esforcos axiais - tensoes e deformacoes - pt

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Esforços axiais 
Tensões e Deformações 
Esforços multiaxiais 
Lei de Hooke generalizada 
 
 
Tradução e adaptação: Victor Franco Correia (versão 1/2013) 
 
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill. 
 Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education. 
 
 
Mecânica dos Materiais 
2 
2 - 2 
Deformação normal 
normal deformação
normal tensão




L
A
P
2 - 3 
Teste de tracção uniaxial: tensão-deformação 
2 - 4 
Diagrama tensão-deformação: materiais dúcteis 
2 - 5 
Diagrama tensão-deformação: materiais frágeis 
Aspecto da fractura de 
um material frágil 
Aspecto da fractura de 
um material dúctil 
2 - 6 
Lei de Hooke: Módulo de elasticidade 
• No regime elástico: 
 E
• A resistência mecânica é 
influenciada pelos elementos de 
liga, tratamentos térmicos, 
processos de fabrico, etc. mas não 
a rigidez – Módulo de 
Elasticidade – que se mantém 
inalterado. 
deelasticida de ódulo M
ou Youngde MóduloE
2 - 7 
Comportamento elástico vs. plástico 
• Quando a deformação se recupera 
totalmente quando a tensão é 
retirada, diz-se que o material tem 
um comportamento elástico 
• Quando a deformação não se 
recupera totalmente, depois de a 
tensão ter sido anulada, diz-se que 
o material tem um comportamento 
plástico 
• A maior tensão para a qual este 
comportamento ocorre é designado 
por limite elástico ou tensão limite 
de elasticidade 
2 - 11 
Deformações sob a acção de Forças Axiais 
AE
P
E
E 

• Da Lei de Hooke 
• Da definição de deformação 
L

 
• Igualando e resolvendo em ordem ao 
deslocamento 
AE
PL

• Se a barra tiver variações na força axial, na 
área da secção transversal ou nas propriedades 
materiais, ter-se-á: 

i ii
ii
EA
LP

Exercício 
Calcular: 
 
a) Diagrama de esforços normais 
 
b) Qual o perfil HEA adequado para 
suportar os esforços indicados, 
assumindo um aço S235 e um 
coeficiente de segurança de 2.5 em 
relação ao limite elástico? 
 
c) Expressão para cálculo do 
deslocamento vertical da extremidade 
superior do pilar? 
 
 
Exercício 
Considere o sistema da figura, que é composto por 
duas barras de aço ligadas à barra de cobre através 
de um pino. 
A barra de cobre tem um comprimento de 2 m, 
uma área da secção transversal de 4800 mm2 e um 
módulo de elasticidade Ec = 120 GPa. 
As barras de aço têm um comprimento de 0.5 m, 
uma área da secção transversal de 4500 mm2 e um 
módulo de elasticidade Ea = 200 GPa. 
 
a) Determinar o deslocamento vertical da 
extremidade inferior da barra de cobre provocado 
por uma força P = 180 kN. 
 
(0,625mm + 0,05mm = 0,675 mm) 
 
b) Qual a força P máxima admissível se o 
deslocamento vertical da extremidade inferior da 
barra de cobre for limitado a 1 mm? 
 
(266,7 kN) 
barra 
de aço 
barra 
de 
cobre 
 
Exercício 
Considere o sistema da figura, que é 
composto por três tirantes em Titânio, 
(AB, DC e EF) e uma viga rígida 
AEC. 
A área da secção transversal de cada 
tirante é indicada na figura. 
Se for aplicada uma força vertical 
P = 20 kN em F, determinar: 
 
a) As tensões nos tirantes. 
b) O deslocamento vertical do ponto E. 
c) O deslocamento vertical do ponto F. 
 
ETitânio = 114 GPa 
 
Exercício 
Considere o sistema da figura, constituído por uma viga rígida ABD e um 
tirante CB, contruído numa liga de alumínio 6061, cuja área da secção 
transversal é de 14 mm2. 
As ligações em C, B e A são efectuadas através de pinos. 
Determinar o deslocamento vertical do ponto D quando é aplicada a carga 
distribuída de 300 N/m conforme ilustrado. 
 
 EAluminio = 70 GPa 
 
2 - 20 
Exemplo 
Determinar o deslocamento da extremidade D em relação a A, para a barra 
de aço ABCD, sujeita às forças indicadas. E = 200 GPa 
2 - 21 
Exemplo 
2 - 22 
Problema 2.1 
A barra rigida BDE é suportada 
por 2 barras AB e CD. 
A barra AB é de aluminio 
(E = 70 GPa) e tem uma área da 
secção transversal de 500 mm2. 
A barra CD é de aço (E = 200 
GPa) e tem uma área da secção 
transversal de 600 mm2. 
 
Para a força de 30-kN ilustrada, 
determinar os deslocamento dos 
pontos: B, D e E. 
2 - 23 
Deslocamento de B:   
  
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3





AE
PL
B
 mm 514.0B
Deslocamento de D:   
  
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3





AE
PL
D
 mm 300.0D
Diagrama de corpo livre da 
barra BDE 
 
 
compressãoF
F
tracçãoF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN 60
m2.0m4.0kN300
0M
kN 90
m2.0m6.0kN300
0
D








Problema 2.1 
2 - 24 
Deslocamento de D: 
 
mm 7.73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0






x
x
x
HD
BH
DD
BB
 mm 928.1E
 
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0






E
E
HD
HE
DD
EE


Problema 2.1 
2 - 25 
Problemas estaticamente indeterminados 
• As estruturas, para as quais as forças internas e as 
reacções não podem ser calculadas através das 
equações da estática, dizem-se estaticamente 
indeterminadas (pq possuem mais apoios dos que 
aqueles que seriam estritamente necessários para 
manter o equilibrio) 
0 RL 
• As deformações causadas pelas forças actuantes 
na estrutura e pelas reacções redundantes são 
calculadas separadamente e depois são 
adicionadas através do principio da sobreposição 
• As reacções redundantes são substituídas pelas 
forças correspondentes, que em conjunto com 
as restantes forças actuantes na estrutura, têm 
de originar deformações compatíveis 
2 - 26 
Exemplo 
Determinar as reacções em A e B para a 
barra de aço ilustrada na figura. Assumir 
um ajustamento perfeito entre a barra e os 
apoios antes da aplicação das cargas 
representadas. 
0 RL 
2 - 27 
• Calcular o deslocamento em B devido às forças 
aplicadas com a reacção redundante libertada 
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000







• Calcular o deslocamento em B devido à reacção 
redundante 
 







i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
Exemplo (cont.) 
2 - 28 
• Impor que os deslocamentos devidos às forças aplicadas e 
devido à reacção redundante têm de ser compatíveis: 
 
kN 577N10577
0
1095.110125.1
0
3
39







B
B
RL
R
E
R
E


• Calcular a reacção em A 
kN323
kN577kN600kN 3000

 
A
Ay
R
RF
kN577
kN323


B
A
R
R
Exemplo (cont.) 
2 - 29 
Exemplo 
Determinar as reacções em A e B para a 
barra de aço ilustrada na figura. Assumir 
que existe uma folga de 4.5 mm entre a 
barra e o apoio em B, antes da aplicação 
das cargas representadas. 
 
kN 6.784 RkN; 115
105.41095.110125.1
105.4
A
3
39
3









B
B
RL
R
m
E
R
E
m
=4.5 mm 
Problemas estaticamente indeterminados 
Equação adicional obtida através de compatibilização de deslocamentos 
Considere-se o sistema da 
figura composto por: uma barra 
rígida EAD articulada no pino A; 
um cabo de aço BC, com um 
comprimento não deformado de 
200 mm e uma área da secção 
transversal de 22.5 mm2; 
um bloco de alumínio em D, 
com um comprimentos não 
deformado de 50 mm e uma 
área da secção transversal de 
40 mm2. 
Se a barra rígida EAD for sujeita 
à força de 450 N ilustrada, 
calcular: 
 
a) As tensões normais médias 
no cabo BC e no bloco D 
b) A rotação da barra rígida 
E 
2 - 31 
Tensões de origem térmica 
• Uma variação de temperatura origina uma 
deformação de origem térmica: 
• Não existem tensões associadas, excepto se a 
deformação estiver restringida pelos apoios 
 
 térmicadilatação de ecoeficient 

AE
PL
LT PT
• Assumir o apoio como redundante e aplicar o 
principio da sobreposição 
  0
0


AE
PL
LT
PT


• A deformação térmica e a deformação provocada 
pela reacção redundante têm de ser compatíveis 
 
 TE
A
P
TAEP


T
Problema estaticamente indeterminado (B&J 6th ed.) 
A barra de aço ABC está fixa entre dois suportes rígidos A e B e está 
livre de tensões a uma temperatura de 25ºC. 
Se a temperatura da barra for aumentada até 150 ºC, determinar: 
a) As tensões normais nos troços AC e CB 
b) O deslocamento do ponto C 
 
E = 200 GPa, α = 11.7 x 10-6 /ºC 
Exemplo 2.4 B&J 6th Ed. 
A barra rígida CDE está articulada num 
apoio em E e encosta em D num cilindro 
de latão BD com diâmetro de 30 mm. 
Um tirante AC, em aço, com 22 mm de 
diâmetro está fixo em C conforme mostra 
a figura e foi perfeitamente ajustado, 
quando a temperatura do conjunto era de 
20ºC. 
A temperatura do cilindro de latão foi 
posteriormente aumentada até 50ºC 
enquanto o tirante de aço foi mantido a 
20ºC. 
Assumindo que antes do aumento de 
temperatura as tensões eram zero, 
determinar as tensões no cilindro para as 
condições finais. 
Cont. 
2 - 35 
Coeficiente de Poisson 
• Para uma barra esbelta sujeita a força uniaxial: 
0, 

 zy
x
x
E
• O alongamento na direcção x é acompanhado 
de uma contracção nas outras direcções. 
Assumindo que o material é isotrópico, 
0 zy 
• O coeficiente de Poisson é definido como 
x
z
x
y






axial deformação
lateral deformação
Compressão 
2 - 36 
Exemplo – determinação de E e  
2 - 37 
• Imaginemos uma secção que forma um 
ângulo q com a normal ao eixo da barra 
qq
q
q

q
q
q

q
q
cossin
cos
sin
cos
cos
cos
00
2
00
A
P
A
P
A
V
A
P
A
P
A
F

• A tensão normal e a tensão de corte 
médias, no plano oblíquo são: 
Tensões em planos oblíquos 
qq sincos PVPF 
• Decompondo P nas suas componentes 
normal e tangencial à secção oblíqua, 
• Das condições de equilibrio, as forças 
distribuídas no plano – tensões – têm de 
equilibrar a força P. 
2 - 38 
• A tensão normal máxima ocorre quando o plano 
de referencia é perpendicular ao eixo da 
longitudinal da barra, ie. segundo a direcção da 
força aplicada: 
0,
0
max  
A
P
• A tensão de corte máxima ocorre para um 
plano a + 45o em relação ao eixo longitudinal da 
barra: 
000 22
4545
A
P
,
A
P
ºcosºsin
A
P
max  
Tensão normal e tensão de corte máximas 
qqq cossin
A
P
,cos
A
P
0
2
0

• Tensão normal e tensão de corte no plano 
oblíquo: 
• As componentes das tensões são definidas 
segundo as direcções dos eixos x, y e z e 
actuando em planos perpendiculares aos 
eixos x, y e z. 
• As forças resultantes têm de satisfazer as 
condições de equilibrio estático: 
0;0;0
0;0;0




zyx
zyx
MMM
FFF
   
yxxy
yxxyz aAaAM



 0
zxxzzyyz   e,igualmente
• Se considerarmos os momentos em torno do 
eixo z : 
Estado de tensões num ponto 
2 - 40 
Estado de tensões num ponto – caso geral 
 O estado de tensão num ponto pode ser representado, no caso geral, por 
6 componentes independentes: 
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx



,, :com
corte de tensões,,
normais tensões,,
2 - 41 
2 - 42 
Forças multiaxiais - Lei de Hooke generalizada 
• Para um elemento sujeito a forças multiaxiais, 
as componentes normais das deformações 
resultantes das tensões normais podem ser 
determinadas usando o principio da 
sobreposição, sendo condições necessárias: 
 1) relação linear entre deformações e tensões 
 2) pequenas deformações 
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x


















• Nestas condições, as deformações normais 
são dadas pelas equações seguintes: 
Exemplo – Lei de Hooke generalizada 
Considere-se a barra de cobre representada na figura, que está sujeita às forças 
uniformemente distribuídas representadas. 
A barra tem comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm, 
antes da aplicação das forças distribuídas. 
Determinar as novas dimensões da barra (comprimento, largura e espessura) após a 
aplicação das forças. Ecobre = 120 GPa, cobre = 0.34. 
Estado de tensões num ponto – Tensões de corte 
2 - 45 
2 - 46 
Deformações ou distorções de corte 
• Um elemento cubico infinitésimal sujeito a 
uma tensão de corte deforma-se como 
representado na figura. 
 
 
 
 
 
 
• A relação entre as tensões de corte e as 
distorsões correspondentes é dada por: 
 
 
em que G é o módulo de elasticidade transversal. 
zxzxyzyzxyxy GGG  
Exemplo – distorções e tensões de corte 
2 - 48 
Relação entre E ,  e G 
• Considere-se a barra sólida sujeita a uma 
força axial que sofre um alongamento na 
direcção axial e uma contracção na 
direcção transversal 
 
)1(2
ou12


E
GGE
• Em materiais isotrópicos, o módulo de elasticidade E e o módulo de 
elasticidade transversal G estão relacionados: 
• Se o elemento cúbico estiver orientado 
como ilustrado na figura de baixo, sofrerá 
a distorção representada: A força axial 
origina também uma distorção de corte 
• Um elemento cúbico orientado como 
ilustrado na figura de cima, sofrerá a 
deformação representada. A força axial 
origina uma deformação axial 
2 - 49 
Materiais Compositos 
• Materiais compósitos reforçados com fibras: 
laminas; fibras de reforço; matriz 
z
z
z
y
y
y
x
x
x E,E,E 






• As tensões normais e as deformações estão 
relacionadas pela Lei de Hooke: 
x
z
xz
x
y
xy , 



 
• As deformações transversais estão relacionadas com 
longitudinais através dos coeficientes de Poisson: 
• Os materiais compósitos, com propriedades 
mecânicas dependentes da direcção, dizem-se 
anisotrópicos. 
2 - 50 
Principio de Saint-Venant 
Principio de Saint-Venant: 
 
• Pode-se assumir que a 
distribuíção de tensões é 
independente do modo de 
aplicação da força, excepto 
na vizinhança imediata do 
ponto de aplicação da força. 
2 - 51 
Concentração de tensões: furo circularDescontinuídades da secção transversal podem 
resultar efeitos de concentração de tensões 
med
max


K
med
max
2 - 52 
Concentração de tensões: concordância 
med
max
2 - 53 
Exemplo 
Determinar a maior força axial P 
que pode ser suportada em 
segurança por uma barra plana 
em aço com uma concordância, 
ou variação de secção: D para d , 
ambas com uma espessura de 10 
mm. 
D= 60 mm; d= 40 mm; raio da 
concordância r = 8 mm. 
Assumir uma tensão normal 
admissivel de 165 MPa. 
r 
2 - 54 
• Determinar as relações geométricas e 
obter o factor K, a partir dos gráficos 
apropriados: 
82.1
20.0
mm40
mm8
50.1
mm40
mm60


K
d
r
d
D
• Tensão normal máxima: 
MPa7.90
82.1
MPa165
med 


K
adm
• Força máxima: 
   
N103.36
MPa7.90mm10mm40
3
 medAP
kN3.36P
admmed K max
2 - 55 
Deformações plásticas 
• Deformação elástica: enquanto a 
tensão máxima é menor que a tensão 
limite de elasticidade 
K
A
AP med
max
• A tensão máxima é igual à tensão 
limite de elasticidade para a carga 
máxima em regime elástico 
K
A
P eY
2.0
• Para cargas acima do limite elástico, 
desenvolve-se uma região de 
deformações plásticas junto ao furo 
• À medida que a carga aumenta, a 
região deformada plasticamente 
aumenta até que toda a secção está 
sujeita a uma tensão uniforme igual 
à tensão limite de elasticidade 
(material idealmente plástico) 
Y
eU
PK
AP

 .02
2.0e
2.0max e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
250 mm 
O parafuso de aço tem um diâmetro 
nominal de 8 mm e é montado no 
tubo de alumínio como indicado na 
figura. 
O tubo de alumínio tem um diâmetro 
interior de 12 mm e um diâmetro 
exterior de 14 mm. 
A porca em A é ajustada por forma a 
somente eliminar a folga não 
introduzindo qualquer força de 
aperto. 
Se o conjunto estiver inicialmente a 
uma temperatura Ti = 20º C e fôr 
aquecido até à temperatura Tf = 80º 
C, calcular as tensões desenvolvidas 
no parafuso e no tubo.