TRIANGULARIZAÇÃO DE GAUSS

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4. TRIANGULARIZAÇAO DE GAUSS 
 
Triangularização de Gauss ou dispositivo prático, também é conhecido como 
escalonamento, que pode ser feito na forma matricial, utilizando a matriz completa (matriz formada 
pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes). 
As características importantes deste método são: 
a) Quando a solução existe, ele dá sempre a solução. 
b) Ele mostra a inexistência das soluções, quando o sistema é impossível. 
c) Ele se fundamenta em três operações básicas (transformações elementares): 
I. A mudança da ordem na qual as equações são escritas. 
II. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero. 
III. Multiplicar uma equação por um número não nulo e adicioná-la a outra equação. 
 
Observações: 
a) Anular os coeficientes da 1ª incógnita comparando a 1ª equação com as demais. 
b) Anular os coeficientes da 2ª incógnita comparando a 2ª equação com as restantes, exceto da 
1ª. 
c) Anular os coeficientes da 3ª incógnita comparando a 3ª equação com as restantes, exceto das 
1ª e 2ª. 
d) E assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
1) Resolver o sistema 
 
 
 
 cuja matriz completa associada é 
 
 
 
 
 . 
 
2) Resolver o sistema 
 
 
 
 . 
 
3) Resolver o sistema 
 
 
 
 . 
 
Exercícios: 
1) Por escalonamento de matrizes, resolver os sistemas: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
13 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
2) Obter o valor da incógnita z: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE GAUSS (D.P.G) 
 
 Vamos usar o Dispositivo Prático de Gauss, que nada mais é do que um algoritmo que nos 
auxilia na resolução de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste em dividir o 
sistema em matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de modo a se obter um 
sistema equivalente triangularizado. 
 Tomemos um exemplo prático para ilustrar o tema ... 
 Seja o sistema linear 








1zyx
2zy3x4
4zy3x2
 , representaremos o sistema com o uso do D.P.G da 
seguinte maneira : 
Equação x y z Termo indep. 
E1 2 3 -1 4 
 E2 4 -3 1 2 
E3 1 -1 1 1 
E’2 // -18 6 -12 
E’3 // -5 3 -2 
E’’3 // // -24 -24 
 Algoritmo de construção da tabela ... 
 1 ) As equações E1, E2 e E3 são compostas pelos coeficientes das incógnitas de cada 
equação respectivamente, bem como seus termos independentes. 
13 
 
 2 ) Cálculo da equação E’2 ... Tomamos os coeficientes referentes a “x” em E1 e E2 bem 
como os coeficientes referentes a “y” em E1 e E2 e calculamos o determinante 
34
32

= -18, 
analogamente, tomamos os coeficientes referentes a “x” em E1 e E2 bem como os coeficientes 
referentes a “z” em E1 e E2 e calculamos o determinante 
14
12  = 6 e finalmente tomamos os 
coeficientes referentes a “x” em E1 e E2 bem como os termos independentes em E1 e E2 e 
calculamos o determinante 
24
42 = -12. 
 3 ) Cálculo da equação E’3 ... Tomamos os coeficientes referentes a “x” em E1 e E3 bem 
como os coeficientes referentes a “y” em E1 e E3 e calculamos o determinante 
11
32

= -5, 
analogamente, tomamos os coeficientes referentes a “x” em E1 e E3 bem como os coeficientes 
referentes a “z” em E1 e E3 e calculamos o determinante 
11
12  = 3 e finalmente tomamos os 
coeficientes referentes a “x” em E1 e E3 bem como os termos independentes em E1 e E3 e 
calculamos o determinante 
11
42 = -2. 
 4 ) Cálculo da equação E’’3 ... Tomamos os coeficientes referentes a “y” em E’2 e E’3 bem 
como os coeficientes referentes a “z” em E’2 e E’3 e calculamos o determinante 
35
618

 = -24, 
analogamente, tomamos os coeficientes referentes a “y” em E’2 e E’3 bem como os termos 
independentes em E’2 e E’3 e calculamos o determinante 
25
1218

 = -24. 
 5 ) Temos portanto o sistema equivalente formado pelas equações E1, E’2 e E’’3 (★)... 








24z24
12z6y18
4zy3x2
 
 Resolvendo o sistema a partir da terceira equação temos: z = 1, y = 1 e x = 1 . 
Logo 
  1,1,1S 
. 
Exercícios : 
1 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prático de Gauss. 
 








1z3y2x7
6zy4x2
11zy4x3
 
  4,3,1S 
 
14 
 
2 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prático de Gauss. 
 








2z2yx
3zy2x4
7zyx2
 












 11,
3
52
,
3
20
S
 
3 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prático de Gauss. 
 











4w3z2y2x4
3w2z2y4x3
2wz2y3x
3w2z4y3x2
 
  86,4;86,24;15,24;88,19S 