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CURSO: ENGENHARIA DE ENERGIAS 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL II - PROFESSORA: SÍLVIA HELENA 
LISTA 01: INTEGRAIS MÚLTIPLAS – 02.03.2015 
 
1) Calcule a integral iterada. 
 
a) 2 2
0 0
x seny dydx

 
 RESP.: 2 b) 3 2
2
3 0
( cos )y y x dxdy


 
 RESP.: 18 
c) 4 2
1 1
( )
x y
dydx
y x
 
 RESP.: 
21
ln 2
2
 d) 1 1
2 4
0 0
( )v u v dudv 
 RESP.: 31/30 
e) 2
2
0 0
r sen d dr

  
 RESP.: 

 
 
 
2) Calcule a integral dupla. 
 
a) 
 ( ) , ( , ) / 0 2, 0 2
R
sen x y dA R x y x y      
 RESP.: 2 
 
b) 
 2( ) , ( , ) / 0 2,1 2
R
y xy dA R x y x y     
 RESP.: 4 
c) 
 
2
2
, ( , ) / 0 1, 3 3
1
R
xy
dA R x y x y
x
 
      
 

 RESP.: 9 ln2 
 
d) 
   ( ) , 0, 6 0, 3
R
x sen x y dA R X  
 RESP.: 
1 1
( 3 1)
2 12
 
 
 
e) 
   , 0,1 0,1
1
R
x
dA R X
xy


 RESP.: 2 ln2 -1 
 
f) 
   , 0, 2 0,3xy
R
ye dA R X 
 RESP.: 
61 5
2 2
e 
 
 
g) 
   
1
, 1,3 1,2
1
R
dA R X
x y

 
 RESP.: 6 ln 6 - 5 ln5 - 4 ln4 + 3 ln3 
 
3) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 
4 6 2 15 0x y z   
 e acima do retângulo 
 R= (x,y)/-1 x 2, -1 y 1   
 
RESP.: 51 
 
4) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide elíptico 
2 2
1
4 9
x y
z  
e acima do retângulo 
   1,1 2,2R X  
 
RESP.: 166/27 
 
5) Calcule a integral iterada 
 
a) 4 2
0 0
y
xy dxdy 
 RESP.: 32 b) 1 2
0 2
( )
x
x y dydx 
 RESP.: -1 
c) 
2
1
0
(1 2 )
x
x
y dydx 
 RESP.: 3/10 d) 22
0
y
y
xy dxdy 
 RESP.: 6 
e) 21
3
0 0
cos( )
s
s dtds 
 RESP.: (1/3)sen1 
 
6) Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1º Quadrante. 
RESP.:: 4 
7) Determinar a área da região limitada pelas curvas xy 2 e y = x no 1º 
Quadrante. RESP.:: 2/3 
 
8) Utilizando a integração dupla, calcule a área retangular R. 
 
 
RESP.: 8 
 
09) Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido E limitado 
superiormente pela superfície de equação z = x2 + y2 e inferiormente pela região 
 
RESP.: 
15
4

 
10) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 
 
a) Abaixo do cone 
2 2z x y 
e acima do disco 
2 2 4x y 
. 
RESP.: 
16
3

 
b) Limitado pelo hiperboloide 
2 2 2 1x y z   
e pelo plano z=2. 
RESP.: 
4
3

 
 
c) Uma esfera de raio a. 
 
 
11) Determine a área de superfície. 
a) A parte do plano 
2 3 4z x y  
que está acima do retângulo 
   0,5 1,4x
. 
RESP.: 
15 26
 
 
b) A parte do plano 
3 2 6x y z  
que está no primeiro octante. 
RESP.: 
3 14
 
 
12) Calcule a integral iterada. 
 
a) 22
0
1 0
(2 )
z
y x
x y dx dy dz

  
 RESP.: 16/15 
b) 2 2 ln
0
1 0
z
x
yxe d ydx dz  
 RESP.: 5/3 
c) 2
0
0 0
cos( )
y
x
x y z dzdxdy

   
 RESP.: -1/3 
 
13) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 
 
a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4 
RESP.: 16/3 
 
b) O sólido limitado pelo cilindro y = x2 e pelos planos z = 0 e y + z = 1 
RESP.: 8/15 
 
14) Utilize coordenadas cilíndricas. 
 
a) 
2 2
E
x y dV
, onde V é a região que está dentro do cilindro 
2 2 16x y 
 e 
entre os planos z = - 5 e z = 4. 
 RESP.: 
384
 
 
b) 
( )
E
x y z dV 
 , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do 
paraboloide 
2 24z x y  
. 
RESP.: 
8 128
3 15
 
 
 
c) Calcule 
2
E
x dV
, onde E é o sólido que está dentro do cilindro 
2 2 1x y 
, e 
acima do plano z=0 e abaixo do cone 
2 2 24 4z x y 
. 
RESP.: 
2 / 5