Geo Analítica -unid2

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Geometria Analítica – Unidade 2
1 de março de 2015
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1 de março de 2015
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Seções cônicas
Círculos, elipses, parábolas e hipérboles são chamados de seções cônicas ou simplesmente cônicas pelo fato de serem obtidos pela interseção de um plano com cones circulares duplos unidos pelos vértices;
	
© Prof.Rodrigo da Matta, M.Sc.
 Fonte: Anton; Bivens; Davis (2012)
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Seções cônicas
Parábola
Conjunto de todos os pontos em um plano que estão equidistantes de uma linha fixa (diretriz) e de um ponto fixo (foco) fora da linha; 	
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Seções cônicas
Parábola
Uma parábola é simétrica em relação à reta (eixo de simetria) que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz;
O eixo de simetria intersepta a parábola em um ponto denominado vértice. 	
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Seções cônicas
É tradicional no estudo de parábolas denotar de p a distância entre o foco e o vértice; 	
O vértice é equidistante do foco e da diretriz, consequentemente a distância entre o foco e a diretriz é 2p.
	
© Prof.Rodrigo da Matta, M.Sc.
.
	
Parábola
	
A parábola passa por dois dos cantos do retângulo que se estende do vértice para o foco ao longo do eixo de simetria e se estende 2p (unidades) abaixo e acima do eixo de simetria.
	
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Seções cônicas
A equação da parábola se torna mais simples se o vértice está na origem dos eixos coordenados e o eixo de simetria coincide com o eixo-x ou eixo-y;
Há quatro possíveis orientações da parábola e estas são denominadas de posições padrão da parábola;
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Parábola
	
As equações resultantes são chamadas de equações padrão da parábola.	
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Seções cônicas
Parábola – Equação Padrão 1
A equação padrão da parábola como foco em (p,0) e diretriz x= -p é y2 = 4px;
Admitindo que qualquer ponto da parábola é representado por P(x,y) e que o mesmo é equidistante da diretriz o do foco, deduz-se que PF=PD;
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Seções cônicas
Parábola – Equação Padrão 1
D(-p,y) é o segmento perpendicular à diretriz a partir de P;
Pela fórmula da distância entre dois pontos, obtêm-se:	
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Seções cônicas
Parábola – Equação Padrão 1
Igualando os termos e tirando a raiz quadrada de ambos;
Simplificando após a fatoração: 
	
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Seções cônicas
Elipse
Conjunto de todos os pontos no plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante e maior que as distância entre os dois pontos;
Os dois pontos fixos são chamados de focos da elipse e o ponto central do segmento linear que une os focos é chamado de centro. 	
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Seções cônicas
Elipse
Note que se os focos coincidirem, tem-se um círculo;
O segmento de linha que liga os focos é chamado de eixo maior;
O segmento de linha transversal à elipse é chamado de eixo menor.
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Seções cônicas
Elipse
É tradicional do estudo de elipses denotar o comprimento do eixo maior de 2a, do eixo menor de 2b e da distância entre os focos de 2c;
Normalmente a é chamado de semieixo maior e b de semieixo menor;
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Seções cônicas
Elipse
Há uma relação entre a, b e c que pode ser obtida examinando-se a soma das distâncias aos focos a partir de um ponto P no final do eixo maior e de um ponto Q no final do eixo menor;
Pela definição da elipse, estas somas devem ser iguais, portanto:
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Seções cônicas
Elipse
Há uma relação entre a, b e c que pode ser obtida:
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Seções cônicas
Elipse
Há uma relação entre a, b e c que pode ser obtida:
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Seções cônicas
Elipse
Da equação anterior percebe-se que a distância de um foco à uma extremidade do eixo menor é “a” o que implica que para qualquer ponto de uma elipse a soma das distâncias para os focos é 2a;
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Seções cônicas
Elipse
Da mesma equação também segue que a≥b, sendo a igualdade válida apenas quando c=0;
Geometricamente, significa que o eixo maior de uma elipse é pelo menos igual ao eixo menor, situação em que os focos coincidem e a elipse torna-se um círculo.
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Seções cônicas
Elipse
A equação da elipse simplifica se o centro da mesma ficar na origem dos eixos coordenados e os focos no eixo-x (ou eixo-y);
Nesta situação, há portanto duas orientações possíveis:
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Seções cônicas
Elipse – Equação Padrão 1
A equação padrão da elipse como os focos no eixo-x é:
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Seções cônicas
Elipse – Equação Padrão 1
Considere P(x,y) como um ponto qualquer da elipse;
Desde que a soma das distâncias de P aos focos é 2a, segue que:
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Seções cônicas
Elipse – Equação Padrão 1
Considere P(x,y) como um ponto qualquer da elipse;
Desde que a soma das distâncias de P aos focos é 2a, segue que:
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Seções cônicas
Elipse – Equação Padrão 1
Transferindo o segundo radical para o lado direito da equação, elevando tudo ao quadrado e fatorando o lado direito, tem-se: 
Simplificando:
Elevando novamente ao quadrado e simplificando:
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Seções cônicas
Hipérbole
Conjunto de todos os pontos no plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante e menor que as distância entre os dois pontos;
Os dois pontos fixos são chamados de focos da hipérbole e o termo "diferença" deve ser entendido como a distância ao foco mais distante menos a distância ao foco mais próximo.
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Seções cônicas
Os pontos da hipérbole formam dois ramos, cada qual rodeando o foco mais próximo;
O pondo médio do segmento de reta que une os focos é chamado de centro da hipérbole;
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A reta que passa pelos focos é chamada de eixo focal e a reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo focal é chamada de eixo conjugado.
Hipérbole
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Seções cônicas
Hipérbole
Associado a toda hipérbole existe um par de retas que cortam o seu centro chamadas de assíntotas da hipérbole;
A medida que um ponto P move-se ao longo da hipérbole afastando-se do centro, a distância vertical entre P e uma das assíntotas tende a zero.
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Seções cônicas
Hipérbole
Tradicionalmente no estudo da hipérbole denota-se por 2a a distância entre seus vértices, por 2c a distância entre os focos e b por:
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Seções cônicas
Hipérbole
a é chamado de eixo semifocal da hipérbole e b de eixo semiconjugado;
Se V é um dos vértices da hipérbole então a distância de V ao foco mais distante menos a distância ao foco mais próximo será:
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Seções cônicas
Hipérbole
Assim, para todos os pontos da hipérbole, a distância do foco mais distante menos a distância do foco mais próximo será 2a;
A equação da hipérbole possui uma forma especialmente conveniente quando o centro da hipérbole coincide com a origem dos eixos coordenados e os focos estão no
eixo-x (ou eixo-y).
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Seções cônicas
Hipérbole
As duas orientações possíveis chamadas de posições padrão de uma hipérbole e suas equações padrão são:
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Seções cônicas
Hipérbole
As equações das assíntotas de uma hipérbole podem ser obtidas igualando a equação padrão a zero e resolvendo-a para y em termos de x:
Resolvendo a equação acima para y :
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Seções cônicas
Círculo
Conjunto de todos os pontos equidistantes a um ponto no plano coordenado. Normalmente atribui-se a esta distância (fixa) a letra r e ao ponto a denominação de centro do círculo o simplesmente C.	
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 Fonte: Swokowski; Cole (2010)
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Seções cônicas
Círculo
Um ponto P estará no círculo desde que d(C,P)=r. Na figura abaixo, pela fórmula da distância entre dois pontos no plano coordenado obtém-se que:	
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Seções cônicas
Círculo
Elevando ao quadrado ambos os lados da equação anterior obtém-se:
A expressão acima é conhecida como a equação padrão do círculo.
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Seções cônicas
Círculo
Elevando ao quadrado ambos os lados da equação anterior obtém-se:
A expressão acima é conhecida como a equação padrão do círculo.
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Seções cônicas
Círculo
Caso o centro do círculo coincida com a origem dos eixos coordenados, a equação anterior pode ser reescrita como:	
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Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Calculus: Early Trancendentals. 10th Ed. Hoboken: Wiley, 2012.
SWOKOWSKI, E.; COLE, J. Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, Classic 12th Ed. Belmont: Brooks/Cole , 2010
© Prof.Rodrigo da Matta, M.Sc.