Cinemática: Descrição do Movimento

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Cinemática
Cinemática (do grego κινημα, movimento) é o ramo
da física que se ocupa da descrição dos movimentos dos
corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas
(Dinâmica). Geralmente trabalha-se aqui com partícu-
las ou pontos materiais, corpos em que todos os seus
pontos se movem de maneira igual e em que são despre-
zadas suas dimensões em relação ao problema.
1 Conceitos
1.1 Movimento e graus de liberdade
Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição
for diferente em diferentes instantes; se a posição perma-
necer constante, o objeto estará em repouso. Para po-
dermos determinar a posição do objeto, será necessário
usarmos outros objetos como referência. Se a posição do
corpo em estudo variar em relação ao referencial (obje-
tos em repouso usados como referência), o corpo estará
em movimento em relação a esse referencial.
Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um
objeto pode estar em repouso em relação a um primeiro
referencial, mas emmovimento em relação a um segundo
referencial.[1]
Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis ne-
cessárias para medirmos a sua posição exata. Por exem-
plo, para determinar a posição de uma mosca numa sala,
podíamosmedir a sua distância até o chão e até duas pare-
des perpendiculares na sala. Teríamos assim um sistema
de três coordenadas perpendiculares (coordenadas carte-
sianas), que se costumam designar pelas letras x, y e z.
Mas para além de se deslocar variando o valor das 3 co-
ordenadas x, y e z, a mosca também pode mudar a sua
orientação. Para definir a orientação da reta paralela ao
corpo da mosca podemos usar 2 ângulos e seria preciso
outro ângulo para indicar a sua rotação em relação a essa
reta; assim, temos já 6 graus de liberdade. Continuando,
a mosca pode também esticar ou dobrar o seu corpo, abrir
ou fechar as assas, etc., e, portanto, do ponto de vista fí-
sico tem muitos graus de liberdade.
Podemos simular o movimento da mosca como o movi-
mento de 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco cons-
tituído por cabeça, tórax e abdómen. Um corpo rígido
é um objeto em que todas as partes mantêm sempre as
mesmas distâncias relativas às outras partes. Os movi-
mentos desses 3 corpos rígidos são diferentes, as asas têm
movimentos oscilatórios, mas não são completamente in-
dependentes, já que existe um ponto comum entre cada
asa e o tórax.
1.2 Movimento dos corpos rígidos
A posição de um corpo rígido em qualquer instante pode
ser determinada indicando a posição de um ponto do
corpo, a orientação de um eixo fixo em relação ao corpo
e um ângulo de rotação à volta desse eixo.
A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis
e para especificar a orientação do eixo são precisos dois
ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis
graus de liberdade: 3 coordenadas de posição para a po-
sição do ponto de referência, dois ângulos para a orienta-
ção do eixo e um ângulo à volta desse eixo.
Se o eixo do corpo rígido mantiver a mesma direção em
quanto se desloca, o movimento será de translação. Se
existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, en-
quanto outros pontos do corpo estão em movimento, o
movimento será de rotação pura. O movimento mais ge-
ral será uma sobreposição de translação e rotação (figura
abaixo).
Um corpo rígido pode ter movimento de translação, de rotação
ou uma sobreposição dos dois.
Na segunda e terceira parte na figura acima, o martelo
rodou em relação a um eixo que permaneceu sempre per-
pendicular à página e perpendicular ao plano da transla-
ção na terceira parte. O eixo de rotação poderá não ser
o mesmo em diferentes instantes e não ser perpendicular
ao plano de translação.
No caso mais simples de translação sem rotação, todos
1
2 1 CONCEITOS
os pontos do corpo rígido seguem a mesma trajetória.
Assim, bastará estudar o movimento de um único ponto
qualquer no corpo rígido. Para definir a posição desse
ponto serão precisas, em geral, 3 variáveis e, portanto, o
sistema terá 3 graus de liberdade.
Quando existe translação combinada com rotação, a tra-
jetória de cada ponto no corpo rígido será diferente. Por
exemplo, numa roda de um automóvel em movimento,
os pontos na superfície dos pneus seguem uma trajetória
de cicloide mas existe um ponto que tem uma trajetória
mais simples: o centro da roda. Será mais fácil estudar o
movimento de translação do centro da roda e a esse mo-
vimento sobrepor a rotação. E para estudar a translação
do centro teremos novamente 3 graus de liberdade asso-
ciados com a posição de um ponto.
1.3 Movimento em uma, duas ou três di-
mensões
O casomais geral domovimento de um ponto no espaço é
um movimento em 3 dimensões, porque existem 3 graus
de liberdade, x, y e z que variam em função do tempo.
Mas esses três graus de liberdade associados ao movi-
mento de translação do corpo rígido podem ser reduzidos
a dois ou um em alguns casos.
O movimento de um automóvel numa autoestrada pode
ser considerado ummovimento em uma dimensão (figura
ao lado). Se o automóvel sofrer uma avaria e o condutor
tiver que telefonar para pedir um reboque, bastará dizer
em que quilômetro da autoestrada se encontra para que
o condutor do caminhão de reboque saiba para onde tem
que se dirigir.
Assim, o movimento dos automóveis na autoestrada é o
aumento da distância percorrida ao longo da estrada e
essa distância é o único grau de liberdade.
De referir que a distância percorrida não é medida em
linha reta, mas ao longo de uma curva no espaço com 3
dimensões; no entanto, como o percurso dessa curva já
está estabelecido,basta apenas uma variável para descre-
ver a posição em cada instante.
Se estivéssemos a construir um sistema de condução auto-
mático, teríamos que introduzir outra variável, por exem-
plo, a distância até a berma da estrada, e o movimento em
estudo seria em duas dimensões.
1.4 Movimentos dependentes
Em alguns sistemas em que aparentemente são necessá-
rias várias variáveis para descrever o movimento das di-
ferentes componentes do sistema, o número de graus de
liberdade pode ser menor devido à existência de restri-
ções no movimento. A figura abaixo mostra um exemplo;
enquanto o cilindro desce, o carrinho se desloca sobre a
mesa.[1]
Sistema com dois movimentos dependentes e um único grau de
liberdade.
O movimento do carrinho pode ser descrito pela varia-
ção da distância horizontal x até o eixo da roldana fixa.
O movimento do cilindro será igual ao movimento da rol-
dana móvel e, portanto, pose ser descrito pela expressão
para a distância vertical y entre os centros das roldanas,
em função do tempo.[1]
Mas, enquanto o fio permanecer esticado e sem se que-
brar, existirá uma relação entre as velocidades e as ace-
lerações do carrinho e do cilindro. Para encontrar essa
relação, escreve-se a o comprimento do fio, L , em fun-
ção das distâncias x e y :
L = x+ 2 y + d+ pi r12 + pi r2
Em que r1 e r2 são os raios das duas roldanas.
O fio toca um quarto do perímetro da roldana fixa
(pi r1/2) e metade do perímetro da roldana móvel (pi r2)
.
Tendo em conta que L , d , r1 e r2 são constantes, e
derivando a equação anterior em ordem ao tempo, obtém-
se,
x˙ = −2 y˙
Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre
o dobro do valor da velocidade do cilindro. O sinal ne-
gativo na equação acima indica que se o cilindro desce o
carrinho desloca-se para a direita e vice-versa.[1]
Derivando novamente essa última equação em ordem ao
tempo, conclui-se que a aceleração do carrinho segundo
a trajetória também é o dobro do que a aceleração do ci-
lindro segundo a sua trajetória:
x¨ = −2 y¨
Estas relações entre as posições, velocidades e acelera-
ções implicam que o sistema tem apenas um grau de li-
berdade. Uma vez conhecidas as expressões para a po-
sição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as ex-
pressões da posição, velocidade e aceleração do outro ob-
jeto serão obtidas multiplicando(ou dividindo) por 2.
Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o
sistema de três roldanas e três cilindros na figura abaixo.
As alturas dos três cilindros são determinadas pelos valo-
res das 3 distâncias yA , yB e yC ; como existe um único
1.6 Trajetória 3
fio em movimento, existe apenas uma restrição (compri-
mento do fio constante), que permitirá expressar uma das
três distâncias em função das outras duas.[1]
Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liber-
dade.
O comprimento do fio é, L = yA+2 yB+yC+constante
Em que a constante é a soma de metade dos perímetros
das roldanas, que não é importante conhecer, já que vai
desaparecer quando a equação for derivada e só altera as
posições num valor constante.
A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é,
y˙A + 2 y˙B + y˙C = 0
Neste caso existem vários possíveis movimentos; por
exemplo, se o cilindro A estiver a subir e o cilindro C
estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B
permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a
descer e os outros dois a subir. O que sim não é possível
é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer ou
a subir.
A derivada da equação anterior conduz à relação entre as
acelerações,
y¨A + 2 y¨B + y¨C = 0
1.5 Referencial
É um sistema de referência S em relação ao qual é de-
finido o vetor posição ~r do corpo em função do tempo.
Este vetor fornece a posição do corpo em um dado ins-
tante t . Assume-se geralmente como origem do sistema
de coordenadas a posição ~r0 do corpo no instante inicial
t0 . Este instante é escolhido arbitrariamente; para fins
práticos pode-se dizer que é o instante em que se dispara
o cronômetro para a análise do fenômeno.
1.6 Trajetória
Umcorpo, em relação a um dado referencialS , ocupa um
determinado ponto P em um dado instante t . Chama-
se de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um
corpo ao longo de um intervalo de tempo qualquer.
1.7 Deslocamento
É o vetor resultante da subtração do vetor posição final ~S
pelo vetor posição inicial ~S0 :
~d = ~S − ~S0
É importante notar que o deslocamento é de natureza ve-
torial, ou seja, são consideradas sua posição, direção e
sentido. Em certos casos, porém, como em uma corrida
de fórmula 1, é mais interessante trabalhar apenas com a
distância percorrida∆S , que é o comprimento da traje-
tória realizada.
2 Velocidade média
Velocidade média é a razão do deslocamento∆S pelo in-
tervalo de tempo∆t . A velocidade média pode ser con-
siderada escalar se for considerado apenas o módulo do
deslocamento. Em uma corrida de fórmula 1, por exem-
plo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao
final de cada volta o piloto não terá desenvolvido veloci-
dade, pois não houve deslocamento, uma vez que o vetor
~r final é o mesmo que ~r0 . Entretanto, considerando o
módulo do espaço percorrido pelo piloto, teremos uma
velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito
mais útil para as análises necessárias. Nomovimento uni-
dimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro
nos leva aos mesmos resultados. Pode-se definir a velo-
cidade média como:
~vm =
∆~S
∆t =
~S− ~S0
t−t0
3 Velocidade instantânea
É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de
um intervalo de tempo δt infinitesimal (na prática, ins-
tantâneo). Define-se velocidade instantânea~v ou simples-
mente velocidade como sendo:
~v = d~rdt
Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que
seria omódulo do vetor velocidade em um dado instante
de tempo t .
4 6 BREVE INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
4 Aceleração média e instantânea
Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um
corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a ve-
locidade, ela apresenta suas interpretações em situações
mais globais (aceleração média) e em situações mais lo-
cais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:
~am =
~v− ~v0
t−t0 (aceleração média)
~a = d~vdt (aceleração instantânea)
5 Aceleração Tangencial
Define-se a aceleração tangencial no instante t igual à
aceleração média num intervalo de tempo que inclui o
tempo t , no limite em que o intervalo de tempo, ∆t , se
aproximar para zero.
at(t) = lim∆t→0 ∆v∆t
Usando a notação abreviada com um ponto por cima, te-
mos:
at = v˙ = s¨
onde os dois pontos por cima da função indicam a sua
segunda derivada em função do tempo.
Repare que a distância percorrida s(t) é uma função do
tempo, sempre positiva e crescente, ou constante. As-
sim, a sua primeira derivada, s˙ = v , será sempre po-
sitiva, mas a sua segunda derivada, s¨ = at , poderá ter
qualquer sinal. Uma aceleração tangencial negativa im-
plica uma diminuição da velocidade e aceleração tangen-
cial nula implica velocidade constante.
6 Breve introdução à cinemática
A forma mais didática de se iniciar a cinemática é a partir
do “movimento unidimensional”, embora este seja ape-
nas um caso particular do movimento geral num espaço
euclideano tridimensional (como esse em que vivemos).
O movimento unidimensional consiste no movimento de
uma “partícula” restrita a uma reta.
• Partículas e o movimento sobre uma reta
O conceito de partícula que será usado aqui difere do
conceito de partícula encontrado na física quântica (ex:
quarks, elétrons). Definiremos uma partícula como
algo que possui apenas duas propriedades: localização e
massa. Assim, note que a partícula não tem extensão nem
forma. Para descrever a posição de um corpo extenso,
precisamos dizer a localização de cada pedaço que o com-
põe, mas isso não é necessário para uma partícula. Gra-
ficamente, podemos pensar na partícula como um ponto
que possui massa e se move pelo espaço com a passagem
do tempo. As partículas não existem na realidade, são ob-
jetos matemáticos sobre os quais construímos a primeira
descrição realmente poderosa do mundo.
Num espaço tridimensional, precisamos definir três nú-
meros, ou “coordenadas”, para dar a posição de uma par-
tícula. Isso quer dizer que duas partículas que estejam à
mesma altura podem não estar na mesma posição: uma
pode simplesmente estar mais “para a frente” ou “para o
lado” do que a outra. No entanto, existem casos onde po-
demos restringir o movimento das partículas a uma reta.
Por exemplo, podemos pensar em partículas que só po-
dem se mover “para os lados”, não podendo nem subir ou
descer e nem ir para a frente ou para trás. Assim, tudo o
que precisamos para definir a posição da partícula nesse
caso é de uma coordenada, que diz o quanto a partícula
está “para o lado”.
Vamos colocar isso de forma mais precisa. Definimos
uma reta, à qual estão restritos os movimentos das partí-
culas que estamos considerando. Sobre a reta, definimos
um ponto qualquer, chamado de “origem”. Definimos en-
tão uma coordenada “x” para a partícula. O módulo de x
é a distância entre a partícula e a origem; enquanto o si-
nal é dado como positivo caso a partícula esteja à direita
da origem, e negativo caso ela esteja à esquerda. A esco-
lha da direita como positivo e esquerda como negativo é
questão de definição: nada impede que se faça o contrá-
rio, tomando os devidos cuidados. Também nada impede
que se faça uma reta vertical, definindo x como positivo
quando estiver acima da origem e negativo abaixo dela,
por exemplo. A escolha das “inclinações” da reta são ir-
relevantes aqui, e espera-se do leitor uma certa abstração
quanto a isso.
• O problema da descrição
Com os procedimentos acima, está totalmente caracteri-
zada a posição da partícula nisso que chamamos de mo-
vimento unidimensional. Agora, lembremos de que es-
tamos caminhando para descrever um “movimento”. O
pensamento coloquial diría que isso significa que a par-
tícula se move quando o tempo passa. Mas isso é vago,
além de redundante: o tratamento adequado é: 1- Criar
um conjunto, correspondente a um intervalo de números
reais. Ou seja, define-se um número real t1 e um número
real t2, e então todos osinfinitos números entre t1 e t2
são elementos desse conjunto. Cada um desses números
é um valor do tempo, dentro do intervalo de tempo t1-t2.
2- Criar um outro conjunto, cujos elementos serão valores
da coordenada “x”. Esse conjunto deve ser compatível
com o “3":
3- Criar uma função do primeiro ao segundo conjunto.
Ou seja, para cada valor do tempo haverá uma posição
bem definida da partícula sobre a reta.
É interessante notar que a “passagem do tempo” ine-
xiste em tal tratamentomatemático, demodo que pode-se
questionar a sua existência no mundo físico.
5
A função definida em “3” caracteriza totalmente o movi-
mento unidimensional. Entretanto, a princípio sería im-
possível defini-la na prática: teríamos que pegar um por
um os infinitos valores do tempo de um certo intervalo e
relacionar a cada um deles uma posição diferente para a
partícula! Obviamente isso não é necessário no mundo
real. Em primeiro lugar, todos os movimentos que pude-
mos observar até hoje obedecem certas regras. Uma des-
sas regras é a “continuidade”. Não vamos dar aqui uma
definição matemática precisa do que é uma função contí-
nua, mas um olhar qualitativo nosmostra que, em funções
contínuas, se pegarmos valores do tempo cada vez mais
próximos, veremos que as posições das partículas associ-
adas a eles também se aproximarão arbitrariamente. Isso
implica que a partícula não pode ir de um lugar ao ou-
tro sem antes percorrer todo o caminho entre esses dois
pontos! Outras regras serão vistas mais tarde, mas a exis-
tência dessas regras implica que podemos escrever o mo-
vimento através de equações, o que nos permite fazer o
trabalho descrito acima (relacionar infinitos elementos de
dois conjuntos) com breves rabiscos no papel.
A existência de uma função que relaciona a cada valor do
tempo uma posição no espaço é denotada por:
x = x(t)
Onde t são os valores do tempo.
• Velocidade média
Agora que a descrição domovimento unidimensional está
completamente caracterizada, vamos pensar em concei-
tos importantes relacionados a ele. A importância desses
conceitos é que eles estão relacionados às regras que re-
gem omovimento, como veremos mais tarde. O primeiro
conceito que colocaremos aqui é a velocidade média, de-
finida por:
vm(t1, t2) =
x(t2)−x(t1)
t2−t1
Ou seja, a velocidademédia entre os tempos t1 e t2 é igual
à diferença entre as posições da partícula no tempo t2 e
no tempo t1, dividido pela diferença entre esses tempos.
Não deve-se pensar que a velocidade média equivale a
todo o espaço percorrido em um certo tempo dividido
por esse tempo, porque a partícula pode ter retrocedido
em seu caminho: pode ter percorrido no total muito mais
espaço do que parece a quem vê apenas sua posição inicial
e final (como alguém que viaja à Europa e depois de um
mês está de volta ao mesmo local). Embora a descrição
que leve em consideração o espaço total percorrido pareça
muito mais “real”, isso NÃO é considerado na velocidade
média! Só importa a posição inicial e a final, e o tempo
decorrido.
• Velocidade instantânea
Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 -
t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade mé-
dia. Se o tempo for de dez anos, alguém poderia ter co-
nhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse pe-
ríodo (e pareceria à velocidade média que ele quase não
se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pes-
soa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva
a desejar a formulação do conceito de “velocidade ins-
tantânea”, ou seja, algo análogo à velocidade média, mas
com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da
velocidade, é preciso considerar tempos cada vez meno-
res, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1.
Assim, usamos a operação matemática conhecida como
“limite": a velocidade instantânea é o limite da veloci-
dade média quando t2 tende a t1. Ou seja:
v(t1) = limt2→t1 x(t2)−x(t1)t2−t1
A operação acima descrita é chamada uma “derivada”.
Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de
f(t) no ponto t1 é:
f ′(t) = limt2→t1 f(t2)−f(t1)t2−t1
Ou, se definirmos t2 = t1+h,
f ′(t1) = limh→0 f(t1+h)−f(t1)h
Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a
derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja,A velocidade
instantânea é a derivada temporal da posição.
Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da
posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posi-
ção varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda
no sentido que foi definido como positivo para a posição
(veja a seção “Partículas e o movimento sobre uma reta”)
. Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o
que foi definido negativo para a posição.
• Relação entre velocidade média e velocidade ins-
tantânea
Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de in-
tegral. A partir da equação
a = dvdt
Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo
a obter
v(t) =
∫
adt+ C
Com a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou seja
v(t) = v0 +
∫
adt
E sabemos que
v = dxdt = v0 +
∫
adt
Então, integrando os dois últimos membros, temos
x = x0 + vo∆t+
∫ (∫
adt
)
dt
Agora, substituindo isso na definição da velocidade média
vm =
x−x0
∆t
temos
vm = v0 +
1
∆t
∫ (∫
adt
)
dt
6 6 BREVE INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
Também podemos exprimir este resultado em relação à
velocidade instantânea.
vm = v0 +
1
∆t
∫
v − v0dt
vm = v0 +
1
∆t
(−v0∆t+ ∫ vdt)
vm =
1
∆t
∫
vdt
Que é uma relação interessante, e expande o significado
físico da velocidade média.
• O referencial
Ver “O referencial no movimento unidimensional”, no ar-
tigo “Referencial” indicado no fim desta página.
• A aceleração - média e instantânea
Da mesma forma que definimos a velocidade média, po-
demos definir a “aceleração média” como
am(t1, t2) =
v(t2)−v(t1)
t2−t1
E, analogamente à velocidade, a aceleração instantânea:
a(t1) = limt2→t1 v(t2)−v(t1)t2−t1
Então, A aceleração instantânea é a derivada temporal da
velocidade. A aceleração é a taxa de variação da veloci-
dade: quanto maior a aceleração, mais rápido a veloci-
dade varia. Se a aceleração for positiva, e a velocidade
for positiva, então o módulo da velocidade aumenta. Se
ela for negativa, e a velocidade, positiva, então o módulo
da velocidade diminui. Assim, a aceleração “puxa” a ve-
locidade na direção dela, fazendo-a crescer caso ambas
estejam no mesmo sentido, e diminuir caso estejam em
sentidos opostos.
A relação entre aceleração média e instantânea é a mesma
que há entre a velocidade média e a instantânea.
• Movimento unidimensional uniforme
Este movimento é caracterizado pelo simples fato de que
não há aceleração agindo sobre a partícula.
Aqui (e na seção “Movimento unidimensional uniforme-
mente variado”) iremos demonstrar todos os resultados
de forma que não requeira o conhecimento do Cálculo.
No entanto, o leitor que esteja familiarizado à integração
pode notar que todos esses resultados vêm facilmente das
relações:
a(t) = dvdt ⇒ v(t) = v(t) = v0 +
∫
adt
v = dvdt ⇒ x = x0 + vo∆t+
∫ (∫
adt
)
dt
Agora, procuraremos formas de demonstrar as equações
do movimento uniforme para quem não conheça os mé-
todos da integração.
Para isso, lembremos que a aceleração é a taxa de vari-
ação da velocidade com o tempo. Sendo assim, em um
movimento onde não haja aceleração, a velocidade obvia-
mente não varia com o tempo. Isto é, ela permanece cons-
tante. Então, no movimento unidimensional uniforme:
v(t) = v0
Então, lembrando que a velocidade é a taxa de variação da
posição, e sabendo que ela é constante, vemos que a po-
sição varia uniformemente com o tempo, o que justifica
o nome desse movimento. Ou seja, variação da posição
é diretamente proporcional ao tempo, sendo a constante
de proporcionalidade a velocidade!
∆x(t) = v0∆t
Escrevendo delta x = x - x0, temos
x = x0 + v0∆t
Essa equação dá uma descriçãocompleta do movimento
uniforme.
• Movimento unidimensional uniformemente vari-
ado
Esse movimento é caracterizado pelo fato de que a acele-
ração é constante. Lembrando que a aceleração é a taxa
de variação da velocidade (assim como a velocidade é a
taxa de variação da posição), podemos escrever a relação
entre a velocidade e a aceleração da mesma forma que
escrevemos a relação entre a posição e a velocidade:
v(t) = v0 + a∆t
Para encontrar x, podemos usar a velocidade média:
vm(t1, t2) =
x(t2)−x(t1)
t2−t1
Que leva a
vm(t1, t2)∆t+ x0 = x
Como a velocidade cresce uniformemente, a velocidade
média deve ser a média aritmética entre a velocidade final
(ou simplesmente v(t)) e a velocidade inicial
vm(t) =
v(t)+v0
2
Assim,
x0 +∆t
v(t)+v0
2 = x
E, usando o valor de v(t) encontrado lá em cima, temos:
x(t) = x0 +
v0+a∆t+v0
2 ∆t
De onde vem:
x(t) = x0 + v0∆t+
1
2a(∆t)
2
Em certos casos, convém encontrar x em função da velo-
cidade instantânea, e não do tempo. Para isso, basta en-
contrar o valor do tempo em função da velocidade através
da equação da velocidade:
v(t) = v0 + a∆t⇒ ∆t = v−v0a
E substituir o tempo por esse valor, na equação de x(t):
x(t) = x0 + v0
(
v−v0
a
)
+ 12a
(
v−v0
a
)2
O que arrumamos para obter uma equação mais singela:
7.1 Movimento ao longo de um eixo 7
x(v) = x0 +
v0v−v20
a +
1
2a
v2−2vv0+v20
a2
x(v) = x0 +
v0v−v20
a +
v2−2vv0+v20
2a
x(v) = x0 +
v2−v20
2a
x(v)− x0 = ∆x = v
2−v20
2a
v2 = v20 + 2a∆x
Que é uma equação bastante útil. O conceito de trabalho
emerge dela, como pode ser visto no artigo “Trabalho”,
que está indicado no fim desta página.
Note que o movimento uniforme é um caso especial do
movimento uniformemente variado. Basta colocarmos na
equação inicial (a=C), C = 0. Assim, a aceleração é 0, e
todas as equações se reduzem às domovimento uniforme:
v(t) = v0 + 0.∆t⇒ v(t) = v0
x(t) = x0 + v0∆t+
1
2 .0(∆t)
2 ⇒ x(t) = x0 + v0∆t
A equação
v2 = v20 + 2a∆x
com a=0, nos dá a identidade, já que v = v_0:
v2 − v2 = 2.0.∆x⇒ 0 = 0
Isso reflete o fato de que saber a velocidade em um dado
instante não é o bastante para saber a posição nesse ins-
tante. De fato, todas as posições correspondem à mesma
velocidade.
7 Equações cinemáticas
Se tivermos uma expressão matemática para uma das va-
riáveis cinemáticas em função do tempo, as expressões
para as outras duas variáveis podem ser calculadas resol-
vendo as equações cinemáticas.[1]
Nos casos em que é conhecida uma expressão para a velo-
cidade em função da distância percorrida s , a derivada da
velocidade em ordem ao tempo deve ser calculada usando
a regra da cadeia para funções implícitas:
at =
d v
d t =
d v
d s
d s
d t =
d v
d s s˙ = v
d v
d s
Esta é outra equação cinemática. Resumindo, há quatro
equações cinemáticas:
v = s˙ at = v˙ at = s¨ at = v
d v
d s
e quatro variáveis: t , s , v e at .
Em cada uma das equações cinemáticas aparecem 3
dessas variáveis. Para poder resolver alguma dessas
equações diferenciais de primeira ordem usando os mé-
todos analíticos tradicionais, é necessário conhecer uma
expressão que relacione as 3 variáveis na equação, para
poder eliminar uma das variáveis; uma equação diferen-
cial ordinária tem sempre duas variáveis, uma delas con-
siderada variável independente.[1]
Por exemplo, a equação v = s˙ relaciona as três variáveis
v , s e t (o ponto é derivação em ordem a t ); para resolver
essa equação é necessário conhecer uma expressão para
v , em função de s e t , ou para s em função de v e t ou
ainda para t em função de v e s .
7.1 Movimento ao longo de um eixo
Em alguns casos é mais conveniente trabalhar com a po-
sição em vez da distância percorrida. Para medir a posi-
ção ao longo do percurso, escolhem-se uma origem e um
sentido positivo no percurso. A posição será indicada por
meio de uma coordenada x que pode ser positiva, nega-
tiva ou nula. [1]
Essa coordenada poderá ser medida ao longo de um eixo
retilíneo (eixo dos x ) que não coincide com a trajetória
do objeto e, nesse caso, x indicará a posição da projeção
do ponto no eixo dos x .
Mas também é possível usar x para representar a posição
medida ao longo do percurso do objeto e, nesse caso, o
eixo x poderá ser uma curva em vez de uma reta.
A derivada da coordenada x em ordem ao tempo é a com-
ponente a componente da velocidade vx que também po-
derá qualquer sinal e a derivada de vx em ordem ao tempo
será a componente da aceleração segundo a trajetória, ax
.
O sinal de ax já não indicará diretamente se o objeto está
a andar mais depressa ou a abrandar, pois será necessário
ter em conta também o sinal de vx .
Em função das componentes ao longo do eixo as equações
cinemáticas apresentam a mesma forma que as equações
cinemáticas:
vx = x˙ ax = v˙x ax = x¨ ax = vx
d vx
dx
x pode ser também substituído por y , z ou qualquer ou-
tra letra que seja usada para chamar o eixo ao longo do
percurso.[1]
A relação das componentes da velocidade e da aceleração
com a velocidade e a aceleração segundo a trajetória é:
v = |vx| at = ax (se vx > 0) at =
−ax (se vx < 0)
7.2 Equações lineares de movimento
O corpo é considerado em dois instantes no tempo: um
ponto “inicial” e o “atual”. Freqüentemente, problemas
na cinemática lidam com mais de dois instantes, e diver-
sas aplicações das equações são necessárias.
v = v0 + a∆t
∆s = 12 (v0 + v)∆t
∆s = v0∆t+
1
2a∆t
2
v2 = v20 + 2a∆s
8 10 VER TAMBÉM
∆s = v∆t− 12a∆t2
onde
v0 é a velocidade inicial do corpo
Seu estado atual é definido por:
∆s , a distância percorrida desde o instante inicial
v , a velocidade atual
∆t , a variação de tempo entre o instante atual e o instante
inicial
a é a aceleração constante, ou no caso de corpos se mo-
vendo sob a ação da gravidade, g.
Note que cada uma das equações contém quatro das cinco
variáveis.
8 Aceleração da gravidade
Perto da superfície da Terra, todos os objetos que se-
jam deixados deslocar-se livremente, têm uma aceleração
com valor constante, chamada aceleração da gravidade e
representada pela letra g .
Em diferentes locais o valor de g sofre alterações, mas é
sempre aproximadamente 9.8m/s2 .
A resistência do ar produz outra aceleração que contra-
ria o movimento, mas quando essa resistência for despre-
zável, admite-se que o valor da aceleração é constante e
igual a g . [1]
A aceleração segundo a trajetória produzida pela gravi-
dade poderá ser positiva, negativa ou nula, já que pode
fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e po-
derá ter um valor diferente de g se a trajetória não for
vertical.
Mas se o eixo dos y for definido na vertical e apontando
para cima, a componente da aceleração no eixo dos y
(projeção na vertical do movimento do objeto) terá sem-
pre o valor constante ay = −9.8m/s2 (ou +9.8 se o sen-
tido positivo do eixo y for definido para baixo).
8.1 Lançamento de projéteis
Escolhendo o eixo dos z na direção vertical, com sentido
positivo para cima, a forma vetorial da aceleração da gra-
vidade é:
~a = −g ~ez
onde g é, aproximadamente, 9, 8m/s2 .
Se um projétil for lançado com velocidade inicial ~v0 , a
aceleração da gravidade alterará essa velocidade, na di-
reção de ~ez , produzindo uma nova velocidade que estará
no mesmo plano formado pelos vetores ~v0 e ~ez .
Conclui-se assim que a trajetória do projétil estará sempre
no plano vertical formado por ~v0 e ~ez .
A única excepção a essa regra é quando ~v0 for vertical;
nesse caso, ~v0 e ~ez não formam um plano e a trajetória é
uma reta vertical.
9 Referências
[1] Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Vil-
late, 20 de março de 2013. 267 págs. Creative Commons
Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-
7. Acesso em 22 jun. 2013.
• Hewitt, Paul G. (2002). Física Conceitual. Porto
Alegre. Editora Bookman. ISBN 85-363-0040-X.
•Leighton, Robert B.; Sands, Matthew; Feynman, Ri-
chard P. (2005). Feynman Lectures on Physics. Ad-
dison Weasley. ISBN 0-8053-9045-6.
• Nussenzveig, H. Moysés (2002). Curso de Física
Básica, Vol.1 - Mecânica. São Paulo. Edgard Blü-
cher. ISBN 85-212-0298-9.
10 Ver também
• Trabalho
• Derivada
• Função
• Movimento parabólico
• Movimento retilíneo (uniforme e uniformemente
variado)
• Paradoxos de Zeno
• Ponto material
• Referencial
9
11 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
11.1 Texto
• Cinemática Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica?oldid=41404629 Contribuidores: Cdang, Manuel Anastácio, Msch-
lindwein, E2m, NH, Angeloleithold, E2mb0t, Juntas, LeonardoRob0t, Santana-freitas, NTBot, RobotQuistnix, Leslie, Cralize, Sebas-
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Armagedon, Atilaromero, He7d3r, Master, Thijs!bot, Rei-bot, Escarbot, Daimore, JAnDbot, Alchimista, Albmont, CommonsDelinker,
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trlik, Kaktus Kid, Logos Portes, Auréola, Kim richard, Heiligenfeld, BOTarate, Vitor Mazuco, Louperibot, ThrasherÜbermensch, Luckas-
bot, LinkFA-Bot, LaaknorBot, Vanthorn, Salebot, ArthurBot, DumZiBoT, David Moseler, MauritsBot, FriedrickMILBarbarossa, Alch
Bot, Marcos Elias de Oliveira Júnior, HVL, Aleph Bot, EmausBot, Érico Júnior Wouters, ChuispastonBot, Stuckkey, Leytor, MerlIwBot,
Betokahn, Rocha3, Shgür Datsügen, Leon saudanha, Thepalerider2012, Legobot, Holdfz e Anónimo: 98
11.2 Imagens
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	Conceitos 
	Movimento e graus de liberdade
	Movimento dos corpos rígidos
	Movimento em uma, duas ou três dimensões
	Movimentos dependentes 
	Referencial 
	Trajetória 
	Deslocamento 
	Velocidade média 
	Velocidade instantânea 
	Aceleração média e instantânea 
	Aceleração Tangencial 
	Breve introdução à cinemática 
	Equações cinemáticas
	Movimento ao longo de um eixo
	Equações lineares de movimento
	Aceleração da gravidade
	Lançamento de projéteis
	Referências
	Ver também
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