ANÁLISES ESTATÍSTICAS COMPLEMENTARES DE EXPERIMENTOS FATORIAIS

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ANÁLISES ESTATÍSTICAS 
COMPLEMENTARES DE 
EXPERIMENTOS FATORIAIS 
1) Fatores qualitativos e 
interação não significativa 
 Aplicar testes de comparação múltipla entre 
médias: 
 
a) Tukey; 
b) Duncan; 
c) Contrastes ortogonais; 
d) Scheffée; 
e) Dunnett. 
 Fator A: 
a) Variância de uma média de ai: 
 
 
b) Variância de um contraste de duas médias 
de ai: 
 
 
c) Variância de um contraste qualquer de 
médias de ai: 
 
JK
QM
mˆVˆ Ei 
 
JK
2QMe
,mˆmˆVˆ ii 
  






i
2
iC
JK
QMe
XˆVˆ
 Fator D: 
a) Variância de uma média de dj: 
 
 
b) Variância de um contraste de duas médias 
de dj: 
 
 
c) Variância de um contraste qualquer de 
médias de dj: 
 
IK
QM
mˆVˆ Ei 
 
IK
2QMe
,mˆmˆVˆ ii 
  






i
2
iC
IK
QMe
XˆVˆ
TUKEY E DUNCAN 
 Tukey: 
 
Fator A 
 
 
 
Fator D 
 Duncan: 
 
Fator A 
 
 
 
Fator D 
JK
QMe
)GL(I;qΔ EαA 
IK
QMe
)GL(J;qΔ EαD 
IK
QMe
)GLcontr; médias (nZDu E
o
αD 
JK
QMe
)GLcontr; médias (nZDu E
o
αA 
2) Fatores qualitativos e 
interação é significativa 
 Aplicar testes de comparação múltipla 
entre médias: 
 
a) Tukey; 
b) Duncan; 
c) Contrastes ortogonais; 
d) Scheffée; 
e) Dunnett. 
Desdobrar a 
interação 
Desdobramento da interação 
 fator A dentro de Dj (A/Dj) 
 
 
K
QMe
mˆVˆ ij 
        ,    ,    , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j    
K
2QMe= 
  






i
2
iC
K
QMe
XˆVˆ
Desdobramento da interação 
 fator D dentro de Ai (D/Ai) 
 
 
K
QMe
mˆVˆ ij 
        ,    ,    , ,V m m V m m V m mij i j ij ij ij i j    
K
2QMe= 
  






j
2
jC
K
QMe
XˆVˆ
TUKEY E DUNCAN 
 Tukey: 
 
A/Dj 
 
 
 
D/Ai 
 Duncan: 
 
A/Dj e D/Ai 
 
 
 
 
AD numa única ordenação 
K
QMe
)GLcontr; médias (nZDu E
o
αA/Dj

K
QMe
)GL(I;qΔ EαA/Dj 
K
QMe
)GL(J;qΔ EαD/Ai 
K
QMe
)GL(IJ;qΔ Eα
3) Um fator é quantitativo e 
interação não é significativa 
 Normalmente Fator D = quantitativo 
 
 Fator A = qualitativo 
 
JK
QM
mˆVˆ Ei   
JK
2QMe
,mˆmˆVˆ ii 
  






i
2
iC
JK
QMe
XˆVˆ
TUKEY E DUNCAN 
Fator A 
 Tukey: 
 
 Duncan: 
 
JK
QMe
)GL(I;qΔ EαA 
JK
QMe
)GLcontr; médias (nZDu E
o
αA 
Fator D 
Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D 
j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 
1 -2 2 -1 
2 -1 -1 2 
3 0 -2 0 
4 1 -1 -2 
5 2 2 1 
Soma 0 0 0  Cj1Y.j.  Cj1Y.j.  Cj1Y.j. 
K 10 14 10 
M 1 1 5/6 
 
Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo 
C.V. GL SQ QM F(sob H0) 
Fator D J-1 SQD ------ -------- 
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME 
RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME 
RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME 
Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME 
Erro GLE SQE QME 
 
 



j
2
j1
2
j jj1
RL
CIK
.Y.C
SQ
 



j
2
j2
2
j jj2
RQ
CIK
.Y.C
SQ
 



j
2
j3
2
j jj3
RC
CIK
.Y.C
SQ
SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC   
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m      .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1 
Grau 2 
Grau 3 
 



j
2
j1
j jj1
CIK
.Y.C
1B 
 



j
2
j2
j jj2
CIK
.Y.C
2B 
 
 
 



j
2
j3
j jj3
CIK
.Y.C
3B 
P1=x 
 
P x
J
2
2
2 1
12
 

 
 
 
P x x
J
3
3
23 7
20
 

 
  
h
XX
x


M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar; 
 
 
Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados. 
Despadronizar a equação 
4) Um fator é quantitativo e 
interação é significativa 
Neste caso Fator D quantitativo 
(preferencialmente); 
 
 estudar a regressão do fator D dentro de 
cada nível do fator A (A1, A2, ... AI); 
 
 Fazer uma regressão dos níveis do Fator D 
dentro de cada nível do Fator A 
 
 Dentro do A1 
Tabela auxiliar para análise da regressão do fator D dentro do nível A1 
J Xj Y1j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y1j. Cj2Y1j. Cj3Y1j. 
1 30 289 -2 2 -1 -578 578 -289 
2 35 288 -1 -1 2 -288 -288 576 
3 40 308 0 -2 0 0 -616 0 
4 45 320 1 -1 -2 320 -320 -640 
5 50 267 2 2 1 534 534 267 
Soma 200 1472 0 0 0 -12 -112 -86 
K 10 14 10 
M 1 1 5/6 
 
Tabela suplementar para regressão do fator D dentro do nível 1 do fator A 
 C.V. GL SQ QM F(sob H0) 
Fator D/A1 J-1 SQD/A1 ------ ------ 
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME 
RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME 
RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME 
Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME 
Erro GLE SQE QME 
 
JK
..Y
.Y
K
1
SQ
2
1
j
2
1jD/A1






 
 



j
2
j1
2
j 1jj1
RL
CK
.YC
SQ
 



j
2
j2
2
j 1jj2
RQ
CK
.YC
SQ
 



j
2
j3
2
j 1jj3
RC
CK
.YC
SQ
RCRQRLADDesv
SQSQSQSQSQ 
1/
Grau 1 
Grau 2 
Grau 3 
 



j
2
j1
j 1jj1
CK
.YC
1B 
 



j
2
j2
j 1jj2
CK
.YC
2B 
 
 
 



j
2
j3
j 1jj3
CK
.YC
3B 
Y Y JK B MP B M P B M P B M P em m m1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3      ../ ...
P1=x; P x
J
2
2
2 1
12
 

; 
 
 
 
P x x
J
3
3
23 7
20
 

; 
 
h
XX
x


M1, M2 e M3 = tabelados 
 
 
Despadronizar a equação 
5) Os dois fatores são quantitativos 
e interação não significativa 
Regressão para os níveis do Fator A e 
outra regressão para os níveis do Fator D 
Fator A 
Tabela auxiliar para análise de regressão do fator D 
i Xj Yi.. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Yi.. Cj2Yi.. Cj3Yi.. 
1 0 -2 2 -1 
2 50 -1 -1 2 
3 100 0 -2 0 
4 150 1 -1 -2 
5 200 2 2 1 
Soma 0 0 0  Cj1Yi..  Cj2Yi..  Cj3Yi.. 
K 10 14 10 
M 1 1 5/6 
 
Tabela suplementar da análise para fator A quantitativo. 
C.V. GL SQ QM F(sob H0) 
Fator A I-1 SQA ---- ------ 
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME 
RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME 
RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME 
Desvios I-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME 
Erro GLE SQE QME 
 
 



i
2
i1
2
i ii1
RL
CJK
..YC
SQ 
 



i
2
i2
2
i ii2
RQ
CJK
..YC
SQ 
 
 



i
2
i3
2
i ii3
RC
CJK
..YC
SQ 
 SQ SQ SQ SQ SQDesv A RL RQ RC    
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m      .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1 
Grau 2 
Grau 3 
 



i
2
i1
i ii1
CJK
..YC
1B 
 



i
2
i2
i ii2
CJK
..YC
2B 
 
 



i
2
i3
i ii3
CJK
..YC
3B 
P1=x; 
 
P x
I
2
2
2 1
12
 

; 
 
 
P x x
I
3
3
23 7
20
 

 
  
h
XX
x


M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar; 
 
 
Ci1, Ci2, Ci3 = Tabelados. 
Despadronizar a equação 
Fator D 
Tabelaauxiliar para análise de regressão do fator D 
j Xj Y.j. Cj1 Cj2 Cj3 Cj1Y.j. Cj2Y.j. Cj3Y.j. 
1 -2 2 -1 
2 -1 -1 2 
3 0 -2 0 
4 1 -1 -2 
5 2 2 1 
Soma 0 0 0  Cj1Y.j.  Cj1Y.j.  Cj1Y.j. 
K 10 14 10 
M 1 1 5/6 
 
Tabela suplementar da análise para o fator D quantitativo 
C.V. GL SQ QM F(sob H0) 
Fator D J-1 SQD ------ -------- 
RL 1 SQRL QMRL QMRL/QME 
RQ 1 SQRQ QMRQ QMRQ/QME 
RC 1 SQRC QMRC QMRC/QME 
Desvios J-4 SQDesv QMDesv QMDesv/QME 
Erro GLE SQE QME 
 
 



j
2
j1
2
j jj1
RL
CIK
.Y.C
SQ
 



j
2
j2
2
j jj2
RQ
CIK
.Y.C
SQ
 



j
2
j3
2
j jj3
RC
CIK
.Y.C
SQ
SQ SQ SQ SQ SQDesv D RL RQ RC   
Y Y IJK B M P B M P B M P B M P em m m      .../ ...1 1 1 2 2 2 3 3 3
Grau 1 
Grau 2 
Grau 3 
 



j
2
j1
j jj1
CIK
.Y.C
1B 
 



j
2
j2
j jj2
CIK
.Y.C
2B 
 
 
 



j
2
j3
j jj3
CIK
.Y.C
3B 
P1=x 
 
P x
J
2
2
2 1
12
 

 
 
 
P x x
J
3
3
23 7
20
 

 
  
h
XX
x


M1, M2, M3 = Tabelados no quadro auxiliar; 
 
 
Cj1, Cj2, Cj3 = Tabelados. 
Despadronizar a equação 
6) Os dois fatores quantitativos e 
interação significativa 
 Superfície resposta 
 
Modelo de regressão linear múltipla 
Y X X X X X X            0 1 1 11 1
2
2 2 22 2
2
12 1 2
~ ~
Y X  
~
Y é o vetor das médias Yij com i = 1,2, ...I e j = 1,2, ... J; 
X é a matriz das variáveis independentes = 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1 1 1
2
2 2
2
1 2X X X X X X








 ; 
~
 é o vetor dos parâmetros =      0 1 11 2 22 12




''
 
 é o vetor dos desvios das médias estimadas em relação ao modelo. 
~
 = (X'X)-1 X'Y 
Pelo Método dos Mínimos Quadrados 
 
X'X=X'Y 
EXPRESSÃO MÁGICA DA REGRESSÃO 
I=3 para X1 = [ 0; 10; 20 ] ' 
J=4, para X2 = [ 0; 4; 8; 12 ]'. 
 
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~
Y X X X X X X





 1 1 1
2
2 2
2
1 2   
Y11 
 1 0 0 0 0 0 0 11 
Y12 1 0 0 4 16 0 1 12 
Y13 1 0 0 8 64 0 11 13 
Y14 1 0 0 12 144 0 2 + 14 
Y21 1 10 100 0 0 0 22 21 
Y22 = 1 10 100 4 16 40 12 22 
Y23 1 10 100 8 64 80 23 
Y24 1 10 100 12 144 120 24 
Y31 1 20 400 0 0 0 31 
Y32 1 20 400 4 16 80 32 
Y33 1 20 400 8 64 160 33 
Y34 1 20 400 12 144 240 34 
 
Determinação do ponto crítico e 
da sua natureza 
  '  ' Y X a X AX  0
X
X
X

1
2



a 


1
2

  /
 / 
A 
 
 
11 12
12 22
2
2
X A a*  


1
2
1
A
a b
c d
 A
ad cb
d b
c a
 



1
1
Natureza do ponto crítico 
 Estimativas dos autovalores característicos da 
matriz 
A
 A I  é igual a zero (I = matriz identidade). 
Regra de decisão 
1 <0 e 2 <0 então o ponto crítico é de máximo; 
1 >0 e 2 >0 então o ponto crítico é de mínimo; 
1 <0 e 2 >0 ou 1 >0 e 2 <0 então o ponto crítico é de sela 
Gráfico de superfície resposta 
COEFICIENTE DE 
DETERMINAÇÃO 
 Para cada tipo de regressão uma fórmula 
específica 
SQD
ajustado)rau SQmodelo(g
r 2 
Regressão dos níveis do Fator D 
Regressão dos níveis do Fator A 
SQA
ajustado)rau SQmodelo(g
r 2 
Regressão dos níveis do Fator D dentro de 
cada nível do Fator A 
D/Ai
2
SD
ajustado)rau SQmodelo(g
r 
SQAD)SQD(SQA
SQmodelo
R 2


Superfície de resposta 
(Fatores quantitativos e interação significativa)