Calculo Numérico com Aplicações 2ª Edição Leonidas Barroso

Prévia do material em texto

o 
wa 
'-" :e 
QJ 
,. 
N 
...... o:: -
:::> \.U ~ 
u 
.....1 ::> 
~ 
~ 
" CALCULO 
" NUMERICO 
(COM APLICACÕES) 
I 
2.ª edicão 
I 
Leônidas Conceição Barroso 
Magali Maria de Araújo Barroso 
Frederico Ferreira Campos, filho 
Márcio Luiz Bunte de Carvalho 
Miriam Lourenço Maia 
,. 
Professores-Assistentes do Departamento de 
Ciência da Computação da 
Universidade Federal de Minas Gerais 
editora HARBRA ltda. 
A Ndltora HARBRA ltda. deseja agradecer a valiosa colaboração 
ria Prof. Cyro de Carvalho Patarra, 
tfo /11.1·1/11110 de Matemática e Tütatfrtica 
d11 Universidade de São Paulo, na editoração desta obra. 
/)/r1Jçllo Geral: Julio E. Emõd 
St1/11Jrvisão Editorial: Maria Pia Castiglia 
C:()lm/enação e Revisão de Estilo: Maria Elizabeth Santo 
A.1wi.1·ten.te Editorial e Revisão de Provas: Vera Lúcia Juriatto 
C'muposição: Brasil Artes Gráficas Ltda. e Paika Realizações Gráficas Ltda. 
Cttp(I: Maria Paula Santo 
/•'mo de capa cedida pela ltawec Informática S/A, com ilustração gerada 
no 111/crocomputador f.7QOOPCxt. 
(.;ÁLCULO NUMÉRlCO (COM APLICAÇÕES), 2~ edição 
( 'opyright © l 987 por editora HARBRA ltda. 
Rui\ Joaquim Távora, 629 - Vila Mariana - 04015-001 - São Paulo - SP 
/lm111oçcio: (O 11) 5084-2482 e 5571-1122. Fax: (O 11) 5575-6876 
Vt111dcis: (011) 5549-2244 e 5571-0276. Fax: (011) 5571-9777 
ltUHorv11clos todos os direitos. É expressamente proibido reproduzir total ou parcialmente 
l'Nlll livro, por quaisquer meios, sem autorização expressa dos editores. 
Impresso no Brasil Prillfecl i11 Brazil 
Conteúdo 
Prefácio 
ERROS 
1.1. httroduçáo 
1.2. Erros na fase de modelagem 
1.3. Erros na fase de resolução 
1.3 .l. Conversão de bases 
1.3 .2. Erros de arredondamento 
1.3 .3. Erros de truncamento 
1.3 .4. Propagação de erros 
2 SISTEMAS LINEARES 
2 .1. Introdução 
2.1.1. Classificação quanto ao número de soluções 
2.1.2. Sistemas triangulares 
2.1.3. Implementação da substituição retroativa 
2.1.4. Exercícios de fixação 
2.1.S. Transformações elementares 
2.1.6. Definição 
2.2. Métodos diretos 
2.2.1. Método de Gauss 
2.2.2. Implementação do método de Gauss 
2 .2 .3. Exercícios de fixação 
2.2.4. Refinamento de soluções 
2.2.S. Método da pivotação completa 
2.2.6. Método de Jordan 
' 2.2.7. Cálculo de determinantes 
2.2.8. Implementação do método de Jordan 
2.2.9. Exercícios de fixação 
1 
1 
2 
4 
4 
7 
12 
13 
17 
17 
18 
20 
22 
26 
27 
27 
27 
27 
32 
37 
38 
40 
42 
43 
44 
49 
V 
... Mé todos iterativos 49 3.7.4. Convergência 125 
2.3 .1 . Introdução 49 3.7.5. Implementação do método de Newton 125 
2.3.2. Método de Jacobi 50 3.7.6. Exercícios de fixação 131 
2.3.3 . Implementação do método de Jacobi 53 3.8. Método da iteração linear 131 
2.3.4. Exercícios de fixação 61 3.8.1. Descrição 131 
2.3.5. Método de Gauss-Seidel 62 3.8.2. Interpretação geométrica 132 
2.3 .6. Exercícios de fixação 64 3.8.3. Convergência 133 
2.3.7. Convergência dos métodos iterativos 65 3.8.4. Escolha da função de iteração 135 
2.3.8. Implementação do critério das linhas 68 3.8.5 . Exercícios de fixação 138 
2.3.9. Qual método é melhor: o direto ou o iterativo? 71 3.9. Comparação dos métodos 139 
2.4. Sistemas lineares complexos 72 3.1 O. Observações finais sobre os métodos 139 
2.4. l. Exercícios de fixação 74 3.10.l. Bisseção 139 
2.5. Noções de mal condicionamento 74 3.10.2. Cordas 140 
2.6. Exemplo de aplicação 76 3.10.3. Pégaso 140 
2.6.1. Descrição do problema 76 3.10.4. Newton 140 
2.6.2. Modelo matemático 76 3.10.5. Iteração linear 140 
2.6.3. Solução numérica 77 3.11. Exemplo de aplicação 140 
2.6.4. Análise do resultado 77 3.11.1. Descrição do problema 140 
2.7. Exercícios propostos 78 3.11.2. Modelo matemático 141 
3.11.3. Solução numérica 141 
3 EQUAÇÕES ALG~BRICAS E TRANSCENDENTES 83 3.11.4. Análise do resultado 146 
3.1. Introdução 83 
3.12. Exercícios propostos 147 
3.2. Isolamento de raízes 84 4 INTERPOLAÇÃO 
3.2.l. Equações algébricas 85 
151 
3.2 .2. Equações transcendentes 97 4.1. httrodução 151 
3 .3. Grau de exatidão da raiz 104 4.2. Conceito de interpolação 152 
3.4. Método da bisseção 106 4.3. htterpolação linear 153 
3.4.1. Descrição 106 4.3.1. Obtenção da fórmula 153 
3.4.2. Interpretação geométrica 107 4.3.2. Erro de truncamento 155 
3.4.3. Convergência 107 4.3.3. Exercícios de fixação 159 
3.4.4. Exercícios de fixação 110 4.4. htterpolação quadrática 159 
3.5. Método das cordas 110 4.4.1. Obtenção da fórmula 159 
3.5.1. Descrição 110 4.4.2. Erro de truncamento 161 
3.5.2. Interpretação geométrica 111 4.4.3. Exercícios de fixação 164 
3.S.3. Equação geral 114 4.5. btterpolação de Lagrange 164 
3.5.4. Convergência 115 4.5.1. Obtenção da fórmula 165 
3.5.5. Exercícios de fixação 117 4.5.2. Erro de truncamento 170 
3.6. Método pégaso 117 4 .5.3. Implementação do método de Lagrange 171 
3.6.1. Introdução 117 4.5.4. Exercícios de fixação 174 
3.6.2. Descrição 118 4.6. Diferenças divididas 175 
3.6.3. Implementação do método pégaso 118 4.6.1. Conceito 175 
3.6.4. Exercícios de fixação 122 4.6.2. Fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas 179 
3.7 . Método de Newton 122 4.6.3. Erro de truncamento 181 
3.7.1. Descrição 122 4.6.4. Implementação do método de Newton 183 
3.7.2. Interpretação geométrica 123 4.6.5. Comparação entre as interpolações de Newton e de Lagrange 188 
'Y 3.7.3. Escolha de x 0 124 4.6.6. Exercícios de fixação 188 
VII 
4.7. Interpolação com diferenças finitas 190 5.7. Quadratura gaussiana 249 
4.7.1. Conceito de diferença finita 190 5.7.1 . Obtenção da fórmula 249 
4.7.2. Fórmula de Gregory-Newton 192 5.7.2. Implementação da quadratura gaussiana 255 
4.7.3. Comparação entre as interpolações de Newton e de 5.7.3. Exercícios de fixação 259 
Gregory-Newton 196 5.8. Conclusões 260 
4.7.4. Exercícios de fixação 197 5.9. Exemplo de aplicação 261 
4.8. Exemplo de aplicação de interpolação 198 5.9.1. Descrição do problema 261 
4.8.1. Descrição do problema 198 5.9.2. Modelo matemático 262 
4.8.2. Modelo matemático 198 5.9.3 . Solução numérica 266 
4.8.3. Solução numérica 199 5.9.4. Análise do resultado 268 
4.8.4. Análise do resultado 200 5.1 O. Exerdcios propostos 268 
4.9. Exercícios propostos. 201 
6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 275 
5 INTEGRAÇÃO 205 
6.1. Introdução 275 
5.1. Introdução 205 6 .1.1. Problema de valor inicial 275 
5.2. Regra dos trapézios 206 6.1.2 . Solução numérica de um PVI de primeira ordem 277 
5.2.1. Obtenção da fórmula 206 6.1.3. Mé todo de Euler 279 
5.2.2. Interpretação geométrica 207 6.1.4. Propagação de erro no método de Euler 283 
5.2.3. Erro de truncamento 208 6.1 .5. Exercícios de fixação 284 
5.2.4. Fórmula composta 210 6.2. Métodos de Runge-Kutta 285 
5.2.5. Erro de truncamento 210 6.2.1. Métodos de passos simples 285 
5.2.6. Exercícios de fixação 213 6.2.2. Mé todos com derivadas 286 
5.3. Primeira regra de Simpson 214 6.2.3. Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem 288 
5.3.1. Obtenção da fórmula 214 6.2.4. Métodos de Runge-Kutta de terceira e quarta ordem 292 
5.3.2. Interpretação geométrica 216 6.2.5 . Implementação do método de Runge-Kutta de terceira 
5.3.3. Erro de truncamento 216 ordem 293 
5.3.4. Fórmula composta 217 6.2.6. Implementação do método de Runge-Kutta de quarta 
5.3.5. Erro de truncamento 218 ordem 296 
5.3.6. Implementação da 1 ~ regra de Simpson 221 6.2.7. Exercícios de fixação 299 
5.3.7. Exercícios de fixação 226 6.3. Métodos baseados em integração numérica 300 
5.4. Segunda regra de Simpson 227 6.3.1. Método de Adams-Bashforth de passo dois 300 
5.4.1. Obtenção da fórmula 227 6.3.2. Método de Adams-Bashforth de passo quatro 302 
5.4.2. Erro de truncamento da fórmula simples 228 6.3.3. Método de Adams-Moulton de passo três 304 
5.4.3. Fórmula composta 228 6.3.4. Implementaçãodo método de Adams-Bashforth-
5.4.4. Erro de truncamenlo da fónnula composta 228 Moulton de quarta ordem 307 
5.4.5. Exercícios de fixação 231 6.3.5. Exercícios de fixação 310 
5.5. Extrapolação de Richardson 232 6.4. Noções de estabilidade e estimativa de erro 310 
5.5.1. Para a regra dos trapézios 232 6.4.1. Estimativa de erro para o método de Runge-Kutta 
5.5.2. Para as regras de Simpson 235 de quarta ordem 310 
5.5.3. Implementação da extrapolação de Richardson 237 6.4.2. Estimativa de e rro para o método de Adams-Bashforth-
5.5.4. Exercícios de fixação 242 Moulton de quarta ordem 311 
5.6. Integração dupla 243 6.4.3. Estabilidade 312 
5.6.I . Noções de integração dupla por aplicações sucessivas 243 6.5. Comparação de métodos 313 
5.6.2. Quadro de integração 246 6.5.1. Métodos de Runge-Kutta 313 
5.6.3. Exercícios de fixaçio 249 6.5.2. Métodos de Adams 313 VIU IX 
,6, Exemplo de aplicação 
6.6.1. Descrição do problema 
6.6.2. Modelo matemático 
6.6.3. Solução numérica 
6.6.4. Sub-rotina RK42 
6.6.S. Análise do resultado 
6.7. Exercícios propostos 
7 AJUSTE DE CURVAS 
7.1. Introduçfo 
7.2. Ajuste linear simples 
7.2.1. Retas possíveis 
7.2.2. Escolha da melhor reta 
7.2.3. Coeficiente de determinação 
7.2.4. Resíduos 
7.3. Ajuste linear múltiplo 
7.3.1. Equações normais 
7.3.2. Coeficiente de determinação 
7.3.3. Ajuste polinomial 
7.3.4. Transformações 
7.4. Implementação do método de ajuste de curv~ 
7.4.l. Sub-rotina ACURVA 
7.4.2. Sub-rotina LEITUR 
7.4.3. Sub-rotina SELCHO 
7.4.4. Sub-rotina SAIDA 
7.4.5. Programa principal 
7.S. Observações 
7.6. Exemplo de aplicação 
7.6. l. Descrição do problema 
7.6.2. Modelo matemático 
7 .6.3. Solução numérica 
7.6.4. Análise do resultado 
7.7. Exercícios propostos 
'Respostas dos Exerc(cios 
Referências 
l/ndice Remissivo 
314 
314 
314 
316 
317 
319 
319 
323 
323 
324 
324 
327 
330 
331 
333 
333 
334 
337 
339 
341 
341 
343 
3;i5 
348 
349 
352 
352 
352 
352 
353 
354 
354 
357 
363 
366 
Prefácio 
Foram muitas as críticas e sugestões recebidas de professores dos mais di fe-
rentes pontos do país ao livro Cálculo Numérico, 1 \1 edição. 
Seu uso em sala de aula salientou suas qualidades didáticas excepcionais, es-
truturação dos capítulos adequada e suficiente número de atividades para os estu-
dantes. Fez-se sentir, no entanto, a necessidade de introduzir dois novos capítulos: 
• Ajuste de Curvas e 
• Equações Diferenciais Ordinárias. 
Além da inclusão destes novos tópicos, foi feita uma revisão minuciosa em to-
do o texto, tomando-o ainda mais claro e detalhando algumas ilustrações. 
É um texto introdutório de Cálculo Numérico, cujos pré-requisitos são um se-
mestre de Cálculo, em que o aluno deve ter aprendido derivação e integração, e um 
semestre de uma disciplina introdutória de Álgebra Linear. Não é essencial, porém é 
desejável, que os alunos possuam conhecimentos básicos de uma linguagem de pro· 
gramação de computador. 
O material contido no livro foi testado em cursos semestrais, para alunos do 
ciclo básico dos cursos de Engenharia, Estatística, Física, Química, Ciência da Com-
putação, Geologia e Matemática. Certamente o professor que dispuser de uma carga 
horária reduzida fará uma seleção de tópicos visando adequar o conteúdo ao tempo 
disponível. 
Cada capítulo apresenta um número razoável de exemplos, muitos exercícios, 
alguns dos quais com respostas nas páginas finais do livro, implementação em micro-
computador de alguns métodos e um exemplo de aplicação em que um problema 
real é resolvido passo a passo, utilizando-se o conteúdo do capítulo. Os resultados 
finais são analisados, propiciando ao aluno, além de uma aplicação prática dos mé· 
todos ensinados, um roteiro que deve ser seguido ao se resolver um problema real. 
Os programas foram implementados e testados em microcomputador nacional 
QUARTZIL QI-800, do Departamento de Ciência da Computação da UFMG. A lin-
guagem utilizada foi o FORTRAN ANS do software básico da maioria dos compu-
XI 
tndores. Além disso, foi usado na programação apenas um subconjunto básico de 
comandos para que um maior número de pessoas possa entendê-lo e utilizá-lo. 
O texto presta-se também a um curso que utiliz.e, como instrumento de cálcu-
lo, uma minicalculadora, programável ou não. 
Queremos registrar aqui os nossos agradecimentos aos colegas Carlos Alberto 
Gonçalves, Elias Antonio Jorge e Pedro Américo de Almeida Magalhães, professores 
do DCC/ICEx/UFMG, que utilizaram a versão preliminar deste trabalho, apresen-
tando valiosas sugestões; ao Departamento de Ciência da Computação da UFMG 
que nos propiciou o clima adequado à execução deste projeto e, em particular, aos 
professores Ivan Moura Campos e Roberto da Silva Bigonha, nossos incentivadores; 
aos monitores Ana Maria de Paula, Paulo Vicente da Silva Guimarães e Pedro Fer-
nande,s Tavares, excelentes auxiliares na parte de testes computacionais e resolução 
de exercícios; a Mariza Soares de Almeida e Ruth Maria Leão Mendes que datilogra-
faram os originais; aos nossos alunos de Cálculo Numérico do ICEx com os quais 
testamos a versão preliminar. 
Esperamos que o livro possa ser útil a professores e alunos e quaisquer suges-
tões que visem o aprimoramento deste trabalho em edições vindouras serão bem 
aceitas. 
Os autores 
XII 
Capítulo 1 
Erros 
1.1. INTRODUÇÃO 
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio 
da aplicação de métodos numéricos nem sempre fornece valores que se encaixam 
dentro de limites razoáveis. Esta afirmação é verdadeira mesmo quando se aplica 
wn método adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta. 
&ta diferença é chamada de erro e é inerente ao processo, não podendo, 
em muitos dos casos, ser evitada. 
Este capítulo foi escrito com o objetivo de fornecer ao usuário de métodos 
numéricos noções sobre as fontes de erros, para que ele possa saber como contro-
lá-los ou, idealmente, evitá-los. 
Para facilitar a apresentação das. fontes de erros, o processo de solução de 
um problema físico, por meio da aplicação de métodos numéricos, é represen-
tado abaixo de uma forma geral. 
PROBLEMA MODELAGEM_ MODELO RESOLUÇÃO 
FÍSICO - MATEMÁTICO . 
2 CÁLCULO NUM~RICO 
Duas fases podem ser identificadas no diagrama da página anterior: 
a) MODELAGEM - é a fase de obtenção de um modelo matemático que 
llcaorove o comportamento do sistema físico em questão. 
b} RESOLUÇÃO - é a fase de obtenção da solução do modelo matemático 
ntravés da aplicação de métodos numéricos. 
1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM 
Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um 
modelo matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. 
Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se 
tonha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. 
Pode-se observar estas simplificações nas Leis de Mecânica que são ensi-
nadas no 29 grau. 
Exemplo 1.1 
Para o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante, 
tem-se a seguinte equação: 
onde: 
d - distância percorrida 
do - distância inicial 
v0 - velocidade inicial 
t - tempo 
a - aceleração 
1 
d = d0 + v0 t + - at2 2 
(1.1} 
Supondo-se que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício 
e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e a 
fórmula acima, ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo que a bolinha 
gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos. 
Levando este valor à equação (1.1), obtém-se: 
l d = o + o . 3 + - • 9 8 • 32 
2 ' 
d= 44,l m 
Este resultado é confiável? 
E bem provável que não, pois no modelo matemático não foram consideradas 
outras forças como, por exemplo, a resistência do ar, a velocidade do vento etc. 
Erros 3 
Alémdestas, existe um outro fator que tem muita influência: a precisão da leitura 
do cronômetro, pois para uma pequena variação no tempo medido existe uma gran-
de variação na altura do edifício. Se o tempo medido fosse 3,5 segundos ao invés de 
3 segundos, a altura do edifício seria de 60 metros. Em outras palavras, para uma 
variação de 16,7% no valor lido no cronômetro, a altura calculada apresenta uma va-
riação de 36%. 
Com este exemplo pode-se notar a grande influência que o modelo matemáti-
co e a precisão dos dados obtidos exer~e111 sobre a confiabilidade da resposta conse-
guida. 
Será visto, a seguir, um outro exemplo para melhor mostrar essa influência. 
Exemplo 1.2 
A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a uma certa varia-
ção de temperatura é dada pela seguinte fórmula: 
(1.2) 
onde: 
D,Q - variação do comprimento 
.eo - comprimento inicial 
t - temperatura 
ex e (3 - constantes específicas para cada metal 
Supondo-se que um físico queira determinar a variação no comprimento de 
uma barra de metal quando sujeita a uma variação de temperatura de 10°C e sa-
bendo-se que 
jl0 = 1 m 
ex = 0,001253 } obtidos experimentalmente (3 = 0,000068 
basta que se substituam estes valores na equação (1.2), ou seja: 
D,Q = 1 • (0,001253 • 10 + 0,000068 • 102 ) 
D,Q = 0,019330 
Entretanto, como os valores de o: e (3 foram obtidos experimentalmente com a 
precisão da ordem de 10-6, tem-se que: 
0,001252 <ex< 0,001254 
0,000067 < (3 < 0,000069 
e 
4 CÁLCULO NUM~RICO 
então: 
tie > I • (0,001252 • 10 + 0,000067 • 102 ) 
Ae < 1 • (0,001254 • 10 + 0,000069 102 ) 
Jogo: 
0,019220 < L\R < 0,019440 
ou, ainda, 
Ae = 0,0193 ± 10-4 
Como se pode notar, uma imprecisão na sexta casa decimal de a e {3 implicou 
uma imprecisão na quarta casa decimal de 6e. 
Dependendo do instrumento que o físico utilize para medir a variação do 
comprimento, esta imprecisão não será notada e, para ele, o resultado será exato. 
Deve-se ter sempre em mente que a precisão do resultado obtido não é só 
função do modelo matemático adotado, mas também da precisão dos dados de en-
trada. 
1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO 
Para a resolução de modelos matemáticos, muitas vezes torna-se necessária a 
utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, para seu funcionamento, que 
sejam feitas certas aproximações. Tais aproximações podem gerar erros que serão 
apresentados a seguir, após uma pequena revisão sobre mudança de base. 
1.3.1. Conversão de Bases 
· Um número na base 2 pode ser escrito como: 
ou ainda, 
Ei:ros 5 
onde: 
ªi - é o ou 1 
n, m - números inteiros, com n ~ o e m ~ o 
Para mudar de base 2 para base 10, basta multiplicar o dígito binário por uma 
potência de 2 adequada. 
Exemplo 1.3 
10112 = 1 • 23 + o • 22 + 1 • 21 + l • 2° 
= 8 + o + 2 + 1 
= 1110 
Exemplo 1.4 
10,12 = 1 • 2 1 + o . 2° + 1 • 2 - 1 
= 2 + o + 0,5 
= 2,5 10 
Exemplo 1.5 
11,01 2 = 1 + 2 1 + 1 • 2° + o · r 1 + 1 • 2-2 
:::: 2 + 1 + 0,25 
:::: 3,2510 
Para converter um número da base 10 para a base 2, tem-se que aplicar um 
processo para a parte inteira e um outro para a parte fracionária. 
Para transformar um número inteiro na base 10 para base 2 utiliza-se o méto-
do das divisões sucessivas, que· consiste em dividir o número por 2, a seguir divide-se 
por 2 o quociente encontrado e assim o processo é repe tido até que o último quo-
ciente seja igual a 1. O número binário será, então, fun11ado pela concatenaçao do 
último quociente com os restos das divisões lidos em sentida inverso ao que foram 
obtidos, ou seja, 
- qn-1 ll_ 
rn-1 1 
6 CÁLCULO NU~RICO 
Exemplo 1.6 
18 [1_ 
o 9 l1_ 
1 4 L!__ 
o 2 [1_ 
o 1 
1810 ::;: 100102 
Exemplo 1.7 
11 [2__ 
l 5 [2__ 
2 [2__ 
o 1 
1110 = 10112 
Para transformar um número fracionário na base 10 para base 2, utiliza-se o 
método das multiplicações sucessivas, que consiste em: 
a) multiplicar o número fracionário por 2; 
b) deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base 2 
e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que 
a parte fracionária do último produto seja igual a zero. 
Exemplo 1.8 
0,1875 
x2 
0,3750 
0,375 
21. 
0,750 
0,187510 = 0,00112 
Exemplo 1.9 
0,6 0,2 
x2 x2 
1,2 0,4 
0,610 ::;: 0,1001 .. ·2 
0,4 
rt 
0,8 
0,75 
x2 
1,50 
0,8 
g 
1,6 
0,50 
x2 
1,00 
0,6 
g ... os produtos estão co-
1,2 meçando a se repetir 
Exemplo l.10 
13,2510 ::;: 
13 ~ 
1 6 
o 
1310 + 0,2510 
l2__ 
3~ 
l 
1310 ::;: 11012 
13,2510 = 11012 + 0,012 = 1101,012 
1.3.2. Erros de Arredondamento 
0,25 
x2 
0,50 
0,50 
x2 
1,00 
0,2510 = 0,012 
Eaos 7 
Um número é representado, internamente, na máquina de calcular ou no com-
putador digital através de uma seqüência de impulsos elétricos que indicam dois es-
tados: O ou 1, ou seja, os números são representados na base 2 ou binária. 
De uma maneira geral, um número x é representado na base {3 por: 
[ 
di d2 d3 dr J 
x = ± {3 + {i2' + {33 + ... + {ii • 13exp 
onde: 
d; - são números inteiros contidos no intervalo 
o ~ dj ~ f3 - 1 ; i = 1, 2, ... ' t 
exp - representa o expoente de f3 e assume valores entre 
l :,.;;:; exp :,.;;:; S 
1, S - limite inferior e limite superior, respectivamente, para a variação do expoente 
[ ~ + !b,_ .!b._ E.L] , . {3 {3 2 + 7p~ + · · · + {3 t e chamada de mantissa e é a parte do número que re-
presenta seus dígitos significativos e t é o número de dígitos significativos do siste-
ma de representação, comumente chamado de precisão da máquina. 
Exemplo 1.11 
No sistema de base {3 = 10, tem-se: 
8 CÁLCULO NUMÉRICO 
31,41510 = 031415• 10 = - +-+-+ - + - . 102 2 (3 1 4 l 5) 
' 10 102 103 104 105 
Os números assim representados estão normalizados, isto é, a mantissa é um 
valor entre O e 1. 
Exemplo 1.12 
No sistema binário, tem-se: 
510 = 1012 = 0,101 • 23 = (..!.... +--º-- +-1-) • 23 
2 22 2 3 
410 = 1002 = 0,1 • 23 = 
Exemplo 1.13 
l 
2 
Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 
~ = 2, t = 10,l = - 15 e S = 15, o número 25 na base decimal é, assim repre-
sentado: 
25 10 = 11001 2 = 0,11001 • 25 = 0,11001 • 2 101 
ou, de uma forma mais compacta: 
11100100000 101 
,____ __ MANTISSA EXPOENTE ~ 
Cada dígito é chamado de bit, portanto, nesta máquina são utilizados 10 bits pa-
ra a mantissa, 4 bits para o expoente e mais um bit para o sinal da mantissa (se 
bit = O positivo, se bit= l negativo) e um bit para o sinal do expoente, resultando, 
no total, 16 bits, que são assim representados: 
Ecos 9 
2510 = o o o 1 o 1 
VALOR DA MANTISSA L VALOR DO 
EXPOENTE 
SINAL DA MANTISSA 
SINAL DO EXPOENTE 
Exemplo 1.14 
Utilizando a mesma máquina do exemplo anterior, a representação de 3,5 10 
seria dada por: 
3,510 = 0,111 • 2 10 
1ol11 1 l 1Io1o1o1o1o1 o 1o11ollo1 o l 1 I o ! 
Exemplo 1.1 S 
. ~da utilizando a mesma máquina do exemplo 1.13, o número - 7,12510 
sena assim representado: 
-7,12510 = - 0,1 11001 • 2 11 
O maior valor representado por esta máquina descrita no exemplo 1.13 seria: 
que, na base decimal, tem o seguinte valor: 
0,1111111111 • 21111 = 3273610 
E o menor valor seria: 
-0,1111111111 • 2 1111 = -3273610 
Logo, os números que podem ser representados nesta máquina estariam conti-
dos no intervalo f- 32736 ; 32736]. 
10 CÁLCULO NUMt RICO 
Nesta máquina, ainda, o valor zero seria representado por: 
@J@I o 1o1o1o1o1o1o1o1 o\1 oi o\ o 1o\o1 
O próximo número positivo representado seria: 
0,1 • 2-15 = 0,000015259 
O subseqüente seria: 
0,1000000001 ' 2-lS = 0,00001 5289 
Através desses exemplos pode-se concluir que o conjunto dos números reprE 
sentáveis neste sistema éum subconjunto dos números reais, dentro do interval· 
mostrado anteriormente. 
o número de elementos deste conjunto é dado pela fórmula: 
2 ((3 -- l) (S - J + 1) (3t- i + 1 
ou seja: 
2 • (2 - l). (15 - (- 15) + 1). 2 10 - 1 + 1 = 31745 
Estes números não estão igualmente espaçados dentro do intervalo. 
Ao se tentar representar números reais por meio deste sistema, certamen1 
se incorre nos chamados erros de ar redondamento, pois nem todos os números rea 
têm representação no sistema. 
Exemplo 1.16 
Qual seria a representação de 0,00001527 10? 
Já foi visto anteriormente que os números 0,00001525910 e 0,0000152891 
são representáveis, mas que não existe entre os dois nenhum ou~ro número represe'. 
tável, logo 0 número 0 ,00001527 será representado como_o numero 0,00~0~ ~25. 
pois é 0 valor que tem representação binária mais próxima do valor binano < 
0,00001527. 
Um outro problema que pode surgir ao se representar valores decimais 1 
forma binária está ligado ao fato de não haver tal representação finita. 
Eoos 11 
Exemplo 1.17 
o, 110 = 0,000110011001100 .. ·2 
O valor decimal 0,1 tem como representação binária um número com infini-
tos dígitos, logo, ao se representar 0,1 10 nesta máquina comete-se um erro, pois: 
1 o l 1 l 1 I o 1 o\ 1 l 1 I o 1 o\ 1 \ 1 l 1 I o 1 o \ 1 \ 1 I = 0,09997610 
Pode ser mostrado que uma fração racional na base 10 pode ser escrita, exata-
mente, com um número finito de dígitos binários somente se puder ser escrita como 
o quociente de dois inteiros r/s, onde s = ZV para um inteiro N. Infelizmente , ape-
nas uma pequena parte das frações racionais satisfaz esta condição. 
Como ilustração, são apresentados abaixo os sistemas de representação de 
algumas máquinas. 
Máquina (3 t l s 
Burroughs 5500 8 13 - 51 77 
Burroughs 6700 · 8 13 - 63 63 
Hewlett-Packard 45 10 10 - 98 100 
Texas SR-5X 10 12 - 98 100 
PDP-11 2 24 - 128 127 
IBM/360 16 6 -64 63 
IBM/370 16 14 - 64 63 
Quartzil Ql 800 2 24 - 127 127 
Um .Parâmetro que é muito utilizado para se avaliar a precisão de um deter-
minado sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e 
este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de 
maior significância. Logo: 
- 1 PRECISAO < f3l 
Exemplo 1.18 
Numa máquina com (3 = 2 e t = 10, a precisão da mantissa é da ordem de 
1 
210 = 10-
3
• Logo, o número de dígitos significativos é 3. 
Para concluir este item sobre erros de arredondamento, deve-se ressaltar a im-
portância de se saber o número de dígitos significativos do sistema de representação 
da máquina que está sendo utilizada para que se tenha noção da precisão do resulta-
do obtido. 
12 CÁLCULO NCM~RICO 
Exemplo 1.19 
Programa para determinação da precisio de uma máquina. 
C PROGRAMA EPSILON 
e 
C OBJETIVO· : 
C DETER MINAR A PRECI SAO DA MAQUINA 
e 
REAi.. EJ' S , U' ~; ·1 
C A VARIAVEL EP S IRA' CONTER A PRECISAO DA MAQU I NA 
EPS = 1 . 0 
··1 O CONTINUE 
Ef'S ~' EPS I 2.0 
Ef'S1 = EP S + ·1. O 
IF IEPS1.GT . 1 . 0) GOTO 10 
WRITE C6.20l tPS 
FORMATC' A MAQUINA ACHA QU E '.E1 3 .5, ' VALE ZERO') 
C:Al..L EXIT 
E:ND 
O programa foi testado no Quartzil (QI 800) e obteve a seguinte resposta: 
A MAQUINA ACHA QUE . 29802E-0 7 VAL E ZER O 
Logo, o número de dígitos significativos da Quartzil é sete. 
1.3.3. Erros de Truncamento 
Sio erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos 
ou muito grandes para a detenninação de um valor e que, por razões práticas, são 
truncados. 
Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções mate-
máticas, tais como, exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas e várias 
outras que uma máquina pode ter. 
Exemplo 1.20 
Uma máquina poderia calcular a função SENO (x)através do seguinte trecho 
de programa: 
FACT 1 
SENO X 
SINAL= ·1 
DO 10 I = 3, N, 2 
FACT = FACT*I*<I-1> 
SINAL = -SINAL 
TERMO = SINAL•<X••I>IFACT 
SENO :: SENO+TERMO 
10 CONTINUE 
Este trecho de programa gera a seguinte série: 
x3 
SENO = X - -
3! 
xs 
+-
5! 
x1 
7! + ... 
Erros 13 
Para que ao final do trecho do programa se tenha na variável SENO o valor de 
sen (x), o valor N no comando DO deve ser bem grande, o que tornaria o cálculo 
Ineficiente. 
A solução adotada é a de interromper os cálculos quando uma determinada 
precisão é atingida. 
De uma maneira geral, pode-se dizer que o erro de truncamento pode ser di-
minuído até chegar a ficar da ordem do erro de arredondamento; a partir deste 
ponto, não faz sentido diminuir-se mais, pois o erro de arredondamento será domi-
nante. 
Seguindo este raciocínio, o programa anterior deve ser transformado para: 
I ~" :3 
FAC:T :: ·1 
SENO = X 
SINAL== 1 
CONTINUE 
FACT = FACT•I•Cl-1) 
SINAL = - SINAL 
TERMO = SINAL~C X••I> /FACT 
SENO = SENO+TERMO 
I = I+2 
IF<TERHO.GT . PREMAN> GO TO 5 
onde PREMAN é o valor da precisão da mantissa. 
Ao longo deste livro serão vistas mais situações onde aparecem erros de trun-
camento e como é possível controlá-los. 
1.3.4. Propagação de Erros 
Será mostrado abaixo, através de um exemplo, como os erros descritos an-
teriormente podem influenciar o desenvofrimento de um cálculo. 
Exemplo 1.21 
Supondo-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 
4 dígitos significativos e fazendo-se ' 
X1 = 0,3491 • 104 
X2 = 0,2345 • lOO 
14 CÁLCULO NU~R1CO 
tem-se: 
(x2 + X 1) - X l = (0,2345 • 10º + 0,3491 • 104 ) - 0,3491 • 104 
= 0,3491 • 104 - 0 ,3491 • 104 
= º·ºººº 
x2 + (x1 - xi) = 0,2345 • 10° + (0,3491 • 104 - 0 ,3491 • 104 ) 
= 0,2345 + 0,0000 
= 0,2345 
Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser, pois a adição é 
urna operação distributiva. A causa desta diferença foi um arredondamento feito na 
adição (x2 + xi), cujo resultado tem 8 dígitos. Como a máquina só armazena 4 dí-
gitos, os menos significativos foram desprezados. 
Ao se utilizar máquinas de calcular deve-se estar atento a essas particularida-
des causadas pelo erro de arredondamento, não só na adição mas também nas outras 
operações. 
Exemplo 1.22 
A seguir, é apresentado um outro exemplo de como a ordem de execução de 
operações pode influir na solução obtida. 
Para o seguinte sistema de equações: 
{ 
0,0030xi + 30,0000x2 = 5,0010 
1,0000 X1 + 4,0000 X2 = 1,0000 
a soluçãó exata é: x 1 = 1/3 e x 2 = 1/6 
Multiplicando a l !lequação por (- 1/0,003), tem-se: 
{
-l,0000x1 - 10.000,0000x2 = 
l,OOOOx 1 + 4,0000x2 = 
- 1.667,0000 
1,0000 
somando a segunda equação à primeira, elimina-se x 1 
- 9.996,0000x2 = - 1.666,0000 
X2 = - 1.666,0000 = 0,1667 
- 9.996,0000 
levando este valor à primeira equação, tem-se: 
- l,0000x 1 - 10.000,000 (0,1667) = - 1.667,0000 
Xi = 0,0000 
Euos 15 
Este valor encontrado para Xi é função da diferença de ordem de grandeza 
dos coeficientes de x 1 e x 2 na l !l equação. 
Se a ordem das equações é invertida, tem-se: 
{ 1,0000 x 1 + 4,0000x2 = 1,0000 0,0030 X l + 30,0000 X2 = 5,0010 
multiplicando-se a l !l equação por - 0,0030, vem: 
{ - 0,0030x 1 - 0,0120x2 = - 0,0030 0,0030xi + 30,0000x2 = 5,0010 
somando-se a l!lcom a 2!lequação: 
29,9880x2 = 4,9980 
X2 = 0 ,1667 
levando, à l !l equação, o valor de x2 , encontra-se: 
- 0 ,0030xi - 0,0120 (0,1667) = - 0,0030 
X1 = 0,3333 
Capítulo 2 
Sistemas Lineares 
2.1. INTRODUÇÃO 
Um problema de grande interesse prático que aparece, por exemplo, em cál-
culo de estruturas e redes elétricas e solução de equações diferenciais, é o da reso-
lução numérica de um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas: 
ou 
a u x 1 + a 12 x 2 + ... + a in xn = b 1 
ª21 x, + ª22 X2 + ... + ª2 n Xn = b2 
n 
Sn = L ªii Xj = bj , i = 1, 2, ... , n 
i= 1 
Sob a forma matricial Sn pode ser escritocomo 
Ax = b 
(2.1) 
(2.2) 
(2.3) 
18 CÁLCULO NUMl::RICO 
onde A é uma matriz quadrada de ordem n, b ex são matrizes n x 1, isto é, com n 
linhas e uma coluna, ªii é chamado coeficiente da incógnita Xj e os bisão chamados 
termos independentes, comi, j = 1, 2, ... , n. Tanto os coeficientes quanto os ter-
mos independentes são, em geral, dados do problema. A matriz A é chamada matriz 
dos coeficientes e a matriz: 
[A: b] 
é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema. 
Os números x 1, x2 , ... , Xn constituem uma solução de (2.1) ou (2.2) se para 
x; = x ;, i = 1, 2, ... , n as equações de Sn se transformam em igualdades numéri-
cas. Com estes números, pode-se formar a matriz coluna. 
a qual é chamada matriz solução de (2.3). Observe que por definição 
-- (- - - )1' X - X 1 X2 ... Xn · 
2.1.1. Classificação Quanto ao Número de Soluções 
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em 
compatível, quando apresenta solução, e incompatível, caso contrário. 
Exemplo 2.1 
Se bi = O, i = 1, 2, ... , n, isto é, se a matriz b = O, o sistema é dito homo-
gêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admite sempre a solução 
X; = O, i = 1, 2, ... , n, ou seja, a matriz x = O é sempre solução. Esta solução é 
chamada de trivial. 
Exemplo 2.2 
O sistema: 
l X1 + X2 = o X1 + X2 = 
Sistemas Lineares 19 
6 Incompatível. Geometricamente, pode-se interpretar o sistema do seguinte mo-
do: tomando coordenadas num plano, a equação x 1 + x 2 = O é a equação de uma 
reto, o mesmo sucedendo para a equação x 1 + x 2 = 1: 
(0,1) 
f' igura 2 .1 
Logo, a solução do sistema, que 
seria o ponto comum entre as 
relas, uãu existe , pois elas são 
paralelas. 
Os sistemas compatíveis podem ainda ser classificados em determinado, quan-
do apresenta uma única solução, e indeterminado, caso contrário. 
Exemplo 2.3 
O sistema homogêneo 
é determinado, enquanto que 
é indeterminado. Geometricamente, as retas de S 1 têm em comum a origem, en-
quanto que as retas de S 2 , coincidem. 
20 CÁLCULO NUMeRICO 
2.1.2. Sistemas Triangulares 
Seja um sistema Sn: 
Ax = b 
onde a matriz A = (a;j ) é tal que ajj = O se j < i ; i, i = 1, 2, .. ., n, ou seja 
011X1 + OuX2 + 
a22X2 + 
+ a1nXn = b, 
+ ªznXn = b2 (2 .4) 
Um sistema deste tipo é chamado triangular superior enquanto que se aij = O 
para; > i, i, j = 1, 2, .. ., n tem-se um sistema triangular inferior: 
(2.5) 
Observe-se que os sistemas triangulares detenninados, isto é, quando ªii =1:- O, 
i = 1, 2, .. ., n, são facilmente resolvidos por substituição retroativa ou progressi-
va. No caso do sistema (2 .4), por exemplo, calcula-se Xn = bn/ªnn (ann =F O) 
na n-ésima equação; a seguir, leva-se o valor de Xn na (n - l )-ésima equação e 
calcula-se o valor de Xn - 1 (an-i, n- i * O) e assim sucessivamente até o cálculo de 
x 1 (a11 =F O). Neste caso, o sistema possui solução única. Entretanto, poderia haver 
algum elemento nulo na diagonal e, neste caso, surgiriam equaçoes do :seguinte tipo: 
n 
ÜXi = b; - L OijXj 
j = i + 1 
Observando a equação acima pode-se distinguir dois casos: 
n 
(2.6) 
l: Oij Xj = 0 o sistema admite mais de uma solução 
i = i + 1 
Sistemas Lineares 21 
pois, qualquer que seja o valor de x;, a equação (2.6) será satisfeita; logo o sistema 
é indeterminado. 
,, 
2?) b; - OjjXj =f=. Ü o sistema não admite solução pois 
j = i + 1 
não existe valor de x; que satisfaça a equação (2.6) ; logo, o sistema é incom-
patível. 
Exemplo 2.4 
3x1 + 4x2 5x3 + X4 = -10 
X2 + X3 2x4 = - 1 
4x3 Sx4 = 3 
2x4 2 
Substituições retroativas: 
2 
X4 =-"' X4 = J 
2 
4X3 - 5 • } = 3 "' X3 = 2 
X2 + 2 - 2 • 1 = -·} "' Xz = - J 
3x1 + 4(- 1) - 5 · 2 + 1 =-10 -7 x 1 = 
A solução é x = [l - 1 2 1] T. 
O sistema é determinado. 
Exemplo 2.5 
3x1 + 4x2 5x3 + X4 = - 10 
X3 2x4 o 
4x3 5x4 = 3 
2x4 2 
22 CÁLCULO NU~RICO 
Substituições retroativas: 
2 
X4 = - -+ X4 = 2 
4x3 5 • 1 =3 -+ X3 =2 
Ox2 + 2 - 2 • l = O -+ Ox2 = O 
Qualquer valor de x 2 satisfaz a equação acima. Seja, então, X2 
3X 1 + 4À - 5 • 2 + 1 = - 1 Q -+ X 1 = 
A solução é x = [ - l + 4À 
3 
O sistema é indeterminado. 
Exemplo 2.6 
3x1 + 4x2 5x3 + X4 
X3 2x4 
4x3 SX4 
2x4 
Substituições retroativas: 
2 
2 
4x3 5 • 1 = 3 4 X3 = 2 
= 
= 
= 
= 
À 2 
-10 
- 1 
3 
2 
Ox2 + 2 - 2 • l = -1 -+ Ox2 = -1 
+ 4À 
3 
Nenhum valor de x 2 satisfaz a equação acima. O sistema é incompatível 
pois não admite solução. 
2.1.3. Implementação da Substituição Retroativa 
Seguem, na página seguinte, a implementação do método pela sub-rotina 
SRETRO e um exemplo de programa para usá-la. 
Shtemas Lineares 23 
2.1.3.l.SUB-ROTINA SRETRO 
g······ ··· ························· ·· ····························· 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
SUBROTINA' SRETRO 
OBJETIVO : 
RESOLUCAO DE SISTEMA LINEAR TRIANGULAR SUPERIOR 
HETOOO UTILIZADO 1 
SUBSTITUICOES RETROATIVAS 
uso : 
CALL SRETRO<A,N,NHAX,MMAX , X> 
PARAHETROS DE ENTRADA r 
A MATRIZ OE COEFICIENTES E TERMOS 
N 
NHAX 
HMAX 
INDEPENDENTES 
ORDEM DA MATRIZ A 
NUMERO HAXIHO OE LINHAS DECLARADO 
NUMERO HAXIHO OE COLUNAS DECLARADO 
PARAHETRO DE SAIDA : 
X 1 VETOR SOLUCAO 
e ••••.•••••••••.•••••...••••••• •• .•...•••• ••.• .••... ••••••• ..•.••• 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
10 
20 
SUBROUTINE SRETRO<A,N, NHAX,HHAX,X> 
INTEGER I,J,K,L,H,MHAX,N,NHAX,Ni 
REAL A<NHAX,HMAX>,X<NHAX> 
SUBSTITUICOES RETROATIVAS 
Ni =N+i 
K=N- 1 
X(N )=A<N,N1)/A<N,N> 
00 20 I = t, k 
L = N-I 
X<L> =A<L,Ni) 
H m L+i 
DO 10 J = M,N 
X<L> = X<L>-~<L,J>*X<J> 
CONTINUE 
XCL> = X<L)/A(L,L> 
CONTINUE 
FIH DAS SUBSTITUICOES 
IHPRESSAO DOS RESULTADOS 
WRITE<2,21) 
24 CÁLCULO NUMtRICO 
21 FORHATC1Hi,15H VETOR SOLUCAO,/) 
00 30 I=i,N 
WRITEC2,22)XCI>,I 
22 FORHATCiHO,óHX = ,1PE12. 5,/, 2X ,I2> 
30 CONTINUE 
RETURN 
ENO 
2.1.3.2. PROGRAMA PRINCIPAL 
e 
e C PROGRAMA PRINCIPAL PARA UTILIZACAO DA SUBROTINA SRETRO 
e 
e 
1 
e 
2 
e 
10 
e 
e 
INTEGER [,J, MMAX,N, NMAX,Ni 
REAL AC2D,21>,XC 20l 
NMAX"=~!.D 
MMAX "" NMAX+l. 
l~ EAD C l., l >N 
FORMAT< 1;n 
N : ORDEM DA MATRIZ 
Ni=N+i 
DO 10 I=i ,N 
READ<l,2><ACI,Jl,J=I, N1> 
FORMAT< HlFB . 0) A : MATR IZ DE COEFICIENTES E TERMOS INDEPENDENTES 
CONTINUE 
CALL SRETROCA,N,NMAX,MMAX,X> 
CALL EXIT 
END 
Exemplo 2.7 
Determinar o vetor solução do seguinte sistema linear triangular superior: 
x
1 
+ 3x2 - 2x3 + 7x4 + Ox 5 - 9x6 + 6x7 - x 3 = 6,25 
4x
2 
+ '.3x 3 - x 4 + 8x5 + 6.x6 - 7x 7 + 4x8 = 55,08 
7x3 + 4x4 + 2x5 - 4x6 - 8x7 + 2x8 = - 2,454 
- 3x4 + 5x5 + 9x6 + 5x7 + X g = 51,442 
2xs - 6x6 - 4X7 + 8x8 = o 
5x6 + ÚX7 + 3x8 = - 0,008 
- 9x7 + 5x8 = 7,228 
6x8 = 24 
Sistemas Lineares 2S 
Para resolver este exemplo usando o programa acima, devem ser fornecidos: 
Dados de entrada 
~8 
1., 3., -2., 7., 0., - 9., 6., - 1., 6.25, 
4., 3., -1., 8., 6., -7., 4., 55.08, 
7., 4., 2 ., -4., - 8., 2., -2.454, 
3., 5., 9., 5., 1., 51.442, 
2., - 6., - 4., 8 ., 0., 
S., 0., 3., - '1).008, 
9., 5:, 7.228, 
6., 24., 
Os resultados obtidos foram: 
VETOR SOLUCAO 
X 1. 39877E+02 
1 
X = 7 .18887E+00 
2 
X 1 . 24441E+Oi 
3 
X -1.61723E+Oi 
4 
X -5.95698E+OO 
5 
X 2.401601:::+00 
6 
X = 1.41911E+OO 
7 
X 4.00000E+OO 
8 
Observação: A sub-rotina SRETRO não prevê zero na diagonal principal. 
26 CÁLCULO NUMÉRICO 
2.1 .4. Exercícios de Fixação 
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo: 
2.1.4.1 
3 
2.1.4.2 X1 
xi + Xz = - 1 
Xt + X2 + X3 = 3 
Xt + xz + X3 + X4 = 3 
2.1.4.3 x, + Xz + X3 + X4 =4 
Xz+ 3X3 t X4 = 3 
X3 + X4 = 2 
X4 = 1 
2.1.4.4 x1 - 3.x2 + X3 = 6 
4x2 - X3 = 5 
X4 =4 
2.1.4.5 x, - 2x2 + 3x3 + X4 =4 
3x3 + X4 == 3 
X3 + X4 = 2 
X4 = 1 
2.1.4.6 Xt = l 
Xt + Xz = - 1 
2x 1 + Xz + 3x3 =o 
Xt + Xz + X3 == -1 
+ X3 - X4 + X5 == x, - Xz 3 
SMemas LineareS 27 
2.1.15. Transformações E !ementares 
Denominam-se transformações elementares às seguintes operações sobre as 
oqunções de um sistema linear: 
a) Trocar a ordem de duas equações do sistema. 
b) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula. 
c) Adicionar duas equações do sistema. 
2.1.6. Definição 
Dois sistemas S 1 e S 2 serão equivalentes se S2 puder ser obtido de S 1 
11través de transformações elementares. 
Observação: Dois sistemas equivalentes S1 e S2 ou são incompatíveis ou têm as 
mesmas soluções. 
A resolução numérica de um sistema linear é feita, em geral, por dois cami-
nhos: os métodos diretos e os métodos iterativos. Convém notar que o método 
de Cramer é inviável em função do tempo de computação. 
2.2. Mi:TODOS DIRETOS 
São métodos que determinam a solução de um sistema linear com um número 
finito de operações. 
2 .2.1. Mc§todo de Gauss 
Com (n - 1) passos o sistema linear Ax 
triangular equivalente: 
Ux =e 
o qual se resolve facilmente por substituição. 
Exemplo 2.8 
Resolver 
b é transformado num sistema 
28 CÁLCULO NUM!RICO 
pelo método de Gauss. 
JÇ etapa 
Escreve-se a matriz awnentada do sistema acima, isto é, 
[a> B = ~ 
3 
4 
-3 
- 1 
- 3 
1 
~ ] =[A lb] 
- 1 
Fazendo Bo = B e chamando de L ,(o). L2(o) e L3(o) as linha~ 1'. 2 e 3, respec-
tivamente, de B0 , escolhe-se a 11<o) como pivô e calculam-se os multiplicadores: 
ª21 
(O) 4 
m2/0) = - -- = = - 2 
a ll(O) 2 
m31(0) 
a31(0) 2 
= - -- = = - 1 (O) 2 
ª11 
Fazem-se, agora, as seguintes transformações elementares sobre as linhas de Bo: 
L (o) __. L (1) 1 1 
(O) L (O) + L (O) --+- L2(1) 
m21 1 2 
(O) L (O) + L (o) --+- L3(1) 
m31 1 3 
L (i) L (1) e L 3(l) são linhas da matriz transformada, B 1. 1 • 2 
Finaliza, assim, a 1 ~etapa, que consiste em eliminar todos os valores abaixo do pivô 
au(o) = 2. 
Efetuando-se as transformações acima indicadas tem-se: 
_; J 
- 6 
3 
e 
- 6 
- 1 
- 1 
2 
2<J etapa 
Escolhe-se a22(1) = - 2 como pivô e calcula-se o multiplicador 
a (1) 22 
- 6 
Smemas Lineares 29 
- 3 
Siio feitas agora as seguintes transformações elementares sobre as linhas B 1 : 
{, 1<z>, L 2 (2) e L 3(2 ) são as linhas da matriz transformada, B2 , que já está na fonna 
triangular, isto é: 
3 
- 2 
o 
- 1 
- J 
0 
_;] 
15 
A matriz B2 é a matriz aumentada do sistema triangular superior 
- X3 = 5 
- X3 = -7 
5x3 = 15 
que é equivalente ao sistema dado. Resolvendo o sistema triangular por substitui-
ções retroativas tem-se x = (1 2 3 f que é, também, solução para o sistema dado. 
O dispositivo prático dado a seguir toma mais compacta a triangulação da 
matriz aumentada do sistema do exemplo 2.8. Nas linhas (1), (2) e (3) colocam-se 
os coeficientes das incógnitas e os termos independentes do sistema em suas res-
pectivas colunas, calculando-se, na coluna MULTIPLICADOR, os multiplicadores 
da linha (1) que serão usados na eliminaçã'o dos primeiros elemen t9s das linhas (2) 
e (3). Nas linhas (4) e (5) colocam-se as transformadas das linhas (2) e (3), indican-
do-se as respectivas transformações na coluna TRANSFORMAÇÕES; calcula-se, 
também, o multiplicador da linha (4) a ser usado na eliminação do primeiro ele-
mento não nulo da linha (5). Na linha (6) coloca-se a transfonnada da linha (5), 
Indicando a transformação na coluna TRANSFORMAÇÕES: 
30 CÁLCULO NUMtRICO 
Coeficientes das Termos Transformações Llnha Multiplicador Incógnitas Independentes 
(1) CV 3 -1 5 
(2) 4 4 4 -3 3 
- m= - 2 
(3) 2 
-@ = - 1 2 - 3 1 - 1 
(4) o @ - 1 - 7 - 2 (1) + (2) 
- 6 o - 6 2 - 6 - 1 (1)+ (3) (5) 
-@=-3 
(6) o o 0 15 - 3 (4)+ (5) 
O sistema triangular obtido após as transfonnações elementares tem como 
equações as linhas (1 ), (4) e (6), isto é: 
{ 
2x 1 + 3x2 - X 3 = 5 
- 2x2 - X3 = -7 
5x 3 = 15 
Resolvendo-o por substituições retroativas obtém-se a solução x = [1 2 3f, que é 
também solução do sistema dado, uma vez que ambos são equivalentes. 
O exemplo 2.9, a seguir, mostra os efeitos de arredondamento na fase de eli-
minação e na fase de substituições retroativas. 
Exemplo2.9 
Resolver pelo método de Gauss retendo, durante os cálculos, duas casas decimais. 
8,7X1 + 3,0x2 + 9,3x3 + ll,Ox4 = 16,4 
24,5x1 8,8x2 + l l,5x3 45,lx4 -49,7 
52,3x1 84,0x2 - 23,5x3 + l 1,4x4 = -80,8 
21,0x i - 81,0x2 - 13,2x3 + 21,5x4 - 106,3 
Si.mimas Lineares 31 
,.._. 
IJnhu Multi- Coeficientes das Incógnitas Termos ln- Transformações plicador dependentes 
li ) CID 3,0 9,3 11,0 16,4 
l2l -2,82 24,5 -8,8 11,5 - 45,1 -49,7 
(J) -6,01 52,3 - 84,0 - 23,5 11 ,4 - 80,8 
(4) 
- 2,41 21,0 -81,0 - 13,2 21,5 - 106,3 
m o.o C1UD -14,73 -76 ,12 -95,95 -2,82(1)+(2) 
(()) -5,91 o.o -102,03 - 79,39 -54,71 -179,36 - 6,01(1)+(3) 
(7) -5,11 0 ,0 - 88,23 -35,61 -5,01 -145,82 -2,41(1)+(4) 
IH) o.o o.o CliD 395 ,16 387,70 - 5,91(5)+(6) (9) -5,18 0,0 o.o 39,66 383,96 344,48 -5 ,11(5)+(7) 
( ICl) 
º·º 
o.o 0,0 ~ -1663,81 - 5,18(8)+(9) 
O sistema triangular obtido após as transformações é: 
H,7X1 + 3,0x2 + 9,3x3 + 1 J,0X4 = 16,4 
- 17,26x2 - 14,73x3 - 76,12x4 = - 95,95 
7,66x3 + 395,16x4 = 387,70 
- 1662,97x4 = - 1663,81 
X = [0,97 1,98 -o,97 l,OO)T 
Uma medida para avaliar a precisão dos cálculos é o resíduo, que é dado por: 
r = b-Ax 
l$l0 é, 
[ 16,4 ] [ 8,? 3,0 9,3 11,0] [ 0,9? ] 
- 49 7 
- 24,5 -8,8 11,5 -45,l 1,98 
r = -80'8 52,3 -84,0 -23,5 11,4 -0,97 
-106:3 21,0 -8 1,0 -13,2 21,5 1,00 
[ O,M2 ] 0,214 
' = 0 ,594 
·-0,594 
-
32 CÁLCULO NUMi!RlCO 
2.2.2. Implementação do Método de Gauss 
Seguem, abaixo, a implementação do método pela sub-rotina GAUSS e um 
exemplo de programa para usá-la. 
2.2.2.1. SUB-ROTINA GAUSS 
e . . . ...... .. .... .. .. . ............ .. .. .. .. . ...... .... ......... . . 
e 
e 
e 
e 
e 
c 
e 
e 
c 
c 
c 
e 
e 
c 
e 
c 
c 
c 
c 
e 
c 
c 
c 
c 
SUBROTINA GAUSS 
OBJET I VO ; 
RESOLUCAO DE SI STEMAS DE EGUACOES LINEARES 
METODO UTILIZADO : 
ELIMINACAO DE GAUSS 
uso : 
CALL GAUSS< A,N ,NMAX,MMAX,X , OET > 
PARAMETROS OE 
A 
ENTRADA : 
MATRIZ DE COEFI CIENTES E TER MOS 
INDEPENDENTES 
N 
NMAX 
MMAX 
ORDEM OA MATR IZ A 
NUMERO MAXIMO DE LINHAS DECLARADO 
NUMERO MAXIMO DE COLUNAS DECLARADO 
PARAMETROS DE SAIDA 
X VETOR BOLUCAO 
DET VALOR DO DETERM I NANTE DE A 
c • .. .. . .... . . .. . .... .... ............ . ........ ... . . . ....... . .. . 
c 
e 
e 
e 
c 
SUBROUTI NE GAUSS CA ,N,NMAX,MMAX, X,OET> 
INTEGER I, IC,..J , K,L, LF,LI ,M,MM,MMAX,N,NC,NMAX ,N1 
REAL ACNMAX,MMAX>,DET,MULT , XCNMAX> 
C I MPREBSAO DA MATRIZ DE COEFI CIENTES E TERMOS 
C I NDEP ENC>ENTE~ 
e 
LIRITE C2, 1 l 
FORMATC1Hl, 29X,22HMATRI Z DE COEFI CIENTES, / ) 
N1=N~· 1 
NC=N/5 
LI=i 
LF='D 
IFCNC.EG.OlGO TO 30 
00 20 IC·-·• 1, NC 
LF"' IC*~i 
WR ITEC2 , 2lC I, I=LI , LF > 
e 
e 
e 
r: 
e 
Sistemas Lineares 33 
2 FORMATC1H0, 3HI/..J,7X,I 2 ,4Cl 3X ,I2>l 
DO 10 1=1,N 
WRITEC2 . 3 >I , CAC I,..Jl ,J•LI ,L.Fl 
3 FOR~ATCiHO,I2,5C3X,1PE 12 . 5 1> 
10 CONTINUE 
LI=LF+i 
20 CONTINUE 
:ilO l< =MOD<N,5l 
IFCK .EG.OlGO TO 50 
LF=LF+K 
WRITEC2, 2lCl ,I=Ll,LF> 
DO 40 I =1 ,N 
WRI TEC 2 , 3l I , CACI , J>, J=LI ,LFl 
4'0 CONT I NUE 
!50 CONTINUE 
!53 
60 
61 
G 
H 
7Ó 
80 
90 
100 
101 
110 
111 
120 
WRITEC2 ,5i> 
FORMAl<1HO l 
WRITE< 2 , 52l 
FORMATC 1H0,21H TERMOS INOEPENDENTES,/l 
DO óO 1=1,N 
WRITE C2,53lI ,A CI ,N1l 
FORMATC 1X , I2, 3X,1PE1 2 . 5,/ ) 
CONTI NUE 
FIM DA IHPR ESSAO 
HETOOO DE GAUSS 
OE1'=1. 
M.M "" N-1 
DO 100 K = 1,MM 
IF CABSCACK,K>>.Gl . 1. E-7 ) GO TO 70 
WR ITE C 2 , 61> K , K 
FORMATC1Hi, 36H O ELEMENTO DA DIAGONAL PRINCIPAL NA, 
óH LINHA,1 3 , 29H ESTA' IGUAL A ZERO,NO PASSO , 
13) 
RETURN 
CONTINUE 
DET '" DET*ACK , K) 
M = K+i 
DO 90 I = M,N 
MULT ~ - A<I ,Kl / ACK,K l 
()O HO J = K,Nl 
ACI,Jl • ACI,..J>+MULT•A<K,J) 
CONTINUE 
CONTINUE 
CONTINUE 
IF<ABSCACN ,N >l . GT.i. E-7l GO TO 120 
IF CABSCACN ,N1 )) .GT.1.E-7 ) GO TO 110 
WRITEC2, 101 ) 
FOR MAT C1Hl,27H O SISTEMA E ' INDETERMINADO) 
RETURN 
CONTINUE · 
WR ITE C 2 , 111 > 
FORMATC 1H1, 24H O SISTEMA E' IMPOSSIVEL> 
RETURN 
CONTINUE 
34 CÁLCULO NUM~RICO 
130 
140 
e 
e 
e 
e 
e 
141 
l. 4 ~~ 
i~.;o 
151 
DET "' DET*A<N,N) 
X<N> =A<N,Ni>IA<N,N) 
K=N- 1 
DO 140 I =i , K 
L.=N-·J: 
X<U=A<L,NU 
M=L+1 
DO 1:rn ,J=" M,N 
X<Ll mX(L) - A(L.,J>•X<Jl 
CONTINUE 
XCI l=XCLl /A C.L ,L> 
CONTINUE 
FIM DO METODO OE GAUSS 
IMPRESSAO DOS RESULTADOS 
END 
WR ITE <2, 141) 
FORMATClH1,15H VETOR SOLUCAO , /I 
[)() 150 I =i,N 
WRI TE<2 , 142l X<I>,I 
FOR MATC lHD , 6HX ,1PE1 2 . 5 , /2X , I2l 
CONTINUE 
WRITE<2,1511DET 
FORHAT<iH0 , 28H O VALOR DO DETERMINANTE E' , 1PE12. 51 
RETURN 
2.2.2.2. PROGRAMA PRINCIPAL 
e 
e 
e 
e 
e 
PROGR AMA PR I NCIP AL PAR A UTILIZACAO DA SUBROTINA GAUSS 
INTFGER I, J,HMAX , N,NMAX,Nl 
REPL A<20,2 1 >,DET, X<2 0) 
NMAX="~~O 
MMAX" NMAX+i 
READ <i,i)N 
1 FORMAT< 12 > 
e N : ORDEM DA MArn:rz 
Ni =N+i 
DO 10 I =i ,N 
I~ EAD ( l. , 2 > (A.< 1 , J > , ,,! " 1 , NU 
2 FORMAT(10f8.0) 
C A : MATR IZ OE COEFICIENTES E TERMOS INDEPENDENTES 
e 
e 
10 CONTINUE 
CALL GAUSS <A,N,NMAX,MMAX , X,DET> 
CALL EXIT 
E:ND 
Sistemas Lineares 35 
Exemplo 2.10 
Determinar o vetor solução do seguinte sistema de equações lineares: 
X1 5x2 + 3x3 + 9x4 7x5 + 21x6 7x7 - 2xs = -10,79 
3x1 + 2x2 - 5x3 + 8x4 + 3x5 - 13x6 + Xs = - 2,14 
2x1 + x 2 + 9x3 - 6x4 6x5 + 8x6 - 3x7 + 3x8 = - 130,608 
4x1 4x2 + 2x3 + 5x4 + 8x5 - 6x6 + 2x7 4x8 = 76,3 
- 5x 1 + 6x 2 - 4x 3 + 4x 4 + 9x5 - 10x6 + X7 + 5x8 = -11,1 
6x 1 + X2 + 5x3 - 2x4 + 15x5 + 4x6 - 9x7 + 7x8 = 0,135 
9x2 + lx3 + X4 12x5 + 2x6 + 10x1 + 8x8 = -3,108 
3x 1 + 10x2 + 3x3 + 7x4 + 3x5 + x6 + X7 3x8 = 632,5 
Para resolver este exemplo, usando o programa acima, devem ser fornecidos: 
Dados de entrada 
~8 
1., - 5., 3., 9., - 7., 21., - 7., - 2., - 10.79, 
3., 2., - 5., 8., 3., - 13., 0., 1., - 2.14, 
2., 1., 9., - 6., - 6., 8., - 3., 3., - 130.608, 
4., - 4., 2., 5., 8., - 6., 2., - 4., 76.3, 
5., 6., - 4., 4., 9., -1~ .. 1., 5., -11.1, 
6., 1., 5., - 2., 15., 4., - 9., 7., 0.135, 
~ .• - 9., 1., 1., - 12., 2., l~., 8., - 3.108, 
3., 1~ .. 3., 7., 3., 1., 1., - 3., 632.5, 
Os resultados obtidos foram: 
MATRIZ OE COEFI CIENTES 
l /J 1 2 3 
1.000DOE+UO -- ~i .. OOOOOE+OO :~. ODOCJOE+OO 
:? 3 . DOOODE·t-00 2.0000DE+OCJ 
--5 .. OOOOOE+OO 
3 2. OOOOOE·t·OO l . OOOOOE+OO 'l . OOOOOE+OO 
4 4 . oooom: +oo 
-'4. OOOCJOE+OG Z!, OODOOE+CJO 
e; 
- 5 . 00DOOE+OO 6.00000E+OC 
- 4.00000E+OO 
4 
9.CJOOOOE+OO 
B.OOOOOE+OO 
·-6. OOOOOE+OCJ 
5.00000E:+OO 
4.00000E+OO 
36 CÁLCULO NUMi!RICO 
MATIHZ DE COEFICIENTES 
I/J 1 
,., 
i::. •3 4 
6 6.00000E+DO 1.. OODOOE+OD 5" 00000[+()(] ·-~!. ODOOOF +DO 
7 O .. O()O()[JE+OO 'l. OOOOOE+CJO i.OOODOE+OO i. DOUOOE+OD 
B é!. OCIOOOE+UO '.t. OOOOOE-+-01 :J. OOODOE+OO 7.DOCJOOE+OO 
I/J :j 6 7 13 
J. .... 7" DOOCIOE+OCI 2.J.DOOOE+Oi ·-7. OOOOOE+OD 
... ;;!. ooo:JOE+OO 
,, 3 . 00DDOE::+CIO .... J . • ::iooooi:::+o1 O.OOOODE+OO i. OOO::JOE>t·OO r. .. 
:i - 6 . CJOOUOE:: -HJIJ B.OOODDE+OU --<:!. OODOOE+OO :3 . OOOOOE+OO 
4 O .. UODDOF+CID ""Ó.()()()[)(][+()() ~!. OOOOOE+OO .... 4. OOOOOE+OO 
~j 'l. DODCJOE+DO - i. CJUOOOE+Oi 1..00000E+OO ~i. OOOOOE+UO 
6 'L. ':.'iDOOClE+Ol. 4. DDCll:HIE+DO .. -<J. OOODOEHlD 7 .. OOOODE+OO 
7 ... j_. ;,:!OCIODE+C!l. ~'.. ODOOOE+OO l..OOOOOE+Cli B • OOOOOE+OO 
8 ::1. D DO O OE t{)() 1 .. CJOOOOE+DO 1. • DOO DOE +OU ··::!. OOOOOE+OO 
TERMOS INDEPENDENTES 
1 ... 1. • 07 9()()[ ·•·() 1. 
2 -.. 2. :1.4000E+OO 
3 ... i 1 '.JObOBE+D2 
4 7 .630DOE+Ol. 
e· 
"' 
-·i. l.l.OOOE+Oi 
6 L35000E·-Cl1 
7 -·3. l0800E+OO 
B 6.32500E+02 
VETOR SOLUCAO 
X i.84245E+01 
i 
X 4.32176E+01 
2 
Sistemas Lineares 3 7 
X =· -1.14706E+01 
3 
X -1.30122E+OO 
4 
X 1.39106E+01 
:5 
X 1.47225E+01 
6 
X 8.72343E+OO 
7 
X = -4.11309E+Oi 
B 
o VALOR DO DETERMINANTE E' 5.51B65[+08 
2.2.3. Exercícios ele Fixação 
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de elimi-
nação de Gauss. 
2.2.3.J 2x1 + 3x2 + X3 - X4 6,90 
- X1 + X2 - 4x3 + X4 -6,60 
XI + X2 + X3 + X4 = 10,20 
4x1 - 5x2 + X3 - 2x4 = - 12,30 
2.2.3.2 4x1 + 3x2 + 2x3 + X4 10 
x, + 2x2 + 3x3 + 4x4 5 
X1 - X2 - X3 - X4 = -1 
XI + X2 + X3 + X4 = 3 
2.2.3.3 X t + 2x2 + 3x3 + 4x4 10 
2x1 + X2 + 2x3 + 3x4 = 7 
3x 1 + 2x2 + X3 + 2x4 6 
4x1 + 3x2 + 2x3 + X4 = 5 
2.2 .3.4 Xt + X2 + 2x3 + 4x4 7,12 
X1 + X2 + 5x3 + 6x4 = 12,02 
2x 1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 14,90 
4x 1 + 6x2 + 2x3 + X4 20,72 
38 CÁLCULO NUM~RICO 
2 .2.4. Refinamento de Soluções 
Quando se opera com números exatos, não se cometem erros de arredonda-
mento no decorrer dos cálculos e as transformações elementares, juntamente com as 
substituições (retroativas ou progressivas), produzem resultados exatos. Entretanto, 
na maioria das vezes, tem-se que se contentar com cálculos aproximados e, aí, co-
metem-se erros de arredondamento que podem se propagar., chegando mesmo a 
comprometer os resultados. Daí o u~o de técnicas especiais para minimizar ~ propa-
gação de tais erros de arredondamento. Uma das técnicas é a seguinte: 
Seja x<0 >a solução aproximada para o sistema Ax = b. 
Então, a solução melhorada x<1> é obtida como se segue: 
xü> = x<ol + 0<o> 
onde o<0> é uma parcela de correção. 
Logo: 
Ax<l) = b 
Então, tem-se: 
A (X(O) + Ô(o)) = b 
A x<o> t A o<o> = b 
A Ô(o) = b - A x<o) 
A o<o) = ,<o> 
Assim, para se obter a parcela de correção o<0> basta que se resolva o sistema 
linear acima, onde A é a matriz de coeficientes das incógnitas do sistema Ax = b e 
r<0> é o resíduo produzido pela solução aproximada x<0>. 
A nova aproximação será, então, 
Caso se queira uma melhor aproximação, resolve-se, agora, o sistema 
onde ll(t) é parcela de correção para x<1> e r<1> é o resíduo produzido por x<1>. 
O processo é repetido até que se obtenha a precisão desejada. 
lumplo2.11 
Conforme foi visto no exemplo 2.9, a solução do sistema é: 
• [ 0,97 1,98 - 0,97 1,00 f 
IOm resíduo 
, - [ 0,042 0,214 0,594 - 0,594 f 
Fazendo 
(1) = )((O) + c'l(O) e 
r • ,<o> 
O U loulo da parcela é feito pelo sistema 
A e,<o> = ,<o> 
quo fornece como resultado 
3<o) = [ 0,0295 0,0195 - 0,0294 0,0000 ]T 
terá, entfo: 
'l(I) = ;c(O) + Ô{O) 
r<l) = 2,000 [ 
1,000] 
- 0,999 1,000 
cujo resíduo é 
,<•> [
- 0009] 
_ -o:oll 
- 0,024 
0 ,013 
Fazendo 
xC2> = x<1> + ô(t) e 
, = ,<1) 
tom-se outra parcela de correção fornecida pelo sistema 
A c5<0 = rü> 
a<•> = [- 0,0002 - 0,0002 - o,0007 o,oooof 
Sistemas Lineares 39 
40 CÁLCULO NUMl?.RICO 
O valor melhorado de x será: 
-xcz) = x<1) + 5ü) 
x(l) = [ 1,000 2,000 - 1,000 1,000) ]T 
com resíduo 
rú) - ( O O O O JT 
Conforme o leitor deve ter notado nos exemplos anteriores, foram tomados 
pivôs diferentes de zero para que fossem possíveis as eliminações. Caso ocorra 
algum pivô nulo, deve-se efetuar uma troca de linhas conveniente para escolher um 
novo pivô não nulo, a fim de que se possa prosseguir com as eliminações. Outra ma-
neira de se evitar o pivô nulo é usar o método dapivotação completa, que .será descritona subsecçiio 2.2.5 . A pivotação completa serve, também, para minimizar a ampliação 
de erros de arredondamento durante as eliminações, sendo recomendado especial-
mente na resolução de sistemas lineares de maior porte por meio de computadores 
digitais. 
2.2.5. Método da Pivotação Completa 
Dado o sistema Ax = b, sejaM sua matriz aumentada: 
M = 
ª'i · · · ª1q · · · ªin b1 
ª2j · · · ª2q · · · ª2n b2 
ªni · · · ªnq · · · ªnn bn 
(2.7) 
Escolhe-se em (2.7) o elemento apq *O de maior módulo e nãu pertencente 
à coluna dos termos independentes e calculam-se os fatores mi: 
m; = -
a· ~ ""i*p pq 
apq é o elemento pivô e a linha pé a linha pivotal 
Soma-se, a cada linha não pivotal, o produto da linha pivotal pelo fator cor-
respondente m; da linha não pivotal. Disso resulta uma nova matriz, cuja q-ésima 
coluna é composta de zeros, exceto o pivô. Rejeitando esta coluna e a p-ésima linha 
do pivô, tem-se uma nova matrizM1>, cujo número de linhas e colunas é diminuído 
de um. 
Sistemas Lineares 41 
Agora, repetindo-se o mesmo raciocínio acima para a nova matriz M(l) ob-
Um 10 M'2>. Continuando o processo, é gerada uma seqüência de matrizesM .M<1> MW M(3) M(n -1 ) (n - 1) · • • 
, • · · ., , onde M é uma linha com dois termos considerada 
01110 linha pivotal. ' 
Para se o~ter a ~ol.ução'. constrói-se o sistema formado por todas as linhas pi-
WUl1l1 o, a partir da ultima hnha pertencente à matriz M (n - 1), resolve-se, através 
dt 1ubstituições retroativas, o sistema criado. Naturalmente, deve-se prestar atenção 
A urdom em que foram feitas as eliminações para cada incógnita. 
1mplo 2.12 
Resolver pelo método da pivotação completa, retendo, durante as elimina-
9õoa, cinco algarismos depois da vírgula: 
3,008Ix2 + 
0,8758x2 + 
0,8473x2 
0,8472 
1,1221 
2,5078 
0,8754x 1 + 
2,4579x1 
S,2350x1 
:2,1015x1 + 8,1083x2 
0,9358x3 + 
l ,1516x3 
2,3582x3 + 
J ,3232x3 + 
l,l083x4 
4,5148x4 = 
1,1419x4 = 
2)1548x4 = -6,4984 
--
l lnlu1 Multipli-
Termos 
cador Coeficientes das Incógnitas lndepen-
dentes 
(1) 
- 0,37099 0,8754 3,0081 0,9358 1,1083 0,8472 
(2) 0 ,1080i 2,4579 - 0,8758 1,1516 
- 4 ,5 148 1,1221 (3) 0,10450 5,2350 
- O 8473 - 2,3582 1,1419 2,5078 
(4) 2,1015 ~ - 1,3232 2,1548 -6,4984 
(3) - 0,01756 0,09576 o l ,42669 0,30889 3,25804 
(6) - 0,49222 2,68489 o l ,00868 - 4,28205 0,42019 (7) ~ o - 2,49647 1,36707 1,82873 
(li) 0,0575 o o l,4i052 0,28489 3,22594 
(9) o o 2,2375 E-4,95496: - 0,47996 
e. 
(10) o o 1,59917 o 3,19834 
O sistema, após as eliminações, é: 
2,1015x1 
5,4546x1 
+ 8,1083x 2 - 1,3232x3 
2,49647x3 
2,2375x3 
1,59917x3 
+ 2,1548x4 = 
+ l,36707x4 = 
4,95496x4 
Transformações 
-0,37099(4) + (1 ) 
0,10801(4) + (2) 
0,10450(4) + (3) 
- 0,01756(7) + (5) 
- 0,49222(7) + (6) 
0,05750(9) + (8) 
-6,4984 
1,82873 
-0,47996 
3,19834-
42 CÁLCULO NUMERICO 
x = [ 1,0000 - 1,0000 2,0000 1,0000 ]T 
r = [O O O O ]T 
2.2.6. Método de Jordan 
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações do sistema 
linear dado até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. 
Exemplo 2.13 
Resolver pelo método de Jordan: 
+ X2 + 2x3 ::::: 4 
X2 - X 3 ::::: o 
- X2 X3 = - 1 
Termos 
Linha Multiplicador Coeficientes das Inoognitas Indepen- Transfomuções 
dentes 
(1 ) 0 1 2 4 
(2) 
- ~ = - 2 2 - 1 - 1 o (3) = - 1 1 - 1 - 1 -1 
- (';') 
(4) 1 1 1 1 2 4 (1) - G - -3 (5) o @ - 5 -8 - 2 (1 ) + (2) 
(6) - 2 = -2- o - 2 - 3 - 5 - 1 (1) + (3) 
- Ç3) 3 
(7) 
-
1/3 (@ = - 1 1 o 1/3 4/3 - ..!. (5) + (4) 3 
(8) 
-
- 5 = 15 o - 3 - 5 -8 (5) 
' 
1/3 
(9) o o @ 1/3 -~ (5) + (6) 3 
(10 ) 1 o o 1 - 1 (9) + (7) 
(11) o - 3 o -3 15 (9) + (8) 
(12) o o 1/3 1/3 
O sistema diagonal é formado pelas linhas {10), (11) e (1 2): 
1 
- 3 
1 
3 
Jê • ( 1 1 1 ]T 
ou 
ou 
ou 
1.2.7. Cálculo de Determinantes 
Sistemas Lineares 43 
De modo análogo ao que foi feito com sistemas, pode-se definir transfor-
mnt;Oes elementares para mat rizes e também definir matrizes equivalentes A e B 
c1uando B puder ser obtida de A por transformações elementares nas linhas (ou 
colunas). Pode-se provar que se A e B são equivalentes então det A = det B. 
Como nas matrizes triangulares e diagonais o de terminan te é o produto dos 
• lamentos diagonais usa-se, para o cálculo de determinantes, o método de Gauss ou 
o de Jordan. 
Exemplo 2.14 
Dada 
3 
4 
-3 
-1) 
- 3 
1 
uaa-se o método de Gauss para obter 
U=G 3 - 2 o -1) - 1 5 
A seguir calcula-se det U = det A = 2 (- 2) 5 = -20. 
Exemplo 2.15 
A matriz 
1 
- 1 
- 1 
-i) 
-1 
44 CÁLCULO NUM~RICO 
é transfonnada pelo método de Jordan em 
D= G o -3 o 
Logo,detA = det D= 1 • (- 3) • 1 = - l. 
3 
2.2.8. Implementação do Método de Jordan 
Seguem, abaixo, a implementação do método pela sub-rotina JORDAN e um 
exemplo de programa para usá-la. 
2.2.8. 1. SUB-ROTINA JORDAN 
e . ... . .. •...... . . .. . . . , .•. .. . . ... .. .. ... . . .. ...... .... . . . ... .. . 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e: 
e 
e 
e 
e 
SUBROTINA J ORDAN 
OB.IETIVO : 
RESOLUCAO DE SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES 
METODO UTILIZADO : 
ELIMINACAO DE JORDAN 
US() : 
CALL JORDANIA,N ,NMAX, MMAX,X , OET> 
PAl<AMETROS DE 
A · 
ENTl<ADA : 
MATRIZ DE COEFI CI ENTES E TERMOS 
I NDEPENDt:NTES 
N 
NMAX 
MMAX 
ORDEM DA MATR IZ A 
NUMERO MAXIMO DE LI NHAS DECLARADO 
NUMERO MAXI MO DE COLUNAS DECLARADO 
PARAMETROS OE SAIDA 
X VETOR SOLUCAO 
DET VALOR DO DETER MINANTE DE A 
e . .. .. . . . . .. ... .... .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . .. ... . •. . .•. .• . . . . . .. . . 
e 
e 
e 
e 
SUBROUTINE J OROAN<A , N,NMAX , MMAX,X , DET> 
I NTEGER I,IC , J,K,LF,L! , MMAX,N,NC,NMAX,N1 
REAL A< NMAX , MMAX >,DET,MULT,X<NMAX> 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
1 
2 
3 
1() 
20 
30 
40 
50 
5f. 
52 
53 
6 0 
61 
G 
H 
70 
71 
BC) 
Si5temas Lineares 45 
I MPRESBAO DA MAT~IZ OE C:OEl~Icr~ .. NTES INDEPENDENTES .. < E TERMOS 
WR ITE<2 , U 
FORMATC1Hi,29X, 22HMATRIZ N1•N+i DE COEFI CIENTES , /) 
NC=N/5 
LI= i 
LF"'O 
I FC NC. EQ . O)GO TO 30 DO 20 IC,,,i ,NC 
LF=IC*5 
WR ITE<2,2lCI,I•LI l F> 
6gR~~Ti!~ON3HI/J , lX,I2,4C13X,r21 , 
WRITE~2;3lI,CACI~ J>,J•L I , LF> 
FORMAIC1HO, I2 5C3X 1Pl' 12 5 >> CONTI NUE ·' ' . • 
LI=LF+i 
CONTINUE 
K'='MO DCN,5 ) 
IFCK.EQ. OJGO TO 50 
LF"'LF+K 
WR ITEC2 , 2 >CI , I =LI ,LF ) 
DO 40 I=1 N . 
WR ITE C 2 ' 3 J I e A e I )) 1 .. 1 1. CONTINUE ' . ' . ,.. ,. . .. , ···· , L F > 
CONTI NUE 
WR ITE C 2 , 51 ) 
FORMATC I HOl 
WRITEC 2 , 52) 
FORMATCiHO 21H TERM 
. 00 60 I =i, N OS I NDEPENDENTES , /> 
WRITEC2 , 53JI , A<I,N i> 
FORMATCI X 12 3X iPFi? ~ /) CONTINUE ' ' , . - ~ - ~ . 
FIM DA IMPRESSAO 
METODO DE JORDAN 
DET'"i . 
DO 120 K = 1 N 
I F CASS <A <K: K)) . GT. 1 .E- 7 ) GO TO 90 
IF CK.EG. N> GO TO 7 n 
WRITEC2, 6 1 >K , K 
FORHATC 1Hi , 33H O ELEMENTO DA DIAGONAL 
i H NA LI NHA ,I3 , 22H ESTA' IGUAL 
.rH PASSO , I3 l 
RETURN 
CONTINUE 
PR INCIPAL 
A ZERO , No : 
IFC ABS<.AC N, Ni )) .GT.1. E-7>GO TO 8 0 
WR ITE 12, 7 1) 
~~~~:~(1H1 , 27H O SISTEMA E' INDETERMINADO> 
CONTINUE 
WRITEC2, Bi ) 
46 CÁLCULO NUM~RJCO 
81 
90 
iOO 
110 
120 
e 
c 
e 
c 
c 
121 
122 
130 
131 
FORMAT<1H1, 24H O SISTEMA E' IMPOSSIVEL> 
RETURN 
CONTINUE 
DET = DETlfA(K,K l 
DO 110 1=1,N 
IFCI . EG.K)GO TO 110 
MULT = - ACI,K) /ACK,K> 
DO 100 J K,Ni 
ACI,Jl = A< I ,J>+MULTlfA CK,Jl 
CONTINUE 
CONTINUE 
CONTINUE 
FIM DO METOOO OE JORDAN 
IMPRESSAO DOS RESULTADOS 
WRITE <2 , 121 > 
FORMATC1Hi,15H VETOR SOLUCAO, /) 
DO 130 1=1,N 
X<I>=A <I ,Ni>/ACI,1> 
WRITE<2,122lX<Il , I 
FORMATC1H0,6HX • ,1PE1 2 . 5,/ , 2X,I2lCONTINUE 
WR ITEC 2 , 131 lDET 
FORMATC1H0 , 2BH O VALOR DO DETERMI NANTE E' ,1PE12.5 ) 
RETURN 
END 
2.2.8.2. PROGRAMA PRINCIPAL 
e 
e 
e 
c 
e 
e 
e 
e 
e 
10 
PROGRAMA PRINCIPAL PARA UTILIZACAO DA SUBR OTINA JORDAN 
INTEGER l,J,MMAX , N,NMAX,Ni 
REAL AC20,21>,0ET,XC20> 
NMAX=20 
MMAX=NMAX+i 
READ ( i,l )N 
FOR MATCI2) 
N : ORDEM DA MATRIZ 
Ní r.::N+i 
DO íO I"•l. ,N 
l{EAD <l., ~'.) <A<J:,,J> ,J == l., NJ.> 
FORMATCl.OFB . Ol TES A : MATRIZ DE COEFICIENTES E TERMOS INDEPENDEN · 
CONTINUE 
CALL JOROANCA, N,NMAX,MMAX,X,DET> 
CALL EXIT 
END 
Sistemas Linearm 4 7 
liliemplo 2.16 
Determinar o vetor solução do seguinte sistema de equações lineares: 
3x 1 9x3 + 6x4 + 9x5 + 4x6 X7 = - 0,108 
- 9x1 + 3x2 + 8x3 + 9x4 - 12xs + 6x6 + 3x7 = 26,24 
lx1 - 9x2 + X3 3x4 + X5 - Sx6 + Sx7 = 92 ,808 
4x1 + 8x2 l0x3 + 8x4 - X5 + 4x6 4x7 53,91 
- Sx1 + 5x2 + 4X3 + llx4 + 3x5 + 8x6 + 7x 7 = 143,55 
6x 1 2x2 + 9x3 7x4 - 5x5 - 3x6 + 8x7 - 6,048 
8x1 + 7x2 + 2x3 + 5x4 + 2xs + x6 - 3x7 137,94 
Para resolver este exemplo, usando o programa acima, devem ser fornecidos: 
Dados de entrada 
~7 
3., ~ .. -9., 6., 9., 4., -1., - ~-·~8, 
9., 3., 8., 9., - 12., 6., 3., 26.24, 
1., - 9., 1., -3., 1., - 5., 5., 92.8~8. 
4., 8., -1~ .• 8., - 1., 4., -4., 53.91 , 
s., 5., 4., 11., 3., 8., 7., 143.55, 
6., - 2., 9., - 7., - 5., -3., 8., -6.~48, 
8., 7., 2., s., 2., 1., - 3., 137.94, 
Os resultados obtidos foram: 
MATRI Z DE COEFICI ENTES 
l /J 1 2 3 
3 . 0 0000E+OO O. OOOOOE+OO -9.00000E+OO 
~ -9 . 00000E+OO 3 .00000E+OO B.OOOOOE+OO 
~' 1 . OOOOOEHlD -9.00000E+OO 1 . 00000E+OO 
.. 4 .• OOOOOE+Oll 8.00000E+OO - 1.00000E+Oi 
:'I - 5 . 00000E+OO 5 . 00000E+OO 4 . 00000E+OO 
6 6.00000E+OO -2. 00000E+OO 9 . 00000E+OO 
'7 B.OOOllOE+OO 7.00000E+OO 2.00000E+OO 
4 
6 .00000E+OO 
9 . 00000E+OO 
-3.0CJOOOE+OO 
8 .00000E+OO 
1.10000E+01 
- 7 . 00000E+OO 
5 OOOOOE+OCl 
48 CALCULO NUMÉRICO 
I/,J ~· ,,, 6 
i 9. OOOO(H': +DO 4 .. 00000E+OO 
~{. ···· i. ;::DUOOE+Ol. 6.00000E+DO 
3 1 .. Dnoum:+oo ·- ~i. OOOOOE+OO 
4 .... i .. OUOOUE+DD 4.0000()[+00 
~:; 3 ~ ()(]()001:'.+00 8. 00.000E+OO 
6 .... !'5 . OODUOE+OO ··3. 00000[+00 
7 ~>.. OOOOllE+OO i.OOOOOE+OO 
TERMOS INDEPENDENTES 
.. -1 . oaoooE-·-01. 
~~ ~.~ .. b~:.~40DE ·•·Oi 
4 !'.i.'.'l9l.ODE+Oi. 
5 1.43550E+02 
6 -6.C480DE+00 
7 t. '.l7 'jl4CJE+O~' 
VETOR ~;ol.l.JCAO 
X 6 --~! .fJ3519E+OO 
X i .'.3231é>E+Oi 
2 
X ~!.i0986E+Oll 
3 
X 2 .71105E+Ol. 
4 
X = 6.138i7E+00 
5 
X ·-4.431.92E+01 
6 
7 
-·i. OOOOOE+OO 
3. 0 0000E+OO 
5.00000E+OO 
--4. OOOOOE+OO 
7. OOOCJOE+OO 
8.0000 0E+OO 
<3 .-{JOOOOE+OO 
Sfilemas Lineares 49 
M • i.32430E+Oi 
., 
0 VALOR DO DETERMINANTE E' 8 . 04193E+06 
1.2.9. Exercícios de Fixação 
Dete1minar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jordan: 
1.3.9.1. 2x1 + 3x2 + X3 X4 
- X1 + Xz - 4x3 + X4 
X1 + Xz + X3 + X4 
4x1 5x2 + x3 - 2x4 
U .9.2. 4x1 + 3x2 + 2x3 + X4 
X1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 
X1 - x2 - X3 - X4 
X1 + Xz + X3 + X4 
1.1.9.3. XI + 2x2 + 3x3 + 4x4 
2x1 + Xz + 2x3 + 3x4 
3x1 + 2x2 + X3 + 2x4 
4x1 + 3x2 + 2x3 + X4 
1.2.9.4. X1 + Xz + 2x3 + 4x4 
X1 + Xz + 5x3 + 6x4 
2x1 + sx2 + X3 + 2x4 
4x 1 + 6x2 + 2x3 + x4 
2.3. MeTODOS ITERATIVOS 
2.3.1. 1 nt rodução 
6,90 
= -6,60 
= 10,20 
= -12,30 
10 
5 
= - 1 
= 3 
10 
= 7 
= 6 
= 5 
= 7 ,12 
12,02 
= 14,90 
= 20,72 
A solução x de um sistema linear AX = b pode ser obtida utilizando-se um 
método iterativo, que consiste em calculai uma seqüência x<1>, xú>, ... , x<k), ... 
de aproximação de X, sendo dada uma aproximação inicial x <o). Para tanto, trans-
forma-se o sistema dado num equivalente da forma 
50 CÁLCULO NUM~RICO 
x=Fx+ d (2.8) 
onde F é uma matriz n x n e x e d são matrizes n x 1. Para facilitar a notação serão 
usados indistintamente: 
x = (x; .. n') ou X= (xi. X2, .• . , Xn)T 
Partindo-se de uma aproximação inicial x(O) = (x 1 (O\x2 CO>_ . . . , x11 (O))T obtém-se 
xü) = F x(o) + d 
x(2 ) = Fx(I) + d 
x<k + t) = Fx(k) + d 
Seja li x<k) xll = máx {(x/k)_ x;)} 
l~i~n 
Se lim li x(k) - x!I = O entã'o xÜ >, x<2 >, ... , x<k), ... converge quando k -+ 00• 
Observação: Dado Ax = b existem várias maneiras de se obter (2.8), por exemplo: 
AX +IX - b =!X 
ou 
X = (A +I)x- b 
2.3.2. Método de Jacobi 
Seja o sistema 
a21X1 + a22Xz + . .. + a2nxn = bz (2.9) 
. ......... . ... . ... . ........ . ... . 
Sistemas Lineares 5 1 
Explicita-se em {2.9) x 1 na primeira equação, x2 na segunda, ... 
b, - (a12 X2 + a13 X3 + .. · + ªin xn) 
x, = 
ª11 
b2 - (a21 x, + a23 X3 + .. · + ªrn Xn) (2.10) 
X2 = 
a22 
bn - (a111 X1 + an2 X2 + · · · + an, n - 1Xn - 1) 
Xn = 
ann 
O leitor deve observar que em (2.10) os elementos a;; =I= O, Vi. Caso isso 
ntlo ocorra, as equações de (2.9) devem ser reagrupadas para que se consiga essa 
condição. 
O sistema (2.1 O) pode ser colocado na forma x = Fx +d onde: 
x, b, 
ª11 
Xz 
)( = b2 
d = ª22 
Xn 
bn 
ann 
O - a 12/a 11 - a13/a 11 - ain/au 
- ª21/a22 O - a23/a22 - ª2n/a22 
F= 
........ .. . ........ ....... ... ... .. ............ .... 
O método de Jacobi funciona do seguinte modo: 
52 CALCULO NUM~RICO 
a) F.scolhe-se uma aproximação inicial ,!.O)_ 
b) Geram-se aproximações sucessivas de x <k > a partir da iteração 
.,l.k + 1) = Fx(k) + d, k = o, 1, 2, ... 
c) Continua-se a gerar aproximações até que um cios critérios abaixo seja sa-
tisfeito 
máx lx; (k + 1> - x/k) 1 ~ €, € tolerância 
l~i<n 
ou 
k > M, M número máximo de iterações 
Observação: A tolerância€ fixa o grau de precisão das soluções. 
Exemplo 2.17 
Resolver pelo método de Jacobi o sistema: 
~ 2x 1 - Xz = 1 l X1 + 2X2 = 3 
com € < 1 O .:.2 ou k > 10 
Explicitando x 1 na primeira equação e x 2 na segunda, tem-se as equações de 
iteração: 
= ; (1 + x2<k)) 
1 
= 2 (3 - X 1 (k )) 
k =O, 1,2, ...... 
O vetor inicial é tomado arbitrariamente. Fazendo-o 
.,/..0 ) = [O O ]T tem-se: 
para k = O 
x/1 ) =t(l + Xz(O>) =t(l + 0) =0,5 
x2<
1) = t (3 - x 1<0 >) = t (3 - O) = 1,5 
Si.mmas Uneares 53 
1••111 k = 1 
X1(l) =+(1 + Xz(l)) =t (1+1,5) = 1,25 
Xz(l) = + (3 - 0,5) == 1,25 
Prosseguindo as iterações para k = 2, 3 ... e colocando-as numa tabela 
uhldm-se: 
k X 1 (k) 
o o 
l 0,5 
2 1,25 
3 1,125 
4 0,938 
5 0,969 
6 1,016 
7 1,008 
8 0,996 
9 0,998 
0,006 < 10 - 2 ? 
ou Sim. Então pare! 
A > 10? 
X = [0,998 1,002] T 
Xz (k) 
o 
1,5 
1,25 
0,875 
0,938 
1,031 
1,016 
·0,992 
0,996 
1,002 
X1 = 0,998 
X1 1,002 
2.3.3. 1 mplementação do Método de Jacobi 
€ 
-
1,5 
0,75 
0,375 
0,187 
0,093 
0,047 
0,024 
0,012 
0,006 
Seguem, abaixo, a implementação do método pela sub-rotina JACOBI e um 
oxemplo de programa para usá-la. 
2.3.3.1 SUB-ROTINA JACOBI 
e . ••••• • . ••• . •••. ...... •••.. ••.•• .. .... .. ..• .. •••.. . •. . .. •. . ••...•.. 
e 
e 
C SUBROTINA JACOBI 
e 
C OBJETIVO : 
C RESOLUCAO DE SISTEMAS DE EGUACOEB LINEARES 
54 CÁLCULO NUMtRICO 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
e 
METODO UTILIZADO 
JACOBI 
uso 
CALL JACOBICA,N,NMAX,MMAX,ITERM,XO,EPB,ITER,Xl 
PARAMETROS DE ENTRADA : 
A . 
N 
NMAX 
HHAX 
ITERM 
xo . 
EPS 
!TER 
MATRIZ DE COEFICIENTES E TERMOS 
I NDEP ENDFNTEB 
ORDEM DA MATRIZ A 
NUMERO MAXIMO DE LINHAS DECLARADO 
NUMERO MAXIMO OE COLUNAS DECLARADO 
NUMERO MAXIMO DE ITERACOES DECLARADO 
VETOR DE APROXIHACAO INICIAL 
PRECISAO REQUERIDA 
NUMERO DE ITERACOES 
PARAHETRO DE SAIDA : 
X : MATRIZ DE APROXIMACOES 
e ................••.......... . ..................................... 
e 
c 
e 
e 
SUBROUTINEJACOBICA,N,NMAX,MMAX,ITERM,XO,EPS,ITiR,X) 
INTEGER I,IC,ITER,ITERM,ITERl,J,K,L,LF,Ll,L2,MMAX,N,NC, 
J NMAX,N1 
REAL ACNMAX,MMAX>,AUX,EPS,MAIOR,XCNHAX,ITERM>,XO<NMAX), 
S TOL<99> 
e C IMPREBSAO DA MATRIZ DE COEFICIENTES E TERMOS 
C INDEPENDENTES 
e 
WRITE<2,1l 
i FORMATC1H1,29X,22HMATRIZ DE COEFICIENTES,/) 
NC=N/5 
LI"'i 
LF"O 
IF<NC.EG.Ol GO TO 30 
DO 20 IC=i,NC 
LF=IC*S 
WRITEC2,2>CI,I=LI,LFl 
2 FORMAT<lH0,3HI/J,7X,I2,4Cl3X,I2l) 
DO 10 I~•J.,N 
WRITEC2,3lI,CACI,Jl,J=LI,LF> 
3 FORMATC1HO,I2,5C3X,1PE12.5>l 
10 CONTINUE 
LI=LF+i 
20 CONTINUE 
30 CONTINUE 
K=MODCN,5> 
IFCK.EG.O>GO TO 50 
LF=LF+K 
WRITE<2,2>CI,I=LI,LF> 
e 
DO 40 I=i,N 
WRITEC2,3JI,CACl,J),J=LI,LF> 
40 CONTINUE 
SO CONTINUE 
WRITEC2,51i 
51 F'ORMATCiHO> 
WRITE C 2,52> 
52 FORMATC1H0,21H TERHOS INDEPENDENTES,/) 
00 60 I=t,N 
WRITEC2,53>I,ACI,N1> 
53 FORMATC1X,I2,3X,1PE12.5,/) 
60 CONTINUE 
C FIM DA IMPRESSAO 
e 
C METODO DE JACOBI 
e 
e 
ITER1=ITER+i 
DO 70 I=-1,N 
X< I , 1 > "'XO C I > 
70 CONTINUE 
DO 110 L=2,ITERi 
DO 90 1"'1,N 
XCI,L>=A<I,N1>+XCI,L-1>*A<I,Il 
DO 80 -'"'1,N 
XCI,L>•XCI,L>-XCJ,L-1>*ACI,Jl 
ao CONTINUE 
XCI,Ll=XCI,ll/ACI,Il 
90 CONTINUE 
AUX=X(i,ll-XC1,L-1) 
MAIOR=ABSCAUX> 
DO 100 1=2,N 
AUX=XCI,L>-XCI,L-11 
AUX=ABSCAUXJ 
IFCAUX.LE.MAIORlGO TO 100 
MAIOR=AUX 
100 CONTINUE 
TôL<Ll =MAIOR 
IFCMAIOR.LE.EPSlGO TO 120 
110 CONTINUE 
H!O · CONTINUE 
C FIM DO METODO 
e 
Sistemas Lineares 5 5 
C IMPRESSAO DAS APROXIMACOES E RESULTADO FINAL 
e 
IFCMAIOR.GT.EPS>L=L-1 
NC=L/5 
LI=1 
LF=O 
WRITE<2,1,21> 
121 FORMAT<iHil 
IF<NC.EQ.O>GO TO 170 
DO 160 ICc1,NC 
Lf'=IC•:S 
56 CÁLCULO NUM:i!RICO 
122 
123 
124 
130 
131 
132 
140 
141 
150 
160 
170 
180 
190 
200 
201 
G 
210 
211 
212 
220 
J=LI-1 
L2=LF-1 
WRITE<2,122>J,<I,I=LI;L2l ~ FORMAT<1H0,8HITERACA0,8X,12 ,4<12X,I~>> 
00 130 1=1 ,N 
WRITE<2 123)(X<I,J>,J=LI,LF> 
FORMAT(lH0,3X,1HX,5X,5<2X,1PE12.5)) 
WRITE<2, 124) I 
FORMAT< 5X, 12 > 
CONTINUE 
IF<IC .NE . 1> GO TO 140 
WRITE<2 13 1 )<TOL<J>,J~2,5> 
FORMAT<lHO 10HTOLERANCIA,13X,4<2X ,1PE12.5 >> 
WR.ITE< 2, 132 > 
FORMAT<2<1)) 
GO TO 150 
CONTINUE 
WRITE<2,14i)(TOL<J>,J=LI,LF> 
FORMAT<1H0,11HTOLERANCIA ,1PE12.5,4<2X,1PE12.5>> 
WRITE<2, 132) 
CONTINUE 
LI=LF+1 
CONTINUE 
CONTINUE 
K=MOD<L, 5) 
IF<K.EQ.O>GO TO 200 
LF=LF+K 
J=LI-1 
L2=LF- 1 
WRITE<2,122>J,<I , I=LI,L2> 
DO 180 1=1,N 
WRITE<2,i23><X< I, J>,J=LI,LF) 
WR ITE < 2, 124 > I 
CONTINUE 
IF<LI.NE.i>GO TO 190 
WRITE< 2 , 131> <TOL<J> ,J=2,5) 
GO TO 200 
CONTINUE 
WRITE<2,141 ><TOL(J ) ,J=LI,LF> 
WRITE<2 , 132) 
CONTINUE 
IF<MAIOR . LE . EPS>GO TO 210 
WRITE<2,201>ITER 
FORMAT(l.llD,25HERRO : NAO CONVE:"RGIU COM ,12, 
i OH ITERA COES) 
RETURN 
CONTINUE 
WRITE<2,211> 
FORMAT<5(/) , SX,13HVETOR SOLUCAO,/) 
DO 220 I " i , N 
WRITE(2,212 >X<I,Ll,I ~ 
FORMATCiH0,6HX ~ ,1PE12 . 5,/,2X,I~> 
CONTINUE 
RETURN 
END 
Smernas Lineares 57 
l.J.2. PROGRAMA PRINCIPAL 
PROGRAMA PRINCIPAL PARA UTILIZACAO DA SUB ROT INA JACOBI 
INTEGER I ,ITER,ITER M,J , MMAX, N,NMAX, Ni 
REAL A< 20 , 21> , EPS, X< 20 ,99 ) ,X0< 20) 
NMAX=:!O 
MMAX=NMAX+ l 
ITERM=99 
READ<l,l>N, I TER, EPS 
1 FORMATC212,F iO . O> 
N : ORDEM DA MATRI Z 
ITER : NUMERO DE ITERACOES, MENOR GUE 99 
EPS : PRECISAO REQUE~IDA 
READ<l ,2>CXOCI>,I =i,N) 
2 FORMATC16F5.0> 
XO : VETOR DE APROXI MACAO INCIAL 
Ni•,N-t·l. 
DO 10 I=i,N 
READ(i,3)CACI,J>,J• 1,Ni> 
3 FORMAT<iOFB . O> 
A : MATRI Z DE COEFICIENTES E TERMOS INDEPENDENTES 
10 CONTINUE 
CALL JACOBI<A,N,NMAX,MMAX, I TERM,XO,EPS,ITER,X> 
CALL EXIT 
END 
lumplo2.18 
Determinar o vetor solução do sistema de equações lineares abaixo, usando 
tomo vetor inicial xCo) = [l 1 1 1 1 l]T, como precisão€< 10-4 e como número 
snixlmo de iterações k = 30: 
10x1 + X2 + 
4x1 -20x2 + 
5x 1 3x2 + 
-X1 + X2 + 
X1 + 2x2 + 
+ 3x2 + 
x3 + 2x4 + 3x5 
3X3 + 2.x4 X5 
15x3 - x 4 4x5 
2.x3 + 8x4 X5 
X3 + 3x4 + 9x5 
X3 + 2.x4 X5 
2x6 
+ 7x6 
+ x6 
+ 2x6 
x6 
+ 12x6 
= 6,57 
= 68,448 
= - 112,05 
= 3,968 
= 2,18 
= 10,882 
Para resolver este exemplo, usando o programa acima, devem ser fornecidos: 
58 CÁLCULO NUM2RICO 
Dados de entrada: 
~630~.~0~1 
1., 1., 1. , 1., 1., 1., 
l\J., 1., 1., 2., 3., -2., 6.57, 
4., -2~ .• 3., 2., - 1., 7., -68.448, 
5., -3., 15., - 1., -4., 1., -112.!i'S, 
-1., 1., 2., 8., - 1., 2., - 3.968, 
1., 2., 1., 3., 9., - 1., -2.18, 
- 4., 3., 1., 2., - 1., 12., l~ .882, 
Os resultados obtidos foram: 
MATRIZ D~ COEF ICIENTES 
I/J 1 2 3 
1 1. 00000E+D1 1 . 00000E+OO 1. 00000E+OO 
' J 
... 4.00000E+OCJ -·~! . OOOOOE+01 3.ClOOOOE+OO 
::1 5 .00000E+OO -3 . 000 00E+OO 1. SOOOOE+Oi 
4 -·1.00000E+OO 1.00ClOOE+OO 2 . 00000E+OO 
r.:· ,, l .. DOOOOE +00 2 . OOOOOE·tOO i. OOOOOE+OO 
6 - 4 . 0000 0E+OO 3 .00 000E+OO 1 . 0000 0E+OO 
I/J ~j 6 
i 3 .OOCJOOf...,00 -;;!.OOOOOE+OO 
2 - i . OOOODE +()(!) 7 . 000CJOE+OO 
~~ ... 4 . ()()Q()()[+(JCJ 1 .00000E+OO 
4 -1 .00000E+OO 2 . OOOOOE-+00 
5 9.DOOOOE+OO -1.00000E+OO 
6 -·1.00000E+OO 1 . 200 00E+01 
TERMOS INDEPENDENTES 
1 6 . 57000E+OO 
2 -·6 . 84480E+01 
3 - 1.12050E+02 
4 
2 . 00000E+OO 
2 .00000E+OO 
- 1.00000 E+OO 
8 .00000E+OO 
3 .00000E+OO 
2 .00000E+OO 
4 
s 
-·3. 'il60()()[+(]() 
-2.18000E+OO 
6 1. OBB~.~OE+O l. 
IT.ERACAO o 
X 1. OOQOOE ·+·00 
i 
X i.OOOOOE;+OO 
2 
X 1.00000E+OO 
3 
X 1. OOOOOE-t·OO 
4 
X i . OOOOOE+OO 
5 
X 1 . 00000[+00 
6 
TOLERANCIA 
ITERACAO 3 
X 1.11431E+OO 
i 
X 2 .94~00E+OO 
2 
X ... 7. 48099E-t·OO 
3 
X '7 .89987E-Oi 
4 
X ·-·3 . 19436E--Oi 
5 
X t. 28685E+OO 
6 
TOLERANCIA 6. 89968E-·01 
Simmas Lineares 59 
1 2 
1.57000E-01 1 .58499E+OO 
4.17240E+OO 2. 59987E+OO 
-·7 . 33667E+OO 
-·7 .04319E+OO 
·--8. 7 iOOOE ... o 1 5 . l. 6 7:.)é,E·--<:H 
... 9. OEIBB'rE .. · O i i . Oi51BE .. ·O~~ 
8 . 23500 E- Oi 5 . 96B8~!E .. -O 1 
8 . 33667E+OO 1. 57253E+OO 
4 5 
1. 26600E+OO 1.2347 4E+OO 
3.08848[+00 3.01013E+OO 
-7.::15781E+OO -7 . 38721E-t·OO 
7 .84021E-.. 01 8 . 25085E-01 
-3 .75825E··01 - 4 . 04766E- Oi 
9 . 74320E-·01 i .00788E+OO 
3. 12530[""01 7 .83472E-02 
60 CÁLCULO NUMtRICO 
ITERACAO 6 7 
X l, . ~~527()[+()() l . • 2492~H:>tOO 
1 
X 3 . 0l.677E+OO 3 . 0l.873E+OO 
2 
X - 7 . 399é,8E+OO •· 7 . 4 0Qé,3E +00 
3 
X 8 . 26314E·-Ol B. 320~'9E-.. O l. 
4 
X - 3 . 90575E- 01. - 3 . 9 2807E·-D 1 
5 
X l . • Oi024E+OO i .016 58[+0 0 
6 
TOLERANCIA 1. 79557E:-O~~ 6. :34~.~77E ... ()3 
ITERACAO 9 10 
X l.. 2 499 1.E+OO 1 . 25001E+OO 
1 
X ~~ . Dl. 9';>6E+Cl0 3.01993E+OCJ 
2 
X - 7 . 39982E+ OU - 7 .40001E+ OO 
3 
X 8 • 2985'?E ··O 1 8 . 29981E- 01 
4 
X ... ,l . 941~.>~iE .... IJi ·<~ . 9::l'Y75E··-íH 
"'' ,; 
X 1.0 1381[ -•·0 0 1. . Di398 E+OO 
6 
TOLERANCrA 8. 4~~207E .. · 04 1 . 89304E--04 
VETOR SOLUCAO 
X i. 25 0 00E+OO 
i 
X 3.01999E+OO 
2 
8 
i . ~!49'r4E+CIO 
3 .D2080E+OO 
-7 . 3~972E+OO 
8 . ~!97~!6[- 01 
·- 3 . 9395~iE ·-·OJ. 
l . . 01388[~ ()() 
2. 699o;:~E .... mi 
1 1 
i.25000E+OO 
3.01999E~·OO 
- 7 .40001E+OO 
a . ::m o 21E-01. 
·-:3 ; 93982E·-01 
t.01 4 03E+OO 
5.69820E-05 
SÉ!emas Lineares 61 
)( 
-7 .40001E+OO 
3 
)( 8.30021.E·-O i 
4 
X -3 . 93 982E-Oi 
5 
X i.Ol.403E+OO 
6 
2.3.4. Exercícios de Fixação 
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi 
com no máximo 10 iterações: ' 
V.4.1. X(o) = [O O O o )T e € < 10- 2 
x 1 - 0,25x2 - 0,25x3 
- 0,25x1 + x2 
- 0,25x1 + 
2.3.4.2. x<0 l = [o o o o f e € < 10- 2 
2.3.4.3. 
4x l + X2 + X3 + X4 = 7 
2x1 - 8x2 + x3 - X4 = -6 
Xt + 2x2 - 5x3 +