido del vector.
En el vector v de la figura, el módulo vendrá dado por la longitud del segmento que define la
longitud del vector, la dirección del vector será la de la recta o línea de acción sobre la que está
situado el vector. El módulo de v, se representa por v o por |v|.El origen del vector estará en uno
de los extremos del segmento de recta que lo define y el extremo o punta del vector, representado
por la flecha sobre el otro extremo del segmento. La orientación o sentido viene dado por la
posición de la flecha o extremo respecto del origen. En la figura el sentido de v es hacia arriba,
existiendo otra posibilidad con la flecha orientada hacia abajo.
Los vectores actúan sobre punto, denominado punto de aplicación situado sobre el origen del
vector. La posición del punto de aplicación del vector nos permite efectuar la siguiente
clasificación de los vectores:
Figura 1. Vector.
Fundamentos de cálculo vectorial
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- vectores fijos: son aquellos que están aplicados en un punto concreto del espacio.
- vectores libres: son aquellos que pueden aplicarse en un punto cualquiera.
- vectores deslizantes son aquellos en donde el punto de aplicación puede ser un punto cualquiera
de la línea de acción del vector.
Los vectores fijos pueden considerarse como un caso especial de los vectores deslizantes o de
los vectores libres, en donde el punto de aplicación es un punto definido de la línea de acción o
del espacio. 
Cuando un vector tiene de módulo la unidad recibe el nombre de vector unitario. Aparte de los
vectores o magnitudes vectorial, en el estudio de la Física en general y de la mecánica aparecen
otros elementos denominados magnitudes escalares o simplemente escalares, los cuales están
definidos únicamente por un número real positivo o negativo, no existiendo en este caso
dirección ni sentido.
El opuesto o negativo de un vector v es otro vector, representado por -v, igual y opuesto a v, esto
es un vector de igual módulo y dirección que v pero de sentido opuesto. 
Un vector v se puede multiplicar por un escalar k, el resultado es otro vector de igual dirección
representado por k.v, cuyo módulo es v.k. Si k es un número negativo, el vector resultante
cambia de orientación. En el caso de k=-1, el vector resultante es el opuesto de v . En el caso de
Figura 2. Vectores opuestos.
Fundamentos de cálculo vectorial
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k = 0, el vector resultante es el vector cero, esto es un vector de módulo cero, representado por
0.
Normalmente para expresar un vector se emplean sus componentes, definidas a partir de un
sistema de referencia cartesiano trirectangular OXYZ. Para definir las componentes de un vector,
utilizamos una notación en forma de vector columna o a partir de los vectores unitarios i j k de
los ejes del sistema, resultando:
 (1)
x y, zLos escalares v , v v , son las componentes del vector v y representan las proyecciones
ortogonales de v sobre los ejes OX, OY, OZ, de acuerdo con la figura.
Es posible expresar el módulo de v a partir de sus componentes:
Figura 3. Componentes de un vector.
 (2)
Fundamentos de cálculo vectorial
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El vector unitario de v, se podrá expresar como:
El producto de un vector por un escalar, equivale:
2. OPERACIONES CON VECTORES
2.1. Suma y resta de vectores 
Los vectores a y b se pueden sumar o restar obteniéndose un nuevo vector c, la suma de vectores
se efectúa a partir de la regla del paralelogramo, cuya interpretación física se tiene de la figura.
La resta del vector b sobre a, equivale a sumar el vector a y el opuesto de b, esto es - b.
Analíticamente:
 (3)
(4)
Figura 4. Suma y resta de vectores.
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La suma o resta de vectores equivale a sumar o restar los componentes:
Propiedades de la suma de vectores:
1. Conmutativa: a + b = b + a.
2. Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c. 
3. Identidad aditiva: a + 0 = a. 
4. Inverso aditivo: a + (- a) = 0. 
5. k.( a + b ) = k.a + k.b .
1 2 1 26. ( k + k )a = k .a+ k .a
1 2 1 27.(k ).(k ).a = (k .k ).a 
8. 1 .a = a.
9 0.a = 0
2.2. Producto escalar 
 (5)
 (6)
Figura 5. Producto escalar. Ángulo entre vectores.
Fundamentos de cálculo vectorial
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Se entiende como producto escalar de dos vectores a y b al escalar correspondiente al producto
de sus módulos por el coseno del ángulo è entre los vectores, pudiendo valer dicho ángulo entre
0º y 180º ( 0º <= è <= 180º). Analíticamente el producto escalar se expresa como:
Las propiedades del producto vectorial, que se deducen directamente de su definición, son:
1. a.b = 0 si a = 0 ó b = 0.
2. Commutativa: a.b = b.a.
3. Distributiva: a.( b + c ) = a.b + b.c
4. a.(kb) = (ka).b = k (a.b) , donde k es un escalar.
5. a.a = $ 0
6. a.a = a2
La definción de producto escalar nos permite a su vez definir el concepto de proyección de un
vector sobre otro vector: la proyección del vector a sobre el vector b equivale al producto escalar
 (7)
Figura 6. Proyección de un vector sobre otro vector.
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del vector a por el vector unitario de la dirección de b, analíticamente:
Los componentes de un vector en un sistema de referencia, serán pues las proyecciones del vector
sobre los ejes coordenados. Es posible expresar el producto escalar en función de los
componentes de los vectores, empleando las propiedades del producto escalar:
 
En el desarrollo anterior, se ha tenido en cuenta:
 
2.3. Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector cuyo módulo el producto de los
módulos multiplicado por el ángulo è entre vectores ( 0º <= è <= 180º), la dirección n será
perpendicular al plano ð definido por los vectores y el sentido viene dado por la regla de la mano
derecha (el dedo índice indica elsentido de giro de a a b y el dedo pulgar el sentido del vector).
Analíticamente, se expresa como:
Las propiedades del producto vectorial y que se deducen de su definición, son:
(8)
(9)
(10)
 (11)
Fundamentos de cálculo vectorial
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1. a v b = 0 si a = 0 ó b = 0 ó è = 0º ó è = 180º .
2. a v b = - b v a.
3. Distributiva: a v ( b + c ) = ( a v b ) + ( a v c ).
4. Distributiva: ( a + b ) v c = a v c + b v c .
5. Si k es un escalar: a v (kb) = (k a) v b = k (a v b ) .
6. a v a = 0 
7. a . ( a v b) =0.
8. b . ( a v b) =0.
En lo que respecta a los vectores unitarios i, j, k del
sistema de ejes cartesiano, se deduce a partir de la
definición de producto vectorial:
Figura 7. Producto vectorial.
Figura 8. Vectores unitarios ejes.
(12)
Fundamentos de cálculo vectorial
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Es posible obtener la expresión del producto vectorial en función de sus componentes a partir de
la definición de producto vectorial, teniendo en cuenta además las ecuaciones anteriores:
 
2.4. Productos especiales
Triple producto escalar de vectores: se define como: a . ( b v c ). 
El triple producto escalar, se puede expresar en función de las componentes del vector,
resultando:
El triple producto escalar presenta además la siguiente propiedad: a . ( b v c ) = ( a v b ) v c.
Triple producto vectorial de vectores: se define como: a v ( b v c ). 
Propiedad: se puede demostrar: a . ( b v c ) = ( a . c )b - ( a . b )c. 
2.5. Cálculo de áreas y volúmenes 
Es posible expresar áreas y volúmenes de superficies y cuerpos a partir de los productos escalares
y vectoriales. Sea un paralelogramo de lados a, b y de área A. De acuerdo con la figura, los lados
nos sirven para definir los vectores a y b, cumpliéndose:
(13)
(14)
Fundamentos de cálculo vectorial
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Igualmente, el volumen de un paralelepípedo de lados a,b,c, siendo A el área de la base de lados
b y c y h la altura:
3. FUNCIONES VECTORIALES. GENERALIDADES
Generalmente, las magnitudes vectoriales no son constantes, sino que varían según valores que
toman ciertas variables, escalares o vectoriales, con las que están ligadas mediante relaciones
funcionales.
Como sabemos, son muchos los problemas físicos en los que intervienen magnitudes vectoriales
Figura 9. Áreas y volúmenes.
(15)
(16)
Fundamentos de cálculo vectorial
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en las expresiones matemáticas que rigen el fenómeno de estudio. A título de ejemplo podemos
citar los siguientes: la trayectoria de una partícula en función del tiempo: r = r(t), así como la
velocidad y aceleración. La velocidad de los diferentes puntos de un sólido rígido, en rotación
alrededor de un eje, que es función de la posición del punto respecto del eje: v = ù v r, la fuerza
que actúa sobre una partícula, que es función de la aceleración a la que está sometida: F = m. a,
la densidad en el interior de un cuerpo no homogéneo, que es función de la posición del punto
del cuerpo considerado: ñ=ñ(r), etc.
Las posibles casos de relaciones funcionales en las que intervienen magnitudes vectoriales, que
mayor interés presentan en el estudio de la Mecánica, son los siguientes:
a) Función vectorial de variable escalar.
b) Función escalar de variable vectorial.
c)Función vectorial de variable vectorial.
Cuando la variable vectorial que interviene en la relación funcional es precisamente el vector de
posición r, entonces la función correspondiente, escalar o vectorial, se denomina función de
punto, pudiendo ser de función escalar de punto, caso b) o función vectorial de punto, caso c).
A la región del espacio en que está definida una función escalar de punto, se le conoce con el
nombre de campo escalar. Análogamente, a la región del espacio en que está definida una función
vectorial de punto, se le denomina campo vectorial.
4. FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR. DERIVACIÓN
4.1. Derivada de una función vectorial de variable escalar
Se dice que un vector es función de una variable escalar, cuando sus componentes son funciones
de dicha variable, llamando t a la variable escalar, la condición anterior se expresa:
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 (17)
 (18)
 (19)
Figura 10. Derivada de un vector.
Haciendo coincidir invariablemente el origen del vector con el origen de coordenadas, el extremo
del vector describe una curva, llamada indicatriz, cuyas ecuaciones paramétricas, son:
 
La variable t puede ser cualquier magnitud escalar como: tiempo, temperatura, longitud de un
arco de curva, etc.
Se define como derivada de un vector función de variable escalar, como el límite de la relación
entre el incremento del vector y el correspondiente incremento de la variable, cuando este último
tiende a cero. Es fácil comprobar que la derivada de un vector función de variable escalar es otro
vector cuyas componentes son las derivadas del vector inicial.
El vector derivada es, por otro lado, tangente a la
curva indicatriz, ya que la dirección del vector Är
/ Ät tiende a la tangente cuando Ät tiende a cero.
Consideremos a continuación la derivada de las
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 (20)
 (21)
 (22)
combinaciones más sencillas de funciones vectoriales de variable escalar.
2.2. Propiedades
a) Suma de vectores: La derivada de la suma de dos vectores es igual a la suma de las derivadas
de los vectores. La demostración de esta propiedad es obvia:
b) Producto de un escalar por un vector: La derivada del producto de un escalar por un vector es
igual a la suma del producto de la derivada del escalar por el vector más el producto del escalar
por la derivada del vector:
c) Producto escalar de dos vectores: La derivada del producto escalar de dos vectores es igual a
la suma del producto escalar de la derivada del primer vector por el segundo, más el producto
escalar del primer vector por la derivada del segundo:
d) Producto vectorial de dos vectores: La derivada del producto vectorial de dos vectores es igual
a la suma del producto vectorial de la derivada del primer vector por el segundo, más el producto
vectorial del primer vector por la derivada del segundo:
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 (23)
 (24)
Figura 11. Derivada de un vector.
 (25)
e) Derivada de un vector de módulo constante: una importante consecuencia que se extrae del
caso c) es que: la derivada de un vector de módulo constante es un vector perpendicular al
primero. En efecto, ya que en este caso: r.r = cte, y al derivar se obtiene: 
5. TRIEDRO INTRÍNSECO
Considerando como parámetro del vector que
define a una curva cualquiera en el espacio a la
longitud del arco que describe su extremo,
Ocontada a partir de una posición inicial P :
Cuya derivada es:
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 (26)
 (27)
Figura 12. Variación del vector tangente.
 (28)
Puesto que la cuerda y el arco son infinitésimos equivalentes, su cociente será la unidad, esto es:
Y en consecuencia, el vector T = dr / ds es un vector unitario tangente a la curva en el punto
considerado, denominado vector tangente.
Derivando la expresión del vector tangente respecto del arco, se obtiene:
Por ser T un vector de módulo constante el
vector dT / ds es perpendicular a T. Se
denomina vector normal principal N al vector
unitario cuya dirección coincide con la de dT /
ds, esto es:
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 (29)
 (30)
 (31)
 (32)
1 2Veamos a continuación el valor de dT / ds , para ello tomemos los puntos P y P sobre la curva
considerada, separados por un incremento de arco Äs, consideremos en ellos el vector tangente.
Ambas tangentes, al igual que las normales, forman un ángulo Än y la variación del vector
1 2 2 1tangente al pasar de P a P es ÄT = T- T , verificándose que ÄT = Än. Dividiendo por Äs y
tomando límites cuando Äs tiende a cero:
Teniendo en cuenta que el diferencial de arco de curva es equivalente al de una circunferencia
de centro, el centro de curvatura, y de radio el radio de curvatura ñ :
En consecuencia el vector normal principal es:
Expresión esta última que constituye la primera fórmula de Frenet. De la igualdad:
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 (33)
 (34)
 (35)
Figura 13. Triedro intrínseco.
Se deduce el valor de la curvatura (inversa del
radio de curvatura ñ):
 
Se denomina vector binormal B en un punto P de
la curva, al vector dado, por:
Que resulta ser un vector unitario perpendicular a T y a N. En consecuencia, los vectores T, N
y B constituyen un triedro trirrectangular característico para cada punto de la curva, que se
denomina triedro intrínseco. 
Al plano determinado por los vectores T y N se denomina plano osculador, al determinado por
los vectores N y B, plano normal, y al determinado por los vectores T y B, plano rectificante. Las
ecuaciones de estos planos, se determinan de forma inmediata:
O P Plano osculador: (r - r ) . B = 0.
N P Plano normal: (r - r ) . T = 0.
R P Plano rectificante: (r - r ) . N = 0.
Fundamentos de cálculo vectorial
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6. FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL
Una función del tipo n=n(r) siendo r el vector de posición de un punto genérico, definida en una
determinada región del espacio, o en el espacio entero, se denomina función escalar de punto,
cuando a cada punto de dicha región le corresponde un determinado valor de la función. La
región en que está definida la función de este tipo recibe el nombre de campo escalar. Como
ejemplos de campos escalares pueden citarse, la densidad del aire en los distintos puntos de la
atmósfera, la temperatura de las diversas partículas de un fluido en movimiento, la presión en los
distintos puntos del interior de un depósito, el potencial eléctrico a lo largo de los conductores
de un circuito, etc.
Cuando el campo se extiende a todo el espacio, se denomina ilimitado, y cuando abarca
únicamente a una porción del espacio se dice que el campo es limitado.
Puesto que el vector de posición de un punto genérico del campo escalar viene dado por sus
coordenadas: P(x,y,z), las cuales coinciden con las componentes de su vector de posición r, la
función escalar de punto se puede expresar en la forma: n=n(x,y,z). Se admite que las funciones
escalares de punto son uniformes, en el sentido de que a cada punto le corresponde un único
valor de la función, continuas y derivables en la región del espacio en la que están definidas.
Se denominan superficies de nivel de un campo escalar a los lugares geométricos de los puntos
del campo en los que la función escalar de punto tiene el mismo valor, su ecuación es, por tanto,
de la forma: n(x,y,z)=cte.
Las diferentes superficies de nivel de un campo escalar no pueden cortarse entre sí, ya que la
función escalar de punto ha sido definida como función uniforme. Por ello, puede conseguirse
una sencilla representación gráfica del campo sin más que representar las distintas superficies de
nivel correspondientes a valores uniformemente espaciados.
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Figura 14. Vector gradiente.
 (36)
 (37)
 (38)
Dado que en un campo escalar, el valor de la
función escalar de punto varía de unos a otros, es
muy importante poder determinar como cambia
dicho valor a partir de un punto en función de los
desplazamientos dentro del campo. Con este
sentido, se define la derivada direccional de la
función escalar de punto. Consideremos un punto
P dentro de un campo escalar situado sobre la
superficie de nivel correspondiente a un valor
genérico n de la función escalar de punto y a partir
de él un desplazamiento dr, tal:
El extremo Q de este desplazamiento elemental se encuentra sobre la superficie de nivel
correspondiente al valor n+dn. Al pasar de P a Q la función n(x,y,z), experimenta una variación
que viene dada por su diferencial total:
Que podemos considerar como el producto escalar de dos vectores:
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 (39)
 (40)
 (41)
 (42)
Al primero de estos vectores se le denomina gradiente de la función n:
De tal forma que:
En la expresión anterior, se han dividido los términos de la ecuación por dr, siendo u el vector
unitario en la dirección del desplazamiento considerado dr, es decir PQ. El cociente dn / dr es,
por definición la derivada direccional de la función escalar de punto n(x,y,z) en el punto P según
la dirección del desplazamiento, definida por el vector unitario u. De acuerdo con la expresión
obtenida, la derivada direccional es la proyección del vector gradiente sobre la dirección
considerada:
En particular cuando cos á = 1, á=0 , es decir cuando grad n y u son paralelos, la derivadaº
direccional resulta máxima:
Fundamentos de cálculo vectorial
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 (43)
 (44)
En consecuencia, el módulo del gradiente coincide con la derivada direccional máxima, y además
la dirección del gradiente se identifica con la dirección de máxima variación de la función escalar
de punto n(x,y,z). 
Para conocer la dirección del gradiente, consideramos un desplazamiento elemental dr sobre la
superficie de nivel que pasa por el punto P, dado que n(x,y,z) permanece constante sobre dicha
superficie, resulta:
Lo cuál indica la perpendicularidad del vector gradiente con todos los posibles desplazamientos
sobre dicha superficie de nivel, grad nzdr, en consecuencia: el vector gradiente es, en cada
punto, normal a la superficie de nivel que pasa por ese punto.
El gradiente de una función escalar de punto puede representarse por medio de un vector
simbólico, llamado: operador nabla, operador gradiente, u operador Hamilton, definido por:
 
De este modo:
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 (45)
 (46)
Se denominan líneas de gradiente a aquéllas que son tangentes en cada punto a la dirección del
gradiente, Ln 2 dr. Sus ecuaciones diferenciales son, por tanto:
Las líneas de gradiente son perpendiculares a las superficies de nivel.
 sistemas de vectores deslizantes
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SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
1. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. CAMPO DE MOMENTOS
2. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE
3. RESULTANTE GENERAL Y MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE
VECTORES DESLIZANTES
4. INVARIANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
5. EJE CENTRAL Y TORSOR DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
6. EQUIVALENCIA Y REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
 sistemas de vectores deslizantes
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 (1)
Figura 1. Momento del vector v respecto del
punto A.
 (2)
 (3)
1. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO. CAMPO DE MOMENTOS
x y, z P, P, P Consideremos un vector deslizante v= [v ,v v ] y un punto cualquiera P(x y z ) de su línea det
A A Aacción, se llama por definición, momento del vector v respecto a un punto fijo A(x ,y ,z ) al
vector resultante del producto vectorial:
Donde AP es el vector de posición del punto P respecto del punto A, llamado impropiamente
Acentro de momentos. Al momento M (v) así definido se le exige la condición de que resulte en
forma de vector fijo aplicado en el punto A; de esta forma se tiene que a cada punto del espacio
le corresponde un momento distinto de un mismo vector, formándose así lo que se denomina
campo de momentos del vector v.
El vector momento en cualquier punto A del
espacio será por (1) normal al plano definido
por el vector y el punto considerado, y su
módulo es igual al módulo del vector por la
distancia d del punto A a la línea de acción
del vector deslizante, llamándose a esta
distancia brazo delvector:
La expresión explícita del momento puede
conocerse al desarrollar el determinante:
 sistemas de vectores deslizantes
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 (4)
 (5)
 (6)
Figura 2. Momento de un vector
respecto de A.
 (7)
Si se toma como centro de momentos el origen de coordenadas, al momento del vector se le
denomina momento principal y resulta:
Cuyas tres componentes cartesianas representadas por L, M, y N, tienen como expresiones:
 
Un vector deslizante queda completamente determinado, cuando se conocen sus componentes:
x y, z , O v= [v ,v v ] y las componentes de su momento principal: M (v)= [L,M N] . Ahora bien, comot t
el momento principal es, como todos los del campo de momentos, perpendicular al propio vector
v, se verifica:
Y por tanto de estas seis cantidades solamente cinco son independientes entre sí. De aquí que,
para determinar un vector deslizante, solamente se precisen cinco parámetros, llamados
coordenadas del vector deslizante.
Como se ha comentado, el momento de un mismo
vector es distinto para cada punto del espacio; en
efecto, consideremos dos puntos cualesquiera: A y B,
se tiene que:
 sistemas de vectores deslizantes
29
 (8)
Figura 3. Momento de un vector,
variación del punto de aplicación.
 (9)
Expresión que permite conocer el momento de un vector respecto de un punto A, conociendo su
momento respecto de otro punto B. Si en lugar de un punto cualquiera B, se considera el origen
de coordenadas, la expresión anterior toma la forma:
Que permite determinar el momento correspondiente a cualquier punto A del espacio en función
Adel vector de posición r . Esta expresión constituye la ecuación del campo de momentos del
vector v.
El campo de momentos de un vector no se altera al desplazarse éste de uno a otro punto de su
A Alínea de acción. En efecto, los momentos M (v) y M’ (v) de un mismo vector v situado en dos
1 2puntos P y P distintos de su línea de acción respecto a un mismo punto A son idénticos, ya que
su diferencia resulta nula:
1 2Ya que P P es paralelo a v. Resulta de este modo,
que el campo de momentos de un vector deslizante es
un invariante del mismo, ya que no depende de su
punto de aplicación. Por esto se dice que las
características intrínsecas de un vector deslizante son
el propio vector y su campo de momentos.
 sistemas de vectores deslizantes
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Figura 4. Momento axial.
 (10)
 (11)
 (12)
 (13)
2. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE
x y, z Dado un vector deslizante: v= [v ,v v ] y un eje EÉ, se llama momento axial del vector vt
respecto a la recta EÉ, a la proyección sobre EÉ del momento del vector respecto a un punto
Ecualquiera de la recta EÉ. Llamando u al vector unitario de dirección la recta, el momento axial
del vector v será, si elegimos como centro de momentos el punto A de la recta:
Fácilmente se demuestra que el momento axial
es único, es decir independiente del punto
elegido sobre la recta. En efecto, si tomamos
como centro de momentos otro punto cualquiera
B de la recta, se verificará, según sabemos:
Proyectando sobre la recta, tenemos:
EAhora bien, el último término es nulo, puesto que BA y u son vectores de la misma dirección,
E luego ( BA v v ) . u = 0 y en consecuencia, las proyecciones sobre el eje EÉ de los momentos
del vector v respecto de los puntos A y B cualesquiera de EÉ son iguales, es decir:
Siendo pues el momento axial único. 
De la definición de momento axial, se deduce que éste será nulo tanto si EÉ y v son paralelos,
 sistemas de vectores deslizantes
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 (14)
 (15)
Apues en este caso M (v) será perpendicular a EÉ y su proyección será nula, como si EÉ y la línea
de acción de v se cortan, ya que en tal caso, eligiendo como centro de momentos el punto de
Acorte, resulta: M (v)=0.
P, P, PESea u = [á,â,ã] , el vector unitario de dirección de la recta EÉ, P(x y z ) es el punto det
A, A, Aaplicación de v y A(x y z ) es un punto cualquiera de la recta, el momento axial se puede
expresar explícitamente de la forma siguiente:
OSiendo M (v) = [L,M,N] el momento principal del vector v, sus proyecciones sobre los ejest
coordenados son:
 
3. RESULTANTE GENERAL Y MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE
VECTORES DESLIZANTES
Se denomina sistema de vectores deslizantes, al conjunto formado por un número cualquiera,
ifinito (sistema discreto o discontinuo) o infinito (sistema continuo), de vectores deslizantes v
(i=1,2,....,n).
Se llama resultante general R de un sistema de n vectores deslizantes, al vector libre igual a la
suma de los n vectores equipolentes a los del sistema.
 sistemas de vectores deslizantes
32
 (16)
 (17)
 (18)
xi yi zi iSi los vectores del sistema son de la forma: v = [v , v , v ] , la resultante general será:t
Siendo por tanto las componentes de R:
Se denomina momento resultante respecto a un punto A, a la resultante de los momentos respecto
de A de cada uno de los vectores que componen el sistema. 
i i i i iSi P (x , y , z ) (i=1,2,..n) son puntos de las líneas de acción de cada uno de los vectores v y
A A AA(x ,y ,z ), es el centro de momentos, el momento resultante respecto de A es:
El momento resultante tiene, en general, un valor distinto en cada punto del espacio, el conjunto
de los cuales constituye el campo de momentos del sistema de vectores deslizantes.
Si calculamos el momento resultante en otro punto B, obtenemos:
 sistemas de vectores deslizantes
33
(19)
Figura 5. Sistema de vectores
deslizantes.
 (20)
 (21)
Expresión que nos indica que el momento resultante
respecto a un punto B es igual al momento resultante
respecto al punto A más el momento de la resultante
general R localizada en A respecto de B. Por tanto,
conocida la resultante general del sistema y el
momento resultante respecto a un punto A, podemos
determinar mediante la ecuación (19) el momento
resultante respecto a otro punto cualquiera B del
espacio.
B APara que sea M = M es necesario que BA v R = 0,
lo cual se satisface cuando la resultante general es nula, R=0, y también cuando la recta AB es
paralela a R.
Si en lugar de un punto cualquiera A se elige el origen de coordenadas, la ecuación del campo
de momentos resulta:
Esta última ecuación constituye la ecuación del campo de momentos del sistema de vectores
O deslizantes. Las componentes de R y M constituyen las seis coordenadas del sistema:
 sistemas de vectores deslizantes
34
Figura 6. Momento mínimo.
 (22)
 (23)
Un sistema queda caracterizado por sus seis coordenadas, que determinan su campo de
momentos. No existe, en general, una relación entre ellas, siendo necesario, en consecuencia, seis
valores para tener totalmente determinado el sistema de vectores deslizantes.
4. INVARIANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
Se denominan invariantes de un sistema de
vectores deslizantes a aquellas magnitudes
que permanecen constantes al cambiar el
centro de momentos y que, por tanto, son
características de cada sistema.
De la definición de resultante general, se
deduce que ésta es la misma para cualquier
punto del espacio, ya que sus componentes
son independientes de las coordenadas del
punto que se considere, denominándose
primer invariante del sistema.
El momento resultante ya hemos visto que varía de un punto a otro del espacio mediante la
ecuación: 
Si proyectamos dicho momento resultante sobre la dirección de la resultante general, para lo cual
basta multiplicar escalarmente el momento resultante por el vector unitario en la dirección de R,
Ru = R / R, obtenemos:
 sistemas de vectores deslizantes
35
 (24)
 (25)
 (26)
R REn donde el término ( BA v R ).u = 0 puesto que R y u son vectores de lamisma dirección. La
anterior ecuación nos indica que la proyección del momento resultante en cualquier punto, sobre
la resultante es constante, lo que constituye el segundo invariante del sistema. Este segundo
invariante representa el módulo del momento mínimo, ya que resulta evidente que el momento
será mínimo cuando tenga la misma dirección que la resultante general y su módulo valdrá:
Siendo por tanto:
 
5. EJE CENTRAL Y TORSOR DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
Se define el eje central de un sistema de vectores deslizantes como el lugar geométrico de los
puntos del espacio en los que el momento resultante es mínimo; lo cual equivale a decir, según
hemos visto en el epígrafe anterior, que el momento resultante y la resultante son paralelos.
El cálculo analítico de la ecuación del eje central se efectúa del siguiente modo: Sea la resultante
x y zR=[R , R , R ] y supongamos conocido el momento resultante respecto a un punto cualquierat
A A A A A A AA(x ,y ,z ), M =[L ,M ,N ] . El momento respecto a otro punto P(x,y,z) será, de acuerdo cont
la ecuación del campo de momentos:
 sistemas de vectores deslizantes
36
 (27)
(28)
 (29)
 (30)
Para que el punto genérico P(x,y,z) pertenezca al eje central, es necesario, por definición, que el
momento resultante en P sea paralelo a la resultante R. La expresión analítica de esta condición
de paralelismo, es la ecuación cartesiana del eje central:
Esto es:
Si se conoce el momento resultante con respecto al origen de coordenadas, las ecuaciones
cartesianas del eje central se reducen a:
Si consideramos a la resultante general R como vector deslizante sobre el eje central, entonces
el campo de momentos resulta en la forma:
mDonde M , momento mínimo, es invariante y, por tanto, representa un campo uniforme de
momentos, paralelos a R. El término AP v R es el momento de la resultante R en cada punto A
 sistemas de vectores deslizantes
37
 (31)
Figura 7. Campo de momentos. Torsor.
 (32)
 (33)
Adel espacio, M (R), que es siempre perpendicular a R. En consecuencia, el campo de momentos
del sistema es suma del momento de la resultante deslizante sobre el eje central y un momento
uniforme paralelo a R, que es precisamente el momento mínimo:
A mSiendo M (R) zM , de este modo, cualquier sistema de vectores deslizantes queda caracterizado
mpor la resultante general, deslizante sobre el eje central y un campo uniforme de momentos, M ,
mparalelos a R. El conjunto de estos dos vectores se denomina torsor del sistema (R, M ).
6. EQUIVALENCIA Y REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
Se dice que dos sistemas S y S´ son
equivalentes en un punto del espacio cuando
tienen la misma resultante general y el
mismo momento resultante respecto a dicho
A Apunto: R=R´ y M = M ´. Ahora bien, si
esto sucede en punto A del espacio, sucederá
también en cualquier otro punto B. En
efecto, para el sistema S, se verifica que:
Análogamente, para el sistema S´:
Restando ambas expresiones, resulta:
 sistemas de vectores deslizantes
38
 (34)
Figura 8. Sistema nulo.
 (35)
En consecuencia, si los sistemas son equivalentes en un punto A, son equivalentes en cualquier
punto del espacio.
Reducir un sistema de vectores es transformarlo en
otro lo más simplificado posible y que sea
equivalente con el primero. A continuación vamos
a estudiar los posibles casos de equivalencia y
reducción de sistemas:
A1. Sistema nulo: (R=0, M =0): Un sistema se dice
que es equivalente a cero, o que es un sistema
nulo, cuando su resultante general y su momento
resultante en cualquier punto son nulos: R=0, y
AM =0.
El caso más sencillo de sistema nulo es el constituido por vectores deslizantes iguales y opuestos
situados sobre la misma línea de acción:
 
Todo sistema nulo de vectores puede, en consecuencia, ser reducido a dos vectores iguales y
directamente opuestos.
mA2. Equivalencia a un vector (R…0, M …0, M =0). Aplicación al caso del cálculo del centro de
gravedad de un sólido: Si el momento mínimo de un sistema es nulo dicho sistema es
 sistemas de vectores deslizantes
39
equivalente a un vector único, la resultante general, deslizante sobre el eje central. En cualquier
otro punto del espacio, la resultante general y el momento resultante son perpendiculares entre
Así (R z M ).
Son ejemplos de este tipo de sistemas los formados por vectores paralelos y los constituidos por
vectores concurrentes. Este caso de equivalencia nos sirve también para definir el concepto de
centro de gravedad de un sistema de vectores paralelos, si bien este concepto se define de manera
más completa en el tema de geometría de masas al estudiar el concepto de centro de un sistema
de vectores fijos paralelos. 
Supongamos un sistema discreto de vectores
paralelos, como el que correspondería a la
acción de un campo gravitatorio actuando
sobre un sistema discreto de masas puntuales.
Si el sistema está formado por n masas
ipuntuales de valor genérico m , i=1..n, la
acción del campo gravitatorio producirá una
fuerza de atracción sobre cada masa en la
dirección del campo, originando un sistema
 i i.de vectores paralelos, representados por el vector genérico v = m g, i=1..n, en donde g
representa la aceleración de la gravedad. Supongamos que la dirección de las fuerzas del campo
coincide con el eje OZ, el momento de cada uno de los vectores respecto de un punto cualquiera
del espacio, tendrá la dirección perpendicular a las fuerzas del campo, esto es perpendicular al
eje OZ, el momento resultante será también perpendicular a OZ y la resultante del sistema será
el peso P = mg, cuya dirección será la del eje OZ, siendo m la masa total del sistema. Al ser la
resultante y el momento resultante perpendiculares, el momento mínimo será cero y el sistema
será equivalente a la resultante, esto es el peso, deslizando sobre el eje central, sobre el cual
estará el centro de gravedad G. La ecuación del eje central se determinará a partir de la expresión
A A A i i i idel momento resultante respecto de un punto genérico A(x ,y ,z ), siendo P (x ,y ,z ) un punto
igenérico de las líneas de acción de los vectores y P = Ó v , la resultante del sistema:
Figura 9. Sistema de vectores paralelos.
 sistemas de vectores deslizantes
40
A mSi A pertenece al eje central M = M = 0, resultando de la ecuación anterior:
(37)
La ecuación anterior representa la ecuación de una recta paralela al eje OZ que corresponde al
eje central. El sistema será pues equivalente a un sólo vector, el peso deslizando sobre el eje
central. Como el centro de gravedad G del sistema representa el punto de aplicación del peso P
y dicho punto es independiente de la orientación de las fuerzas del campo, las ecuaciones
Aanteriores se pueden extender también a la coordenada z , resultando, teniendo en cuenta que v
i i. = m g:
 
 (38)
Estas ecuaciones constituyen la conocida expresión del centro de gravedad G para un sistema
discreto.
(36)
 sistemas de vectores deslizantes
41
Figura 10. Par de vectores.
 (39)
Figura 11. Momento de un par de vectores.
A3. Equivalencia a un par (R=0, M …0): Se
denomina par de vectores al sistema
constituido por dos vectores paralelos y de
igual módulo, pero de sentidos opuestos y
aplicados en líneas de acción distintas.La
resultante del par es evidentemente nula, lo
que conlleva que el momento resultante sea
constante e igual en cualquier punto del
espacio:
 
El módulo del momento del par es M=d.v, siendo d la distancia entre las líneas de acción de
ambos vectores, denominada brazo del momento, y v el módulo de los vectores.
La dirección del momento es perpendicular al plano determinado por ambos vectores y su sentidoes el dado por la regla de Maxwell.
Cualquier sistema cuya resultante sea nula
puede ser reducido a un par, puesto que el
momento resultante en cualquier punto del
espacio es el mismo. La única condición es
que el momento del par sea igual al momento
resultante del sistema primitivo.
Dos pares cualesquiera son equivalentes entre
sí, si tienen el mismo momento.
Un sistema formado por pares en número cualquiera es siempre equivalente a un par único cuyo
 sistemas de vectores deslizantes
42
Figura 12.Equivalencia a un vector y a un par.
momento sea igual a la suma de los momentos de los pares componentes. 
A m4. Equivalencia a un vector y a un par (R…0, M …0, M …0): Un sistema de vectores deslizantes,
en el caso más general, es equivalente al sistema formado por la resultante aplicada en un punto
A y un par cuyo momento sea igual al momento resultante respecto de A.
AEn efecto, sea R la resultante general y M , el momento resultante del sistema respecto de un
A Apunto arbitrario A. Supongamos un plano ð perpendicular a M , el vector M puede ser
Asustituido, como sabemos, por un par (v, -v) situado en el plano ð, cuyo momento sea M . Con
ello hemos reducido el sistema a la resultante R aplicada en A y a un par (v, -v) situado en un
Aplano ð perpendicular a M .
Si en particular se elige, para reducir el sistema, un punto del eje central, la resultante general y
el momento resultante (momento mínimo en este caso) serán paralelos y el plano que contiene
a los vectores (v, -v) es perpendicular a la resultante.
A mComo caso particular, todo sistema de vectores deslizantes en que: R…0, M …0, M …0, puede
reducirse a dos vectores, cuyas líneas de acción no sean concurrentes y de forma que uno de ellos
pase por un punto fijado a priori.
 sistemas de vectores deslizantes
43
En efecto, elegido el punto A, el sistema queda reducido a la resultante general R y al momento
A Aresultante M . El momento M puede ser sustituido por un par (v, -v) situado en un plano ð
perpendicular a él, y de los infinitos posibles pares, elegimos uno tal que v pase por A.
Si se suman los vectores R y v, resultará que el sistema ha quedado reducido a dos vectores: AB
= R + v y -v, uno de ellos aplicado en A.
 sistemas de vectores deslizantes
44
Notas: expresiones de utilidad
x y z A A AMomento de un vector deslizante v=[v ,v ,v ] , respecto de un punto A(x ,y ,z ), siendot
P P P P/A P(x ,y ,z ), un punto de su línea de acción y r , el vector de posición de P respecto de A, esto
P/A P Aes r = r -r :
x yPara el caso de trabajar en el plano, el momento de v = [v ,v ,0] , respecto de un puntot
A A P PA(x ,y ,0), siendo P(x ,y ,0) un punto de la línea de acción:
Que se puede expresar como si fuera un escalar, en donde el signo del tercer componente del
vector momento, indica si el momento es en sentido positivo o negativo del eje OZ:
geometría de masas: centros de gravedad
45
GEOMETRÍA DE MASAS: CENTROS DE GRAVEDAD
1. GENERALIDADES
2. CENTRO DE UN SISTEMA DE VECTORES FIJOS PARALELOS
3. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SISTEMA MATERIAL
4. MOMENTOS ESTÁTICOS. PROPIEDADES
5. TEOREMAS DE GULDIN
geometría de masas: centros de gravedad
46
 (1)
 (2)
 (3)
1. GENERALIDADES
La geometría de masas se ocupa del estudio de la distribución espacial de la masa de los sistemas
materiales. Los sistemas materiales, pueden ser de dos tipos:
- Sistemas discretos o discontinuos: constituidos por un conjunto de masas puntuales o puntos
i imateriales. Cada punto material P del sistema tiene asociado una magnitud m denominada masa
ide P .
- Sistemas continuos: formados por distribuciones continuas de masa en un determinado recinto
del espacio.
Un sistema material continuo queda caracterizado por una función escalar de punto ñ=ñ(r),
denominada función densidad. La densidad en un punto de un sistema continuo se define como
el límite del cociente entre la masa contenida en un recinto elemental, que contiene en su interior
al punto considerado y el volumen que encierra dicho recinto:
En sistemas planos se define, análogamente, la densidad superficial:
De forma semejante, se define en los sistemas lineales, la densidad lineal:
Si la densidad es constante en todos los puntos de un sistema continuo, se dice que dicho sistema
es homogéneo.
geometría de masas: centros de gravedad
47
 (4)
Figura 1. Vectores fijos paralelos.
 (5)
 (6)
 (7)
En geometría de masas se utilizan sumas (para sistemas discretos) e integrales (para sistemas
continuos) de la forma:
Denominados momentos. Cuando la función de las coordenadas f es de primer grado reciben el
nombre de momentos de primer orden (momentos estáticos) y cuando es de segundo grado,
momentos de segundo orden (momentos y productos de inercia).
2. CENTRO DE UN SISTEMA DE VECTORES FIJOS PARALELOS
iConsideremos un sistema de vectores v
iparalelos, aplicados en puntos fijos P .
Definiendo la dirección de los vectores
mediante el vector unitario u, cada uno de los
vectores del sistema puede expresarse en la
forma:
El momento de cada vector respecto a un
punto cualquiera C del espacio, es:
Teniendo en cuenta que:
geometría de masas: centros de gravedad
48
 (8)
 (9)
 (10)
 (11)
 (12)
Resulta:
El momento resultante del sistema respecto al punto C, será:
Puesto que:
CEs evidente que M y R son perpendiculares, en consecuencia, si el punto C pertenece al eje
C m central, debe de cumplirse: M = M =0, es decir:
Imaginemos ahora que el sistema de vectores considerado tiene la propiedad de variar su
orientación respecto al sistema de referencia, pero manteniéndose los vectores paralelos y
conservando sus puntos de aplicación, es evidente que, en tal caso, el eje central variará también
su orientación simultáneamente con el sistema de vectores. Ahora bien, la ecuación anterior sigue
verificándose con independencia de la orientación si:
Es decir, existe un punto C del espacio por el que pasan todos los ejes centrales del sistema,
denominado centro del sistema, cuyo vector de posición viene dado por:
geometría de masas: centros de gravedad
49
(13)
 (14)
 (15)
 (16)
3. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SISTEMA MATERIAL
Se denomina centro de gravedad de un sistema material al punto de aplicación de su peso,
cualquiera que sea su orientación en el espacio, y puede ser obtenido como caso particular del
icentro de un sistema de vectores fijos paralelos, sin más que considerar los vectores de peso: P
i= m .g de cada uno de los puntos del sistema:
 
Las coordenadas del centro de gravedad de un sistema material, que evidentemente coinciden con
Glas componentes de su vector de posición r , respecto de un cierto sistema de referencia, son:
En el caso de un sistema material continuo puede asociarse a cada elemento de masa dm el
correspondiente peso elemental dP=dm.g, viniendo dado, en este caso, el vector de posición del
centro de gravedad por la expresión:
Si el sistema material es homogéneo, es decir su densidad ñ es constante en todos los puntos,
geometría de masas: centros de gravedad
50
 (17)
 (18)
teniendo en cuenta que dm = ñ.dv, resulta:
Análogamente, para sistemas planos y lineales, se tiene:
Resultando entonces un simple problema geométrico. Dado que en las distintas expresiones
obtenidas del vector de posición del centro de gravedad de un sistema material no influye el valor
de la gravedad g del lugar, resulta que dicho centro de gravedad es un punto invariable con
independencia de la situación del sistema en uno u otro punto de la tierra, incluso en cualquier
punto del espacio donde, ni siquiera, se puede hablar de gravedad. Esta es la razón por la que el
centro de gravedadse denomine también, y con mayor propiedad, centro de masas del sistema
material. 
El centro de gravedad se suele expresar para abreviar como c.d.g. ó G.
4. MOMENTOS ESTÁTICOS. PROPIEDADES
Se define el momento estático de primer orden o momento estático de un sistema discreto de
imasas m respecto a un punto, recta o plano, como la suma de los productos de cada una de las
masas del sistema por su distancia al punto, recta o plano considerado:
geometría de masas: centros de gravedad
51
 (19)
 (20)
 (21)
 (22)
Para sistemas materiales continuos, las sumas se convierten en integrales definidas, extendidas
al recinto que ocupa la masa del espacio:
En lo que sigue utilizaremos, por brevedad, expresiones del tipo suma, ya que las conclusiones
que se obtengan serán igualmente válidas para sistemas continuos sin más que cambiar las sumas
por integrales.
iDesignando por m = Óm a la masa total del sistema, hemos visto que las coordenadas de su
centro de gravedad son:
Donde los numeradores son precisamente los momentos estáticos del sistema respecto a los
planos coordenados, de tal suerte que:
 
Extrapolando estos resultados para un plano cualquiera ð, podemos decir que: El momento
geometría de masas: centros de gravedad
52
 (23)
Figura 2. Plano de simetría.
 (24)
estático respecto a un plano cualquiera es igual al producto de la masa total del sistema por la
distancia de dicho plano al centro de gravedad del sistema (como si toda la masa del sistema
estuviese concentrada en el centro de gravedad):
GEn particular, si el plano considerado contiene al centro de gravedad es d =0 y, en consecuencia,
ðM = 0, es decir, el momento estático respecto a un plano que contenga al centro de gravedad ese 
siempre nulo, y a la recíproca: si el momento estático respecto a un plano es nulo, dicho plano
contiene al centro de gravedad del sistema.
Cuando la distribución de masas de un sistema material
presenta alguna simetría, el centro de gravedad está
contenido en el elemento de simetría. En efecto, si una
distribución de masas presenta simetría respecto a un plano
ð, podemos imaginar el sistema formado por parejas de
imasas m , de forma que al calcular el momento estático
i i respecto al plano ð cada término m .d se anula con su
i i ðsimétrico m .(-d ), de forma que: M = 0, en consecuencia,e 
todo plano de simetría contiene el centro de gravedad.
Si existen dos planos de simetría, evidentemente, el centro de gravedad está contenido en la recta
de intersección (eje de simetría). Si existen tres planos de simetría, el centro de gravedad coincide
con el centro de simetría (punto de intersección de tres planos).
Todo sistema material puede considerarse compuesto por N sistemas parciales, de tal forma que
la masa total será
geometría de masas: centros de gravedad
53
 (26)
 (27)
Y el momento estático total respecto al plano x=0:
GiTeniendo en cuenta que cada término puede a su vez expresarse en función de la abscisa x del
centro de gravedad del sistema parcial correspondiente:
 
GLa abscisa x del centro de gravedad del sistema total vendrá dada por:
G GExpresiones análogas se obtienen para y y z .
5. TEOREMAS DE GULDIN
Los teoremas de Guldin, aplicables a cuerpos homogéneos de revolución, resultan muy útiles
para determinar la posición del centro de gravedad de líneas y superficies planas, cuando se
conoce el valor del área o del volumen que engendran por revolución o viceversa.
Primer teorema de Guldin: el área engendrada por una línea plana al girar alrededor de une eje
contenido en su plano y que no lo corta, es igual al producto de la longitud de la línea por la
longitud de la circunferencia descrita por su centro de gravedad.
geometría de masas: centros de gravedad
54
Figura 3. Primer teorema de Guldin.
 (28)
 (29)
 (30)
 (31)
En efecto, consideremos una línea plana de
longitud L y centro de gravedad G, cuya
ordenada viene dada por:
 
Un elemento de línea dl engendra al girar 360º alrededor del eje Ox un área de valor:
Y el área total engendrada por la línea es:
Como ejemplo de este teorema, vamos a determinar el c.d.g. de una semicircunferencia. Como
sabemos, la longitud de una semicircunferencia de radio R es L = ð.R, y al girar 360º en torno
al eje Ox, engendra una superficie esférica cuya área es S = 4.ð.R , en consecuencia:2
Segundo teorema de Guldin: el volumen engendrado por una superficie plana al girar alrededor
de une eje contenido en su plano y que no la corta, es igual al producto del área de la superficie
por la longitud de la circunferencia descrita por su centro de gravedad.
geometría de masas: centros de gravedad
55
Figura 4. Primer teorema de Guldin.
 (32)
 (33)
 (34)
 (35)
En efecto, consideremos una superficie plana
de área S y centro de gravedad G, cuya
ordenada viene dada por:
Un elemento de elemental de superficie ds engendra al girar 360º alrededor del eje Ox un
volumen de valor:
Y el volumen total engendrado por la superficie es:
Como ejemplo de este teorema, vamos a determinar el c.d.g. de un semicírculo. Como sabemos,
el área de un semicírculo de radio R es: S=ð.R / 2 y al girar 360º en torno al eje Ox, engendra2 
una esfera cuyo volumen es V = 4.ð.R / 3, en consecuencia:3 
geometría de masas: momentos de inercia
56
MOMENTOS DE INERCIA
1. MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA
2. TEOREMAS DE STEINER
3. MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE DETERMINADO. TENSOR DE
INERCIA
4. ELIPSOIDE DE INERCIA
5. CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES
DE INERCIA
geometría de masas: momentos de inercia
57
Figura 5. Sistema discreto.
 (36)
 (37)
 (38)
 (39)
1. MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA
Se define el momento de inercia de un
isistema discreto de masas m respecto a un
punto, recta o plano, como la suma de los
productos de cada una de las masas del
sistema por el cuadrado de su distancia al
punto, recta o plano considerado:
En sistemas materiales continuos, las sumas se sustituyen por integrales, extendidas a todo el
recinto ocupado por la masa:
1 2Se define como producto de inercia de un sistema material respecto de dos planos ð y ð , como
la suma (integral) de los productos de las masas por sus distancias a dichos planos:
En adelante emplearemos por brevedad, expresiones del tipo suma, aunque las conclusiones que
se obtengan serán igualmente válidas para sistemas continuos.
Consideremos un sistema cartesiano de referencia. La expresión del momento de inercia de un
sistema material respecto al origen de coordenadas es:
 
geometría de masas: momentos de inercia
58
 (40)
 (41)
 (42)
Los momentos de inercia respecto de cada uno de los ejes coordenados, son:
 
Los momentos de inercia respecto a cada uno de los planos coordenados:
 
Los productos de inercia respecto de cada pareja de planos coordenados:
 
De la simple observación de las expresiones anteriores, se deducen las siguientes relaciones:
o x y z1) I = I + I + I , es decir: el momento de inercia respecto a un punto, es igual a la suma de los
momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares entre sí, que se cortan en el punto
considerado.
o x y z2) 2.I = J + J + J , es decir: el momento de inercia respecto a un punto, es igual a la semi-suma
de los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el punto
considerado.
o x x o y y o z z3) I = J + I , I = J + I , I = J + I , es decir: el momento de inercia respecto a un punto, es
igual a la suma de los momentos de inercia respecto a un eje y a un plano perpendiculares entre
sí y que se cortan en el punto considerado.x y z y x z z x y4) J = I + I , J = I + I , J = I + I , es decir: el momento de inercia respecto a un eje, es igual
a la suma de los momentos de inercia respecto a dos planos perpendiculares entre sí y cuya
geometría de masas: momentos de inercia
59
 (43)
 (44)
Figura 6. Teoremas de Steiner.
intersección es el eje considerado.
Se denomina radio de giro de un sistema respecto a un punto, eje o plano, a la distancia de dicho
punto, eje o plano, en que debería concentrarse toda la masa del sistema para obtener el mismo
momento de inercia. Es decir, para que resultase:
De la propia definición del radio de giro, se obtiene:
2. TEOREMAS DE STEINER
Teorema de Steiner para momentos de
inercia respecto a un punto: el momento de
inercia de un sistema material respecto a un
punto cualquiera es igual al momento de
inercia respecto del c.d.g. del sistema más el
producto de la masa del sistema por el
cuadrado de la distancia entre el punto
considerado y el c.d.g. del sistema.
En efecto, tomemos como origen del sistema
de referencia el c.d.g. del sistema y calculemos su momento de inercia respecto de un punto
P, P, Pcualquiera P(x y z ):
geometría de masas: momentos de inercia
60
 (45)
 (46)
 (47)
 (48)
Ahora bien:
 
Por contener los planos coordenados el c.d.g. del sistema. En consecuencia:
Teorema de Steiner para momentos de inercia respecto a un eje: El momento de inercia de un
sistema material respecto a un eje es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo al
considerado, que pase por el c.d.g., más el producto de la masa total del sistema por el cuadrado
de la distancia entre ambos ejes.
 
P P En efecto, consideremos el eje e, paralelo al eje Oz de ecuaciones: x = x , y = y ; y calculemos
el momento de inercia correspondiente:
Ahora bien:
geometría de masas: momentos de inercia
61
 (49)
 (50)
 (51)
 (52)
 (53)
En consecuencia:
Teorema de Steiner para momentos de inercia respecto a un plano: el momento de inercia de un
sistema material respecto a un plano es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo
al considerado, que contenga al c.d.g. más el producto de la masa total del sistema por el
cuadrado de la distancia entre ambos planos.
PEn efecto, consideremos un plano ð, paralelo al plano x=0, de ecuación x=x y calculemos el
momento de inercia correspondiente:
Ahora bien:
En consecuencia:
geometría de masas: momentos de inercia
62
 (54)
(55)
 (56)
Teorema de Steiner para productos de inercia: el producto de inercia de un sistema material
respecto a dos planos perpendiculares es igual al producto de inercia respecto a dos planos
paralelos a los considerados, en cuya intersección se encuentra el c.d.g. más el producto de la
masa total del sistema por las respectivas distancias entre las dos parejas de planos paralelos.
1 2En efecto, consideremos dos planos ð y ð perpendiculares entre sí, paralelos a los planos x =
P P0 e y = 0 respectivamente, de ecuaciones x = x e y = y y calculemos el producto de inercia
correspondiente:
Ahora bien:
En consecuencia:
geometría de masas: momentos de inercia
63
 (57)
 (58)
 (59)
(60)
3. MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE DETERMINADO. TENSOR DE
INERCIA
Consideremos un sistema cartesiano de referencia, vamos a calcular el momento de inercia de
un sistema material respecto a un eje “e” que pasa por el origen y cuya dirección viene definida
epor el vector unitario u = [á, â,ã] , se cumplirá:t
Teniendo en cuenta que:
Resultando el determinante:
iDe manera que el cuadrado de la distancia genérica de una partícula, d :
geometría de masas: momentos de inercia
64
(61)
 (62)
eSustituyendo esta expresión en la expresión de J , resulta:
Y teniendo en cuenta las definiciones de momentos y productos de inercia, se tiene:
Expresión que permite calcular el momento de inercia respecto a un eje “e” que pasa por el
origen de coordenadas, si se conocen los momentos y productos de inercia respecto a los ejes y
planos coordenados, respectivamente.
La relación anterior, puede escribirse en forma matricial:
OSiendo I el denominado tensor o matriz de inercia, que como se observa es simétrico.
Evidentemente, las componentes del tensor de inercia son función del punto considerado (origen
de coordenadas) y de la orientación del sistema de referencia respecto al sistema material. Si se
toma como punto de cálculo el c.d.g. del sistema material, el tensor resultante se denomina tensor
central del inercia.
geometría de masas: momentos de inercia
65
 (64)
 (65)
 (66)
4. ELIPSOIDE DE INERCIA
Consideremos a continuación una radiación de
rectas con vértice en el origen O (todas las
rectas pasan por O), y sea M un punto sobre la
recta genérica de la radiación “e”, de forma que:
 
Siendo k una constante arbitraria. Determinemos a continuación el lugar geométrico de M para
las infinitas rectas de la radiación. Sean las coordenadas de M(x,y,z), se verificará:
Despejando de estas ecuaciones los valores de á, â, ã, y sustituyendo en la fórmula anterior del
emomento de inercia respecto de una recta “e”, J :
Esta expresión representa la ecuación de un elipsoide con centro en el origen O. Dicho elipsoide
se le conoce como elipsoide de inercia. Podemos afirmar que, en general, en todo punto del
espacio existen tres direcciones ortogonales entre sí (coincidentes con los ejes del elipsoide)
respecto a los cuales los momentos de inercia son máximos o mínimos relativos, estas tres
direcciones reciben el nombre de direcciones principales y los momentos de inercia
correspondientes, momentos de inercia principales ó momentos principales de inercia. La recta
de la radiación respecto a la cual el momento de inercia es mínimo, tendrá la dirección
geometría de masas: momentos de inercia
66
(67)
 (68)
correspondiente al eje mayor del elipsoide, así como el mayor valor del momento de inercia
corresponderá a una recta de dirección del eje menor del elipsoide.
Sean los ejes XYZ del sistema, coincidentes con las direcciones principales, la ecuación del
elipsoide en este sistema, será:
1 2 3,En donde se ha supuesto que la constante, k = 1; J , J , J son los momentos de inercia2
principales. Comparando esta ecuación con la del elipsoide referido a otros ejes cualesquiera, se
ve que los productos de inercia respecto a los planos principales son nulos. Cuando el punto
considerado como origen del sistema de referencia es el c.d.g.. del sistema material, el elipsoide
de inercia recibe el nombre de elipsoide central de inercia.
5. CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES
DE INERCIA
Los ejes principales del elipsoide son normales a su superficie. Si consideramos un punto
M(x,y,z) de su superficie, el vector OM tendrá la dirección de un eje principal del elipsoide,
cuando tenga la dirección del vector normal a la superficie en M. Si los cosenos directores del
1 1 1vector OM son á , â , ã , tendremos para el vector OM:
 
Sea f(x,y,z)=0, la ecuación del elipsoide referida a unos ejes cualesquiera x,y,z. Un vector n
normal a la superficie del elipsoide, será:
geometría de masas: momentos de inercia
67
 (69)
 (70)
 (71)
 (72)
 (73)
 
Para que la dirección OM sea principal del elipsoide:
 
Como se cumple además que:
Pudiendo ponerse:
 
1 1 1Multiplicando la primera de estas ecuaciones por á , la segunda por â , y la tercera ã y sumando:
P P. PEs decir J = k / OM, o bien: k = J . OM, siendo J un momento principal de inercia genérico,
geometría de masas: momentos de inercia
68
 (74)
 (75)
 (76)
 (77)
resultando:
 Conello el sistema inicial (70) de tres ecuaciones, se transforma en:
 
Cuya condición de compatibilidad:
 
1 2 3Ecuación cúbica en J que nos da los tres momentos de inercia principales: J , J , J .
Teniendo en cuenta el sistema de tres ecuaciones (75) y como se cumplen además las ecuaciones
(71) para las tres direcciones principales, tenemos que generalizando:
Cumpliéndose:
geometría de masas: momentos de inercia
69
 (78)
 (79)
 (80)
 
iSistema que resuelto, nos da para cada momento principal de inercia J , la dirección del eje
i i iprincipal de inercia correspondiente, definida por los cosenos directores: á , â , ã .
6. MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES
6.1. Consideraciones generales
Los desarrollos generales efectuados para momentos y productos de inercia de cuerpos se pueden
particularizar para superficies planas contenidas en el plano Oxy, en este caso la coordenada de
la partícula se anula, resultado el momento de inercia respecto del origen:
 
Esta expresión equivale también al momento de inercia respecto del eje Oz. Los momentos de
inercia respecto de los ejes coordenados, son:
 
En este caso los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados Ox, Oy equivalen a los
momentos de inercia respecto de los planos y = 0, x =0. Cumpliéndose:
geometría de masas: momentos de inercia
70
 (82)
 (83)
 (84)
 (85)
Los productos de inercia respecto de cada pareja de planos coordenados:
 
En el caso de sistemas continuos, los sumatorios se transforman en integrales de superficie,
siendo el diferencial de masa dm = ñ.ds. Cuando se trata de superficies homogéneas, situación
que ocurre con frecuencia, la función densidad ñ es una constante, cuando esto sucede, con
objeto de simplificar las expresiones, se suele suponer ñ =1 y a los momentos de inercia
obtenidos con esta simplificación, se les denomina momentos de inercia geométricos 
Los teoremas de Steiner siguen siendo igualmente válidos, resultando: 
1. Momento de inercia de un punto P que dista una distancia d del centro de gravedad G:
2. Momento de inercia respecto de un eje e, que dista una distancia d respecto de un eje paralelo
e’ que pasa por G, (eje éG):
1 2 1 23. Finalmente el producto de inercia respecto de una pareja de planos ð ð que distan d , d de
otros planos paralelos que pasan por G:
En el caso de trabajar con momentos de inercia geométricos, la masa m, se sustituye por la
geometría de masas: momentos de inercia
71
superficie S.
6.2. Ejes principales y momentos principales de inercia. Construcción gráfica de Mohr 
Al igual que ocurre con volúmenes, los momentos de inercia respecto de un sistema de ejes
coordenados pueden variar según varía la orientación de los ejes del sistema de referencia. Es
posible obtener una expresión general de los momentos y productos de inercia respecto de un
sistema de ejes genérico Ox’y’, obtenido girando el sistema inicial Oxy un ángulo è, a partir de
la posición inicial, en función de los momentos y productos de inercia del sistema original.
Supongamos las superficie homogénea de la figura, considerando además los momentos y
productos de inercia geométricos: 
Figura 9. Transformación de coordenadas.
(86)
geometría de masas: momentos de inercia
72
Desarrollando las expresiones anteriores y sustituyendo las expresiones trigonométricas:
(87)
Se tiene:
Estas ecuaciones don conocidas como ecuaciones de transformación. Se comprueba además que
x’ y’ x y 0 x’ y’J + J = J + J = I . Es posible obtener el valor máximo o mínimo de J o’ J y el valor
m x’correspondiente de è. Llamando è a éste ángulo crítico y derivando la expresión de J respecto
de è e igualando a 0:
(89)
m m mLa ecuación anterior da dos valores de 2 è que difieren en 180º, ya que tan2 è = tan(2 è +180º),
men consecuencia, las dos soluciones de è difieren en 90º. Un valor define el eje de momento de
inercia máximo y el otro el eje de inercia mínimo. Estos ejes reciben el nombre de ejes
mprincipales de inercia. Sustituyendo el valor obtenido de 2 è en la expresión del producto de
x’y’inercia P de la ecuación (88) se comprueba además que el producto de inercia correspondiente
x’y’a los ejes principales de inercia es nulo, es decir: P = 0.
m x’ y’,Sustituyendo además el valor obtenido de 2 è en las expresiones de sen2è y cos2è de J y J 
(88)
geometría de masas: momentos de inercia
73
en la ecuación (88), se obtienen las magnitudes de los momentos principales de inercia,
resultando:
Las ecuaciones anteriores (88)-(90), permiten una sencilla representación gráfica, conocida como
círculo de Mohr, que nos permite a partir de los momentos y productos de inercia respecto de un
x y xysistema de ejes Oxy, representados por J , J , P , determinar los momentos y productos de inercia
para cualquier sistema de ejes Ox’y’ con centro en O, girado un ángulo è, respecto del sistema
original, así como los momentos de inercia principales. 
Se supone un sistema de referencia cartesiano en donde las abscisas representan los momentos
x’ y’ x’y’ de inercia: J o’ J , y las ordenadas los productos de inercia P , para construir el círculo
partimos de que conocemos los momentos y productos de inercia respecto a un sistema de ejes
Oxy, y pretendemos conocer los momentos y productos de inercia respecto de un sistema de ejes
(90)
Figura 10. Círculo de Mohr para momentos y productos de inercia.
geometría de masas: momentos de inercia
74
 Ox’y’, obtenidos después de girar un ángulo è el sistema inicial. El centro del círculo estará el
1 1 x ypunto O situado sobre eje de abscisas en la posición O ( (J +J )/2,0 ). Se toma como punto del
x xycírculo, el punto A(J , P ), esto nos determina el radio R:
 (91)
1Estando completamente definido el círculo. El ángulo que forma O A con el eje de abscisas es
m2è , es decir el ángulo que forma Ox con el eje principal de momento de inercia máximo, este
ángulo se ha tomado negativo (sentido de las agujas del reloj) ya que para la construcción de la
x y mfigura, se ha supuesto que J > J y 2è < 0, de acuerdo con la ecuación (89). Los puntos de
intersección del círculo con el eje de abscisas son los momentos de inercia principales máximos
y mínimos que se puede comprobar directamente que coinciden con las ecuaciones (90). Las
x’ x’y’ y’coordenadas de un punto C cualquiera son C ( J , P ) y las del punto D, opuesto al C ( J ,
x’y’P ), estos puntos nos definen los momentos y productos de inercia respecto del sistema de ejes
1 1girado un ángulo è: Ox’y’, en el círculo el radio O C forma un ángulo 2è con O A, medido en
este caso en sentido positivo. Se puede comprobar además que las coordenadas de C y D, en
x’ y’ x’y’particular: J , J , P , obtenidas a partir del círculo, se corresponden con las expresiones de
las ecuaciones (88), después de efectuar un desarrollo relativamente sencillo. 
problemas de vectores deslizantes
75
VECTORES DESLIZANTES
problemas de vectores deslizantes
76
1. La figura representa un viga biapoyada,
en A y B, sometida a un sistema exterior de
fuerzas, aplicadas en los puntos que se
indican. De acuerdo con la figura, las
fuerzas aplicadas a los puntos C, D, y E
son fuerzas solicitantes conocidas, mientras
que las fuerzas en los apoyos articulados A
y B, representan reacciones desconocidas.
Para que la viga esté en equilibrio el sistema de vectores de las fuerzas ha de ser nulo.
x y yDeterminar las reacciones en A, A , A y en B, B :
Los vectores de las fuerzas son:
problemas de vectores deslizantes
77
B yNotese que en el vector F se ha considerado la fuerza total: la fuerza de reacción B , y la fuerza
de 1500 N, con sus componentes. Se tiene además:
Para que el sistemasea nulo, el momento resultante del sistema respecto de un punto cualquiera,
como A, ha de ser cero, teniendo en cuenta que el problema es bidimensional con las
componentes OZ de las fuerzas y vectores de posición nulos, los momentos se pueden expresar
como: 
En este caso únicamente aparecen momentos según Oz. Se cumplirá:
problemas de vectores deslizantes
78
Resultando, considerando únicamente la componente OZ:
yDe donde: B =4298,94 N
A DNótese que al tomar momentos de los vectores fuerzas respecto de A, por ejemplo M (v ), este
momento, se puede interpretar como el producto del módulo de la fuerza por la distancia de la
línea de acción al centro de momentos:
A D Dx Dy DM (F ) = F .0 - F .AD = - F .sená.AD=
D- F .d.
Siendo: d = sená.AD.
La fuerza total en B, será, considerando
únicamente las componentes según Ox y Oy:
Para que el sistema de vectores sea nulo, se ha de cumplir que la resultante sea cero:
problemas de vectores deslizantes
79
Es decir,:
Esta ecuación vectorial, se desdobla en dos ecuaciones escalares:
x xA -260,47-1000+2121,32 = 0, A = -860,85 N
y yA +2821,73-5000-1732,05-2121,32=0, A = 6032,05 N
problemas de vectores deslizantes
80
2. En el estudio de la cinemática de un sólido
rígido girando alrededor de un eje, el vector
velocidad angular puede considerarse como
un vector deslizante sobre el eje de rotación, y
el vector velocidad de un punto P del sólido,
como el momento de la velocidad angular
respecto de dicho punto. En base a esto,
determinar la velocidad del punto P(1,1,1) de
un sólido rígido que gira a una velocidad
angular de 2 rad/seg, alrededor de un eje que pasa por el origen y por el punto A(0,2,5):
El vector velocidad angular, es:
 
La velocidad del sólido en P, es pues el momento del vector velocidad angular ù, respecto de P:
problemas de vectores deslizantes
81
3. El acoplamiento universal es un sistema
empleado para transmitir potencia y
movimiento entre ejes desalineados. La
figura muestra un acoplamiento universal
A-B-C-D unido al eje EF situado en el
plano x=0, que forma 30º con el eje OY. El
par de salida T en el eje equivale a un
vector momento alineado según EF, el par
de entrada está formado por las fuerzas P
y -P, de módulo 200 N aplicadas en C y D
alineadas con el eje Ox. El eje está fijado por medio de dos cojinetes en E-F en donde
aparece un par de fuerzas de reacción R y -R, alineadas también con el eje Ox. Calcular los
valores del par de salida T y de las fuerzas R para que el sistema de fuerzas sea equivalente
a un sistema nulo.
El vector momento del par P, -P, será un vector de módulo 200x0,15 = 30 Nxm, de dirección
según el eje Oy, y orientado en sentido negativo, de acuerdo con la regla de la mano derecha:
El vector momento del par R y -R y el vector momento del par T:
Como el sistema está formado por tres pares, el momento resultante del sistema, es el mismo en
problemas de vectores deslizantes
82
cualquier punto del espacio, de valor:
Esta ecuación vectorial se desdobla en tres ecuaciones escalares, si bien la primera de ellas es la
identidad 0=0, las otras dos ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones con do
incógnitas:
De donde R = 250,047 N, T = 25,96 N.m 
problemas de vectores deslizantes
83
4. La palanca AB de la figura está unida al
extremo A de un tubo, el cual está empotrado en
la pared en O. En el extremo B de la figura
11 2actúan dos fuerzas F y F , de módulos F =
2 11000 N y F = 200 N. F está situado en un plano
paralelo al Y=0 y está inclinada 45º respecto al
2eje OX, F está orientada en sentido negativo del
eje OY, tal como se indica en la figura, se pide:
a) Sistema equivalente en O. 
b) Valor de la fuerza y momento que hay que
añadir al sistema inicial en O para obtener un
sistema nulo.
1 2La fuerza total F aplicada en B será la resultante de F y F :
El momento resultante del sistema respecto de O será el momento resultante de F al tratarse de
fuerzas concurrentes:
El sistema equivalente en O será pues:
problemas de vectores deslizantes
84
Para obtener un sistema nulo, tendremos que añadir en O una fuerza y un momento iguales y
opuestos:
problemas de vectores deslizantes
85
5. En el estudio de la cinemática de un sólido rígido, la velocidad angular del sólido puede
considerarse como la resultante de un sistema de vectores deslizantes correspondientes a
la velocidades angulares asociadas a las rotaciones parciales del sólido y la velocidad de un
punto del sólido como el momento resultante de este sistema respecto de dicho punto. En
el sistema de engranajes de la figura, la rueda dentada A, puede girar libremente alrededor
de la barra OA a una velocidad angular desconocida representada por el vector deslizante
2ù , al mismo tiempo esta barra gira alrededor de OC a una velocidad angular conocida
11representada por el vector deslizante ù de módulo ù = 2 rad/seg, orientado en sentido
positivo del eje OZ. Se sabe además que la rueda A ha de moverse sobre la rueda dentada
B sin deslizar, lo cual implica que la velocidad de la rueda en los puntos O y D de la figura
ha de ser cero. Si el radio de A es r=0,5 m y el radio de B es R= 1 m, determinar: 
a) La velocidad angular de A.
b) Ecuación del eje central.
c) Reducir el sistema a un solo vector 
d) Velocidad absoluta del punto P (0, 1, 0,5 ) situado A en el extremo superior de A.
a) La velocidad angular ù de la rueda A, será la resultante de las velocidades angulares
correspondientes a las rotaciones parciales a las que está sometida: una velocidad angular
1conocida de módulo ù = 2 rad/ s alrededor de OC y otra velocidad angular desconocida en
problemas de vectores deslizantes
86
2módulo ù , alrededor de OA. A la rotación de la rueda alrededor de OA se le denomina rotación
propia y a la rotación de OA alrededor de OC se le denomina rotación de precesión. De acuerdo
con la figura, el vector de posición del punto D, será:
Si el eje central pasa por los puntos O y D, el vector unitario de la resultante, teniendo en cuenta
que la componente según OZ ha de ser positiva, será:
El vector resultante:
Estableciendo la condición de paralelismo entre la resultante y su vector unitario:
problemas de vectores deslizantes
87
La resultante, será:
Rb) El eje central, será pues una recta de dirección u , que pasa por los puntos O y D:
c) El momento mínimo es cero ya que el
momento resultante (o velocidad de A) en D
es cero, por esta razón el sistema será
equivalente a la resultante como vector
deslizante sobre el eje central 
d) El momento resultante en P se podrá
calcular como el momento de la resultante ù,
respecto de P(0, 1, 0,5), teniendo en cuenta
además que el eje central pasa por el origen:
problemas de vectores deslizantes
88
6. Un sistema de vectores deslizantes está
formado por el vector deslizante v de la
figura aplicado en B, de módulo v = 100 y
un par de vectores cuyo momento en E es
de módulo M=120, orientado de E a B.
Reducir el sistema a un vector y un
momento en el punto A.
Podemos suponer que el sistema está
formado por tres vectores: el vector v
aplicado en B y un par de vectores cualesquiera, de momento resultante en E, M. Dado que el
momento de un par de vectores es siempre el mismo para cualquier punto del espacio, el
Amomento resultante del sistema en A, será la suma del momento de v respecto de A M (v) y del
momento del par M. La resultante del sistema será el vector v. 
El vector unitario de B(0, 4, 0) a D(0,4,2) es el vector unitario de la resultante:
El vector resultante:
problemas de vectores deslizantes
89
El momento del vector v respecto de A(4, 0, 2):