274177161 Resolucao Do Cap 10 Do Moyses

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Curso de 
Física Básica 
H. Moyses Nussenzveig 
 
 
 
 
 
 
Resolução do 
Volume II 
 Capítulo 10 
A Segunda Lei da 
Termodinâmica 
 
 
 
 
 
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo -10 
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1 – Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: Supondo que isto fosse 
possível, complete um ciclo com uma isoterma e mostre que a 2ª lei da termodinâmica seria violada 
se um tal ciclo existisse. (Resolução) 
 
2 – Uma usina termoelétrica moderna opera com vapor de água superaquecido, a temperaturas da 
ordem de 500°C, e é resfriada com água de rio, tipicamente a 20°C. Devido a inúmeros tipos de 
perdas, a eficiência máxima que se consegue atingir na prática é da ordem de 40%. Que fração da 
eficiência máxima idealmente possível para esses valores isto representa? (Resolução) 
 
3 – Chama-se coeficiente de desempenho K de um refrigerador a razão Q2/W, onde Q2 é a 
quantidade de calor removida da fonte fria (congelador) e W o trabalho fornecido pelo compressor, 
por ciclo de refrigeração. 
 a) Para um refrigerador de Carnot ideal, exprima K em função das temperaturas T1 e T2 das 
fontes quente e fria, respectivamente. 
 b) Exprima K em função da eficiência da máquina de Carnot obtida operando o refrigerador 
em sentido inverso. 
 c) Um dado refrigerador doméstico tem coeficiente de desempenho 40% do ideal; o motor 
do compressor tem 220 W de potência e o congelador é mantido a –13°C. Para uma temperatura 
ambiente de 27°C, qual é a quantidade de calor removida do congelador, em 15 min de 
funcionamento do motor? Que quantidade de gelo ela permitiria formar, partido de água a uma 
temperatura próxima de 0°C? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g. (Resolução) 
 
4 – Um mol de um gás ideal diatômico (γ = 7/5) descreve o 
ciclo ABCDA (fig.), onde P é medido em bar e V em l. 
 a) Calcule a temperatura nos vértices. 
 b) Calcule a eficiência de um motor térmico operando 
segundo esse ciclo. 
 c) Compare o resultado (b) com a eficiência máxima 
ideal associada às temperaturas extremas do ciclo. 
(Resolução) 
 
 
 
5 – Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta de 50%, 
seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até 
a temperatura inicial. 
 a) Calcule o rendimento deste ciclo. 
 b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas 
temperaturas extremas. (Resolução) 
 
6 – Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao 
ciclo ABCA da fig., onde AB é um segmento de reta. 
 a) Calcule o rendimento. 
 b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de 
um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas 
extremas. (Resolução) 
 
 
 
 
 
 
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7 – Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficiente 
adiabático γ, que executa o ciclo da fig., onde BC é uma adiabática 
e CA uma isoterma. 
 a) Calcule o rendimento em função de r e γ. 
 b) Exprima o resultado em função da razão ρ = T1/T2 entre 
as temperaturas extremas. 
 c) Para γ = 1,4 e r = 2, qual a razão entre o rendimento 
obtido e o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre T1 e 
T2? (Resolução) 
 
 
8 – A fig., onde AB e CD são adiabáticas, representa o ciclo de 
Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a 
gasolina de 4 tempos: AB representa a compressão rápida 
(adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volume 
inicial V0 para V0/r (r = taxa de compressão); BC representa o 
aquecimento a volume constante devido à ignição; CD é a expansão 
adiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; DA simboliza a 
queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A 
mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ. 
 a) Mostre que o rendimento do ciclo é dado por 
1
BC
AD
r
11
TT
TT1
−γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−
−−=η 
 b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressão máxima permissível para evitar pré-ignição). 
(Resolução) 
 
 9 – O ciclo Diesel, representado na fig., onde AB e CD são 
adiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de 4 
tempos. A diferença em relação ao ciclo de Otto (Problema 8) é que 
a taxa rc = V0/V1 de compressão adiabática é maior, aquecendo 
mais o ar e permitindo que ele inflame o combustível injetado sem 
necessidade de uma centelha de ignição: isto ocorre a pressão 
constante, durante o trecho BC; a taxa de expansão adiabática 
associada a CD é re = V0/V2. 
 a) Mostre que o rendimento do ciclo Diesel é dado por 
( ) ( )ce
ce
BC
AD
r1r1
r
1
r
1
.11
TT
TT11 −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
γ−=η
γγ
 
 b) Calcule η para rc = 15, re = 5, γ = 1,4. 
 c) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas 
temperaturas extremas. (Resolução) 
 
10 – O ciclo de Joule, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, é uma idealização do 
que ocorre numa turbina a gás: BC e DA representam, respectivamente, aquecimento e resfriamento 
a pressão constante; r = PB/PA é a taxa de compressão. 
 a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por 
γ
−γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=η
1
r
11 
 b) Calcule o rendimento para r = 10. (Resolução) 
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11 – O ciclo da fig. é formado por isotermas de temperaturas 
T1 (BC), T3 (DE) e T2 (FA), e pelas adiabáticas AB, CD e EF. 
As taxas de expansão isotérmica VC/VB e VE/VD, são ambas 
iguais a r. Calcule o rendimento do ciclo e mostre que é 
menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot entre as 
mesmas temperaturas extremas. (Resolução) 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 – A partir dos dados fornecidos no Problema 2 do Cap. 8, calcule a entropia molar s do NaCl a 
baixas temperaturas, T << TD é a temperatura de Debye (para um sólido a baixas temperaturas, 
CV = CP). Tome s = 0 para T = 0. (Resolução) 
 
13 – Um fluido é submetido a um ciclo reversível. Se o ciclo é representado por um diagrama no 
plano (T, S), onde S é a entropia do fluido: 
 a) Mostre que o trabalho associado ao ciclo é dado por ∫= TdSW , a área orientada por ele 
compreendida. 
 b) Represente um ciclo de Carnot para um gás ideal no plano (T, S). Verifique o resultado 
da parte (a) neste caso. 
 c) Calcule o rendimento η do ciclo de Carnot da parte (b) diretamente a partir do diagrama 
(T, S). (Resolução) 
 
14 – Um quilograma de gelo é removido de um congelador a –15°C e aquecido, até converter-se 
totalmente em vapor, a 100°C. Qual é a variação de entropia deste sistema? O calor especifico do 
gelo é de 0,5 cal/g°C; o calor latente de fusão do gelo é de 79,6 cal/g, e o calor latente de 
vaporização da água é de539,6 cal/g. (Resolução) 
 
15 – Dois litros de ar (γ = 1,4), nas condições normais de temperatura e pressão, sofrem uma 
expansão isobárica até um volume 50% maior, seguida de um resfriamento a volume constante até 
baixar a pressão a 0,75 atm. De quanto varia a entropia deste sistema? (Resolução) 
 
16 – Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30°C. Coloca-se nele um bloco de 
500 g de gelo. 
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 a) Calcule a temperatura final do sistema. Tome 80 cal/g para o calor latente de fusão do 
gelo. 
 b) Calcule a variação de entropia do sistema. (Resolução)17 – Um litro de água, inicialmente a 100°C, é totalmente vaporizado: 
 a) Em contato com um reservatório térmico a 100°C. 
 b) Em contato com um reservatório térmico a 200°C. 
O calor latente de vaporização da água é de 539,6 cal/g. Calcule a variação total de entropia do 
universo devida exclusivamente ao processo de vaporização, nos casos (a) e (b), e relacione os 
resultados com a reversibilidade ou não do processo. (Resolução) 
 
18 – Um cilindro contendo 1 kg de He a 150 atm, em equilíbrio térmico com o ambiente a 17°C, 
tem um pequeno vazamento através do qual o gás escapa para a atmosfera, até que o tanque se 
esvazia por completo do hélio. Qual é a variação de entropia do gás hélio? Que quantidade de 
trabalho é desperdiçada por esse processo? (Resolução) 
 
19 – Uma chaleira contém 1 l de água em ebulição. Despeja-se toda a água numa piscina, que está à 
temperatura ambiente de 20 °C. 
 a) De quanto variou a entropia da água da chaleira? 
 b) De quanto variou a entropia do universo? (Resolução) 
 
20 – Chama-se energia livre (de Helmholtz) de um sistema a função de estado F = U – TS, onde U é 
a energia interna e S a entropia do sistema. Esta função desempenha um papel importante nas 
transformações isotérmicas, tais como as que se produzem à temperatura ambiente. Mostre que, 
numa transformação isotérmica: 
 a) Se a transformação é reversível, o trabalho W realizado pelo sistema é igual ao 
decréscimo de F. 
 b) No caso irreversível, W é menor que este decréscimo, de modo que o decréscimo de F dá 
a energia máxima disponível para realizar trabalho. 
 c) Mostre que, numa expansão livre, o decréscimo de F dá o trabalho desperdiçado. 
(Resolução) 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
R-2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=°=
=°=
=η
K293C20T
K773C500T
40,0
2
1
R 
22 TQ
11 TQ = 
1
2
1
2
I T
T1
Q
Q1 −=−=η ⇒ ηI = 0,62 
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62,0
40,0
I
R =η
η ⇒ ηR = 0,644.ηI 
 
R-3) 
a) 2QK
W
= 
W = Q1 - Q2, onde Q1 é a quantidade de calor absorvida (que entra) pela fonte quente. 
Como 1 1
2 2
Q T
Q T
= 
1
2 1
2
TQ Q
T
= (*) 
Substituindo (*) na expressão de K: 
( )
( )1 2 12 1 1 2 1
Q T TQK
W Q Q T T
= = − − 
2
1 2
TK
T T
= − com T1 > T2 
 
b) Lembrando que 2 1
1 2
11
1
T T
T T
η η= − ⇒ = − 
1 2 1
2 2
1 11 1
1 1
T T T
K T T
1 1 η
η η
− −= = − = − =− −
+ 
1K ηη
−= 
 
c) 260 6 5
300 260
f
I
q f
T
K ,
T T
= = =− − 
Portanto: 
Kp = 0,4(6,5) = 2,6 
 
2 fQQK
W W
= = onde W = P.Δt = 220(15 x 60) = 1,98 x 105 J 
Q2 = K.W = 2,6(1,98 x 105) ⇒ Q2 = 5,1 x 105 J 
 
Q2 =m.L ⇒ m.g = (5,1 x 105)/(80 x 4,186) ⇒ m = 1,5 kg 
 
 
R-8) 
a) 
1
0
B
1
0A r
V.TV.T
−γ
−γ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ 1BA r1.TT −γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= (I) 
1
DD
1
0
C V.Tr
V.T −γ
−γ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⇒ 1CD r1.TT −γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= (II) 
 
Substituindo TA e TD abaixo: 
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QDA = ΔUDA = n.CV.(TA - TD) ⇒ ( )CB
1
VDA TT.r
1.C.nQ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−γ
 (III) 
Como QDA é o calor que sai do sistema: 
QDA = - QDA , logo: 
( BC
1
VDA TT.r
1.C.nQ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−γ ) (IV) 
QBC = ΔUBC = n.CV.(TC - TB) (V) 
 
O rendimento é dado por: 
 
BC
DA
q
f
q
ciclo
Q
Q1
Q
Q1
Q
W −=−==η 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )BCVBCVBC
BC
1
VADVDA
TT.C.n
TT.r
1.C.n
1
TT.C.n
TT.C.n1
Q
Q1 −
−−=−
−−=−−=η
−γ 
1
r
11
−γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=η 
 
b) ⇒ 
10r
4,1
⎭⎬
⎫
=
=γ
60,0
10
11
14,1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=η
− 
 
Outro modo de resolver: 
BC
W
Q
η = 
 
Caminho W ΔQ ΔU 
AB WAB 0 ΔUAB = - WAB 
BC 0 QBC ΔUBC = QBC = nCV(TC - TB) 
CD WCD 0 ΔUCD = - WCD 
DA 0 QDA ΔUDA = QDA = nCV(TA - TD) 
ABCDA WAB + WCD QBC + QDA 0 = - WAB - WCD + QBC + QDA 
 
WT = QBC + QDA ( )
( )1 1 V A DBC DAT DABC fornecido BC BC V C B
nC T TQ QW QW
Q Q Q Q nC T T
η −+= = = = + = + − 
1 1A D D
C B C B
T T T T
T T T T
η − −= + ≅ −− −
A 
 
R-14) 
 01 0 15
15
f Tf
( )
f i gelo( ) gelo( ) gelo gelo
( )
i Ti
Td ' Q dTS S S S S m.g.c m.g.c .ln
T T
°
° − °
− °
⎛ ⎞Δ = − = − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ T 
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 2
0
f
gelo F
f i agua gelo
( )
i
m .Ld ' Q QS S S S S
T T T °
Δ = − = − = = =∫ 
 1003 100 0
0
f Tf
( )
f i agua( ) agua( ) gelo agua gelo agua
( )
i Ti
Td ' Q dTS S S S S m .c m .c .ln
T T
°
° °
°
⎛ ⎞Δ = − = − = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ T 
 4
100
f
gelo V
f i vapor agua
( )
i
m .Ld ' Q QS S S S S
T T T °
Δ = − = − = = =∫ 
Variação de entropia do sistema: 
 ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +ΔS4 
 ΔS = 2076 cak/k = 8680 J/k 
 
R-16) V0 = 2 l ⇒ ma = 2000 g 
 Ta = 30°C = 303 K 
 ca = 1 cal/g°C 
 mg = 500 g 
 Tg = 0°C = 273 k 
a) 
QF + Qa + Qg = 0 
mg.LF + ma.ca (T - Ta) + mg.ca (T - Tg) = 0 
T = 8°C 
 
b) 
ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 
cal/K 52,146
T
L.m
T
Q
T
dQS Fg
f
F
1 ==Δ==Δ ∫
ggi g
 
cal/K 76,150
T
dT.c.m
T
dQS
T
aa
f
A
2 ===Δ ∫∫
Ti a
 
cal/K 44,14
T
dT.c.m
T
Q'd
S
T
T
ag
f
i
g
3 ===Δ ∫∫
g
a
 
ΔS = 10,2 cal/K 
 
 
17) V = 1 litro ⇒ m = 1000 g 
a) Variação de entropia: UNIVERSO = RESERVATÓRIO + ÁGUA 
u rS S SΔ = − 
 
1000 1446 26
373
V V
a
a
m.L .LS ,
T
Δ = = = 
1446 26Vr
r
m.LS ,
T
Δ = − = − 
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Logo: 
 ΔSu = 0 ⇒ reversível. 
 
b) 
373
V
a
m.LSΔ = − 
473
V
r
m.LSΔ = − 
ΔSu = 307,26 cal/k ⇒ ΔSu > 0 ⇒ irreversível. 
 
 
R-18) Dados: m = 1 kg de He; P = 150 atm; T = 17°C = 290 K; MHe = 4 g/mol. 
a) 
Volume ocupado pelo gás a 1 atm: 
 PV = nRT ⇒ 1.Vf = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vf = 5945 l 
Dentro do cilindro: 
 PV = nRT ⇒ 150 . V = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vi = 39,63 l 
Escolhe-se um caminho onde o processo seja reversível para calcular ΔS; aproveita-se do fato de T 
ser constante, logo: 
ΔU = 0 ⇒ Q = W 
 
f f f Vf Vf
f
f i
i
i i i Vi Vi
Vd ' Q d 'W P.dV n.R.T dVS S S dV n.R n.R.ln
T T T V .T V V
⎛ ⎞Δ = − = = = = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
ΔS = 1,04 . 104 J/K 
 
b) W Desperdiçado: o trabalho que deixou de ser realizado. 
Expansão livre: ΔU = 0; ΔQ = 0; ΔW = 0 
 W = ΔS.T = (1,04 . 10 4).290 ⇒ W = 3,02 . 106 J 
 
 
 
R-19) T1 = 100°C = 373K; T2 = 20°C = 298K 
a) 
2
1 2
1 1
1
T
chal
T
d ' Q TdTS m.c. m.c.l
T T
⎛ ⎞Δ = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ n T 
 ΔSchal = - 241,4 cal/K 
 
b) 1
2 293
pisc. reserv.
d ' Q QS S
T
−Δ = Δ = = 1∫ = 273,0 cal/K 
 
ΔS = ΔSchal + ΔSreserv = 31,9 cal/K 
 
 
 
 
 
 
 
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