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Cálculo Numérico
Métodos Iterativos para o Cálculo de Raízes 
de Funções
Prof. Onézimo Cardoso
Sumário
1. Zeros de Funções Reais
1.1. Isolamento das Raízes;
1.2. Refinamento;
1.2.1. Critério de Parada;
2. Métodos da Bissecção;
3. Exercícios Propostos
1. Zeros de Funções Reais;
• Em ciências exatas, diversas vezes nos deparamos com o
problema de resolução de equações do tipo 𝑓 𝑥 = 0;
• Dados 𝐸 e 𝑅 e supondo conhecida a característica do
dispositivo v = 𝑔 𝑖 , pela Lei de Kirchoff, temos que a
corrente que flui no sistema é expressa por:
𝐸 − 𝑅𝑖 − 𝑔 𝑖 = 0
• Na prática, 𝑔 𝑖 tem aspecto de polinômio de 3º grau;
• Deseja-se então solucionar a equação:
𝑓 𝑖 = 𝐸 − 𝑅𝑖 − 𝑔 𝑖 = 0
• A solução 𝜉 de equações tipo 𝑓 𝑥 = 0 é dita Zero da
Função 𝑓(𝑥) ou Raiz da Equação 𝑓 𝑥 = 0;
• Tal solução, quando existe, pode ser real ou
complexa;
• No método abordado na presente aula estaremos
interessados apenas nas soluções 𝜉 ∈ ℝ ;
• Para algumas equações, a exemplo das polinomiais de 2º
grau, a determinação das raízes é realizada com facilidade;
• No entanto, no caso de polinômios de grau mais alto e no
caso de funções mais complicadas, é praticamente
impossível se achar os zeros exatamente (Teorema de Abel-
Ruffini);
• Nesse caso, faz-se uso de métodos numéricos que
fornecem os zeros da função com uma precisão prefixada;
• A ideia central desses métodos é partir de uma
aproximação inicial para a raiz e, em seguida, refinar essa
aproximação através de um método iterativo;
• Desse modo, tais métodos constam de duas
fases:
FASE I : Localização ou isolamento das raízes, o
qual consiste em obter um intervalo que
contenha a raiz;
FASE II : Refinamento, que consiste em,
escolhidas as aproximações iniciais no intervalo
encontrado na Fase I, melhorá-las
sucessivamente até se obter uma aproximação
para a raiz dentro de uma precisão 𝜀 prefixada;
1.1. Isolamento das Raízes
• Nesse estágio, faz-se uso do seguinte Teorema:
Teorema do Valor Intermediário (TVM): Seja 𝑓 𝑥 uma função
contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , tal que 𝑓 𝑎 e 𝑓(𝑏) possuem
sinais opostos, isto é 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0. Então existe uma raiz 𝑥 = 𝑐 de
𝑓 𝑥 = 0 em 𝑎, 𝑏 .
Exemplo 1: Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 ,
temos a tabela a seguir para os sinais dos valores
assumidos por 𝑓 mediante a variação dos valores de
seu domínio:
• Visto que 𝑓 é uma função polinomial, ela é contínua
em todos os pontos de seu domínio e, em particular,
para qualquer intervalo fechado de seu domínio;
• Então, pelo TVM, temos que existe pelo menos um
zero de 𝑓(𝑥) em cada um dos intervalos 𝐼1 =
−5,−3 , 𝐼2 = 0, 1 , 𝐼3 = 2, 3 .
1.2. Refinamento
• Nesse etapa, são aplicados métodos iterativos que
culminem numa solução com erro menor do que o
prefixado;
• Para isso, desenvolvem-se instruções que são executadas
passo a passo, algumas das quais são repetidas em
ciclos;
• A execução de um ciclo recebe o nome de iteração;
• Cada iteração utiliza resultados das iterações anteriores e
efetua determinados testes que permitem verificar se foi
atingido um resultado próximo o suficiente do resultado
esperado;
1.2.1. Critério de Parada
• Pelo diagrama anterior, pode ser observado que todos os
métodos iterativos, para obter zeros de função, efetuam
algum tipo de teste do tipo:
– 𝑥𝑘 está suficientemente próximo da raiz exata?
• Existem duas interpretações para raiz exata aproximada
que nem sempre levam ao mesmo resultado;
Critério de Parada (Cont.)
• 𝑥 é raiz aproximada com precisão 𝜖 se:
1. 𝑥 − 𝜉 < 𝜖;
2. 𝑓( 𝑥) < 𝜖;
Para o primeiro caso, como efetuar o 
teste de parada se não conhecemos 𝜉?
Critério de Parada (Cont.)
• Uma forma é reduzir o intervalo que contém a
raiz a cada iteração. Ao se conseguir um
intervalo [𝑎, 𝑏] tal que:
Método da Bissecção
• No Método da Bissecção, o Critério de Parada, o qual
permite que o ciclo das iterações seja interrompido,
indicando que se atingiu um valor satisfatório é expresso
por:
Dada a função 𝑓 contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 . Seja 𝜀 > 0 a tolerância
prefixada. Tem-se que 𝑥 = 𝑐𝑘 é um valor satisfatório para raiz de 𝑓 𝑥 = 0
se
𝑏 − 𝑎
2𝑘
≤ 𝜀
(O tamanho do intervalo depois de 𝑘 iterações é menor ou igual a tolerância)
Método da Bissecção (Cont.)
• O objetivo desse método é, baseado no critério
de parada mencionado anteriormente, reduzir a
amplitude do intervalo que contém a raiz até se
atingir a precisão requerida, usando para isso
sucessivas divisões de [𝑎, 𝑏] ao meio;
• Baseado no critério de parada adotado, pode-se
determinar o número de iterações necessárias 𝑁
para que o Método da Bissecção atinja a acurácia
requisitada, da maneira como segue:
⇔
⇔
⇔
⇔ (2.1)
Exemplo 2: Dada a função 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥 + 1,
apliquemos o Método da Bissecção e determinemos
a raiz de 𝑓 em (0,2) com tolerância de 𝜀 = 0,01:
Note que:
𝑓 0 = 1;
𝑓 2 = −3;
Por (2.1) temos que o número necessário de iterações
é igual a:
𝑁 ≥
log 2 − 0 − log 0,01
log(2)
≅ 8
• ESTRUTURA ITERATIVA (MÉTODO DA
BISSECÇÃO)
Estimar a e b
f(a)f(c)<0
c=(a+b)/2
f(a)f(c)>0
b=c
a=c
SE
SENÃO
SE
SENÃO
|b-a|<є
FIM!
Pseudocódigo Met. Bisseção
Método da Bisseção (Cont.)
• Terminado o processo, teremos um intervalo
[𝑎, 𝑏] que contém a raiz ( e tal que 𝑏 − 𝑎 <
𝜖 ) e uma aproximação 𝑥 para a raiz exata.
Solução no Matlab
Solução no Excel
Método da Bissecção (Convergência)
• É intuitivo perceber que se 𝑓(𝑥) é contínua no 
intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0, o método da 
bissecção vai gerar uma sequência {𝑥𝑘} que 
converge para a raiz;
• No entanto a prova analítica necessita de
algumas considerações.
Método da Bissecção (Convergência)
• Suponhamos [𝑎0, 𝑏0] seja o intervalo inicial e
que a raiz 𝜉 seja única no interior do intervalo;
• O método da bissecção gera três sequências:
Método da Bissecção (Convergência)
Método da Bissecção (Convergência)
• A amplitude de cada intervalo gerado é a
metade da amplitude do intervalo anterior;
• Assim:
Método da Bissecção (Convergência)
• Então:
• Como 𝑎𝑘 e {𝑏𝑘} são convergentes, temos:
Método da Bissecção (Convergência)
• Seja = 𝑟 = 𝑠, o limite das duas sequências.
Dado que para todo 𝑘 o ponto 𝑥𝑘 pertence ao
intervalo 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 , temos:
lim
𝑘→∞
𝑥𝑘 =
• Resta mostrarmos que é o limite da função,
ou seja, 𝑓 = 0;
Método da Bissecção
• Em cada iteração 𝑘 temos 𝑓 𝑎𝑘 𝑓 𝑏𝑘 < 0.
Então:
Método da Bissecção (Convergência)
• Assim,
• Portanto, lim
𝑘→∞
𝑥𝑘 = e é zero da função.
Observações Finais
• Conforme demonstramos, satisfeitas as
hipóteses de continuidade de 𝑓(𝑥) em [𝑎, 𝑏] e
de troca de sinal em 𝑎 e 𝑏 , gera uma
sequência convergente, ou seja, é sempre
possível obter um intervalo que contém a raiz
da equação em estudo, sendo que o
comprimento desse intervalo satisfaz a
precisão requerida;
Observações Finais (Cont.)
• As iterações não envolvem cálculos difíceis;
3. Exercícios Propostos
Use o Método da Bissecção para determinar as
raízes das funções abaixo, em seus respectivos
intervalos, com tolerância de 𝜀 = 0.01:
a) 𝑥3 + 9𝑥 + 3 = 0, [0,1];
b) 𝑥 − cos 𝑥 = 0, 0,
𝜋
2
.
Até próxima aula!

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