Aula 34 ST I Introdução

Prévia do material em texto

Aula 34 
Introdução à Análise de 
Séries Temporais 
Gujarati, 2006 (tradução da 4a. ed. em inglês) – cap. 21 e 22 
O que é uma 
série temporal? 
Uma série temporal é qualquer conjunto de 
observações ordenadas no tempo, espaço, 
volume ou algum outro parâmetro físico. 
São exemplos de séries temporais: 
 preço mensal da cesta básica na cidade de São 
Paulo; 
 índice diário da Bolsa de Valores de São Paulo; 
 número de acidentes ocorridos, a cada 
quilômetro, numa certa rodovia Federal; 
 número mensal de automóveis de passeio 
comercializados no Brasil. 
Figura 1 – Série Mensal do Custo da Cesta Básica, medido pelo 
DIEESE, no município de São Paulo, no período de 
Ago/1994 a Nov/2010. 
Exemplo 01 
Figura 2 – Série mensal do número total de passageiros 
internacionais (em milhares de passageiros), no 
período de 01/1949 – 12/1960. 
Exemplo 02 
Figura 3 – Série mensal de vendas de automóveis nacionais ao mercado 
interno no atacado (refere-se apenas a carros de passeio / 
passageiros e de uso misto, não englobando veículos 
comerciais leves nem veículos comerciais pesados). Fonte: 
ANFAVEA. 
Exemplo 03 
Exemplo 04 
Figura 4 – Série mensal sobre a produção de cimento no Brasil, em milhares de 
toneladas, no período de 01/1970 a 12/2007. 
(Sindicato Nacional da Industria do Cimento - SNIC). 
Exemplo 05 
Figura 5 – Série diária de log-retornos da ação Petrobras, no 
período de 03/01/1995 – 28/12/2000. 
Exemplo 06 
Figura 6 – Séries mensais de preços médios da cesta básica, em reais, nas 
cidades de Porto Alegre, Curitiba e Florianópolis, coletadas 
desde janeiro de 1995 até janeiro de 2010. 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
300 
P
r
e
ç
o
 M
é
d
io
 d
a
 C
e
s
ta
 B
á
s
ic
a
 
Porto Alegre Curitiba Florianópolis 
Quais são os objetivos da 
Análise de Séries Temporais? 
Estudar procedimentos adequados para análise 
de um conjunto de dados com estrutura de 
correlação entre as observações. 
 
Ainda, 
(i) descrever apenas o comportamento da série; 
neste caso, a construção do gráfico da série, a 
verificação da existência de tendências, ciclos 
e variações sazonais, a construção de 
histogramas e diagramas de dispersão podem 
ser ferramentas úteis; 
(ii) investigar o processo gerador da série 
temporal; por exemplo, analisando uma série 
de valores mensais de vendas de automóveis 
no Brasil, podemos querer saber como estes 
valores de vendas foram gerados; 
(iii) fazer previsões futuras da série; estas podem 
ser a curto prazo, como para série de vendas, 
produção ou estoque, ou a longo prazo, como 
para séries de produtividade; 
(iv) procurar periodicidades relevantes nos dados; 
neste caso, a análise espectral pode ser de 
grande utilidade. 
Domínios de análise 
Domínio do tempo 
Procedimento baseado no fato de que a correlação 
entre valores adjacentes da série temporal é melhor 
explicada em termos de uma regressão dos valores 
passados da série e de um ruído (modelos 
paramétricos). 
 
Domínio da freqüência 
Procedimento baseado no fato de que uma série 
temporal pode ser decomposta como uma 
superposição linear de senos e co-senos com 
períodos diferentes (modelos não-paramétricos). 
Modelos para 
Séries Temporais 
Os modelos utilizados para descrever séries 
temporais são processos estocásticos, isto é, 
processos controlados por leis probabilísticas. 
 
 
Definição – Seja T um conjunto arbitrário. Um 
processo estocástico é uma família X = {X(t), t T}, tal 
que, para cada t T, X(t) é uma variável aleatória. 
Modelos para Séries Temporais 
Para cada t  T, X(t) é uma v.a. definida 
sobre , na realidade X(t) é uma função de 
dois argumentos, X(t, ), t  T ,   . 
 
Por outro lado, para cada   , fixado, 
obteremos uma função de t, ou seja, uma 
realização ou trajetória do processo, ou 
ainda, uma série temporal. 
Modelos para Séries Temporais 
Processo estocástico interpretado como uma 
família de variáveis aleatórias. 
fX(x) 
. . 
t1 t2 
X(t, ) 
. 
t 
(t) 
t3 
O conjunto de valores {X(t), t  T} é chamado de 
espaço de estados, S, do processo estocástico e os 
valores de X(t) podem ser chamados de estados. 
 
Se o conjunto T for finito ou enumerável, como T = Z, 
o processo diz-se com parâmetro discreto. Por outro 
lado, se T for um intervalo de , teremos um 
processo com parâmetro contínuo. 
Modelos para Séries Temporais 
O espaço de estados também pode ser discreto ou 
contínuo: 
 No caso discreto X(t) pode representar uma 
contagem, como o número de transações de uma 
ação, durante um dia. 
 Já no caso contínuo, X(t) pode representar uma 
medida que varia continuamente, como o retorno de 
um ativo ou volume negociado, em cada dia. 
Modelos para Séries Temporais 
(a) O espaço onde está definido o processo; 
(b) O conjunto dos índices T; 
(c) A estrutura de dependência da v.a., X(t), t  T. 
Modelos para Séries Temporais 
Vale notar que ao se definir um processo estocástico 
é necessário introduzir três características: 
Modelos para Séries Temporais 
Como o processo estocástico X(t), t  T, é uma v.a., 
estaremos interessados em obter a distribuição 
conjunta de {X(1), ..., X(K)}. 
Mas, na prática, só dispomos de uma única realização 
do processo. 
Logo, se torna necessário introduzir certas restrições 
para que seja possível obter esta distribuição 
conjunta. 
Por exemplo, no instante t = 1 só observamos x1, que 
é o valor que a v.a. X(1) assume neste instante de 
tempo, mas desejamos recuperar a distribuição da v.a. 
X(1). Aqui, vale observar que esta distribuição pode 
depender de mais de um parâmetro e, portanto, é 
impossível recuperá-la com uma única observação. 
No caso dos processos estocásticos, as restrições 
que devem ser impostas são de dois tipos 
Modelos para Séries Temporais 
(a) Na heterogeneidade temporal; e 
(b) Na memória do processo. 
Seja um dado subconjunto de índices T, por exemplo, 
{1  t1 < t2 < ... < tm}. 
Uma restrição na heterogeneidade temporal é, por exemplo, 
assumir que a distribuição conjunta de 
{X(t1), X(t2), ..., X(tm)} 
é igual à distribuição conjunta de 
{X(t1+), X(t2 +), ..., X(tm +)}, 
para qualquer inteiro   1. 
Ou seja, estamos assumindo que a distribuição conjunta é 
invariante por translações. Note que essa restrição implica que 
tanto a média quanto a variância do processo são invariantes no 
tempo. 
Restrição na Heterogeneidade Temporal 
fX(x) 
. . 
t1 t2 
X(t, ) 
. 
t 
(t) 
t3 
Estamos assumindo que a distribuição de probabilidades é a mesma em todos 
os instantes de tempo – grau zero de heterogeneidade temporal. 
Restrição na Heterogeneidade Temporal 
Com relação à memória do processo estocástico, a primeira 
idéia é fazer com que o processo não tenha memória, isto é, seja 
não correlacionado ou independente. A restrição de 
independência é muito forte e pouco plausível, uma vez que 
séries temporais econômicas apresentam algum tipo de 
dependência temporal. Assim, uma forma de abrandar essa 
suposição é fazer com que para instantes de tempo muito 
afastados não exista correlação. Dessa forma, o processo tem 
memória, mas tal memória vai diminuindo com o aumento dos 
intervalos entre os instantes de tempo. 
Restrição na Memória do Processo 
Estacionariedade 
Intuitivamente, um processo X(t) é estacionário se 
ele se desenvolve no tempo de modo que a 
escolha de uma origem dos tempos nãoseja 
importante. Em outras palavras, as características 
de X(t+), para todo , são as mesmas de X(t). 
PROCESSOS ESTACIONÁRIOS 
PROCESSO ESTRITAMENTE ESTACIONÁRIO 
 
Um processo estocástico 
X = {X(t): t  T = 1, 2, ...} 
diz-se estritamente estacionário (ou estacionário de 
primeira ordem) se, para cada conjunto de índices 
1  t1 < t2 < ... < tm, 
a distribuição conjunta de 
{X(t1), X(t2), ..., X(tm)} 
é igual à distribuição conjunta de 
{X(t1+), X(t2 +), ..., X(tm +)}, 
para qualquer inteiro   1. 
Um processo estocástico 
 
{X(t): t = 1, 2, ...}, 
 
com segundo momento finito [E(xt
2) < ] diz-se estacionário 
em covariância (ou fracamente estacionário ou estacionário 
de segunda ordem ou sentido amplo) se, e somente se: 
PROCESSO ESTACIONÁRIO EM COVARIÂNCIA 
(i) E(X(t)) = , constante, t; 
(ii) Var(X(t)) = E(X(t) - )2 = 2, constante, t; 
(iii)  = E[(X(t) - )(X(t-) - )] = Cov(X(t), X(t-)), para qualquer 
t e qualquer   1, depende somente de , e não de t. 
PROCESSO ESTACIONÁRIO EM COVARIÂNCIA 
Seja {Xt, t  Z} um processo estacionário real discreto, de 
média zero e facv  = Cov(Xt, Xt-) = E{XtXt-}. 
Função de Autocovariância 
Proposição – A facv  satisfaz as seguintes 
propriedades: 
(i) 0 > 0; 
(ii) - = ; 
(iii) ||  0; 
 
Considere o seguinte processo 
 
 yt = ut, t = 1, 2, ... 
 
em que 
 ut ~ NID(0, u
2); 
 
Pergunta-se: yt é estacionário de segunda ordem? 
Exercício 
Definição (ruído branco): Dizemos que a seqüência 
aleatória 
{t, t  Z } 
é um ruído branco discreto se as v.a. t são não 
correlacionadas, isto é, Cov(t, t-) = 0,   0. 
 
Um tal processo será estacionário se 
E(t) =  e Var(t) = 
2, para todo t. 
PROCESSO ESTACIONÁRIO EM COVARIÂNCIA 
Tendo calculado os valores da Função de Autocovariância 
(), os coeficientes de autocorrelação para uma série 
temporal estacionária são definidos por 
)()(
),(
),(








tt
tt
tt
xVarxVar
xxCov
xxCorr
Função de Autocorrelação 
Que fica reduzida à expressão: 
0
)(
),(
)()(
),(
),(







 







t
tt
tt
tt
tt
xVar
xxCov
xVarxVar
xxCov
xxCorr
Função de Autocorrelação 
caso a série temporal seja estacionária. 
A expressão anterior é conhecida por função de 
autocorrelação, FAC, à representação gráfica da FAC 
dá-se o nome de correlograma. 
Função de Autocorrelação 
A função de autocorrelação (FAC) proporciona evidências de 
uma série temporal não-estacionária. Tipicamente, tais séries 
apresentam FACs significativas para muitas defasagens. 
Observação 
Função de Autocorrelação 
Exercícios 
Verifique se o processo 
 yt = et + 1et-1, t = 1, 2, ... 
em que 
 {et} é i.i.d. com média = 0 e variância igual a e
2; 
 
é estacionário de segunda ordem. 
Exercício 1 
Suponha que a sequência {yt: t = 1, 2, ...} tenha sido gerada 
por 
yt = 0 + 1t + et, 
em que: 
 (i) 1  0; 
(ii) {et: t = 1, 2, ...} é uma sequência i.i.d. com média 
zero e variância igual a e
2. 
Exercício 2 
Verifique se: 
 (a) {yt} é estacionária; 
 (b) yt – E(yt) é estacionária? 
 (c) yt – yt-1 é estacionária? 
 (d) Qual a intuição dos procedimentos (b) e (c)? 
Exercício 2 (cont.) 
Suponha que a seqüência {yt: t = 0, 1, 2, ...} tenha sido gerada 
por 
yt = yt-1 + et, 
em que: 
 (i) y0 = 0; 
 (ii) {et: t = 1, 2, ...} é uma seqüência i.i.d. 
 com média zero e variância igual a e
2. 
Verifique se {yt} é estacionária. 
Exercício 3