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Cálculo Numérico Métodos Iterativos para o Cálculo de Raízes de Funções Prof. Onézimo Cardoso Sumário 1. Zeros de Funções Reais 1.1. Isolamento das Raízes; 1.2. Refinamento; 1.2.1. Critério de Parada; 2. Métodos da Bissecção; 3. Exercícios Propostos 1. Zeros de Funções Reais; • Em ciências exatas, diversas vezes nos deparamos com o problema de resolução de equações do tipo 𝑓 𝑥 = 0; • Dados 𝐸 e 𝑅 e supondo conhecida a característica do dispositivo v = 𝑔 𝑖 , pela Lei de Kirchoff, temos que a corrente que flui no sistema é expressa por: 𝐸 − 𝑅𝑖 − 𝑔 𝑖 = 0 • Na prática, 𝑔 𝑖 tem aspecto de polinômio de 3º grau; • Deseja-se então solucionar a equação: 𝑓 𝑖 = 𝐸 − 𝑅𝑖 − 𝑔 𝑖 = 0 • A solução 𝜉 de equações tipo 𝑓 𝑥 = 0 é dita Zero da Função 𝑓(𝑥) ou Raiz da Equação 𝑓 𝑥 = 0; • Tal solução, quando existe, pode ser real ou complexa; • No método abordado na presente aula estaremos interessados apenas nas soluções 𝜉 ∈ ℝ ; • Para algumas equações, a exemplo das polinomiais de 2º grau, a determinação das raízes é realizada com facilidade; • No entanto, no caso de polinômios de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar os zeros exatamente (Teorema de Abel- Ruffini); • Nesse caso, faz-se uso de métodos numéricos que fornecem os zeros da função com uma precisão prefixada; • A ideia central desses métodos é partir de uma aproximação inicial para a raiz e, em seguida, refinar essa aproximação através de um método iterativo; • Desse modo, tais métodos constam de duas fases: FASE I : Localização ou isolamento das raízes, o qual consiste em obter um intervalo que contenha a raiz; FASE II : Refinamento, que consiste em, escolhidas as aproximações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão 𝜀 prefixada; 1.1. Isolamento das Raízes • Nesse estágio, faz-se uso do seguinte Teorema: Teorema do Valor Intermediário (TVM): Seja 𝑓 𝑥 uma função contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , tal que 𝑓 𝑎 e 𝑓(𝑏) possuem sinais opostos, isto é 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0. Então existe uma raiz 𝑥 = 𝑐 de 𝑓 𝑥 = 0 em 𝑎, 𝑏 . Exemplo 1: Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 , temos a tabela a seguir para os sinais dos valores assumidos por 𝑓 mediante a variação dos valores de seu domínio: • Visto que 𝑓 é uma função polinomial, ela é contínua em todos os pontos de seu domínio e, em particular, para qualquer intervalo fechado de seu domínio; • Então, pelo TVM, temos que existe pelo menos um zero de 𝑓(𝑥) em cada um dos intervalos 𝐼1 = −5,−3 , 𝐼2 = 0, 1 , 𝐼3 = 2, 3 . 1.2. Refinamento • Nesse etapa, são aplicados métodos iterativos que culminem numa solução com erro menor do que o prefixado; • Para isso, desenvolvem-se instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos; • A execução de um ciclo recebe o nome de iteração; • Cada iteração utiliza resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um resultado próximo o suficiente do resultado esperado; 1.2.1. Critério de Parada • Pelo diagrama anterior, pode ser observado que todos os métodos iterativos, para obter zeros de função, efetuam algum tipo de teste do tipo: – 𝑥𝑘 está suficientemente próximo da raiz exata? • Existem duas interpretações para raiz exata aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado; Critério de Parada (Cont.) • 𝑥 é raiz aproximada com precisão 𝜖 se: 1. 𝑥 − 𝜉 < 𝜖; 2. 𝑓( 𝑥) < 𝜖; Para o primeiro caso, como efetuar o teste de parada se não conhecemos 𝜉? Critério de Parada (Cont.) • Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um intervalo [𝑎, 𝑏] tal que: Método da Bissecção • No Método da Bissecção, o Critério de Parada, o qual permite que o ciclo das iterações seja interrompido, indicando que se atingiu um valor satisfatório é expresso por: Dada a função 𝑓 contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 . Seja 𝜀 > 0 a tolerância prefixada. Tem-se que 𝑥 = 𝑐𝑘 é um valor satisfatório para raiz de 𝑓 𝑥 = 0 se 𝑏 − 𝑎 2𝑘 ≤ 𝜀 (O tamanho do intervalo depois de 𝑘 iterações é menor ou igual a tolerância) Método da Bissecção (Cont.) • O objetivo desse método é, baseado no critério de parada mencionado anteriormente, reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida, usando para isso sucessivas divisões de [𝑎, 𝑏] ao meio; • Baseado no critério de parada adotado, pode-se determinar o número de iterações necessárias 𝑁 para que o Método da Bissecção atinja a acurácia requisitada, da maneira como segue: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (2.1) Exemplo 2: Dada a função 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥 + 1, apliquemos o Método da Bissecção e determinemos a raiz de 𝑓 em (0,2) com tolerância de 𝜀 = 0,01: Note que: 𝑓 0 = 1; 𝑓 2 = −3; Por (2.1) temos que o número necessário de iterações é igual a: 𝑁 ≥ log 2 − 0 − log 0,01 log(2) ≅ 8 • ESTRUTURA ITERATIVA (MÉTODO DA BISSECÇÃO) Estimar a e b f(a)f(c)<0 c=(a+b)/2 f(a)f(c)>0 b=c a=c SE SENÃO SE SENÃO |b-a|<є FIM! Pseudocódigo Met. Bisseção Método da Bisseção (Cont.) • Terminado o processo, teremos um intervalo [𝑎, 𝑏] que contém a raiz ( e tal que 𝑏 − 𝑎 < 𝜖 ) e uma aproximação 𝑥 para a raiz exata. Solução no Matlab Solução no Excel Método da Bissecção (Convergência) • É intuitivo perceber que se 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0, o método da bissecção vai gerar uma sequência {𝑥𝑘} que converge para a raiz; • No entanto a prova analítica necessita de algumas considerações. Método da Bissecção (Convergência) • Suponhamos [𝑎0, 𝑏0] seja o intervalo inicial e que a raiz 𝜉 seja única no interior do intervalo; • O método da bissecção gera três sequências: Método da Bissecção (Convergência) Método da Bissecção (Convergência) • A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo anterior; • Assim: Método da Bissecção (Convergência) • Então: • Como 𝑎𝑘 e {𝑏𝑘} são convergentes, temos: Método da Bissecção (Convergência) • Seja = 𝑟 = 𝑠, o limite das duas sequências. Dado que para todo 𝑘 o ponto 𝑥𝑘 pertence ao intervalo 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 , temos: lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 = • Resta mostrarmos que é o limite da função, ou seja, 𝑓 = 0; Método da Bissecção • Em cada iteração 𝑘 temos 𝑓 𝑎𝑘 𝑓 𝑏𝑘 < 0. Então: Método da Bissecção (Convergência) • Assim, • Portanto, lim 𝑘→∞ 𝑥𝑘 = e é zero da função. Observações Finais • Conforme demonstramos, satisfeitas as hipóteses de continuidade de 𝑓(𝑥) em [𝑎, 𝑏] e de troca de sinal em 𝑎 e 𝑏 , gera uma sequência convergente, ou seja, é sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimento desse intervalo satisfaz a precisão requerida; Observações Finais (Cont.) • As iterações não envolvem cálculos difíceis; 3. Exercícios Propostos Use o Método da Bissecção para determinar as raízes das funções abaixo, em seus respectivos intervalos, com tolerância de 𝜀 = 0.01: a) 𝑥3 + 9𝑥 + 3 = 0, [0,1]; b) 𝑥 − cos 𝑥 = 0, 0, 𝜋 2 . Até próxima aula!
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