Apostila Especial de Calculo Integral-Professora Kátia Suzana Medeiros Graciano

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UEPB – CCT - DMEC 
Disciplina: Cálculo Integral 
Professora: Kátia Suzana Medeiros Graciano 
 
Conteúdo: Integral Indefinida – Propriedades – Tabela – Método da Substituição – Método 
de Integração por partes – Integral Definida – Propriedades – Teorema do Valor Médio para 
Integrais – Teorema Fundamental do Cálculo 
 
1. Integral Indefinida 
 
1.1. Definição: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma 
primitiva de f(x)), se para todo x

 I, temos F’(x) = f(x). 
Exemplo: F(x) = 
3
3x
 é uma primitiva da função f(x) = x
2, pois F’(x) = 
3
1
.3x
2
 = x
2
 = f(x). 
As funções G(x) = 
3
3x
 + 4, H(x) = 
3
33 x
, também são primitivas da função f(x) = x
2, pois G’(x) = H’(x) = f(x). 
 
Observe que as primitivas (antiderivadas) de uma função não são únicas. 
 
1.2. Proposição: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se C é uma constante qualquer, a função G(x) = 
F(x) + C, também é primitiva de f(x). 
 
1.3. Proposição: Se f’(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I. 
 
1.4. Proposição: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante C tal que 
G(x) – F(x) = C, para todo x

I. 
 
Desta última proposição concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da 
forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante. 
 
1.5. Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral da função f(x) e é 
denotada por: 
 dxxf )(
 = F(x) + C 
Desta definição, decorre que: 
 dxxf )(
 = F(x) + C 

 F’(x) = f(x) 
 
1.6. Propriedades da integral indefinida: 
Sejam f, g : I 

R e k uma constante. Então: 
i) 
 dxxfk )(.
 = k.
 dxxf )(
 
ii) 
  dxxgxf ))()((
= 
 dxxf )(
 + 
 dxxg )(
 
 
1.7. Tabela de integrais imediatas: 
 
(1) 
 du
 = u + C 
(2) 
 u
du
 = ln|u| + C 
 2 
(3) 
 duu

 = 
1
1



u
 + C (

 é constante 

–1) 
(4) 
 dua
u
 = 
a
a u
ln
 + C 
(5) 
 due
u
 = e
u
 + C 
(6) 
 udusen
 = -cosu + C 
(7) 
 uducos
 = senu + C 
(8) 
 udu
2sec
 = tgu + C 
(9) 
 uduec
2cos
 = -cotgu + C 
(10) 
 utgudusec
 = secu + C 
(11) 
 guduecu cotcos
 = -cosecu + C 
(12) 

 21 u
du
 = arcsenu + C 
(13) 
  21 u
du
 = arctgu + C 
(14) 

12uu
du
 = arcsecu + C 
 
Exemplos: Calcular as integrais indefinidas: 
 
i) 
  dxxx )53(
2
 = 3
 dxx
2
 + 5
 dx
 + 
 dxx 2
1
 = 3
3
3x
 + 5x + 
2
3
2
3
x + C 
  dxxx )53(
2
 = x
3
 + 5x + 
2
3
3
2
x
+ C 
 
ii) 
   Cgxxxdxectgxdxxdxxectgxx cotsec.3cos.sec3)cos.sec3(
22
 
 
2. Método da Substituição ou Mudança de variável para integração: 
 
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Considerando a função composta Fog, pela regra da 
cadeia, temos: 
[F(g(x))]’ = F’(g(x)).g’(x) = f(g(x)).g’(x), isto é, F(g(x)) é a primitiva de f(g(x)).g’(x). Então, 
CxgFdxxgxgf  ))(()(')).((
 (I) 
Fazendo u = g(x), du = g’(x)dx e substituindo em (I), temos: 
CuFduufdxxgxgf   )()()(')).((
 
 
Exemplos: Calcular as integrais: 
i) 
dx
x
x
  21
2
 
Fazendo u = 1 + x
2
, então du = 2xdx. Temos, 
 3 
dx
x
x
  21
2
 = 
CxCu
u
du
 )1ln(||ln
2
 
dx
x
x
  21
2
 = 
Cx  )1ln( 2
 
 
ii) 
  dxx 27
 
Fazendo u = 7x + 2, então du = 7 dx, segue-se que dx = 1/7 du, logo: 
  dxx 27
 = 
CxC
u
duuduu   2
32
3
2
1
)27(
21
2
2
3
.
7
1
7
1
7
1
.
 
  dxx 27
 = 
Cx  2
3
)27(
21
2
 
 
ii) 
 tgxdx
 = 
 dxx
x
cos
sen
 
Fazendo u = cosx, temos du = - senx dx e então senx dx = - du. Portanto, 
 tgxdx
 = 
   Cuu
du
u
du
||ln
= - ln |cosx| + C 
 tgxdx
 = - ln |cosx| + C 
 
3. Método de integração por partes: 
 
 Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I, então pela regra do produto, temos: 
[f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) ou f(x).g’(x) = [f(x).g(x)]’ - g(x).f’(x) 
integrando ambos os membros dessa equação, obtemos: 
dx (x)f(x).g'
 = 
 dx ]'[f(x).g(x)
- 
 (x)dxg(x).f'
 
ou ainda, 
dx (x)f(x).g'
 = f(x).g(x) - 
 (x)dxg(x).f'
 
Na prática, costumamos fazer: u = f(x) 

 du = f’(x)dx e v = g(x) 

 dv = g’(x)dx 
Então a fórmula acima pode ser escrita: 
  vduvuudv .
 
que é a fórmula de integração por partes. 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
i) 
 dxxe
x2
 
Escolhendo u = x e dv = e
2x
dx. Temos: 
u = x 

 du = dx 
dv = e
2x
dx 

 v = 
2
1
e
2x 
Aplicando então a fórmula 
  vduvuudv .
, obtemos: 
 dxxe
x2
 = x. 
2
1
e
2x
 - 
 dx
2xe
 = 
2
x
e
2x
 - 
 dxe
x2
2
1
 = 
2
x
e
2x
 - 
2
1
.
2
1
e
2x
 + C = 
2
x
e
2x
 - 
4
1
e
2x
 + C 
 4 
 dxxe
x2
 = 
2
x
e
2x
 - 
4
1
e
2x
 + C 
ii) 
 xdxln
 
Escolhendo u = lnx e dv = dx. Temos: 
u = lnx 

 du = 
x
1
dx 
dv = dx 

 v = x 
Integrando por partes, temos: 
 xdxln
 = x.lnx - 
 dxx
x
1
.
 = x.lnx - 
 dx
 = x.lnx – x + C 
 xdxln
 = x.lnx – x + C 
 
4. Integral Definida: 
 
4.1. Área: Consideremos o problema de definir a área de uma região plana A, delimitada pelo gráfico de uma 
função contínua f tal que f(x)

0, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b, conforme a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2. Definição: Seja y = f(x) uma função contínua tal que f(x)

0 em [a, b]. A área sob a curva y = f(x), de a até b, 
é definida por: 
A = 




n
i
ii xcf
x 1
)(
0
lim
 
 
4.3. Definição: Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral 
definida de f de a até b, é definida por: 

b
a
dxxf )(
 = 




n
i
ii xcf
x 1
)(
0
lim
 
desde que o limite exista. 
 
4.4 Nomenclatura: 
Na notação 

b
a
dxxf )(
, temos: 
Limites de integração: a = limite inferior, b = limite superior 
Integrando: f(x) dx 
Variável de integração: x 
Observações: 
1) Se 

b
a
dxxf )(

 f é integrável em [a, b]. 
 5 
2) Quando a função f é contínua e f(x)

0 em [a, b], a definição de integral definida coincide com a definição de 
área. Portanto, a integral definida 

b
a
dxxf )(
 é a área da região sob o gráfico de f de a até b. 
4.5. Definição: 
i) se a > b, então 

b
a
dxxf )(
 = - 

a
b
dxxf )(
 
ii) se a = b e f(a)

 , então 

a
a
dxxf )(
 = 0. 
 
4.6.Teorema: Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]. 
A demonstração será omitida. 
 
5. Propriedades: 
5.1. Proposição: Se f é integrável em [a, b] e k

R, então kf é integrável em [a, b] e 

b
a
dxxkf )(
 = k

b
a
dxxf )(
 
 
5.2. Proposição: Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f+g é integrável em [a, b] 
  
b
a
dxxgxf )()(
 = 

b
a
dxxf )(
 + 

b
a
dxxg )(
 
 
Observação: Esta proposição se estende para um número finito de funções, isto é: 
  
b
a
n dxxfxfxf )(...)((( 21
 = 

b
a
dxxf )(1
 + 

b
a
dxxf )(2
 + ... + 

b
a
n dxxf )(
 
 
5.3.Definição: Se a < c < b e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então f é integrável em [a, b] e 

b
a
dxxf )(
 = 

c
a
dxxf )(
 + 

b
c
dxxf )(
 
 
Interpretação Geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4. Proposição: Se f é integrável e se f(x)

0, para todo x 

 [a, b], então: 

b
a
dxxf )(

 0 
 
 
 6 
5.5. Proposição: Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) 

 g(x) 

x

[a, b], então: 

b
a
dxxf )(
 

 

b
a
dxxg )(
 
 
5.6. Proposição: Se f é uma função contínua em [a, b], então: 
 
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
 
 
6. Teorema do Valor Médio para Integrais: 
 
6.1. Teorema: Se f é uma função contínua em [a, b], existe c

(a, b) tal que: 

b
a
dxxf )(
 = (b – a) . f(c) 
 
Interpretação Geométrica: 
Geometricamente este teorema nos diz que a área abaixo da curva y = f(x), entre a e b, é igual a área de um 
retângulo de base b – a e altura f(c), conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Teorema Fundamental do Cálculo: 
 O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração, 
afirmando que estas operações são inversas uma da outra, ou seja, a integração desfaz a derivação e vice-versa. 
 
7.1. Proposição: Seja f uma função contínua em [a, b]. Então a função G:[a, b] 

 R, definida por: 
G(x) = 

x
a
dttf )(
 

G’(x), 

x

[a, b] e G’(x) = f(x), ou seja, 

x
a
dttf
dx
d
)(
= f(x) 
 
7.2. Teorema: Se f é contínua em [a, b] e se F é uma primitiva de f em [a, b], então: 

b
a
dxxf )(
 = F(b) – F(a) 
 
* Relação entre as integrais definidas e indefinidas: 
Seja a < b 

b
a
dxxf )(
 = 
  )()()()( aFbFxFdxxf b
a
b
a

 
 7 
Exemplo: Calcule a integral definida 

3
0
xdx
 
Solução: 

3
0
xdx
 = 
 
2
9
2
0
2
3
2
22
3
0
2
3
0

x
xdx
 
Portanto: 

3
0
xdx
 = 
2
9
 
Geometricamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lista de Exercícios 
 
1) Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 
  dxxxx )2(
32
 
b) 
 dxecx
x
cos
sec2
 
c) 
   dxxx 3 553
 
d) 
dx
x
xx

 32 2
 
e) 
   dxe
xx 22
 
f) 
 





 dx
x
xx
1
sen
2
1
cos
 
g) 
 





 dx
xx 32
32
 
h) 
 





 dx
x
x
1
 
i) 
    dxxxx 11
 
j) 
 




 
dx
xxe x
2
sen.3cos.2
 
l) 
 dx
xx 2.3
 
m) 
   dtttttt 543
 
n) 
dx
x  21
9
 
o) 
 xdxecxtg
22 cos.
 
 
2) Calcule as integrais, usando o método da substituição: 
 
a) 
 
dx
xn
1
 
b) 
  xdxx 2.1
2
 
c) 
 xdxe
tgx 2sec.
 
d) 
 dxx)7cos(
 
e) 
 gxdxcot
 
f) 
 
dt
e
e
t
t
21
 
g) 


dx
x
tgxx
2sec1
.sec
 
 8 
h) 


dx
x
xx
3sen
sencos
 
i) 
 
dt
e
e
t
t
4
 
j) 
 dxx
x
5cos
sen
 
l) 
 dxxx ln.
1
 
m) 


dy
y
y
212
arcsen
 
 
3) Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes: 
 
a) 
 xdxx
2sec.
 
b) 
 xdxe
x cos
 
c) 
 dxex
x2
 
d) 
 xdxe
x sen
 
e) 
 xdx
3sec
 
f) 
  dxxe
x )52(
 
g) 
 dtet
t4.
 
h) 
  dxxx )2cos().1(
 
4) Calcule as seguintes integrais definidas aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: 
 
a) 



2
1
3 )1.( dxxx
 
b) 


1
0 13y
dy
 
c) 



5
2
|42| dxx
 
d) 

2
0
|sen| dxx
 
e) 
 
2
0
5)sen1(
cos

dx
x
x 
f) 
  
2
0
5.2 dxxx
 
g) 

2
1
ln. xdxx
 
h) 
dx
x
x




1
0
3
2
8
 
i) 

2
1
ln xdx
 
j) 

2
0
sen.

xdxx
 
l) 

1
0
dxe x
 
m) 
 
1
0
)1ln( dxx
 
n) 
dxx


6
3
|4|
 
o) 


9
4
3
dx
x
x
 
p) 










1
2
2
1
dx
x
x
 
q) 


4
1
3)1(
1
dx
xx
 
r) 

3
0
2cos
sen

dx
x
x 
s) 


3
1
4 dxe x
 
t) 

2
1
32 3. dxex x
9 
 
 
Conteúdo: Integrais envolvendo potencias de funções trigonométricas – Integração por 
substituição trigonométrica 
 
I - Integrais envolvendo potencias de funções trigonométricas 
 
1. Integração de potência de funções trigonométricas (seno e cosseno) 
 
São integrais da forma 
 xdx
nsen
 e 
 xdx
ncos
, onde n

Z+. 
Resolução: para resolver este tipo de integrais, usaremos as seguintes identidades trigonométricas: 
(i) sen2x + cos2x = 1 
(ii) sen2x =
2
cos2x-1
 
(iii) cos2x = 
2
cos2x1
 
Devemos considerar dois casos: 
 
1º caso: n é um número ímpar 
 xdx
nsen
 = 

 xdxxn sen.sen 1
 ou 
 xdx
ncos
 = 

 xdxxn cos.cos 1
 
Substitui sen
2
x ou cos
2
x pela identidade (i) e em seguida aplica-se o método da substituição. 
 
Exemplo: Calcular a integral 
 xdx
3cos
 
Solução: 
 xdx
3cos
 = 
 xdxx cos.cos
2
 = 
  xdxx cos).sen1(
2
 = 
  dxxxx )cos.sen(cos
2
 = 
 = 
 xdxcos
 - 
 xdxxcossen
2
 
Temos que 
 xdxcos
 = senx e integrando 
 xdxxcossen
2
, pelo método da substituição obtemos: 
 xdxxcossen
2
 
u = senx 

 du = cosx dx 
  c
u
duu
3
3
2
= 
c
x

3
sen3
 
Por tanto 
 xdx
3cos
 = senx - 
c
x

3
sen3
 
 
2º caso: n é um número par 
 xdx
nsen
 = 

 xdxxn 22 sen.sen
 ou 
 xdx
ncos
 = 

 xdxxn 22 cos.cos
 
Substitui sen
2
x ou cos
2
x pela identidade (ii) ou (iii) e em seguida aplica-se o método da substituição. 
 
Exemplo: Calcular a integral 
 xdx
4sen
 
Solução: 
 xdx
4sen
 = 
  dxx
22sen
 = 
 




 
dx
x
2
2
2cos1 = 
   dxxx 2cos2cos214
1 2
 = 
 = 
 




 
 dx
x
x
2
4cos1
2cos21
4
1
 = 
   dxxx 4cos12cos428
1
 = 
10 
 
 = 
   dxxx 4cos2cos438
1
 = 
    xdxxdxdx 4cos2cos438
1
 = 
 = 
cxxx  4sen
32
1
2sen
4
1
8
3
 
Por tanto 
 xdx
4sen
 = 
cxxx  4sen
32
1
2sen
4
1
8
3
 
 
2. Produto de potências de funções trigonométricas (seno e cosseno) 
 
São integrais da forma 
 xdxx
nm cos.sen
, onde n, m

Z+. 
Consideremos dois casos: 
 
1º caso: m ou n é um número ímpar 
Neste caso, usaremos a identidade trigonométrica (i) e em seguida aplicamos o método da substituição. 
 
Exemplo: Calcular a integral 
 xdxx
25 cos.sen
 
Solução: 
sen
5
x . cos
2
x = (sen
2
x)
2
.senx.cos
2
x
 
= (1 – cos2x)2.senx.cos2x = (1 - 2cos2x + cos4x).senx.cos2x 
 = cos
2
x.senx – 2cos4x.senx + cos6x.senx 
Daí, 
 xdxx
25 cos.sen
 = 
   dxxxxxxx sen.cossen.cos2sen.cos
642
 = 
 = 
   xdxxxdxxxdxx sen.cossen.cos2sen.cos
642
 = 
 = - 
c
x
x
x

7
cos
cos
5
2
3
cos 75
3 
 
2º caso: m e n são númerospares 
 Neste caso usaremos as identidades (ii) e (iii) e eventualmente (i), e em seguida aplicamos o método da 
substituição. 
Exemplo: Calcular a integral 
 xdxx
22 cos.sen
 
Solução: 
sen
2
x.cos
2
x = 





 
2
2cos1 x
. 





 
2
2cos1 x
 = 
4
2cos1 2 x
= 
8
4cos1
4
1 x

 = 
8
4cos
8
1
4
1 x

 
 = 
8
4cos
8
1 x

 
Portanto 
 xdxx
22 cos.sen
 = 
cxxxdxdxdx
x






  4sen32
1
8
1
4cos
8
1
8
1
8
4cos
8
1
 
 
Lista de Exercícios – l 
 
 1) Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
 xdx
5sen
 b) 
 xdx
6sen
 
c) 
 xdx
5cos
 d) 
 xdx
4cos
 
e) 
 xdx2sen
3
 f) 
 xdx
7sen
 
11 
 
g) 
  dxxx )1(sen2
24
 h) 
 xdx
4sen8
 
i) 
 xdx
3cos15
 j) 

4
0
3sen

xdx
 
l) 
 xdxx
42 cos.sen
 m) 
 xdxx
43 sen.cos
 
n)
 xdxx
23 cos.sen
 o) 
 xdxx
3cos.sen
 
 
3. Integração de potência de funções trigonométricas (tangente e cotangente) 
 
São integrais da forma 
 xdxtg
n
 e 
 xdxg
ncot
, onde n

Z+. 
Na preparação do integrando deste tipo de integrais, usaremos as seguintes identidades trigonométricas: 
(iv) cotg2x = cosec2x – 1 
(v) tg2x = sec2x – 1 
 
Os artifícios são semelhantes aos usados nas seções anteriores. 
Exemplo: Calcular as seguintes integrais: 
 
a) 
 xdxtg 3
3
 
Solução: 
tg
3
3x = tg
2
3x.tg3x = (sec
2
3x – 1).tg3x = sec23x.tg3x – tg3x 
Portanto: 
 xdxtg 3
3
 = 
 3x.tg3xdx sec
2
- 
 tg3xdx 
= 
6
1
tg
2
3x + 
3
1
ln|cos3x| + c 
b) 
 xdxg 2cot
4
 
Solução: 
cotg
4
2x = cotg
2
2x.cotg
2
2x = cotg
2
2x.(cosec
2
2x – 1) = cotg22x.cosec22x – cotg22x = 
 = cotg
2
2x.cosec
2
2x – (cosec22x – 1) = cotg22x.cosec22x – cosec22x + 1 
Portanto: 
 xdxg 2cot
4
 = 
 2xdx 2x.coseccotg
22
- 
 2xdx cosec
2
+ 
 dx 
= 
 = - 
6
1
cotg
3
2x + 
2
1
cotg2x + x + c 
 
4. Integração de potência de funções trigonométricas (secante e cosecante) 
 
São integrais da forma 
 xdx
nsec
 e 
 xdxec
ncos
, onde n

Z+. 
 Estas integrais, para o caso de n ser um número par, são resolvidas utilizando as identidades (iv) e (v). Quando n 
for impar, devemos aplicar o método de integração por partes. 
 
Exemplos: Calcular as seguintes integrais: 
 
a) 
 xdxec
6cos
 
Solução: 
cosec
6
x = (cosec
2
x)
2
.cosec
2
x = (cotg
2
x + 1)
2
.cosec
2
x = (cotg
4
x + 2cotg
2
x + 1).cossec
2
x = 
 = cotg
4
x.cosec
2
x + 2cotg
2
x.cosec
2
x + cosec
2
x 
 
Portanto: 
 xdxec
6cos
 =
 xdxx.coseccotg
24
+ 2
 xdx x.coseccotg
22
+
 xdx cosec
2
= 
12 
 
 = - 
5
1
cotg
5
x - 
3
2
cotg
3
x – cotgx + c 
 
b) 
  xdxxxdx sec.secsec
23
 
Solução: 
Nesta integral, usamos o método de integração por partes. 
u = secx 

 du = secx.tgxdx 
dv = sec
2
xdx 

 v = tgx 
 xdx
3sec
 = secx.tgx - 
 gxdx tgx.secx.t
= secx.tgx - 
 x.secxdx tg
2
= 
 xdx
3sec
 = secx.tgx - 
 1).secxdx -x(sec
2
= secx.tgx - 
 xdx sec
3
+
 secxdx 
 
2
 xdx
3sec
 = secx.tgx + 
 secxdx 
 
2
 xdx
3sec
 = secx.tgx + ln|secx + tgx| 
 xdx
3sec
 = 
2
1
secx.tgx + 
2
1
ln|secx + tgx| + c 
 
5. Produto de potências de funções trigonométricas 
 
As integrais da forma 
 xdxxtg
nm sec.
 e 
 xdxecxg
nm cos.cot
, onde n, m

Z+. 
 Quando m for impar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar o método da substituição. 
 Quando m for par e n for impar, a integral deve ser resolvida por partes. 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
 xdxxtg
67 sec
 
Solução: 
tg
7
x.sec
6
x = tg
7
x.(sec
2
x)
2
.sec
2
x = tg
7
x.(tg
2
x + 1)
2
.sec
2
x = tg
7
x.(tg
4
x + 2tg
2
x + 1).sec
2
x 
 = tg
11
x.sec
2
x + 2tg
9
x.sec
2
x + tg
7
x.sec
2
x 
Portanto: 
 xdxxtg
67 sec
 = 
 xdxxtg
211 sec
 + 2
 xdxxtg
29 sec
 + 
 xdxxtg
27 sec
 
 xdxxtg
67 sec
 = 
12
1
tg
12
x + 
5
1
tg
10
x + 
8
1
tg
8
x + c 
b) 
 xdxxtg
57 sec
 
Solução: 
tg
7
x.sec
5
x = (tg
2
x)
3
.tgx.sec
4
x.secx = (sec
2
x – 1)3.sec4x.tgx.secx = 
tg
7
x.sec
5
x = (sec
10
x – 3sec8x + 3sec6x – sec4x).tgx.secx 
Portanto: 
 xdxxtg
57 sec
 = 
 xdxtgxx sec..sec
10
 - 3
 xdxtgxx sec..sec
8
 + 3
 xdxtgxx sec..sec
6
 - 
 - 
 xdxtgxx sec..sec
4
 
 xdxxtg
57 sec
 = 
11
1
sec
11
x -
3
1
sec
9
x + 
7
3
sec
7
x -
5
1
sec
5
x + c 
c) 
 xdxxtg
32 sec
 
Solução: 
 xdxxtg
32 sec
 = 
  xdxx
32 sec)1(sec
 = 
 xdx
5sec
 - 
 xdx
3sec
 
 
Vamos resolver essas integrais por partes 
13 
 
(*)
 xdx
5sec
 = 
 xdxx
23 sec.sec
 
u = sec
3
x 

 du = 3sec
2
x.secx.tgxdx 
dv = sec
2
xdx 

 v = tgx 
 xdx
5sec
 = sec
3
x.tgx -
 tgxdxxxtgx .sec.sec3.
2
 = sec
3
x.tgx - 3
 xdxxtg
32 sec
 
(**)
 xdx
3sec
, foi resolvida anteriormente 
 xdx
3sec
 = 
2
1
secx.tgx + 
2
1
ln|secx + tgx| + c 
Logo, substituindo (*) e (**) temos: 
 xdxxtg
32 sec
 = sec
3
x.tgx - 3
 xdxxtg
32 sec
 - 
2
1
secx.tgx - 
2
1
ln|secx + tgx| 
4
 xdxxtg
32 sec
 = sec
3
x.tgx - 
2
1
secx.tgx - 
2
1
ln|secx + tgx| 
 xdxxtg
32 sec
 = 
4
1
sec
3
x.tgx - 
8
1
secx.tgx -
8
1
ln|secx + tgx| + c 
d) 
 xdxxtg
42 sec
 
Solução: 
 xdxxtg
42 sec
 = 
 xdxxxtg
222 secsec
 = 
  xdxxtgxtg
222 sec)1(
 = 
 = 
 xdxxtg
24 sec.
 + 
 xdxxtg
22 sec.
 = 
5
1
tg
5
x + 
3
1
tg
3
x + c 
 
Exercício 
Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
 xdxtg
4
 
b) 
  dxxec )23(cos
4
 
c) 
  dxxxgx )1(seccos).1(cot.
2222
 
d) 
 xdxxtg
53 sec.
 
e) 
 xdxxtg sec.
5
 
f) 
 xdxecxg
33 cos.cot
 
g) 
 xdxxtg
43 sec.
 
 
II - Integração por substituição trigonométrica 
 
 Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de uma integral. Se o integrando 
contém funções envolvendo as expressões 
22 xa 
, 
22 xa 
ou 
22 ax 
, onde a > 0 
é possível fazermos uma substituição trigonométrica adequada. 
 As figuras abaixo, sugerem tal substituição. 
 
22 xa 
 
a 
x 
22 ax 
 x 
a 
x 
a 
22 a-x
 
14 
 
 
(i) a função integrando envolve 
22 xa 
 
 Neste caso, usamos x = a.sen

. Então dx = a.cos

d

. Supondo, 
22




, temos: 
22 xa 
 = 
222 senaa 
 = 
)sen1(a 22 
 = 
22cosa
 = a.cos

 
22 xa 
 = a.cos
(ii) a função integrando envolve 
22 ax 
 
 Neste caso, usamos x = a.tg

. Então dx = a.sec
2

d

. Supondo, 
22




, temos: 
22 ax 
 = 
222 atga 
 = 
)1tg(a 22 
 = 
22seca
 = a.sec

 
22 ax 
 = a.sec

 
 
(iii) a função integrando envolve 
22 ax 
 
 Neste caso, usamos x = a.sec

. Então dx = a.sec

tg

d

. Supondo, 
2
0

 
 ou 
2
3
 
 , temos: 
22 ax 
 = 
222 aseca 
 = 
)1sec(a 22 
 = 
22 tga
 = a.tg

 
22 ax 
 = a.tg

 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
dx
x
x


2
2
2
9 
Solução: 
Neste exemplo, usamos x = 3.sen

. Então dx = 3.cos

d

. Assim, 
29 x
 = 3.cos

, para 
22




. 
Logo, 
dx
x
x


2
2
2
9 = 
 

d
sen
cos3.
9
cos3
2
1
2
 = 
 dg
2cot
2
1
 = 
   dec )1(cos2
1 2
 = 
 = 
cg  )cot(
2
1 
 
Devemos agora escrever este resultado em termos da variável original x. Sabemos que, se x = 3.sen

, 
22




, então 

= arcsen
3
x
. 
Observando o triangulo, vemos que: cotg

 = 
x
x 29  
Portanto, 
dx
x
x


2
2
2
9 = 











3
9
2
1 2 x
arcsen
x
x + c 
b) 
dx
x
x

 43 2
2 
Neste exemplo, usamos x = 2.tg

. Então dx = 2.sec
2

d

. Assim, 
42 x
= 2sec

, para 
22




. 
 
15 
 
 
 
 
 
Logo, 
dx
x
x

 43 2
2 = 
    ddtgdtg sec)1(sec34sec.34sec2.sec2431 222
2 = 
 = 






   ddtgd secsec21sec2134)sec(sec34 3
 = 
 = 
ctgtg   secln
3
2
sec
3
2
 
Agora, vamos escrever este resultado em termos da variável original x. Observando o triangulo, temos: 
 
2
4
sec
2 

x

e 
2
x
tg 
. Portanto, 
dx
x
x

 43 2
2 = 
c
xxxx




22
4
ln
3
2
2
.
2
4
.
3
2 22 
dx
x
x

 43 2
2 = 
c
xx
xx 


2
4
ln
3
2
4
6
1 22
 
3) 

1623 xx
dx
 
Neste exemplo, usamos x = 4.sec

. Então dx = 4.sec

tg

d

. Assim, 
162 x
= 4tg

, para 
2
0

 
. 
Logo, 

1623 xx
dx
= 
   


d
d
d
tg
tg 2
23
cos
64
1
sec64
1
4.sec64
.sec4
= 
 d

2
2cos1
64
1
 
 = 
csend  )22
1
(
128
1
)2cos1(
128
1 
 
Agora, vamos escrever este resultado em termos da variável original x. Observando o triangulo, temos: 
sen

=
x
x 162  ; cos =
x
4
 
Da identidade trigonométrica 
2
1
sen2

 = sen

cos

, vem que, 
2
1
sen2

 = 
x
x 162  .
x
4
. 
Para substituirmos o valor de 

, devemos tomar algum cuidado. Inicialmente, observamos que a função integrando 
esta definida para valores de x > 4 e x < - 4. 
Para x > 4, temos que sec

 = 
4
x
 > 1 e portanto, 

 = arcsec
4
x
, 
2
0

 
. 
Para x < - 4, temos que sec

 = 
4
x
 < - 1 e a sua inversa (arcsec
4
x
) toma valores entre 
2

 e 

. 
Como ao fazermos a substituição x = 4sec

, assumimos que 
2
3
 
 e como sec(2

 - a) = seca, para x < - 
4, podemos escrever 

 = 2

 - arcsec
4
x
, 
2
3
 
. 
Portanto, para x > 4, temos 
16 
 

1623 xx
dx
= 
c
x
xx
arc 







 

2
2 164
4
sec
128
1 
 
 
Para x < - 4, 

1623 xx
dx
 = 
c
x
xx
arc 







 

2
2 164
4
sec2
128
1 
 
 
Exercício 
 
Calcule as seguintes integrais: 
a) 

 24 x
dx
 
b) 


dx
x
x
2
3
9
 
c) 

 425 2x
dx
 
d) 


dx
x
x 92 
e) 


dx
x
x
2
2
4
 
f) 

 29 xx
dx
 
g) 

 2522 xx
dx
 
17 
 
 
Conteúdo: Integrais de funções racionais por frações parciais - Aplicações da integral 
definida 
 
1. Integração de funções racionais por frações parciais 
 
Apresentaremos um procedimento para calcular integrais da forma 
 
 dxxq
xp
)(
)(
, onde q(x)

0 e 

p < 

q 
Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares ou 
quadráticos, todos com coeficientes reais. 
 
Exemplos: 
q(x) = x
2
 – 3x + 2 

 q(x) = (x – 2).(x – 1) 
q(x) = x
3
 – x2 + x – 1 

 q(x) = (x
2
 + 1).(x - 1) 
 
Resolução: 
Temos quatro casos a considerar: 
 
1º caso: Os fatores de q(x) são lineares e distintos. Neste caso, podemos escrever q(x) na forma 
q(x) = (x – a1). (x – a2).... (x – an) onde os ai’, i = 1, 2, ..., n, são distintos dois a dois. 
A decomposição de 
)(
)(
xq
xp
 se procede da seguinte maneira. 
)(
)(
xq
xp
 = 
n
n
ax
A
ax
A
ax
A





...
2
2
1
1
 
onde A1, A2, ..., Na são constantes a serem determinadas. 
Exemplo: Calcule a integral 
 

dx
xx
x
4
125
2
 
Solução: 
q(x) = x
2
 – 4x = x.(x – 4) 
4)4.(
125 21




x
A
x
A
xx
x
 
)4.(
.)4.(
)4.(
125 21





xx
xAxA
xx
x
 
5x – 12 = A1.x – 4A1 + A2.x 
5x – 12 = (A1 + A2).x – 4A1 





3124
23555
11
221221
AA
AAAAAA 
Daí, 
4
23
)4.(
125




xxxx
x
 
 
Integrando: 
 

dx
xx
x
4
125
2
 =
   










4
23
4
23
4
23
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
dx
xx
= 3ln|x| + 2ln!x-4| + c 
Logo: 
 

dx
xx
x
4
125
2
 = 3ln|x| + 2ln|x-4| + c 
 
 
 
18 
 
 
2º caso: Os fatores de q(x) são lineares e alguns se repetem. 
Seja x – ai o fator linear de q(x) com multiplicidade n, então: 
)()()( 1
21
i
n
n
i
n
i
ax
B
ax
B
ax
B




 
, onde B1, B2, ..., Bn são constantes a serem determinadas. 
 
Exemplo: Calcule a integral 
dx
x
x
 

2)1(
116
 
Solução: 
2)1(
116


x
x
 = 
)1)(1(
116


xx
x
 
)1)(1(
116


xx
x
 = 
1)1(
2
2
1


 x
B
x
B
 
)1)(1(
116


xx
x
 = 
2
21
)1(
)1(


x
xBB
 
6x – 11 = B1 + B2x – B2 
6x – 11 = B2x + B1 – B2 





51161111
6
112121
2
BBBBBB
B 
Daí, 
2)1(
116


x
x
 = 
1
6
)1(
5
2 



xx
 
 
Integrando: 
dx
x
x
 

2)1(
116
 = 
 









dx
xx 1
6
)1(
5
2
 = -5
  2)1(x
dx
 + 6 
 1x
dx
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
dx
x
x
 

2)1(
116
 = 
1
5
x
 + ln|x-1| + k 
 
3º caso: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, com fatores quadráticos distintos. A cada 
fator quadrático ax
2
 + bx + c de q(x), corresponde uma fração parcial da forma 
cbxax
DCx


2
 
Exemplo: Calcule a integral 
 
dx
xxx
xx
482
21
23
2 
Solução: 
2x
3
 – x2 + 8x –4 = x2.(2x – 1) + 4.(2x – 1) = (2x – 1).(x2 + 4) 
)4).(12(
21
2
2


xx
xx
 = 
412 2 


 x
DCx
x
A
 
)4).(12(
21
2
2


xx
xx
 = 
)4).(12(
)12)(()4(
2
2


xx
xDCxxA
 
x
2
 – x – 21 = Ax2 + 4A + 2Cx2 - Cx + 2Dx – D 
x
2
 – x – 21 = (A + 2C)x2 + (2D - C)x + 4A – D 
c
x
c
u
c
u
duu
u
du
x
dx








  1
11
1)1(
1
2
22
 
u = x-1 

du = dx 
 
 
19 
 








214
12
12
DA
CD
CA
 

 








1
3
5
D
C
A
 
Daí, 
)4).(12(
21
2
2


xx
xx
 = 
4
13
12
5
2 




x
x
x
 = 
4
1
4
3
12
5
22 





xx
x
x
 
Integrando: 
 

dx
xxx
xx
482
21
23
2 = 
 











dx
xx
x
x 4
1
4
3
12
5
22
 = 
 = -5
 12x
dx
 + 3
 
dx
x
x
42
+ 
  42x
dx
 = 
 = -
k
x
arctgxx 
22
1
|4|ln
2
3
|12|ln
2
5 2
 
Logo: 
 

dx
xxx
xx
482
21
23
2 = -
k
x
arctgxx 
22
1
|4|ln
2
3
|12|ln
2
5 2
 
 
4º caso: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, com fatores quadráticos que se repetem. Seja 
ax
2
 + bx +c o fator quadrático de q(x) com multiplicidade n, a esse fator correspondem a soma de frações 
parciais da forma: 
 
ncbxax
DxC
)( 2
11


 + 
12
22
)( 

ncbxax
DxC
 + ... + 
cbxax
DxC nn


2
 
 
Exemplo: Calcular a integral 
dx
x
xxx
 

22
23
)1(
3735
 
Solução: 
22
23
)1(
3735


x
xxx
 = 
22 )1( 

x
BAx
 + 
12 

x
DCx
 
22
23
)1(
3735


x
xxx
 = 
22
2
)1(
)1)((


x
xDCxBAx
 
5x
3
 – 3x2 + 7x – 3 = Ax + B + Cx3 + Cx + Dx2 + D 
5x
3
 – 3x2 + 7x – 3 = Cx3 + Dx2 + (A + C)x + B + D 











03333
25777
3
5
BBDBDB
AACACA
D
C
 
Daí, 
22
23
)1(
3735


x
xxx
 = 
22 )1(
2
x
x
 + 
1
35
2 

x
x
 
 
Integrando: 
dx
x
xxx
 

22
23
)1(
3735
 = 
 










dx
xx
x
x
x
1
3
1
5
)1(
2
2222
 = 
 = 2 
  22 )1(x
xdx
+ 5 
 12x
xdx
- 3
 12x
dx
 = 
20 
 
 = 
karctgxx
x


 3)1ln(
2
5
1
1 2
2
 
Logo: 
dx
x
xxx
 

22
23
)1(
3735
 = 
karctgxx
x


 3)1ln(
2
5
1
1 2
2
 
 
 
Lista de Exercícios 
 
Calcule as seguintes integrais: 
 
1) 
 
dx
xx
x
2
32
 2) 
dx
xx
x
 

232
12
2
 
 
3) 
 

dx
xxx
x
44
1
23
 4) 
 
dx
xxx
x
122
3
23
2 
 
5) 
 

dx
xx
xx
12
45
2
2 6) 
dx
xx
x
 

22 )3()2(
1
 
 
7) 
 

dx
x
xx
22
42
2
23 8) 
 
dx
xx 4
5
3
 
 
9) 
 

dx
xx
x
1
13
2
 10) 
  83x
dx
 
 
11) 
 

dx
x
xx
22
3
)1(
102
 12) 
 

dx
x
xxx
22
23
)1(
3735
 
 
2. Aplicações da integral definida 
 
2.1. Área sob curvas 
 
 Para calcular área sob curvas, temos dois casos a considerar: 
 
1º caso: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f 
é continua e f(x) 

0, 

x

 [a, b], conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a área A é dada por: A = 

b
a
dxxf )(
 
Exemplo: Calcule a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo dos x. 
21 
 
Solução: 
y = 4 – x2 
i) intercepta o eixo dos x nos pontos –2 e 2. 
ii) intercepta o eixo dos y no ponto 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No intervalo [-2, 2], y = 4 - x
2
 

0. Assim a área procurada é a área sob o gráfico de y = 4 – x2 de –2 até 2, ou 
seja: 
A = 
 

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4)4()( dxxdxdxxdxxf x4
2
2
 - 
3
3
2
2
x

= 8 + 8 - 
3
8
3
8

 = 
3
32
 
Logo: A = 
3
32
u.a. 
 
2º caso: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f 
é continua e f(x) 

0, 

x

 [a, b], conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, tomamos o módulo da integral 

b
a
dxxf )(
, ou seja: A =

b
a
dxxf )(
. 
Exemplo: Calcule a área limitada pela curva y = -4 + x
2
 e o eixo dos x. 
Solução: 
y = -4 + x
2 
i) intercepta o eixo dos x nos pontos –2 e 2. 
ii) intercepta o eixo dos y no ponto -4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
A = 
3
32
)4()(
2
2
2
2
2
 

dxxdxxf
 = 
3
32
 
Logo: A = 
3
32
u.a. 
 
2.2. Área entre curvas 
 Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x = b, onde f e g são 
funções contínuas em [a, b] e f(x)

 g(x), 

x 

[a, b], conforme figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
A = 
  
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxf )()()()(
 
 
Exemplo: Calcule a área limitada pela curva y = x
2
 e pela reta y = x + 2 
Solução: 
y = x
2 
i) intercepta o eixo dos x na origem 
ii) intercepta o eixo dos y na origem 
y = x + 2 
i) intercepta o eixo dos x no ponto -2 
ii) intercepta o eixo dos y no ponto 2 
A curva y = x
2
 e a reta y = x + 2 se interceptam nos pontos –1 e 2, de fato 
x
2
 = x + 2 

 x
2
 – x – 2 = 0 






1x
2x
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em [-1, 2], temos que x + 2 

 x
2
, portanto: 
23 
 
A = 
 
2
1
3
2
1
2
1
22
1
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
22



 
x
x
x
dxxdxxdxdxxx
= 
A = 
3
1
3
8
24
2
1
2
4

= 
2
9
 
Logo: A = 
2
9
u.a. 
 
2.3. comprimento de arco 
 
Definição: Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é uma função contínua e derivável em [a, b]. O 
comprimento do arco da curva C, do ponto A(a, f(a)) ao ponto B(b, f(b)), que denotemos por S, é dada por 
S = 
  dxxf
b
a
 
2
)('1
 
Exemplo: Calcular o comprimento do arco da curva y = 
2
3
x
-4, de A(1, -3) até B(4,4). 
Solução: 
Considere o gráfico de y = 
2
3
x
-4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos : y = 
2
3
x
-4 e y’ = 
2
1
2
3
x
. Daí, 
S = 
dxx 






4
12
2
1
2
3
1
 = 
dxx 
4
1
4
9
1
 
u = 1 + 
x
4
9
 du = 
dx
4
9
9
4
du = dx. 
4
1
4
12
3
4
1
4
1
2
3
2
3
2
1
4
9
1
27
8
9
4
9
4
9
4






  x
u
duuduu
= 







2
3
2
3
4
13
27
8
10
27
8 
 
= 

27
108 3
3
4
13
27
8





 = 
27
13131080
8.27
1313.8
27
1010.8 

 
Logo: S = 
27
13131080  u.c. 
Lista de Exercícios 
1) Calcule a área da região A limitada por: 
 
a) y = senx, y = 0 de 0 até 2

 
b) x = ½, x = 
y
 e y = -x+2 
24 
 
c) y = 5 – x2 e y = x + 3 
d) y = 1 – x2 e y = -3 
 
2) Calcule o comprimento de arco: 
 
a) x = 
1
6
1
2
1 3 
y
y
, 1

y

3 
b) y = 5x – 2, -2

x

2 
c) y = x
3
2 - 1, 1

x

2 
d) y = 
  2
3
22
3
1
x
, 0

x

3 
e) x = 
y
y
4
1
3
1 3 
, 1

y

3 
 
2.4. Volume de um sólido de revolução 
 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado 
sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o 
sólido de revolução obtido é um cone (ver Figura 1). 
 
 
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0 e x = 1, y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um 
cilindro (ver Figura 2). 
 
Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação em torno do eixo 
de x, da região R vista na Figura 3. 
x
y
y =
 x
x
4
y =
 x
y
4
Figura 1 
x
3
y
x
y
1
3
1
Figura 2 
25 
 
Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [a, b]. Consideremos uma partição P de [a, b], dada 
por 
....... 110 bxxxxxa nii  
 
Seja 
1 iii xxx
 o comprimento do intervalo 
 ii xx ,1
. Para cada i, i = 1,..., n, construímos um 
retângulo Ri, de base 
ix
 e altura f(ci). Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de 
revolução obtido é um cilindro (ver Figura 4), cujo volume é dado por 

[f(ci)]
2

xi 
A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por Vn, é dada por 
Vn =  [f(c1)]
2

x1 +  [f(c2)]
2

x2 + ... +  [f(cn)]
2

xn 
Vn = 
  i
n
i
i xf(c 
1
2
)π
 
 e nos dá uma aproximação do volume do sólido T (ver Figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
T
x
y
y =
 f(x
)
R
ba
y =
 f(x
)
Figura 3 
x
y
x
y
y =
 f(x)
R
ba
y =
 f(x)
f(c )i
ix
f(c )i
ix
ci
Ci
Figura 4 
26 
 
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada 
nixi ,...,1, 
, torna-se muito pequeno, a 
soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até 
b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por 
0
lim


ixmáx
V   i
n
i
i xf(c 
1
2
)π
. 
A soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função 
 2)if(x
. Como f é contínua, o limite em 
(1) existe, e então, pela definição da integral definida, temos 
 
  dxf(x)V
b
a
2
π
. 
 
A fórmula (2) pode ser generalizada para outras situações: 
 
 
(1º) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a, b]. 
A Figura 6(c) mostra o sólido gerado pela rotação da Figura 6(a), ao redor do eixo x, da região sob o 
gráfico da função 
f(x)
 de a até b (ver Figura 6(b)). Como 
22 ))(( xff(x) 
, a fórmula (2) permanece válida 
neste caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
Figura 5 
a b a b
Figura 6 
(a) (b) 
(c) 
27 
 
(2º) A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b, como mostra a Figura 7. 
Suponhamos 
],[),( baxxgf(x) 
, o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em torno do eixo 
dos x, é dado por 
  dxg(x)f(x)V b
a 
22 ][][π
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3º) Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y (ver Figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, temos: 
  dyg(y)V
d
c
2][π
. 
 
(4º) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta y = L (ver Figura 9), temos: 
dxL-f(x)V
b
a
2][π
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
a b
y = g(x)
y = f(x)
R
Figura 7 
x= g(y)
x
d
c
Figura 8 
x
y
b
y = f(x)
R
a
L
Figura 9 
28 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta x = M (ver Figura 10), temos 
dyM-g(y)V
d
c
2][π
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) A região R, limitada pela curva 
2
4
1
xy 
, o eixo e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo dos x. 
Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. 
Solução: Vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula, temos 
dxxV  






4
1
2
2
4
1
π   π
80
1023
14
80
π
514
π 55
1
45

x unidades de volume (u.v.) 
 
 
 
 
 
 
x
y
d
R
c
M
x= g(y)
Figura 10 
x
y
T
x
y
R
2
4
1
xy 
 
29 
 
 
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola 
 213
4
1
xy 
 e pela reta 
 5
2
1
 xy
. 
Solução: Podemos ver a região R e o sólido T, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula, vem 
    dxxxV 





















1
3-
22
2 5
2
1
-13
4
1
π
 
    






1
3-
242 2510
4
1
26-169
16
1
π dxxxxx
 
  
1
3-
420340-169
16
dxxx-x

3
15
32
5
1020169
16
π








x
xxx
 







5
243
270180207
5
1
1020169
16
π
 
π
80
1924

u.v.24,05
 
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função 
xseny 
 e o eixo dos x, de 
2

 até 
2
3
. 
Solução: Vemos a região R e o sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula, temos 
  dxxenV 
π/23
π/2
2
sπ
 
dxx 





π/23
π/2
2cos
2
1
2
1
π 





 xenx 2s
4
1
2
1
π
π/2
π/23

 











 







2
2s
4
1
22
1
23
2s
4
1
2
3
2
1
π

enen
 






 0
4
0
4
3
π
 ..π2 vu 
x
y
1
R
13313  x
y
T
 
x
y
x
y
R
2
π
2
π3
 
30 
 
 
4) A região limitada pela parábola cúbica 
3xy 
, pelo eixo dos y e pela reta 
8y
, gira em torno do eixo dos y. 
Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
Solução: Podemos ver a região R e o sólido de revolução T, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o volume de T vamos aplicar a fórmula. Temos, 
dyg(y)V
d
c
2][π   dyy
8
0
2
3π
8
0
35
5
3
π y
 
 
 
 
5) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por 
x
y
1

, 
4y
 e x = 4. 
Solução: A região R e o sólido gerado pela rotação de R em torno da reta y = 4, podem ser vistos na Figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
T
x
y
R
2
8
3 yx 
 
x
y
R
4
x
y
1

4
1
y = 4
x
y
y = 4
 
..
5
6π9
8
5
π3 35 vu
31 
 
Neste exemplo, observamos que o raio da secção transversal do sólido não é f(x) – L, mas sim L – f(x), já que 
f(x)< L. Porém, como (f(x) – L))2 = (L – f(x))2, a fórmula continua válida. 
Temos, 
dxL-f(x)V
b
a
2][π
 
dx
x
V  






4
41
2
4
1
π dx
xx2 





4
41
16
81
π
41
4
16ln8
1
π 





 xx
x
 






 4
4
1
ln84644ln8
4
1
π ..16ln8
4
255
π vu






 
 
6) A região R, delimitada pela parábola 
1
2
1 2  yx
 e pelas retas 
1x
, 
2y
 e 
2y
 gira em torno da reta 
1x
. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
Solução: Podemos ver a região R e o sólido gerado pela rotação de R, em torno da reta 
1x
, na Figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula 
dyM-g(y)V
d
c
2][π
, temos 
 
dyy V  






2
2-
2
2 )1(1
2
1
π dyy  






2
2-
2
2 2
4
1
π
 
dyyy  






2
2-
24 42
4
1
π
2
2
35
4
3
2
20
π







 y
yy
 
 






 8
3
16
20
32
8
3
16
20
32
π vu .
15
π448

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
R
-2
x
 2
 x -1= y
x
 x -1= 
 
32 
 
LISTA DE EXERCICIOS 
 
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R 
delimitada pelos gráficos das equações dadas: 
 
a) y = x + 1, x = 0, x = 2 e y = 0 
b) y = x2 e y = x3 
c) y = cosx, y = senx, x= 0 e x = 
4

 
 
 
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R 
delimitada pelos gráficos das equações dadas: 
 
a) y = lnx, y = -1, y = 2 e x = 0 
b) x = y2 + 1, x = 
2
1
, y = -2 e y = 2 
c) x = 3 + seny, x = 0, y = 
2
5
 e y = 
2
5
 
d) y = 
x
1
, x = 0, y = 
4
1
e y = 4 
3) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos 
dados. 
 
a) y = 2x2, x = 1, x = 2 e y = 2; ao redor do eixo y = 2 
b) x = y2 + 1, em torno da reta x = 3 
c) x2 = y – 2 e 2y – x – 2 = 0, em torno da reta y = 0, em x = o e x = 1 
d) y = 1 – x2, x = -2, x = 2 e y = 2, em torno da reta y = 2 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Conteúdo: Integrais impróprias – Sequencia e series 
 
 Integrais Impróprias 
 
Definição: integrais com limites infinitos de integração são integrais impróprias. 
 
Interpretação Geométrica: 
A = 
 dxxf )(
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 a b 
 
I) Se f(x) é continua em [a, 

), então: 


a
dxxf )(
 = 
b
lim

b
a
dxxf )(
 
 
II) Se f(x) é continua em (-

, b], então: 


b
dxxf )(
 = 
a
lim

b
a
dxxf )(
 
 
III) Se f(x) é continua em (-

, 

), então: 



dxxf )(
 = 




c
c
dxxfdxxf )()(
, c

 
 
Convergência e Divergência 
 Em I e II se o limite existe, então a integral imprópria converge, caso contrario diverge. Em III a integral 
imprópria converge, se ambas integrais convergem, caso contrario diverge. 
 
Exemplos: Determine se as integrais convergem ou divergem. 
 
a) 



2
2)1(
1
dx
x
 b) 


1
dxe x
 c) 



 22 )1(
2
x
xdx
 
 
 
Integrais com integrandos descontínuos 
 
Definição: Integrais de funções que se tornam infinitas em um intervalo [a, b] de integração, são integrais 
impróprias. 
 
I) Se f(x) é continua em (a, b], então: 

b
a
dxxf )(
 = 
 ac
lim

b
c
dxxf )(
 
 
II) Se f(x) é continua em [a, b), então: 

b
a
dxxf )(
 = 
 bc
lim

c
a
dxxf )(
 
 
34 
 
 
III) Se f(x) é continua em [a,c) U (c, b], então: 

b
a
dxxf )(
 = 

c
a
dxxf )(
+

b
c
dxxf )(
 
 
 
I e II convergem se o limite existir, em III converge se ambas as integrais convergem, caso contrario diverge. 
 
Exemplos: Verifique a convergência das integrais impróprias: 
 
a) 
 
1
0
1
1
dx
x
 b) 

1
0
1
dx
x
 c) 
dx
x

 
7
2
3
2
)1(
1
 
 
 
LISTA DE EXERCICIOS 
 
1) Determine se a integral converge ou diverge, se convergir encontre seu valor. 
 
a) 


1
3
4
1
dx
x
 b) 


1
4
3
1
dx
x
 c)



2
25
1
dx
x
 
 
d) 



0
2 dxe x
 e) 



1
3
1
dx
x
 f) 



 dxxe x
2
 
g) 


1
ln
dx
x
x
 h) 


0
cosxdx
 i)


0
dxxe x
 
 
2) Determine se a integral imprópria converge ou diverge, se converge ache seu valor. 
 
a) 
dx
x

8
0
3
1
 b) 


1
3
2
1
dx
x
 c) 

2
0
2sec

xdx
 
d) 


4
0
2
3
)4(
1
dx
x
 e) 


2
1
1
dx
x
 f) 

1
0
ln xdxx
 
g) 

2
0

tgxdx
 h) 
 

4
2
2 45
2
dx
xx
x
 i)



0 1
cos
dx
senx
x
 
 
 Sequencias 
 
Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros 
positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais. 
 
A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n). 
 
a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n) 
 
 
 
35 
 
 
Notações: 
{an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...} 
an é o termo genérico da seqüência. 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
 
Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a 
seqüência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve: 
 
Uma seqüência que não é convergente é chamada de divergente. 
 
Exemplos: Determine o limite das seqüências 
 
a) 






 35
2
n
n
 b) 





ne
n
2
5
 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Determine o limite da seqüência, quando existir. 
 
a) 






 23n
n
 b) 








2
2
23
47
n
n
 c) 








12
14
2
4
n
n
 
d) 






4n
e n
 e) 








1
)13)(12(
3n
nn
 
 
 Séries 
 
Definição: Se {an} é uma seqüência, então: 
A soma infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... =


1n
na
 é chamada série. 
Cada número ai é um termo da série; 
an é o termo genérico de ordem n. 
Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as somas parciais. 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 
------------------------ 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an 
 
 
 
 
 
36 
 
 
E a seqüência das somas parciais 
S1, S2, S3, ..., Sn, ... 
Se essa seqüência tem limite S, então a série converge e sua soma é S. 
Ou seja: Se 


SS
n
n
lim
ℝ, então a série converge e sua soma é a1+a2+a3+...+an... = S 
Se a seqüência {Sn} não tem limite, então a série diverge. 
 
Exemplo: verifique se a série 


 1 )1(
1
n nn
 converge. 
 
A p-série 


1
1
n
pn
= 
...
1
...
3
1
2
1
1
1

pppp n
 
(sendo p uma constante) a serie converge se p>1 e diverge se p

1 
 
Série Harmônica 
A série harmônica é a p-serie com p = 1. 
1 + 




1
1
...
1
...
3
1
2
1
n nn
, é divergente 
 
Série Geométrica 



 
1
1132 ......
n
nn ararararara
 
Onde 
a
e 
r
são números reais fixos, com a 0 e r é a razão. 
A serie geométrica converge para S = 
r
a
1
 se |
r
| < 1 e diverge se |
r
| 

1. 
Exemplo: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...é uma serie geométrica com a = 1 e r = 2, que converge para 
S = -1. 
 
Teorema: Se a série 


1n
na
converge, então 
.0
lim


na
n
 
OBS: A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a 
zero e que não são convergentes. 
Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o: 
Teste da divergência: Se 
0
lim


na
n



1n
na
 diverge. 
 
Exemplo: aplique o teste da divergência 
a) 


1
2
n
n
 b) 




1
1
n n
n
 c) 




1
1)1(
n
n
 
d) 


1
2
1
n n
 e) 


1
1
n n
 f) 


1n
n
n
e
 
 
 
 
37 
 
 
Propriedades: Sejam 
Aa
n
n 

1
, 




1n
n Bb
e k

ℝ, então: 
i) 
BAbaba
n
n
n
n
n
nn  





 111
)(
 
ii) 
Aa
n
n kakk
1n
n
1






 
 
 
Exemplo: 
a) 




 
1
1
1
6
13
n
n
n b) 




1
12
4
n
n
 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Calcule a soma das series: 
a) 




0 4
)1(
n
n
n b) 










0 3
1
2
5
n
nn
 c) 








 

0 5
)1(
2
1
n
n
n
n
 
d)




1
13.2
n
nn
 e) 




1
1)1(
n
n
 f) 










1
1
3n
n
e 
 
 
2) Verifique a convergência das series; 
a) 


 1
2 14
1
n n
 b)


 1 )12)(12(
6
n nn
 c)


 1 )4)(3(
1
n nn
 
 
 
3) Verifique a divergência das series: 
a) 


 1 15
3
n n
n
 b)


 1
2 1
1
n n
 c) 


1
1
n
n e
 
d) 


 1 1
1
n
ne
 e) 


 1 )3,0(1
1
n
n
 
4) Verifique a convergência ou divergência das series: 
a) 


 



















0 4
3
4
1
n
nn b) 



 
1
3 )22(
n
nn
 c) 









0 2
1
n
n 
d) 




1
1
2
3
)1(
n
n
n
 e)




0
2
n
ne
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
Serie de termos não negativos 
 Estudaremos series que não tem termos negativos, pois as somas parciais dessas 
series formam seqüências crescentes e seqüências crescentes limitadas superiormente sempre 
convergem. As somas parciais são crescentes porque Sn+1 = Sn + an e an  0: 
S1  S2  S3  ...  Sn  Sn+1  ... 
 
Teorema: Uma serie 


1n
na
de termos não negativos converge se suas somas parciais são 
limitadas superiormente. 
 
 Esse resultado é a base dos testes para estabelecer a convergência que estudaremos 
nesta seção. 
 
 
Teste da Integral 
 Se uma função é positiva, continua e decrescente para x 

 1, então a serie infinita 
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) + ... 
i) converge se 


1
)( dxxf
 converge. 
ii) diverge se 


1
)( dxxf
 diverge. 
 
Exemplos: 
a) 


1
2
1
n n
 b) 


1
1
n nn
 c) 




1
2
n
nne
 
 
 
Teste da Razão 
 Seja 


1n
na
uma serie de termos positivos e 
n
n
a
a
n
1
lim


 = L. Então: 
i) a serie converge se L < 1 
ii) a serie diverge se L > 1 ou L for infinito 
iii) o teste é inconcludente se L = 1 
 
Exemplos: 
a) 


1 !
3
n
n
n
 b) 


1 !!
)!2(
n nn
n
 
 
Teste da Raiz 
 Seja 


1n
na
uma serie com an  0 e
n
na
n 
lim
 = L. Então: 
i) a serie converge se L < 1 
ii) a serie diverge se L > 1 ou L for infinito 
iii) o teste é inconcludente se L = 1 
 
 
 
39 
 
 
Exemplos: 
a) 




1
132
n
n
n
n
 b) 


1
2
2n
n
n
 
 
 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Use o teste da integral para determinar se a integral converge ou diverge: 
a) 


 2 )1(
1
n nn
 b) 


 1
3
2
1
2
n n
n
 c)


2
1
n n
 
d) 




1
2 3
n
nen
 e) 




1n
ne
 f) 


1 2n
n
n
 
 
 
2) Use o teste da razão para determinar se a integral converge ou diverge: 
a) 




0 3
52
n
n
n b) 


1 )!2(
!!4
n
n
n
nn
 c) 


1
2
2n
n
n
 
d) 




1
!
n
nen
 e) 


1
10
10n
n
 f) 




1 !
)2)(1(
n n
nn
 
g) 


1
2
!n n
n
 
 
3) Use o teste da raiz para determinar se a integral converge ou diverge: 
a) 


1
)(ln
n
n
n
n
n
 b) 


1
2)(
)!(
n
n
n
n
n
 c) 


1
5
5n
n
n
 
d) 


1
2)2(n
n
nn
 e) 


1
2
2
n
n
n
 
	1-Integral.pdf (p.1-8)
	2-Integral.pdf (p.9-16)
	3-Integral.pdf (p.17-32)
	4-Integral.pdf (p.33-39)