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Álgebra Linear Diagonalização de Operadores Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Diagonalização de Operadores • Objetivo: Encontrar uma base no espaço vetorial na qual a matriz de um determinado operador linear seja a mais simples possível Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 linear seja a mais simples possível Base de Autovetores • Dado um operador linear T:V→V, nosso objetivo é conseguir uma base β de V na qual a matriz do operador nessa base ([T]β ) seja uma matriz Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 operador nessa base ([T]ββ) seja uma matriz diagonal que é a forma mais simples possível de se representar uma transformação Base de Autovetores • Teorema: Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. • Corolário: Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T:V→V é um operador linear que possui n autovetores distintos, então V possui Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 4 possui n autovetores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T �Em outras palavras, se conseguirmos encontrar tantos autovetores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de uma base de autovetores Base de Autovetores • Exemplo 1: Seja T:R2→R2 o operador linear definida por T(x, y) = (-3x+4y, -x + 2y) cuja matriz em relação à base canônica α é: [T]αα = -3 4 -1 2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 5 • queremos encontrar uma base β de autovetores, se possível, e ainda observar de que tipo é a matriz [T]ββ [T] α = -1 2 Base de Autovetores • Exemplo: 1 Cálculo dos autovalores e autovetores: det = 0 λ2 + λ - 2 = 0 ⇒ λ1 = 1 e λ2 = -2 -3-λ 4 -1 2-λ Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 6 λ2 + λ - 2 = 0 ⇒ λ1 = 1 e λ2 = -2 λ1 = 1 ⇒ v1 = (y, y) λ2 = -2 ⇒ v2 = (4y, y) Base de Autovetores • Exemplo 1: Como temos dois autovalores diferentes podemos garantir, a existência de uma base de autovetores �Lembrando que estamos no R2 e dim R2 = 2 • Temos dois autovetores associados a λ1 e λ2 Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 7 • Temos dois autovetores associados a λ1 e λ2 �Com eles podemos formar os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (4, 1) os quais formam uma base em R2 � Isto é, o espaço admite uma base β = {v1, v2} formada por autovetores de T • Calculemos [T]ββ .... Base de Autovetores • Exemplo 1: Como, por definição: �T(v1) = λ1v1 = λ1v1 + 0.v2 = 1.v1 + 0.v2 �T(v2) = λ2v2 = 0.v1 + λ2.v2 = 0.v1 - 2.v2 • Então: [T]β = Cont. 1 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 8 • Então: [T]ββ = • Observando que a matriz em relação à base de autovetores é diagonal 1 0 0 -2 Base de Autovetores • Exemplo 2: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica α é: [T]αα = 3 0 -4 0 3 5 0 0 -1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 9 • p(λ) = det([T]αα - λI) = (3 - λ)2(-1 - λ) • ⇒λ1 = 3 e λ2 = -1 �Observe que λ1 = 3 tem dupla multiplicidade 0 0 -1 Base de Autovetores • Exemplo 2: �Para λ1 = 3 temos v = (x, y, 0) ⇒ [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] • v1 = (1, 0, 0) • v2 = (0, 1, 0) �Para λ2 = -1 temos v = (z, -5z/4, z) ⇒ [(1, -5/4, 1)] • v = (1, -5/4, 1) Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 10 • v3 = (1, -5/4, 1) �Então β = {v1, v2, v3} é uma base de R3 constituída de autovetores de T e [T]ββ = 3 0 0 0 3 0 0 0 -1 Observe que, dada a dupla multiplicidade, λ1 aparece duas vezes Novamente, temos uma matriz diagonal... Base de Autovetores • Não é por acaso que as duas matrizes dos exemplos anteriores são diagonais • Dada uma transformação linear qualquer T:V→V, se conseguirmos uma base β = {v1, v2,..., vn} formada por n autovetores de T, então, como: �T(v ) = λ v + 0.v + .... + 0.v Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 11 �T(v1) = λ1v1 + 0.v2 + .... + 0.vn �T(v2) = 0.v1 + λ2.v2 + .... + 0.vn � .... �T(vn) = 0.v1 + 0.v2 + .... + λn.vn • A matriz [T]ββ será uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são os autovetores λi Base de Autovetores [T]ββ = λ1 0 ... 0 0 λ2 ... 0 ... ... .... ... Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 12 ... ... .... ... 0 0 ... λn Base de Autovetores • Definição: T:V→V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T • Os exemplos 1 e 2 anteriores são Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 13 • Os exemplos 1 e 2 anteriores são diagonalizáveis Base de Autovetores • Exemplo 3: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica α é: [T]αα = 3 -3 -4 0 3 5 0 0 -1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 14 • p(λ) = (3 - λ)2(-1 - λ) �Para λ1 = 3 ⇒ v1 = (x, 0, 0) ou [(1, 0, 0)] �Para λ2 = -1 ⇒ v2 = (-z/16, -5z/4, z) ou [(-1, -20, 16)] • Nesse caso, temos apenas dois autovetores LI não podendo formar uma base de R3 �Logo T não é diagonalizável Polinômio Minimal • Definição: Seja p(x) = anxn + .. + a1x + a0 um polinômio e A uma matriz quadrada. Então p(A) é a matriz: �p(A) = anAn + .. + a1A + a0I Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 15 �p(A) = anAn + .. + a1A + a0I �onde I é a matriz identidade • Quando p(A) = 0, dizemos que o polinômio anula a matriz A Polinômio Minimal • Exemplo: �p(x) = x2 – 9, q(x) = 2x + 3 �A = -1 4 2 1 -1 4 -1 4 1 0 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 16 p(A) = - 9. =-1 4 2 1 -1 4 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 q(A) = 2. + 3. =-1 4 2 1 1 0 0 1 1 8 4 5 Logo, p(x) anula A e q(x) não anula A Polinômio Minimal • Definição: Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de A é um polinômio �m(x) = xk + ak-1xk-1 + ... + a0 • Tal que: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 17 • Tal que: � i) m(A) = 0, i.e., m(x) anula a matriz A � ii) m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam A • Observe que ak = 1 Polinômio Minimal • Teorema: Sejam T:V→V um operador linear e α uma base qualquer de V de dimensão n: • Então T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de [T]α é da forma Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 18 polinômio minimal de [T]αα é da forma �m(x) = (x – λ1)(x – λ2).... (x – λk) �Com λ1, λ2, ..., λk distintos Polinômio Minimal • Teorema de Cayley-Hamilton: Seja T:V→V um operador linear, α uma base de V e p(x) um polinômio característico de T: • Então: p([T]αα) = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 19 p([T] α) = 0 • Isto significa que o polinômio característico é um candidato a polinômio minimal porque ele satisfaz a condição (i) da definição de polinômio minimal Polinômio Minimal • Exemplo: No caso de uma matriz 2x2: • Seja � [T]αα = • Então o polinômio característico é: a b c d Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 20 • Então o polinômio característico é: �p(λ) = det - λ. = (a– λ)(d – λ) - bc �Fazendo λ = [T]αα, temos: a b c d 1 0 0 1 Polinômio Minimal • Exemplo: �p([T]αα) = (a - )(d - ) - - bc = a b c d 1 0 0 1 Cont. 1 0 0 1 a b c d 1 0 0 1 0 0 0 0 Prof. Carlos AlexandreBarros de Mello cabm@cin.ufpe.br 21 - bc = 0 1 0 0 Polinômio Minimal • Teorema: As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes (distintas) do polinômio característico • Com esses dois teoremas, sabemos que o Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 22 • Com esses dois teoremas, sabemos que o polinômio minimal deve ser de grau menor ou, no máximo, igual ao do polinômio característico e deve ter as mesmas raízes Polinômio Minimal • Exemplo: Seja T:V→V um operador linear e α uma base de V. Suponhamos que o polinômio característico de T seja: �p(λ) = (λ – 3)2(λ – 1)3(λ + 5) • Então seu polinômio característico será um dos Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 23 • Então seu polinômio característico será um dos polinômios �p(λ) = (λ – 3)r(λ – 1)s(λ + 5), 1 ≤ r ≤ 2, 1 ≤ s ≤ 3 • Como o polinômio minimal é o de menor grau, verificamos primeiro para r = s = 1 • Se p1([T]αα) = 0, então ele é o minimal, senão testamos o próximo Polinômio Minimal • Teorema: Sejam λ1, λ2, ..., λr os autovalores distintos de um operador linear T. Então T será diagonalizável se, e somente se o polinômio: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 24 � (x - λ1)(x – λ2).... (x - λr) • anular a matriz de T. Polinômio Minimal • Exemplo: O operador linear T:R4→R4 definido por T(x, y, z, t) = (3x – 4z, 3y – 5z, -z, -t) é diagonalizável? • Solução: �α = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 25 �α = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} � [T]αα = �Polinômio característico: • p(λ) = det([T]αα - λI) = (3 - λ)2(-1 - λ)2 3 0 -4 0 0 3 -5 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 Polinômio Minimal • Exemplo: Tanto λ1 = 3 quanto λ2 = -1 têm multiplicidade 2 • Então os candidatos a polinômio minimal são: �p1(x) = (x - 3)(x + 1) �p2(x) = (x - 3)2(x + 1) Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 26 �p2(x) = (x - 3) (x + 1) �p3(x) = (x - 3)(x + 1)2 �p4(x) = (x - 3)2(x + 1)2 • Testando, temos que p1([T]αα) = 0 • Logo, ele é o polinômio minimal (o de menor grau) Polinômio Minimal • Exemplo: Assim, T é diagonalizável • Isto é, existe uma base β de autovalores e, nesta base: � [T]ββ = Cont. 3 0 0 0 0 3 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 27 � [T]ββ = 0 3 0 00 0 -1 0 0 0 0 -1 Diagonalização de Operadores • Exemplo: (Exercício 6) T: R3→ R3 linear, α = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e β = {(0,1,1), (0,-1,1), (1,0,1)} e � [T]αα = 2 0 1 0 -3 1 0 0 -3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 28 �a) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores e os autovetores. �b) Ache [T]ββ e o polinômio característico. �c) Encontre uma base γ de R3, se possível, tal que [T]γγ seja diagonal. 0 0 -3 Diagonalização de Operadores • Exemplo: (Exercício 6) �a) Polinômio característico Cont. 2-λ 0 1 0 -3-λ 1 0 0 -3-λ det = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 29 0 0 -3-λ (2 - λ)(-3 - λ)2 = 0 (2 - λ)(9 + 6λ + λ2) = 0 λ3 + 4λ2 - 3λ - 18 = 0 Polinômio Característico Diagonalização de Operadores • Exemplo: (Exercício 6) �a) Autovalores Cont. 2-λ 0 1 0 -3-λ 1 0 0 -3-λ det = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 30 0 0 -3-λ (2 - λ)(-3 - λ)2 = 0 (2 - λ)(3 + λ)2 = 0 λ1 = 2, λ2 = -3 Autovalores Diagonalização de Operadores • Exemplo: (Exercício 6) �a) Autovetores Cont. 2x + z = λx -3y + z = λy -3z = λz λ = 2 De forma geral: λ = -3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 31 λ1 = 2 λ2 = -3 2x + z = 2x -3y + z = 2y -3z = 2z 2x + z = -3x -3y + z = -3y -3z = -3z z = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = x ⇒ v1 = (x, 0, 0) z = z ⇒ z = 0 ⇒ x = 0 ⇒ v2 = (0, y, 0) Diagonalização de Operadores • Exemplo: �b) Ache [T]ββ e o polinômio característico. � [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ � [ I ]αβ = ? Cont. Linhas Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 32 β � (1, 0, 0) = a(0, 1, 1) + b(0, -1, 1) + c(1, 0, 1) � (0, 1, 0) = d(0, 1, 1) + e(0, -1, 1) + f(1, 0, 1) � (0, 0, 1) = g(0, 1, 1) + h(0, -1, 1) + i(1, 0, 1) a = -1/2, b = -1/2, c = 1 d = 1/2, e = -1/2, f = 0 g = 1/2, h = 1/2, I = 0 -1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2 1 0 0 [ I ]αβ = a d g b e h c f i viram Colunas! Diagonalização de Operadores • Exemplo: �b) Ache [T]ββ e o polinômio característico. � [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ Cont. -1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2[ I ]αβ = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 33 -1/2 -1/2 1/2 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 1 1 1 ([ I ]βα) = ([ I ]αβ)-1 = Diagonalização de Operadores • Exemplo: �b) Ache [T]ββ e o polinômio característico. � [T]ββ = A.[T]αα.A-1, onde A = [ I ]αβ Cont. -1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2[ T ]ββ = 0 0 1 1 -1 0 2 0 1 0 -3 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 34 -1/2 -1/2 1/2 1 0 0 [ T ]ββ = 1 -1 0 1 1 1 0 -3 1 0 0 -3 [ T ]ββ = -3 0 -5/2 -1 -4 -7/2 1 1 3 Diagonalização de Operadores • Exemplo: �b) Ache [T]ββ e o polinômio característico. Cont. det = 0 -3-λ 0 -5/2 -1 -4-λ -7/2 1 1 3-λ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 35 1 1 3-λ λ3 + 4λ2 - 3λ - 18 = 0 PolinômioCaracterístico Igual ao da letra a!!! Diagonalização de Operadores • Exemplo: (Exercício 6) �c) Encontre uma base γ de R3, se possível, tal que [T]γγ seja diagonal. �Só temos dois autovetores distintos em T. Como V= R3, precisaríamos de 3 autovetores para T ser Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 36 R3, precisaríamos de 3 autovetores para T ser diagonalizável. E isso não pode ser modificado com uma mudança de base. Assim, não é possível achar uma base tal que T seja diagonal. Exercícios Sugeridos • 1 • 3 • 5 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 37 A Seguir... Produto Interno Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 38 Putz, de novo!
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