Ângulo de Brewster e equações de Fresnel

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS – ICE
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
EQUAÇÕES DE FRESNEL E ÂNGULO DE BREWSTER
Por: 
Iara Lima dos Santos
Salomão dos Santos Costa
03 de Março de 2015
Manaus Amazonas
Iara Lima dos Santos – 21353701
Salomão dos Santos Costa – 21003907
EQUAÇÕES DE FRESNEL E ÂNGULO DE BREWSTER
03 de Março de 2015
Manaus Amazonas
Trabalho Apresentado na Universidade Federal 
do Amazonas – UFAM, do curso de 
bacharelado em física, na disciplina 
Laboratório de Física Geral IV, sob orientação 
do Professor Haroldo de Almeida Guerreiro.
INTRODUÇÃO
Nesta prática, vamos estudar a reflexão e a refração da luz na interface entre dois meios
dielétricos, buscando determinar os coeficientes de reflexão e transmissão como função do ângulo
de incidência. Veremos que esses coeficientes dependem da direção de polarização da luz incidente,
e que existe um ângulo (ângulo de Brewster) para o qual a luz com determinada polarização não é
refletida, o que resulta no máximo de transmissão para uma determinada polarização. Esse é um
método de produzir luz linearmente polarizada.
Este documento apresenta as equações de Fresnel para descrição de ondas eletromagnéticas
em relação os campos elétricos e magnético, além de comparar o valor teórico esperado para o
índice de refração do ar com o obtido de maneira indireta pelo conhecimento experimental do valor
do ângulo de Brewster.
Para concluir faz uma análise dos resultados obtidos e esperados, além de responder as
questões em aberto no decorrer do mesmo.
REFERENCIAL TEÓRICO
• Reflexão e refração no Plano limite
Agora ao investigar os fenômenos básicos de reflexão e refração da luz do ponto de vista da
teoria do eletromagnetismo. Presume-se que já há familiaridade com as regras elementares de
reflexão e como elas são deduzidas a partir princípio Huygens. Como se verá, essas regras também
pode ser deduzida a partir da aplicação de condições de contorno para ondas eletromagnetismo.
Figura 1
Vector de onda para luz incidente sobre a fronteira que separa dois meios ópticos diferentes.
Considere uma onda harmônica plana incidente sobre um plano limite que separa dois meios
ópticos diferentes, figura 1. Haverá uma onda refletida e uma onda transmitida. A dependência
espaço-tempo dessas três ondas, além de fatores de amplitude constante, é dado pelas seguintes
expressões complexas:
exp i(k . r−wt )Ondaincidente
exp i(k ' . r−wt )Onda refletida
exp i(k ' ' . r−wt)Ondatransmitida(refratada)
Agora, a fim de encontrar qualquer relação constante pode existir em todos os pontos da
fronteira e para todos os valores de t, são necessários os argumentos de três funções exponenciais
serem igualados ao limite. Assim, uma vez que fatores de tempo já são iguais, temos que:
k∗r=k '∗r=k ' '∗r (Na Barreira) (2.44)
Essas equações implicam que todos os três vetores de onda k, k ', e k' 'estão no mesmo
plano, e que as suas projeções no limite são todas iguais. Isto pode ser determinado pela escolha de
um sistema de coordenadas Oxyz que um dos planos coordenados, dizer o plano xz, é a fronteira, de
tal modo que o vector de k encontra-se no plano xy, como mostrado na figura 2. Os ângulos entre o
limite normal (eixo Y) e de onda vetores são rotulados θ ,θ ' "e ϕ , como mostrado. A
equação (2.44), em seguida, se torna
k sin(θ)=k ' sin (θ ')=k ' ' sin(ϕ) (2.45)
Agora, no plano de ondas incidentes e refletidas (y> 0), as duas ondas viajaram no mesmo
meio, portanto, os vetores de onda tem a mesma ordem de grandeza, que é, k' = k. A primeira
equação então reduz a lei familiar de reflexão
θ=θ ' (2.46)
Falando da razão entre as constantes de propagação da onda transmitida e a onda incidente,
temos
k ' '
k
=w /v ' '
w / v
= c /v ' '
c /v
=
n2
n1
=n (2.47)
Onde n1 e n2 são os índices de refração dos dois meios, e n é um índice relativo de
refracção. A segunda parte da equação (2.45), portanto, é equivalente a lei de Snell da refração
sin (θ)
sin(ϕ)
=n (2.48)
2.7 amplitudes das ondas refletida e refratada,
Equações de Fresnel
Seja E denotar a amplitude do vetor elétrico da onda harmónica plana que é incidente sobre
um plano de fronteira que separa os dois meios de comunicação, e que E 'e E' 'denotam as
amplitudes das ondas refletidas e transmitidas, respectivamente. Em seguida, segue-se a partir das
equações de Maxwell quando aplicadas as ondas harmônicas. Equação 2.11, que as respectivas
amplitudes dos vetores magnéticos são dados por
H⃗= 1
μw
k⃗×E⃗ incidente (2.49)
H⃗ '= 1
μ w
k⃗ '×E⃗ ' refletida (2.50)
H⃗ ' '= 1
μ w k⃗ ' '×E⃗ ' ' transmitida (2.51)
Deve notar-se que as equações acima aplicam-se quer para os valores instantâneos dos
campos ou para as amplitudes, uma vez que os factores exponenciais exp i(R−wt) , e assim por
diante, são comuns a ambos os campos eléctrico e o magnético associados.
É conveniente neste momento para considerar dois casos diferentes. O primeiro caso, é
aquele em que o vetor elétrico da onda incidente é paralelo ao plano de fronteira, ou seja,
perpendicular ao plano de incidência. Este caso é chamado elétrico transversal ou polarização TE. O
segundo caso é aquele em que o vetor magnético da onda incidente é paralelo ao plano de fronteira.
Isso é chamado magnético transversal ou TM polarização. O caso geral é tratado usando as
combinações lineares adequadas. As direcções dos vetores magnético e eléctrico associados para os
dois casos são mostrados na figura 2.10. Como mostrado na figura, o limite é tomado como sendo o
plano xz, de modo que o eixo y é normal ao limite. O plano xy é o plano de incidência. 
Vamos agora aplicar as bem conhecidas condições de contorno [16], que exigem que os
componentes tangenciais dos campos elétricos e magnéticos sejám contínuos quando o limite é
ultrapassado. Isto significa que para a polarização TE, E+E '=E ' ' , e para a polarização TM,
H−H '=H ' ' . Os resultados são como segue:
E+E '=E ' '
−H cos (θ)+H ' cos(θ)=−H ' ' cos (ϕ) polarização TE (2.52)
−k E cos (θ)+k 'E ' cos (θ)=−k ' ' E ' ' cos (ϕ)
H+H '=H ' '
k E+k ' E '=k ' ' E ' ' polarização TH (2.53)
E cos(θ)+E ' cos(θ)=E ' ' cos(ϕ)
Figura 2.10 vetores de onda e campos associados para (a) e TE (b)TM.
Aqui nós usamos a equação (2.16) para expressar os campos magnéticos em termos de seus
campos elétricos associados.
A seguir, eliminar E '' a partir dos dois conjuntos de equações e utilize a relação
n=c /v=ck /w para obter as seguintes relações para as razões das amplitudes refletidas para as
amplitudes de incidentes:
E '
E
=
cos (θ)−ncos (ϕ)
cos (θ)+ncos (ϕ)
Polarização TE (2.54)
E '
E
=−ncos (θ)+cos (ϕ)
ncos (θ)+cos (ϕ)
PolarizaçãoTM (2.55)
aqui
n=
n2
n1
é o índice relativo de refracção dos dois meios. Coeficientes para as amplitudes transmitidas pode
ser obtido através da eliminação de E 'em ambos os casos.
Se se utilizar a lei de Snell n=sin(θ)/sin(ϕ) , as equações para a amplitude das ondas
refletidas e refratadas podem ser expressas sob as formas
E '
E
=
sin(θ−ϕ)
sin (θ+ϕ)
PolarizaçãoTE (2.56)
E ' '
E
=
2cos(θ)sin(ϕ)
sin (θ+ϕ)
E'
E
=
tan(θ−ϕ)
tan(θ+ϕ)
PolarizaçãoTM (2.57)
E' '
E
=
2cos(θ)sin(ϕ)
sin(θ+ϕ)cos (θ+ϕ)
As equações acima são conhecidas como as equações de Fresnel. A sua derivação é deixado
como um problema.
Uma terceira maneira de expressar as proporções de amplitude para a luz refletida é
eliminando a variável ϕ nas equações (2,54) e (2,55), através da utilização da lei de Snell. O
resultado é
E '
E
=
cos (θ)−√n2−sin2(θ)
cos (θ)+√n2−sin2(θ)
PolarizaçãoTE (2.58)
E '
E
=
−n2 cos(θ)+√n2−sin2(θ)
n2 cos (θ)+√n2−sin2(θ)
PolarizaçãoTM (2.59)
A refletânciaR é definido como a razão entre a intensidade da luz refletida de a intensidade
da luz incidente, isto é, a fração da energia de luz incidente que é refletida. Uma vez que a
intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do campo eléctrico, como mostrado na secção
2.2 temos
R=|E'E |
2
(2.60)
A refletância como uma função do ângulo de incidência pode então ser obtido a partir do
valor de E ' /E como determinado por qualquer das equações anteriores.
A Figura 2.11 apresenta a variação de E ' /E e R com o ângulo de incidência, como
calculado a partir da teória acima.
Figura 2.11 Gráficos de E ' /E e [E ' /E]2 Versus ângulo de incidência para o (a) reflexo
externo e (b) reflexão interna.
No caso de incidência normal (θ=0) , encontramos a razão E ' /E é o mesmo para
ambos os tipos de polarização e tem o valor de (1−n)/(1+n) . Daí a refletância para a incidência
normal é
R=(1−n1+n )
2
(2.61)
Assim, para vidro de índice de 1,5 a reflectância na incidência normal é de 4 por cento.
Por incidência rasante (θ∼+90graus) a refletância é também o mesmo para ambos os
tipos de polarização, ou seja, a unidade, e é independente de n .
Para discutir o reflexo da luz para valores intermediários de θ , devemos distinguir entre
duas possibilidades diferentes. Estes são em primeiro lugar, o caso em que o índice relativo de
refração n2/n1=n é maior do que uma unidade. Isto é conhecido como reflexão externa. No
segundo caso, n é menor que uma unidade. Isto é conhecido como reflexão interna. Em reflexão
externa, a onda incidente se aproxima da barreira a partir do lado com o menor índice de refração,
enquanto que, em reflexão interna da onda incidente vem do meio que tinha a maior índice de
refração.
Em um caso de reflexão externa, n>1 , as razões de amplitude como dadas pelas
equações (2.54) a (2.59) são reais para todos os valores de θ . O cálculo da refletância R é então
perfeitamente simples. Para o caso de reflexão interna no entanto, uma vez que n<1 , haverá
valores de θ tal que sin(θ)>n , isto é, θ>sin−1(n) . O ângulo sin−1(n) é chamado o
ângulo crítico. Para vidro comum é cerca de 41 graus. Para valores de θ maior do que o ângulo
crítico, a amplitude razão E ' /E é complexo, o que pode ser visto a partir das equações (2,58) e
(2,59). Para esta faixa de valor de θ , podemos expressar as razões de amplitude na seguinte
forma:
E '
E
=
−cos (θ)−i √n2−sin2(θ)
cos (θ)+i√n2−sin2(θ)
PolarizaçãoTE (2.62)
E '
E
=
−n2 cos(θ)+i√n2−sin2(θ)
n2 cos (θ)+ i√n2−sin2(θ)
PolarizaçãoTM (2.63)
Ao multiplicar pelos complexos conjugados, pode-se facilmente verificar que o quadrado
dos valores absolutos de cada uma das razões acima é igual uma unidade. Isto significa que R = 1,
isto é, temos uma reflexão total, quando o ângulo interno de incidência é maior do que o ângulo
crítico.
2.8 O Ângulo Brewster
A partir da equação (2.59), o que dá a razão de amplitude para a reflexão em caso TM,
vemos que a reflexão é zero para que determinado ângulo de incidência θ tal que
θ=tan−1(n) (2.64)
Este ângulo é chamado ângulo de polarização ou o ângulo de Brewster. Para o vidro é cerca
de 57 graus. Estritamente falando, o ângulo de Brewster é uma função do comprimento de onda
devido a dispersão. A variação em todo o espectro visível é muito pequena. No entanto.
Se a luz não polarizada incidir sobre uma superfície, no ângulo de Brewster, a luz refletida é
processada e polarizada linearmente com o vector elétrico transversal ao plano de incidência. Este é
um método, embora ineficaz, para a produção de luz polarizada.
Deixe que um feixe de luz, polarizada linearmente no modo TM, incidir no ângulo de
Brewster sobre uma placa de vidro com faces paralelas, como mostrado na figura 2.12 Então
nenhuma luz é reflectida a partir da primeira face. Também não há qualquer reflexão a partir da
segunda face. O resultado é que a luz é inteiramente transmitida, em outras palavras, temos uma
janela perfeita. Essas janelas, conhecidas como janelas Brewster, são usados extensivamente em
aplicações de laser.
EXPERIMENTO 
Material necessário
- Fonte de luz
- Condensador com diafragma
- Polarizadores
- Corpo semicircular de acrílico ( nacrílico=1,49 )
- Trilho ótico
- Disco ótico
- Régua Graduada
- Suportes
Montagem 
O experimento foi montado conforme o esquema abaixo:
Fotografia retirada pela equipe no dia: 05/12/2014.
Procedimento
1. A montagem foi feita conforme a foto anterior. O corpo semicircular deve ficar perfeitamente
alinhado com um dos diâmetros do disco ótico.
2. Com o feixe de luz ligado, o disco foi ajustado de modo que o feixe luminoso coincidiu com a
normal ao semicírculo.
3. Um polarizador é colocado na fonte de luz.
4. Procure uma situação, dependendo de qual face do semicilindro esteja usando, de reflexão total
ou refração total. E anote o valor do ângulo.
TRATAMENTO DE DADOS 
O valor encontrado para o ângulo, observamos a reflexão total, foi de 54°. Portanto
θ=tan−1(n)
onden=
n2
n1
, en1é o índicederefração doar , en2 é o índice derefração doacrílico
n=tan (θ)
θ=54 °
n=tan(54 ° )
n=1,37
Errorelativo
E=|1,37−1,49|
1,49
=0,08=8 por cento
CONCLUSÃO
A partir de dados obtidos experimentalmente em laboratório foi possível observar que o
ângulo de Brewster nos forneceu informação relavante dobre o meio 2 no caso o acrílico (
n2=1,37 ) e esse valor foi relativamente próximo do fornecido no experimento( n2=1,49
). Possíveis causas do afastamento desse valor são: A consideração que fizemos para n1=1,00
, pois o índice de refração varia conforme densidade e temperatura do ar, desalinhamento na meia-
lua com o goniômetro (ou transferidor).
REFERÊNCIAS
1. Manual dos experimentos.
2. Bauer, Wolfgang; Westfall, Gary D.; Dias, Helio; Física para Universitários, Bookman editora,
2012.
3. Nussenzveig, H. Moysés; Curso de física Básica, Ótica, relatividade e física quântica, primeira
edição, editora Edgard Blucher, 1997.