Mat Financeira - Juros

Prévia do material em texto

1
Matemática Financeira
• A evolução tecnológica e as transformações nas relações entre 
empresas, cada vez mais instáveis e impressionantemente rápidas, 
induzem a busca de alternativas para garantir a sustentabilidade 
dos negócios neste ambiente hostil. A Engenharia Econômica, que 
usa a matemática financeira como ferramenta básica de avaliação 
entre as relações entre tempo e dinheiro, é a alternativa usada 
nesta situação.
• Quando situações econômicas são avaliadas, as quantias de 
dinheiro são relacionadas a um fator incontrolável: “ o tempo “. A 
data de uma operação é a base por onde serão calculados os juros 
envolvidos até a data futura desejada.
Fatores de Produção: Fatores de Remuneração:
Trabalho Salário
Terra Aluguel
Capital 
Não considerar o efeito dos juros em uma análise leva 
invariavelmente a uma decisão errada, o que pode 
comprometer o sucesso de uma atividade econômica!
JUROS E TAXA DE JUROS
Juros
2
2
“Uma soma de dinheiro pode ser equivalente a outra, diferente,
mas num ponto diferente no tempo. O que proporciona a
equivalência é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro: os JUROS”.
Enfim, o juro é quem cria o valor do dinheiro no tempo!
O juro deve-se, entre outros fatores de menor importância, a:
� Oportunidade;
� Inflação;
� Risco.
“Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido 
dentro de n anos”
.
3
� Modalidades de Juros:
� Simples:
São aqueles onde somente o capital renderá juros, ou seja, 
os juros irão ser diretamente proporcionais ao capital 
requerido.
onde:
Principal
Taxa de Juros
Número de períodos de juros
niPJ ××=
=i
=n
=P
4
3
Exemplo didático:
Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de
juros simples de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao final
de 6 meses?
J = 10.000 x 0,05 x 6
J = 3.000,00
A empresa deve pagar 13 mil reais pelo empréstimo feito,
sendo que 3.000 serão somente referente aos juros do
período do empréstimo.
niPJ ××=
5
� Modalidades de Juros:
� Compostos:
Irão incorporar ao capital os próprios rendimentos dos juros 
do período anterior. Desta forma, quando compostos, os 
juros também irão render juros (são os ‘juros sobre juros’).
onde:
Principal
Taxa de Juros
Número de períodos de juros
( ) PiPJ n −+×= 1
=i
=n
=P
6
4
Exemplo didático anterior:
Uma empresa toma emprestados $ 10.000,00 a uma taxa de
juros compostos de 5% ao mês. Quanto ela deverá pagar ao
final de 6 meses?
J = 10.000 x (1+0,05)6 – 10.000
J = 3.400,96
A empresa deve pagar 13.400,96 pelo empréstimo feito, sendo
que 3.400,96 serão referentes aos juros do período do
empréstimo.
( ) PiPJ n −+×= 1
7
Comportamento destes juros, quando solicitado um capital P =
100,00 reais, a uma taxa de juros i = 10% ao ano, por um período
n = 10 anos:
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período (anos)
Va
lo
r 
(R
$)
Juros Simples
Juros Composto
8
5
� NOMINAL
Ocorre quando o período referido na taxa de juros 
(aplicação) não é igual ao período de capitalização.
Exemplo: 60% a.a. com capitalização mensal
� EFETIVA
Ocorre quando os períodos de capitalização coincidem 
com a taxa de juros.
Exemplo: 5% a.m.
A matemática financeira baseia-se em taxas de juros 
efetivas. Sendo assim, as taxas nominais devem ser 
convertidas em taxas efetivas!
9
� Conversão de taxas de juros de mesmo período de 
capitalização:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros 
efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva
taxa de juros nominal
número de períodos de composição da taxa de juros, 
isto é, número de vezes que a taxa nominal é 
capitalizada
n
ii NOMINALEFETIVA =
=EFETIVAi
=NOMINALi
=n
10
6
� Conversão de taxas de juros de mesmo período de 
capitalização:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros 
efetiva de mesmo período de capitalização, faz-se:
Exemplo:
20% a.a. c.m ⇒ determinar taxa efetiva mensal
20% a.a. c.m = 1,67% a.m. c.m
12
n
ii NOMINALEFETIVA =
11
� Conversão de taxas de juros de mesmo período de 
aplicação:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros 
efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva
taxa de juros nominal
número de períodos de composição da taxa de juros, 
isto é, número de vezes que a taxa nominal é 
capitalizada
=EFETIVAi
=NOMINALi
=n
11 −





+=
n
ii NOMINALEFETIVA
n
12
7
� Conversão de taxas de juros de mesmo período de 
aplicação:
Para converter uma taxa de juros nominal em taxa de juros 
efetiva de mesmo período de aplicação, faz-se:
Exemplo:
20% a.a. c.m ⇒ determinar taxa efetiva anual
(1 + 20% a.a. c.m )12 – 1 = 21,94% a.a. c.a.
12
11 −





+=
n
ii NOMINALEFETIVA
n
13
� Conversão de taxas de juros efetivas de períodos 
diferentes:
Para converter taxas efetivas de períodos diferentes, faz-se:
onde:
taxa de juros efetiva do período maior
taxa de juros efetiva do período menor
quantidade de períodos menores (m) existentes no 
período maior (M)
( ) 11 −+= QEFEmEFEM ii
=EFEMi
=EFEmi
=Q
14
8
FLUXO DE CAIXA
n
P
0
F
n
0
p p p p p
0
p
1 543 n2
P = Principal
F = Montante
p = parcela
Período de Capitalização: valores serão somente realizados ao final do período15
Represente o seguinte fluxo de caixa de um projeto:
O projeto consiste de um investimento de $800 hoje e $500 daqui 
a um ano e renderá $2000 em 4 anos e $1500 dentro de 5 anos.
0 1 5432
800
500
2000
1500
16
9
� Equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro)
� Investindo hoje uma quantia P, qual será o montante F que eu 
terei após n períodos?
� Qual valor deverá ser investido hoje (P) para se obter um 
montante F após n períodos, dada uma taxa de juros i ? 
( )niPF +×= 1
( )ni
FP
+
=
1
17
Carlos solicitou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de 
juros de 3% ao mês para saldar em um ano. Quanto ele deverá 
pagar ao final do ano de empréstimo?
F = 6.000 (1+0,03)12
F = 8.556,00 reais
( )niPF +×= 1
F=?
P = 6.000
12
0
18
10
� Equivalência entre P (valor presente) e p (série uniforme)
� Permite calcular um valor presente P equivalente a uma série 
uniforme A, dada a taxa de juros i.
( )
( )n
n
ii
ipP
+×
−+
×=
1
11
( )
( ) 11
1
−+
+×
×=
n
n
i
iiPp
19
Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através
de um financiamento em 36 meses. Considerando que o
pagamento máximo mensal que você pode admitir é de $500 e que
você pode dar uma entrada de $3.000, qual é o valor do automóvel
que você poderá comprar dado que a taxa é de 2% a.m..
p= 500
Valor do carro = P + 3.000
36
0
1 . . . . . .
( )
( )n
n
ii
ipP
+×
−+
×=
1
11 ( )
( )36
36
02,0102,0
102,01500
+×
−+
×=P
42,744.15=Valor
42,744.12=P
20
11
CORREÇÃO MONETÁRIA
A contínua desvalorização da moeda exige que novos
métodos sejam incorporados à análise, para que seja
possível representar esta desvalorização.
Desta forma, a correção monetária é o método que a
matemática financeira utiliza para levar em conta a
desvalorização, reduzindo a mesma.
• Pré-fixada
• Pós-fixada
21
CORREÇÃO MONETÁRIA PRÉ-
FIXADA
Nestes casos, a inflação é considerada na análise através
da correção monetária, que aumenta a taxa percentual,
passando a incluir na mesma a taxa de juros e a correção
monetária pré-fixada, conforme segue:
onde: 
taxa global de juros ( ou inflacionada )
taxa referencial (correçãomonetária )
taxa real de juros
( ) ( ) ( )iTRi +×+=+ 111 *
=
*i
=i
=TR
22
12
CORREÇÃO MONETÁRIA PÓS-
FIXADA
Nessa situação, a correção monetária fica em aberto e seus
valores só serão conhecidos com o decorrer do tempo, à
medida em que os índices de inflação (ou de correção) vão
sendo publicados.
Esse tipo de prática exige a indexação dos valores do fluxo de
caixa. Esses índices (IGPM, CUB, OURO, DÓLAR, entre
outros) funcionarão como deflatores enxugando a inflação.
23
2. Exemplo
Uma financeira oferece duas modalidades alternativas de
financiamento:
a. Com correção monetária pós-fixada + 12% a.a.
b. Com correção monetária pré-fixada : 102% ao ano.
Qual a taxa de correção monetária prevista pela financeira?
Solução: ( ) ( ) ( )iTRi +×+=+ 111 *
i* = 102% ao ano
i = 12% ao ano
(1 + 1,02) = (1 + TR) x (1 + 0,12) 
(1 + TR) = 1,8036
Ø = 80,36% ao ano
24
13
Exercícios:
1- Converter as taxas de juros nominais 20 % a.a c.m. , 35 % a.a.a c.t e 
40 % a,a c.d, em taxas efetivas de mesmo período de capitalização.
2- Converter as taxas anteriores em taxas efetivas de mesmo período 
de aplicação. ( 1) 1,66 / 8,75 / 0,11 % /// ( 2) 21,84 / 39.86 / 49,14 %)
3- Você recebeu uma oferta de aquisição de um carro com um 
financiamento de 36 meses, Considerando que você pode pagar no 
máximo R$ 900 / mês e que você dará uma entrada de R$ 6000, qual o 
valor do bem, considerando uma taxa de juros de 12 % a.a, 
capitalizado mensalmente? ( $ 33096,00 )
4- Um casal de engenheiros deseja adquirir uma sala p/ seu escritório. 
A entrada é de $ 20000 e o saldo de $ 72000 deverá ser pago em 36 
parcelas iguais. Qual o valor da parcela, se a taxa de juros é de 8 % 
a.a. c.m., e a taxa de inflação de 0,8 % a.m. ? ( $ 2591,00 )
5- Considerando que você abra uma conta de aposentadoria com um 
depósito de R$ 1200 e deposite R$ 50 mensalmente, qual o montante 
que disporá quando se aposentar daqui a 30 anos, considerando juros 
pagos anualmente de 9 % compostos mensalmente? ( $ 109213,83)