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UNIVERSIDADE ESTAUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII CENTRO DE CIENCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE - CCTS COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL ALUNO(A): Álgebra Linear – 2014.2 Prof. Israel B. Galvão 1ª PROVA DA 2ª UNIDADE – 17/11/2014 Obs.: Expresse suas ideias com clareza e organização. Respostas sem as devidas justificativas serão sumariamente desconsideradas. Esta avaliação tem duração máxima de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 𝟏. (1,0 pontos) Defina, precisamente, Transformação Linear. 𝟐. (3,0 pontos) Classifique as assertivas a seguir como Verdadeira ou Falsa, justificando devidamente. 2.1. Toda aplicação 𝑇:ℝ2 ⟶ ℝ3, tal que 𝑇(1,0) = (1,0,0) e 𝑇(0,1) = (0,1,0) é linear. 2.2. Se 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 é uma transformação linear e {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} um subconjunto L.I. de 𝑉 então, {𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣1)} é um subconjunto L.I. de 𝑊. 2.3. Para a transformação linear 𝑇:ℝ2 ⟶ ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 − 𝑦, 4𝑦 − 𝑥, 0), temos que dim(ker𝑇) = 1 e dim(Im𝑇) = 2. 𝟑. (2,0 pontos) Mostre que a aplicação 𝑇:ℝ3 ⟶ℝ2, dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 0) é uma transformação linear. Use 𝑇 para constatar o Teorema do Núcleo e da Imagem. 𝟒. (2,0 pontos) Ache a transformação linear 𝑆:ℝ3 ⟶ ℝ2 tal que 𝑆(3,2,1) = (1,1), 𝑆(0,1,0) = (0,−2) e 𝑆(0,0,1) = (0,0). 𝟓. (1,0 pontos) Mostre que a aplicação 𝑇:ℝ3 ⟶ℙ2, dada por 𝑇(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎 − 2𝑏)𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑎 + 𝑏 é um isomorfismo. VAI DAR TUDO CERTO!
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