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1 UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo I Semestre: 2014.2 1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos) As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos. 1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine: i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1) b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1. c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas. Função y=f(x) Função y=g(x) Função y=h(x) 2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas. )1(f )x(f mil )x(f mil 1 x 1 x f tem limite em xo=-1? f é contínua nesse ponto? )1(f )x(f mil )x(f mil 1 x 1 x f tem limite em xo=1? f é contínua nesse ponto? As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados. Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites. 3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam de sentenças: a) 2 x se ; 5x- 2 x se ; 3 2x se ; 1-x f(x) 2 b) 2 x se ; 5x- 2 x se ; 4 2x se ; 1-x g(x) 2 c) 1x se ; 2x- 1x 1- se ; ;x 1- x se ; 2 -1x se ; 2x h(x) 2 b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas. c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas. x y x y x y x y 2 4) Esboce o gráfico da função 1 xse 1; x 1 1 xse ;1 1 x 0 se ; 2x 0x2 se ; x 2 x se ; 2 )x(f 2 e determine: a) )x(f lim 2 x ; )x(f lim 2 x ; f (– 2); b) )x(f lim 0 x ; )x(f lim 0 x ; f (0); c) )x(f lim 1 x ; )x(f lim 1 x ; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados. 5) a) Esboce o gráfico da função 1 xse x;log 1 x 0 se ; x 0 se ; 3 0 x se ; x 1 )( 2 1 xf e determine: b) O domínio e a imagem f(x); c) Se existir, )( lim 0 xf x ; )(lim 0 xf x ; )(lim 0 xf x ; )( lim 1 xf x ; )( lim 1 xf x ; )( lim 1 xf x ; )( lim xf x ; )( lim xf x ; d) Se f(x) é contínua em x = 0 e em x=1. e) Se f(x) é contínua. Justifique. 6) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde estas funções mudam de sentenças. a) 1 xse ; 1x 1 xse ;x f(x) 2 b) 0 xse ;1x 0 xse ;1x f(x) 2 c) 1 xse ; 1x 1 xse ;1 1 x se ;1x- f(x) 2 d) 5 x 1 se ;1x 1 x se ;2 1 x1 se ; 1x 1 x se ; 1x )f(x 2 e) 1 x se ; x 1 1 xse ; 2 f(x) x f) 0 x se ;)ln(x 0 xse ;2 0 xse ;x f(x) 7) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0. a) 0 x se ; 2 0 xse ; 2 0 xse ; 2 f(x) x x b) 0 xse ; 1x- 0 xse ; 2 0 xse ;e f(x) 2 x c) 0 xse ;x log 0 xse ;e f(x) 2 1x Obs: 1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações; 2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x) 3 8) Determine as constantes a e b de modo que 2x se ;ax3 2x se ;4bx 2x se ; 4-2x 4x xf 2 seja contínua no ponto x=2. 9) a) Considere a função 3 xse ;3x3 3 x se ; 3n 3 x se ; 1mx )x(f 2 . Determine as constantes m, n de modo que: a1) Exista xf lim 3x a2) f seja contínua em x=–3 b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir: b1) 1x 1x se ;2x 1x se ;2ax3 xf o 2 b2) 2x 2x se ;bx 2x se ;ax 2x se ;3x3 xf o 2 As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras. 10) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração) a) 3x4x 2x3x lim 2 2 1x b) x2x 8x2 lim 2 2 2x c) 4x 8x lim 2 3 2x d) 18x3x 27x lim 2 3 3x 11) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado) a) 3x 18x2 lim 9x b) 2x 16x lim 2 4x c) 1x 25x lim 1x d) 4x 31x4 lim 22x e) 22x 31x5 lim 2x 12) Calcule os seguintes limites: a) x2x 4x lim 2 2 2x b) 1x 1x2x lim 3 2 1x c) 4t4t3 4t lim 2 2 2t d) 1 lim x 1x3x2 2xx4x3 23 23 e) x 16)x4( lim 2 0x f) 3x8x 9x6x lim 3 3 3x g) 1x8 2x3x2 lim 3 2 21x h) 2x 8x lim 3 2x i) 3 2 2 2x 2x5x3 4x lim j) 2x 16x lim 2 4x k) x 2 2x lim 0x l) 1x 1x lim 1x 4 Respostas: 4) 4)x(f lim e 2)x(f lim 2 x2 x ⟹ o limite não existe nesse ponto 0)x(f lim)x(f lim 0 x0 x e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto) 2)x(f lim)x(f lim 1 x1 x , f(1)=1⟹ o limite existe nesse ponto mas a função não é contínua (nesse ponto) 5) a) 6 a) b) c) a) 1)x(flim 1x , 2)x(flim 1x b), 1)x(flim 0x 1)x(flim 0x c) 0)x(flim 1x , 0)x(flim 1x d) e) f) d) )x(flim2)x(flim 1x1x , )x(flim0)x(flim 1x1x e) 2)x(flim 1x , 1)x(flim 1x , f) 0)x(flim 0x , )x(flim 0x , não existe. x y -3 -2 -1 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y -8 -6 -4 -2 2 -4 -2 2 x y -4 -3 -2 -1 1 2 1 2 -1 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -2 2 5 7) a) b) c) a) 1)(lim 0 xf x , 1)(lim 0 xf x , 1)(lim 0 xf x e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) b) 0)(lim 0 xf x , )(lim 0 xf x , não existe )(lim 0 xf x e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) c) ...78281,2)(lim 0 exf x , )(lim 0 xf x , não existe )(lim 0 xf x e f(0) = e (f é descontínua em x = 0) 8) a = -4 b = 3 9) a) (a1) m = 9 13 e n qualquer (a2) m = 9 13 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a = 2 3 e b = – 1 10) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3 11) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3 12) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6 h) 12 i) 3 7/4 ; j) 32; k) 4/2 ; l) 1/2 x y -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 x y -4 -3 -2 -1 1 2 -2 2 1
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