Resumo algebra Linear

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Revisa˜o de a´lgebra linear
Obs. Apenas uma pequena parte deste material sera´ utilizado em sala
de aula.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ fornecer a base matema´tica para a ana´lise e
s´ıntese de sistemas de controle.
No estudo de a´lgebra linear a noc¸a˜o de conjunto e´ um conceito
fundamental.
Def. Um conjunto e´ definido como sendo uma colec¸a˜o de objetos e e´
explicitado listando-se seus elementos.
F = {0, 1, 2, · · · }
Uma outra forma de explicitar um conjunto e´ evidenciando alguma
propriedade comum de seus elementos:
F = {x ∈ R / x ≥ 0}
Conjuntos de interesse particular:
R : conjunto dos nu´meros reais
C : conjunto dos nu´meros complexos
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Corpos nume´ricos
Def. Um corpo nume´rico e´ um conjunto, denotado por F , de elementos
escalares e duas operac¸o˜es: adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o - ambas definidas sobre
F , satisfazendo as seguintes propriedades:
1. ∀α, β ∈ F , α+ β ∈ F , αβ ∈ F
2. Os nu´meros 0 e 1 sa˜o elementos de F tais que:
• α+ 0 = α ∀α ∈ F
• 1α = α ∀α ∈ F
3. ∀α ∈ F enta˜o ∃ − α ∈ F
4. ∀α �= 0 ∈ F enta˜o ∃ 1
α
∈ F
5. Associatividade: ∀α, β, γ ∈ F
• (α+ β) + γ = α + (β + γ)
• (αβ)γ = α(βγ)
6. Comutatividade : ∀α, β ∈ F
• α+ β = β + α
• αβ = αβ
7. Distributividade: ∀α, β, γ ∈ F
• (α+ β)γ = αγ + βγ
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Corpos nume´ricos
Exemplos:
1. S = {0, 1} com as definic¸o˜es usuais de soma e de multiplicac¸a˜o na˜o
formam um corpo pois:
1 + 1 = 2
Entretanto, se redefinirmos as operac¸o˜es: sendo:
0 + 0 = 0 ; 1 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1
0.1 = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.1 = 1
Com essas operac¸o˜es S = {0, 1} forma um corpo.
2. Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2× 2 da forma:
M =

 x −y
y x


onde x, y sa˜o nu´meros reais arbitra´rios. A soma e de multiplicac¸a˜o de
matrizes sa˜o as usuais. Sejam os elementos neutros da soma e da
multiplicac¸a˜o:
0 =

 0 0
0 0

 ; I =

 1 0
0 1


Verificar que forma um corpo.
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Espac¸os lineares
Consistem de um conjunto X de elementos chamados vetores.
• Operac¸o˜es soma vetorial e multiplicac¸a˜o por escalar.
• Elemento nulo 0 ∈ X
Propriedades:
1. x+ y = y + x , ∀ x, y ∈ X (comutativa)
2. (x+ y) + z = x+ (y + z) , ∀ x, y, z ∈ X (associativa)
3. 0 + x = x , ∀ x ∈ X
4. ∀ x ∈ X , ∃ (−x) ∈ X tal que x+ (−x) = 0
5. (αβ)x = α(βx) , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X
6. α(x+ y) = αx+ αy , ∀ α ∈ R , ∀ x, y ∈ X
7. (α + β)x = αx+ βx , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X
8. 1x = x , ∀ x ∈ X
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Exemplos
• Espac¸o X = Rn, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o vetorial e multiplicac¸a˜o
por escalar definidas de maneira convencional
• Y = {0} , 0 ∈ Rn
• Z = span(v1, v2, . . . , vk) , vi ∈ Rn , i = 1, . . . , k
span(v1, v2, . . . , vk) =
{
α1v1 + · · ·+ αkvk : αi ∈ R
}
• W =
{
f : R+ → Rn , f diferencia´vel
}
(f1 + f2)(t) = f1(t) + f2(t) (soma)
(αf)(t) = αf(t) (multiplicac¸a˜o por escalar)
Note que um elemento em W e´ uma trajeto´ria no Rn
• V =
{
x ∈ W : x˙ = Ax
}
Os elementos de V sa˜o trajeto´rias do Rn soluc¸o˜es do sistema linear
x˙ = Ax
• Espac¸o dos polinoˆmios em s de grau menor ou igual a n
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Subespac¸os lineares
Um subespac¸o vetorial e´ um subconjunto que e´ tambe´m um espac¸o
vetorial
Definic¸a˜o W e´ um subespac¸o vetorial de (V ,F) se as seguintes condic¸o˜es
sa˜o verificadas:
• 0 ∈ W
• ∀w1, w2 ∈ W enta˜o w1 + w2 ∈ W
• ∀α ∈ F e ∀w ∈ W enta˜o αw ∈ W
Exemplos:
• X ,Y ,Z sa˜o subespac¸os do Rn
• V e´ um subespac¸o de W
• x ∈ R2 : x =

 x1
αx1

 e´ um subespac¸o do R2
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Independeˆncia linear. Base e Representac¸o˜es
• Os paraˆmetros considerados neste curso sa˜o nu´meros reais (a menos que
seja especificado diferentemente).
Matrizes: A (n×m), B (m× r), C (l × n), D (r × p)
Seja ai a i-e´sima coluna de A e bj a j-e´sima linha de B:
AB =
[
a1 a2 · · · am
]


b1
b2
...
bm


= a1b1 + a2b2 + · · ·+ ambm
CA = C
[
a1 a2 · · · am
]
=
[
Ca1 Ca2 · · · Cam
]
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BD =


b1
b2
...
bm

D =


b1D
b2D
...
bmD


aibi: matriz n por r (vetor n× 1 multiplicado por vetor 1× r)
biai: so´ esta´ definido para n = r (escalar)
• Espac¸o real de dimensa˜o n: Rn
Cada vetor x ∈ Rn e´ uma eˆnupla de nu´meros reais
x =


x1
x2
...
xn


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Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn}, xi ∈ Rn, e´ linearmente
dependente (LD) se e somente se existem escalares α1, α2, . . . , αn,na˜o
todos nulos, tais que
α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0
Se a igualdade for verdadeira apenas para
α1 = α2 = · · · = αn = 0
diz-se enta˜o que o conjunto {x1, x2, . . . , xn} e´ linearmente independente
(LI).
Se um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e´ linearmente dependente,
existe pelo menos um αi diferente de zero e (por exemplo, se α1 �= 0)
x1 = − 1
α1
[α2x2 + α3x3 · · ·+ αnxn]
isto e´, um dos vetores (mas na˜o necessariamente qualquer um) pode ser
escrito como uma combinac¸a˜o linear dos demais.
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Equivalentemente, os vetores sa˜o LI se
α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = β1x1 + β2x2 + · · ·+ βnxn
=⇒ α1 = β1 ; α2 = β2 ; · · · ; αn = βn
Ou ainda, se nenhum vetor xi puder ser expresso como combinac¸a˜o linear
dos demais.
O conceito de dependeˆncia linear depende do tipo (corpo) do escalar
considerado.
Considere o conjunto das func¸o˜es racionais em s
{
s
s+ 1
,
1
s+ 2
}
Na˜o existem escalares reais α1, α2 na˜o todos nulos tais que
α1
s
s+ 1
+ α2
1
s+ 2
= 0
No entanto, para escalares pertencentes ao corpo das func¸o˜es racionais
em s, a igualdade vale se
α1 = − 1
s+ 2
; α2 =
s
s+ 1
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Dimensa˜o
A dimensa˜o de um espac¸o vetorial e´ o nu´mero ma´ximo de vetores LI
desse espac¸o.
• Assim, no Rn ha´ no ma´ximo n verores LI.
• A dimensa˜o de um espac¸o vetorial pode ser infinita: considere o espac¸o
das func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [a, b]. Em particular, as func¸o˜es
t, t2, t3, . . ..
∞∑
i=1
αit
i = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = · · · = 0
Um conjunto de vetores LI do Rn e´ uma base se qualquer vetor x ∈ Rn
puder ser expresso de forma u´nica como uma combinac¸a˜o linear destes
vetores.
• Em um espac¸o de dimensa˜o n, qualquer conjunto de n vetores LI forma
uma base
• Quaisquer duas bases de um espac¸o n-dimensional possuem o mesmo
nu´mero de elementos.
Seja {q1, q2, . . . , qn} uma base para o Rn, enta˜o qualquer vetor x ∈ Rn
pode ser escrito de maneira u´nica como
x = α1q1 + α2q2 + · · ·+ αnqn
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Definindo a matriz quadrada Q (n× n)
Q �
[
q1 q2 · · · qn
]
x = Q


α1
α2
...
αn

 = Qα
α �
[
α1 α2 · · · αn
]′
e´ a representac¸a˜o de x na base {q1, q2, . . . , qn}.
A qualquer vetor x ∈ Rn, pode-se associar a base ortonormal
e1 =


1
0
0
...
0
0


, e2 =


0
1
0
...
0
0


, . . . , en =


0
0
0
...
0
1


EEL