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Métodos Quantitativos Aplicados
Curso: 
Unidade Curricular: Métodos Quantitativos Aplicados
Professora: Verônica Pereira Moreira
Aluno (a): ________________________________________________ 2015/01
Métodos 
Quantitativos 
Aplicados
Profª. Verônica Moreira
 Email: veronica.moreira@oi.com.br
Unidade 1
Razão e Proporção
 Introdução
Se a mensalidade da faculdade sofresse hoje um reajuste de R$ 80,00, como você reagiria ? Acharia caro, normal ou abaixo da expectativa ? Apesar de parecer caro no reajuste da mensalidade, esse mesmo valor seria considerado insignificante caso se tratasse de um acréscimo no seu salário. 
Naturalmente, você já percebeu que R$ 80,00 nada representa se não for comparado a um valor-base e avaliado de acordo com a natureza da comparação. Por exemplo, se a mensalidade fosse de R$ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto, afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso de uma mensalidade de R$ 1000,00, o aumento não seria muito significativo. 
A fim de esclarecer melhor esse tipo de problema, vamos estabelecer regras para a comparação entre grandezas.
 
Razão
Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 10 estudantes, 7 são meninas”, “De cada 100 funcionários, 5 faltam uma vez por mês”. Em cada uma dessas frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 7 entre 10; no segundo, 5 entre 100. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão. 
Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Geralmente, indicamos da seguinte maneira: 
 ou 
 (lemos: a para b).
Os números a e b são os termos da razão, e a é chamado de antecedente e b, conseqüente da razão.
Exemplo 1. A razão de 7 para 10 é: 
.
 A razão de 5 para 100 é: 
 .
 A razão entre 5 e 
 é: 
.
 A razão entre 
 e 7 é: 
.
Razão de Duas Grandezas
Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda.
Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso a razão será simplesmente um número sem unidade.
Exemplo 2. A razão de 20m para 30m é: 
.
Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.
Exemplo 3. Um automóvel percorre 168km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é: 
Proporção
O conceito de proporcionalidade, obtido por meio da idéia de razão, é de fundamental importância na área biomédica, farmacêutica, química, humana, etc. É por intermédio desse conceito simples que resolveremos situações-problema da área de administração, recursos humanos, etc. Neste capítulo vamos nos familiarizar com tais conceitos e suas aplicações.
Dados, em certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).
Simbolicamente, representamos uma proporção por:
 (e lemos: “a está para b, assim como c está para d”).
Exemplo 4. Ao dizer que de 40 alunos entrevistados 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.
 (10 está para 40 assim como 20 está para 80)
Exemplo 5. 18 está para 6, assim como 27 está para 9, pois 
.
Exemplo 6. 2 está para 
, assim como 
 está para 
, pois 
.
Comentário: Na proporção 
, os termos a e d são chamados de extremos e os termos b e c são chamados de meios, isto é:
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, isto é:
Exemplo 7. Dada a proporção 
, temos:
Cálculo de um Termo Desconhecido
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer, quando os outros três termos são conhecidos.
Exemplo 9. Determine o valor de d na proporção 
.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
.
Exemplo 10. Determine o valor de b na proporção 
.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
.
Atividades
Exercício 1. Estabeleça a razão em cada caso:
a) De cada 30 carros vistoriados 7 não estão em perfeitas condições.
b) De cada 40 camisetas fabricadas, 1 sai com defeito.
c) Trabalho 4 horas e descanso 1.
Exercício 2. O censo de uma cidade mostrou que 1300 pessoas tinham idade acima de 40 anos, 26000 estavam entre 20 e 40 anos de idade e 30000 eram menores de 20 anos. Estabeleça a razão entre:
a) os habitantes com mais de 40 anos e os de 20 a 40 anos;
b) os habitantes com mais de 40 anos e todos os habitantes da cidade; 
c) os menores de 20 anos e todos os habitantes da cidade.
Exercício 3. Verifique se são verdadeiras as proporções:
			b)
		c) 
		d) 
Exercício 4. Determine o valor x nas proporções:
				b) 
				c) 
Exercício 5. Determine x e y nas proporções:
a) 
				b) 
			c) 
Respostas: 1. a) 
, b) 
, c) 
; 2. a) 
, b) 
, c) 
; 3. a,c e d são verdadeiras; 4. a) 
, b) 
, c) 6; 5. a) 
, b) 
, c) 
; 
Regra de Três
Introdução
No dia a dia, você lida com situações que envolvem números, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade, etc. A partir de agora, passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Cada grandeza não é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por exemplo, está relacionado aos dias de trabalho. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa.
Grandezas Diretamente Proporcionais
	Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nessa mesma razão.
Exemplo 1. Horas de trabalho e salário (ao aumentarmos as horas de trabalho, também aumentamos o salário);
Exemplo 2. Área e preço de terrenos (se diminuirmos a área de um terreno, também diminuiremos seu preço).
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
Exemplo 3. Velocidade média e tempo de viagem (se dobrarmos a velocidade com que andamos, mantendo fixa a distancia a ser percorrida, reduziremos o tempo de percurso pela metade).
Regra de Três
Chamamos de regra de três simples o processo pratico utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto termo é procurado.
Chamamos de regra de três composta o processo pratico utilizado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais.
Exemplo 4. Comprei 6m de tecido por R$15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Solução: Note que essas grandezas (comprimento e peso) são diretamente proporcionais, assim, se aumentarmos o tamanho do tecido, o preço aumentará na mesma proporção. Assim, a proporção necessária será de:
Logo, o preço procurado é R$ 20,00.
Exemplo 5. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?
Solução: Note que, nesse caso, as grandezas (operários e dias) são inversamenteproporcionais, o que torna necessária uma inversão de termos em qualquer uma das colunas.
	
Operários
	Dias de trabalho
	6
	10
	20
	x
Logo, seriam necessários 3 dias.
Atividades
Exercício 1. Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
Exercício 2. Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ? 
Exercício 3. Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ? 
Exercício 4. Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
Exercício 5. Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas. 
a)  Quantos minutos atrasará em 72 horas ? 		
b)  Quantos minutos atrasará em 18 dias ? 
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
Exercício 6. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a: 
a) 10              		 b) 12      	  		         c) 15              		    d) 18 
Exercício 7. (CEF / Escriturário) - Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:
a) 4             		  b) 5      			           c) 6          		        d) 7 
Exercício 8. (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
	a) 19,5 %     
	b) 20%        c) 20,5%        d) 21%         e) 21,5%
Respostas: 1. 702 litros; 2. 532 km; 3. 15 litros; 4. 6 min; 5. a) 9 min, b) 54 min, c) 15 dias; 6. c; 7. c; 8. b.
Porcentagem
Introdução
	O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal %. Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples cálculo de proporção.
	Qualquer número, expresso na notação decimal, pode ser escrito como uma porcentagem, deslocando-se simplesmente a vírgula duas casas para direita e acrescentando o símbolo %. 
Exemplo 1. 
	Inversamente, para exprimir dada porcentagem como um número, suprimimos o sinal % e deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda. 
Exemplo 2. 
Exemplo 3. Qual será o preço final de uma máquina de lavar que custa R$ 800,00 se a ela for dado um desconto de 40%?
 
Preço final = 800 – 320 = R$ 480,00
Exemplo 4. Por quanto devo vender um imóvel que comprei por R$ 58 500,00 a fim de obter um lucro de 10% sobre o preço de compra?
Exemplo 5. Uma mercadoria comprada por R$ 1 550,00 foi vendida por R$ 1 860,00. Qual foi a porcentagem de lucro sobre a compra?
Atividades
Exercício 1. Paulo paga pelo aluguel de um apartamento $ 1 050,00 por mês. No próximo mês o aluguel terá um aumento de 22%. Qual será o valor do novo aluguel? 
Exercício 2. Se 42% dos 2000 alunos de uma escola são homens, quantas são as mulheres? 
Exercício 3. Diana pesava 56 kg e engordou, passando a pesar 63 kg. Qual o aumento porcentual que houve no peso de Diana? 
Exercício 4. Por quanto devo vender um objeto que comprei por $ 4 000,00, a fim de obter um lucro de 20% sobre a compra ? 
Exercício 5. Calcule o prejuízo e o preço de venda de um objeto que comprei por $ 6 000,00 tendo uma perda de 30% sobre o preço da compra. 
Exercício 6. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?
Exercício 7. Na venda de um objeto foram ganhos 5% sobre o preço de venda, ou seja, $ 200,00. Qual foi o preço de custo? 
Exercício 8. Uma mercadoria comprada por $ 350,00 foi vendida por $ 420,00. Qual foi a porcentagem de lucro sobre a compra? 
Exercício 9. Investindo $ 15 000,00 à taxa fixa de 20%, quanto terei de lucro? 
Exercício 10. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres? 
Exercício 11. Numa classe de 45 alunos, 40% são meninas. Quantos são os meninos? 
Exercício 12. O salário de uma pessoa é $ 1 600,00. No entanto, todo mês ela tem um desconto de 9%. Quanto ela recebe? 
Exercício 13. Como desenhista numa editora, Carlinhos recebia salário de $ 1 950,00. Ele teve um aumento de 16%. Qual é o seu novo salário?
Exercício 14. Uma mistura de 96 kg contém 14,4 kg de cobre. Que porcentagem de cobre há na mistura? 
Exercício 15. Luis Antônio comprou uma televisão de $ 695,00 com desconto de 18%. Quanto pagou pelo aparelho?
Respostas: 1. $ 1 281,00; 2. $ 1 160,00; 3. 12,5%; 4. $ 4 800,00; 5. $ 1 800,00; 6. $ 42 000,00; 7. $ 3 800,00; 8. 20%; 9. $ 3000,00; 10. 110 000; 11. 27 meninos; 12. $ 1 456,00; 13. $ 2 262,00; 14. 15%; 15. $ 569,90.
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extremo
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