Resumo algebra Linear

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Revisa˜o de a´lgebra linear
Obs. Apenas uma pequena parte deste material sera´ utilizado em sala
de aula.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ fornecer a base matema´tica para a ana´lise e
s´ıntese de sistemas de controle.
No estudo de a´lgebra linear a noc¸a˜o de conjunto e´ um conceito
fundamental.
Def. Um conjunto e´ definido como sendo uma colec¸a˜o de objetos e e´
explicitado listando-se seus elementos.
F = {0, 1, 2, · · · }
Uma outra forma de explicitar um conjunto e´ evidenciando alguma
propriedade comum de seus elementos:
F = {x ∈ R / x ≥ 0}
Conjuntos de interesse particular:
R : conjunto dos nu´meros reais
C : conjunto dos nu´meros complexos
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 1
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Corpos nume´ricos
Def. Um corpo nume´rico e´ um conjunto, denotado por F , de elementos
escalares e duas operac¸o˜es: adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o - ambas definidas sobre
F , satisfazendo as seguintes propriedades:
1. ∀α, β ∈ F , α+ β ∈ F , αβ ∈ F
2. Os nu´meros 0 e 1 sa˜o elementos de F tais que:
• α+ 0 = α ∀α ∈ F
• 1α = α ∀α ∈ F
3. ∀α ∈ F enta˜o ∃ − α ∈ F
4. ∀α �= 0 ∈ F enta˜o ∃ 1
α
∈ F
5. Associatividade: ∀α, β, γ ∈ F
• (α+ β) + γ = α + (β + γ)
• (αβ)γ = α(βγ)
6. Comutatividade : ∀α, β ∈ F
• α+ β = β + α
• αβ = αβ
7. Distributividade: ∀α, β, γ ∈ F
• (α+ β)γ = αγ + βγ
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Corpos nume´ricos
Exemplos:
1. S = {0, 1} com as definic¸o˜es usuais de soma e de multiplicac¸a˜o na˜o
formam um corpo pois:
1 + 1 = 2
Entretanto, se redefinirmos as operac¸o˜es: sendo:
0 + 0 = 0 ; 1 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1
0.1 = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.1 = 1
Com essas operac¸o˜es S = {0, 1} forma um corpo.
2. Considere o conjunto M2×2 de todas as matrizes 2× 2 da forma:
M =

 x −y
y x


onde x, y sa˜o nu´meros reais arbitra´rios. A soma e de multiplicac¸a˜o de
matrizes sa˜o as usuais. Sejam os elementos neutros da soma e da
multiplicac¸a˜o:
0 =

 0 0
0 0

 ; I =

 1 0
0 1


Verificar que forma um corpo.
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Espac¸os lineares
Consistem de um conjunto X de elementos chamados vetores.
• Operac¸o˜es soma vetorial e multiplicac¸a˜o por escalar.
• Elemento nulo 0 ∈ X
Propriedades:
1. x+ y = y + x , ∀ x, y ∈ X (comutativa)
2. (x+ y) + z = x+ (y + z) , ∀ x, y, z ∈ X (associativa)
3. 0 + x = x , ∀ x ∈ X
4. ∀ x ∈ X , ∃ (−x) ∈ X tal que x+ (−x) = 0
5. (αβ)x = α(βx) , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X
6. α(x+ y) = αx+ αy , ∀ α ∈ R , ∀ x, y ∈ X
7. (α + β)x = αx+ βx , ∀ α, β ∈ R , ∀ x ∈ X
8. 1x = x , ∀ x ∈ X
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Exemplos
• Espac¸o X = Rn, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o vetorial e multiplicac¸a˜o
por escalar definidas de maneira convencional
• Y = {0} , 0 ∈ Rn
• Z = span(v1, v2, . . . , vk) , vi ∈ Rn , i = 1, . . . , k
span(v1, v2, . . . , vk) =
{
α1v1 + · · ·+ αkvk : αi ∈ R
}
• W =
{
f : R+ → Rn , f diferencia´vel
}
(f1 + f2)(t) = f1(t) + f2(t) (soma)
(αf)(t) = αf(t) (multiplicac¸a˜o por escalar)
Note que um elemento em W e´ uma trajeto´ria no Rn
• V =
{
x ∈ W : x˙ = Ax
}
Os elementos de V sa˜o trajeto´rias do Rn soluc¸o˜es do sistema linear
x˙ = Ax
• Espac¸o dos polinoˆmios em s de grau menor ou igual a n
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Subespac¸os lineares
Um subespac¸o vetorial e´ um subconjunto que e´ tambe´m um espac¸o
vetorial
Definic¸a˜o W e´ um subespac¸o vetorial de (V ,F) se as seguintes condic¸o˜es
sa˜o verificadas:
• 0 ∈ W
• ∀w1, w2 ∈ W enta˜o w1 + w2 ∈ W
• ∀α ∈ F e ∀w ∈ W enta˜o αw ∈ W
Exemplos:
• X ,Y ,Z sa˜o subespac¸os do Rn
• V e´ um subespac¸o de W
• x ∈ R2 : x =

 x1
αx1

 e´ um subespac¸o do R2
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Independeˆncia linear. Base e Representac¸o˜es
• Os paraˆmetros considerados neste curso sa˜o nu´meros reais (a menos que
seja especificado diferentemente).
Matrizes: A (n×m), B (m× r), C (l × n), D (r × p)
Seja ai a i-e´sima coluna de A e bj a j-e´sima linha de B:
AB =
[
a1 a2 · · · am
]


b1
b2
...
bm


= a1b1 + a2b2 + · · ·+ ambm
CA = C
[
a1 a2 · · · am
]
=
[
Ca1 Ca2 · · · Cam
]
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BD =


b1
b2
...
bm

D =


b1D
b2D
...
bmD


aibi: matriz n por r (vetor n× 1 multiplicado por vetor 1× r)
biai: so´ esta´ definido para n = r (escalar)
• Espac¸o real de dimensa˜o n: Rn
Cada vetor x ∈ Rn e´ uma eˆnupla de nu´meros reais
x =


x1
x2
...
xn


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Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn}, xi ∈ Rn, e´ linearmente
dependente (LD) se e somente se existem escalares α1, α2, . . . , αn,na˜o
todos nulos, tais que
α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0
Se a igualdade for verdadeira apenas para
α1 = α2 = · · · = αn = 0
diz-se enta˜o que o conjunto {x1, x2, . . . , xn} e´ linearmente independente
(LI).
Se um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e´ linearmente dependente,
existe pelo menos um αi diferente de zero e (por exemplo, se α1 �= 0)
x1 = − 1
α1
[α2x2 + α3x3 · · ·+ αnxn]
isto e´, um dos vetores (mas na˜o necessariamente qualquer um) pode ser
escrito como uma combinac¸a˜o linear dos demais.
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Equivalentemente, os vetores sa˜o LI se
α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = β1x1 + β2x2 + · · ·+ βnxn
=⇒ α1 = β1 ; α2 = β2 ; · · · ; αn = βn
Ou ainda, se nenhum vetor xi puder ser expresso como combinac¸a˜o linear
dos demais.
O conceito de dependeˆncia linear depende do tipo (corpo) do escalar
considerado.
Considere o conjunto das func¸o˜es racionais em s
{
s
s+ 1
,
1
s+ 2
}
Na˜o existem escalares reais α1, α2 na˜o todos nulos tais que
α1
s
s+ 1
+ α2
1
s+ 2
= 0
No entanto, para escalares pertencentes ao corpo das func¸o˜es racionais
em s, a igualdade vale se
α1 = − 1
s+ 2
; α2 =
s
s+ 1
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Dimensa˜o
A dimensa˜o de um espac¸o vetorial e´ o nu´mero ma´ximo de vetores LI
desse espac¸o.
• Assim, no Rn ha´ no ma´ximo n verores LI.
• A dimensa˜o de um espac¸o vetorial pode ser infinita: considere o espac¸o
das func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [a, b]. Em particular, as func¸o˜es
t, t2, t3, . . ..
∞∑
i=1
αit
i = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = · · · = 0
Um conjunto de vetores LI do Rn e´ uma base se qualquer vetor x ∈ Rn
puder ser expresso de forma u´nica como uma combinac¸a˜o linear destes
vetores.
• Em um espac¸o de dimensa˜o n, qualquer conjunto de n vetores LI forma
uma base
• Quaisquer duas bases de um espac¸o n-dimensional possuem o mesmo
nu´mero de elementos.
Seja {q1, q2, . . . , qn} uma base para o Rn, enta˜o qualquer vetor x ∈ Rn
pode ser escrito de maneira u´nica como
x = α1q1 + α2q2 + · · ·+ αnqn
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 11
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Definindo a matriz quadrada Q (n× n)
Q �
[
q1 q2 · · · qn
]
x = Q


α1
α2
...
αn

 = Qα
α �
[
α1 α2 · · · αn
]′
e´ a representac¸a˜o de x na base {q1, q2, . . . , qn}.
A qualquer vetor x ∈ Rn, pode-se associar a base ortonormal
e1 =


1
0
0
...
0
0


, e2 =


0
1
0
...
0
0


, . . . , en =


0
0
0
...
0
1


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Um vetor x na base ortonormal {e1, e2, . . . , en} se escreve
x =


x1
x2
...
xn

 = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen = In


x1
x2
...
xn


=⇒ se confunde com sua representac¸a˜o.
Exemplo: Considere o conjunto dos polinoˆmios de grau menor do que 4.
Base: e1 = s
3; e2 = s
2; e3 = s; e4 = 1
Se x = s3 + 4s2 − 4s+ 10, enta˜o
x =
[
e1 e2 e3 e4
]


1
4
−4
10

 ,
[
1 4 −4 10
]′
e´ a representac¸a˜o de x na base escolhida.
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Mudanc¸a de Base
Se β e β¯ sa˜o as representac¸o˜es de um vetor x ∈ Rn em relac¸a˜o a`s bases
{e1, e2, . . . , en} e {e¯1, e¯2, . . . , e¯n}, enta˜o
x =
[
e1 e2 · · · en
]
β =
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]
β¯
→ representar ei em termos de {e¯1, e¯2, . . . , e¯n} ou vice-versa.
Seja pi =


p1i
p2i
...
pni

 a representac¸a˜o de ei na base {e¯1, e¯2, . . . , e¯n}:
ei =
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]


p1i
p2i
...
pni


� Epi , i = 1, 2, . . . , n
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Usando notac¸a˜o matricial
[
e1 e2 · · · en
]
=
[
Ep1 Ep2 · · · Epn
]
= E
[
p1 p2 · · · pn
]
=
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]


p11 p12 · · · p1n
p21 p22 · · · p2n
...
...
. . .
...
pn1 pn2 · · · pnn


�
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]
P
x =
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]
Pβ =
[
e¯1 e¯2 · · · e¯n
]
β¯
Como a representac¸a˜o e´ u´nica: β¯ = Pβ
Analogamente, representando e¯i na base {e1, e2, . . . , en}, obte´m-se
β = Qβ¯
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→ conhecida a representac¸a˜o de um vetor numa base, a representac¸a˜o
em outra base pode ser automaticamente determinada:
β¯ = Pβ = PQβ¯ , ∀β¯
PQ = I → P = Q−1
Exemplo: polinoˆmios de grau menor do que 4.
Base: e¯1 = s
3 − s; e¯2 = s2 − s; e¯3 = s− 1; e¯4 = 1
Se x = s3 + 4s2 − 4s+ 10, enta˜o
x =
[
e¯1 e¯2 e¯3 e¯4
]


1
4
1
11


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Operadores lineares
Transformac¸a˜o Linear
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ um operador linear se
f(α1x1 + α2x2) = α1f(x1) + α2f(x2)
para quaisquer escalares α1, α2 e x1, x2 ∈ X .
y = f(x) ; x ∈ X (domı´nio) , y ∈ Y (range)
Exemplo: Seja g uma func¸a˜o cont´ınua sobre [0, T ]. A transformac¸a˜o
y(t) =
∫ T
0
g(t− τ)x(τ)dτ
e´ linear, levando do espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [0, T ] para
o mesmo espac¸o.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 17
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Teorema: Sejam X e Y espac¸os lineares de dimensa˜o n e m,
respectivamente. Sejam {x1, x2, . . . , xn} vetores LI de X . Enta˜o, o
operador linear L : X → Y e´ unicamente determinado pelos n pares
yi = L(xi), i = 1, 2, . . . , n. Ale´m disso, com relac¸a˜o a` base {x1, x2, . . . , xn}
de X e a` base {u1, u2, . . . , um} de Y , L pode ser representado por uma
matriz A m× n. A i-e´sima coluna de A e´ a representac¸a˜o de yi na base
{u1, u2, . . . , um}.
Prova: Como L e´ linear,
L(x) = L(α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn)
= α1L(x1) + α2L(x2) + · · ·+ αnL(xn)
= α1y1 + α2y2 + · · ·+ αnyn
Seja


a1i
a2i
...
ami

 a representac¸a˜o de yi na base {u1, . . . , um}
yi =
[
u1 u2 · · · um
]


a1i
a2i
...
ami

 , i = 1, 2, . . . , n
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Neste caso,
L(
[
x1 x2 · · · xn
]
) =
[
y1 y2 · · · yn
]
=
[
u1 u2 · · · um
]


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


�
[
u1 u2 · · · um
]
A
Em relac¸a˜o a`s bases {x1, x2, . . . , xn} e {u1, u2, . . . , um},
y = L(x)[
u1 u2 · · · um
]
β = L(
[
x1 x2 · · · xn
]
α)
=
[
u1 u2 · · · um
]
Aα =⇒ β = Aα
Para se descrever a transformac¸a˜o, na˜o ha´ diferenc¸a entre especificar x, y
ou α, β. E´ claro que A (representac¸a˜o da transformac¸a˜o linear) depende
das bases escolhidas.
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Transformac¸a˜o de Similaridade
Considere a transformac¸a˜o linear L : X → Y , com a mesma base para o
domı´nio X e o range Y .
{e1, e2, . . . , en} → A , {e¯1, e¯2, . . . , e¯n} → A¯
x
L
y (= L(x))[
e1 · · · en
]
α
[
e¯1 · · · e¯n
]
α¯
β (= Aα)
β¯ (= A¯α¯)
A
A¯
PP Q Q = P−1
β¯ = A¯α¯ ; β¯ = Pβ = PAα = PAP−1α¯
=⇒ A¯α¯ = PAP−1α¯ , ∀α
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A¯ = PAP−1 = Q−1AQ
A = P−1A¯P = QA¯Q−1
=⇒ Q = P−1
A, A¯ : matrizes similares
PAP−1, P−1A¯P : Transformac¸o˜es de Similaridade
Todas as representac¸o˜es de um operador linear sa˜o similares. Uma matriz
A ∈ Rn×n pode ser vista como a representac¸a˜o de um operador linear ou
como o operador linear propriamente dito.
Exemplo de transformac¸a˜o linear: A transformac¸a˜o que rotaciona
um ponto no plano de 90o no sentido anti-hora´rio
x1
x2 = y1
x3
y2
y3
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Em relac¸a˜o a` base {x1, x2}
y1 = L(x1) =
[
x1 x2
] 0
1


y2 = L(x2) =
[
x1 x2
] −1
0


Portanto,
A =

 0 −1
1 0


A representac¸a˜o de y3 com relac¸a˜o a` base {x1, x2} e´
β = Aα =

 0 −1
1 0



 1.5
0.5

 =

 −0.5
1.5



 1.5
0.5

 e´ a representac¸a˜o de x3 na base {x1, x2}
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 22
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Matriz como Operador Linear
Seja a func¸a˜o linear L : Rn → Rn descrita pela matriz A ∈ Rn×n
y = L(x) = A(α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn)
= α1Ax1 + α2Ax2 + · · ·+ αnAxn
=⇒ yi = Axi, i = 1 · · ·n
Na base ortonormal, xi = ei e, portanto, yi = Aei = ai (i-e´sima coluna de
A) que coincide com sua representac¸a˜o na base ortonormal unita´ria
(representac¸a˜o de A = A)
Exemplo
A =


3 2 −1
−2 1 0
4 3 1

 ; b =


0
0
1


Considere os vetores {b, Ab, A2b} (sa˜o LI):
Ab =


−1
0
1

 ; A2b =


−4
2
−3

 ; A3b =


−5
10
−13


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A¯ e´ a representac¸a˜o de A na base {b, Ab, A2b}:
A(b) =
[
b Ab A2b
]


0
1
0


A(Ab) =
[
b Ab A2b
]


0
0
1


A(A2b) =
[
b Ab A2b
]


17
−15
5


=⇒ A¯ =


0 0 17
1 0 −15
0 1 5


(Forma Companheira)
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Representac¸a˜o de A ∈ Rn×n na base {q1, q2, . . . , qn}
A¯ = Q−1AQ ; Q �
[
q1 q2 · · · qn
]
i-e´sima coluna de Q:
=⇒ representac¸a˜o de qi na base ortonormal {e1, . . . , en} = qi
A¯ = Q−1AQ → QA¯ = AQ
ou, como Q =
[
q1 q2 · · · qn
]
,
[
q1 q2 · · · qn
]
A¯ =
[
Aq1 Aq2 · · · Aqn
]
a¯i e´ a i-e´sima coluna de A¯, representac¸a˜o de Aq
i na base {q1, . . . , qn}.
Uma escolha adequada da base {q1, q2, . . . , qn} pode levar a
representac¸o˜es importantes.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 25
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Seja A ∈ Rn×n. Se existir um vetor b ∈ Rn×1 tal que o conjunto de n
vetores {b, Ab, A2b, . . . , An−1b} seja linearmente independente e se
An = β1b+ β2Ab+ · · ·+ βnAn−1b
enta˜o a representac¸a˜o de A na base {b, Ab, A2b, . . . , An−1b} e´ dada por
(forma companheira)
A¯ =


0 0· · · 0 β1
1 0 · · · 0 β2
0 1 · · · 0 β3
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 0 βn−1
0 0 · · · 1 βn


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 26
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✫
✩
✪
Ortonormalizac¸a˜o
Um vetor x esta´ normalizado se sua norma Euclidiana e´ igual a 1, ou
seja, x′x = 1.
Dois vetores x1 e x2 sa˜o ortogonais se x
′
1x2 = x
′
2x1 = 0.
Um conjunto de vetores {x1, x2, . . . , xn} e´ ortonormal se
x′ixj =

 0 se i �= j1 se i = j
Dado um conjunto de vetores LI {x1, x2, . . . , xn}, pode-se obter um
conjunto de vetores ortonormais atrave´s do procedimento de
ortonormalizac¸a˜o de Schmidt:
u1 = x1 q1 = u1/‖u1‖
u2 = x2 − (q′1x2)q1 q2 = u2/‖u2‖
...
...
un = xn −
n−1∑
k=1
(q′kxn)qk qn = un/‖un‖
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 27
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✫
✩
✪
A primeira equac¸a˜o apenas normaliza o vetor x1
Na segunda equac¸a˜o, (q′1x2)q1 e´ a projec¸a˜o do vetor x2 ao longo de q1, e
x2 − (q′1x2)q1 e´ necesssariamente ortogonal ao vetor q1.
x1 = u1
x2
q1
q2
u2
Se um conjunto de vetores u1, u2, . . . , un e´ ortonormal enta˜o
U �
[
u1 u2 · · · un
]
; U ′U = In
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 28
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✩
✪
Propriedades:
Se y = Ux, enta˜o
n∑
i=1
y2i =
n∑
i=1
x2i , ou
‖y‖2 = ‖Ux‖2 = (Ux)′(Ux) = x′U ′Ux = x′x = ‖x‖2
Em outras palavras, y = Ux e´ um mapeamento isome´trico (a
multiplicac¸a˜o por U na˜o altera a norma)
Se y = Ux e y˜ = Ux˜ enta˜o
〈
y, y˜
〉
=
〈
x, x˜
〉
(a multiplicac¸a˜o por U na˜o
altera o produto interno) pois
〈
y, y˜
〉
=
〈
Ux, Ux˜
〉
= (Ux)′(Ux˜) = x′U ′Ux =
〈
x, x˜
〉
e tambe´m na˜o altera o aˆngulo ∠
〈
y, y˜
〉
= ∠
〈
x, x˜
〉
Se U e´ ortonormal, a transformac¸a˜o linear y = Ux preserva a norma dos
vetores ‖Ux‖ = ‖x‖ e preserva o aˆngulo entre vetores
∠
〈
Ux, Ux˜
〉
= ∠
〈
x, x˜
〉
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 29
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✩
✪
Exemplos: Transformac¸o˜es de rotac¸a˜o ou reflexa˜o de vetores (de fato,
toda matriz ortogonal descreve ou uma rotac¸a˜o ou uma reflexa˜o).
• No R2, a transformac¸a˜o que roda um vetor (sentido anti-hora´rio) de θ e´
dada por
y = Uθx ; Uθ =

 cos θ − sin θ
sin θ cos θ


e1
e2
u1u2
θ
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 30
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✩
✪
• A reflexa˜o de um vetor na reta x2 = x1 tan( θ2) e´ dada por
y = Rθx ; Rθ =

 cos θ sin θ
sin θ − cos θ


e1
e2
u1
u2
θ
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 31
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✩
✪
O procedimento de ortonormalizac¸a˜o pode ser descrito como uma
transformac¸a˜o linear. Considere a matriz X formada pelos vetores
linearmente independentes {x1, x2, . . . , xn}
X =
[
x1 x2 · · · xn
]
Deseja-se determinar uma matriz F tal que
[
q1 q2 · · · qn
]
� Q = XF
A condic¸a˜o de que os vetores {q1, q2, . . . , qn} sejam ortonormais pode ser
escrita na forma
Q′Q = I =⇒ F ′RF = I ; R � X ′X
Sistema com n(n+ 1)/2 restric¸o˜es e n2 inco´gnitas (n(n− 1)/2 elementos
de F sa˜o arbitra´rios)
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 32
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✫
✩
✪
• Uma soluc¸a˜o particular pode ser obtida pela fatorizac¸a˜o de Cholesky da
matriz R, que produz uma matriz triangular superior L tal que R = L′L.
Assim,
F ′RF = F ′L′LF = (LF )′(LF ) = I
e F = L−1 aparece como soluc¸a˜o o´bvia.
• A fatorizac¸a˜o de Schur aplicada a` matriz R produz uma matriz unita´ria
V e uma matriz diagonal Ω composta pelos autovalores de R tal que
R = V ΩV ′, sugerindo como soluc¸a˜o
F = V Ω−0.5V ′ � R−0.5
A escolha da transformac¸a˜o F que ortonormaliza X pode ser ditada por
algum crite´rio espec´ıfico. Por exemplo, o objetivo pode ser encontrar Q
soluc¸a˜o do problema
min Tr (X −Q)′(X −Q)
sujeito a Q′Q = I
que equivale a minimizar a norma (ao quadrado) de xi − qi, i = 1, . . . , n.
Com isso, busca-se uma transformac¸a˜o que tente preservar o ma´ximo
poss´ıvel os vetores originais.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 33
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✪
Re-escrevendo em termos de F :
min Tr (X −XF )′(X −XF )
sujeito a F ′X ′XF = I
Desenvolvendo os termos que compo˜em a func¸a˜o objetivo
min Tr(X ′X + F ′X ′XF − F ′X ′X −X ′XF )
sujeito a F ′X ′XF = I
Substituindo a restric¸a˜o e lembrando que os termos constantes na func¸a˜o
objetivo na˜o influenciam na soluc¸a˜o F :
min Tr (−F ′X ′X −X ′XF ) = max Tr (2X ′XF )
sujeito a F ′X ′XF = I
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 34
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✩
✪
Procedimentos cla´ssicos para resolver problemas de otimizac¸a˜o com
restric¸o˜es podem ser usados.
• Escrevendo a func¸a˜o Lagrangeano L (F,Λ) (onde Λ e´ a varia´vel dual
sime´trica associada a` restric¸a˜o original do problema)
L (F,Λ) = Tr
[
2X ′XF + Λ(F ′X ′XF − I)
]
As condic¸o˜es de estacionariedade sa˜o dadas por
∂L
∂F
= 2(R +RΛF ) = 2R(I+ ΛF ) = 0
∂L
∂Λ
= (F ′X ′XF − I) = 0
Resolvendo em termos de F e de Λ:
F = −Λ−1 =⇒ (−Λ−1)X ′X(−Λ−1) = I =⇒ X ′X = Λ2
Λ =

 +(X
′X)0.5
−(X ′X)0.5
=⇒ F =

 −(X
′X)−0.5
+(X ′X)−0.5
A func¸a˜o objetivo original e´ dada por
min Tr (−2X ′XF ) = max Tr (2X ′XF )
e o o´timo e´ obtido para F = (X ′X)−0.5.
• Note que a soluc¸a˜o F = −(X ′X)−0.5 fornece a mesma base
ortonormalizada Q (apenas trocando o sinal dos vetores) e pode ser
interpretada como a transformac¸a˜o F que maximiza a diferenc¸a entre as
normas (ao quadrado) dos vetores de cada base. A soluc¸a˜o o´tima deste
problema de otimizac¸a˜o e´ a mesma obtida pela decomposic¸a˜o de Schur.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 35
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✩
✪
Exemplo: considere os vetores LI
x1 =


1
1
1

 , x2 =


1
2
3

 , x3 =


0
1
−1


X �
[
x1 x2 x3
]
Procedimento interativo:
u1 = x1 ; q1 =
u1
‖u1‖ =
1√
3


1
1
1

 =


0.5774
0.5774
0.5774


u2 = x2 − (u′1x2)u1 ; q2 =
u2
‖u2‖ =


−0.7071
0.0000
0.7071


u3 = x3 − (u′2x3)u2 − (u′1x3)u1 ; q3 =
u3
‖u3‖ =


−0.4082
0.8165
−0.4082


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 36
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✩
✪
Usando Cholesky na matriz R = X ′X:
L = chol(R) =


1.7321 3.4641 0
0 1.4142 −0.7071
0 0 1.2247

 , L′L = R
Q = XL−1 =
[
u1 u2 u3
]
Q′Q = I


[Q,L] = qr(X)
(decomposic¸a˜o triangular
ortonormal)
Usando Schur: [V,Ω] = schur(R) , R−0.5 = V Ω−0.5V ′
Q2 = XR
−0.5 =


0.9908 −0.0890 −0.1021
0.1348 0.5758 0.8064
0.0130 0.8127 −0.5825


Q′2Q2 = I
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 37
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✪
Exemplo: considere os vetores LI no plano x1, x2
X =
[
x1 x2
]
=

 1 2
3 0.5


Schmidt: Q =
[
q1 q2
]
=

 0.32 0.95
0.95 −0.32


Schur: U =
[
u1 u2
]
=

 0.1 1
1 −0.1


x1
x2
q1
q2
u1
u2
−u1
−u2
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 38
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✫
✩
✪
Sistema de equac¸o˜es alge´bricas lineares


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn




x1
x2
...
xn

 =


y1
y2
...
ym

 (Ax = y)
A (m× n) , x (n× 1) , y (m× 1)
aij, yi ∈ R : dados do sistema; xi ∈ R : inco´gnitas
Treˆs situac¸o˜es: m > n, m = n ou m < n
• Problema: dados A e y
1. ∃x : Ax = y?
2. Se existe soluc¸a˜o, qual o nu´mero de soluc¸o˜es LI?
Range da matriz A ∈ Rm×n e´ definido como o conjunto de todas as
poss´ıveis combinac¸o˜es lineares das colunas de A
R(A) �
{
y = Ax : x∈ Rn
}
⊆ Rm
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 39
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✩
✪
Rank da matriz A ∈ Rm×n e´ definido como a dimensa˜o do range de A
(ou, equivalentemente, como o nu´mero de colunas LI em A) e denotado
ρ(A).
Espac¸o nulo da matriz A consiste no conjunto de vetores x ∈ Rn tais
que Ax = 0. A dimensa˜o do espac¸o nulo e´ chamada de nulidade da
matriz A e denotada ν(A).
N (A) �
{
x ∈ Rn : Ax = 0
}
Note que y = Ax pode ser escrito
y = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan
e portanto xi ∈ R, i = 1, . . . , n sa˜o as ponderac¸o˜es das colunas de
A =
[
a1 a2 · · · an
]
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 40
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✩
✪
Propriedades
• Para A ∈ Rm×n
ν(A) = n− ρ(A)
rank A = nu´mero de colunas LI de A
= nu´mero de linhas LI de A
≤ min (n,m)
• N (A) e R(A) sa˜o espac¸os lineares; (N (A) e´ um subespac¸o do Rn e
R(A) e´ um subespac¸o do Rm)
• Se ν(A) = 0, N (A) = {0} e as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
· x pode ser determinado de maneira u´nica de y = Ax
· colunas de A sa˜o LI
· det(A′A) �= 0
• Se ν(A) = k, Ax = 0 possui k soluc¸o˜es LI
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 41
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✫
✩
✪
Exemplo: Considere a matriz A ∈ R3×5 dada por
A =


0 1 1 2 −1
1 2 3 4 −1
2 0 2 0 2

 =
[
a1 a2 a3 a4 a5
]
Ax = x1


0
1
2

+ x2


1
2
0

+ x3


1
3
2

+ x4


2
4
0

+ x5


−1
−1
2


a3 = a1 + a2 ; a4 = 2a2
a5 = a3 − a4 = a1 + a2 − 2a2 = a1 − a2
Ax = (x1 + x3 + x5)


0
1
2

+ (x2 + x3 + 2x4 − x5)


1
2
0


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 42
✬
✫
✩
✪
Como a1, a2 sa˜o LI =⇒ ρ(A) = 2
Ax = 0 ⇐⇒

 x1 + x3 + x5 = 0x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0
Nu´mero de Equac¸o˜es = ρ(A) = 2
Nu´mero de Inco´gnitas = 5
Nu´mero de Graus de Liberdade = 3
Poss´ıveis soluc¸o˜es LI:
v1 =


−1
−1
1
0
0


; v2 =


0
−2
0
1
0


, v3 =


−1
1
0
0
1


{v1, v2, v3} formam uma base de N (A) ; ν(A) = 3
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 43
✬
✫
✩
✪
Teorema
• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ Rm×1, existe uma soluc¸a˜o
x ∈ Rn×1 da equac¸a˜o
y = Ax
se e somente se y ∈ R(A) ou, equivalentemente,
ρ(A) = ρ(
[
A y
]
)
• Dada uma matriz A, uma soluc¸a˜o x de y = Ax existe para todo y se e
somente se ρ(A) = m (rank completo de linhas).
Teorema (parametrizac¸a˜o de todas as soluc¸o˜es)
• Dada uma matriz A ∈ Rm×n e um vetor y ∈ Rm×1, seja xp uma soluc¸a˜o
x ∈ Rn×1 da equac¸a˜o y = Ax e seja k = n− ρ(A) = ν(A) a nulidade de A.
Se ρ(A) = n (rank completo de colunas) a soluc¸a˜o xp e´ u´nica. Se k > 0,
enta˜o para todo αi ∈ R, i = 1, . . . , k o vetor
x = xp + α1n1 + α2n2 + · · ·+ αknk
sendo {n1, . . . , nk} uma base de N (A) e´ uma soluc¸a˜o de Ax = y. De fato,
Axp +
k∑
i=1
αiAni = Axp + 0 = y
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 44
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✩
✪
Desigualdade de Sylvester: para A ∈ Rq×n e B ∈ Rn×p
ρ(A) + ρ(B)− n ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B))
p
ρ(B)
N (B)
R(B)
n
d
ρ(A)
ν(A)
N (A)
R(A)}R(AB)q
AB
ν(B)
R
p
R
n
R
q
• domı´nio de AB = R(B);
• R(AB) = subespac¸o de R(A);
• ρ(AB) ≤ min (ρ(A), ρ(B));
• ρ(AB) = ρ(B)− d ; ν(A) = n− ρ(A) ⇒ d ≤ n− ρ(A);
• ρ(AB) ≥ ρ(A) + ρ(B)− n
Se B e´ uma matriz n× n na˜o singular
ρ(A) + ρ(B)− n = ρ(A) ≤ ρ(AB) ≤ min (ρ(A), n) ≤ ρ(A)
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 45
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✫
✩
✪
Seja A ∈ Rm×n. Enta˜o
ρ(AC) = ρ(A) ; ρ(DA) = ρ(A)
para quaisquer matrizes C ∈ Rn×n e D ∈ Rm×m na˜o singulares.
• O rank de uma matriz na˜o se altera ao ser pre´ ou po´s-multiplicada por
uma matriz na˜o singular.
Seja A ∈ Cm×n e A∗ sua conjugada transposta. Enta˜o,
• ρ(A) = n ⇐⇒ ρ(A∗A) = n ; det(A∗A) �= 0
• ρ(A) = m ⇐⇒ ρ(AA∗) = m ; det(AA∗) �= 0
A∗A n× n ; AA∗ m×m
Observe que ρ(A) = n implica
• n ≤ m
• Aα = 0 ⇒ α = 0
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 46
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✫
✩
✪
Inversa
Se A ∈ Rn×n (matriz quadrada), A e´ invers´ıvel ou na˜o-singular se
det(A) �= 0.
Condic¸o˜es equivalentes:
• as colunas de A formam uma base para o Rn
• as linhas de A formam uma base para o Rn
• a equac¸a˜o y = Ax tem uma soluc¸a˜o u´nica x = A−1y para todo y ∈ Rn.
Em particular, a u´nica soluc¸a˜o de Ax = nesse caso e´ x = 0
• AA−1 = A−1A = I
• N (A) = {0}
• R(A) = Rn
• det(A′A) = det(AA′) �= 0
A−1 =
1
det(A)
Adj (A)
Adj (A): matriz adjunta da matriz A
Adj (A) = [Co (A)]′
Co (A): matriz cofatora de A, composta pelos cofatores Cij da matriz A.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 47
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✫
✩
✪
Considere o sistema y = Ax com A ∈ Rm×n e m > n (matriz retangular
em pe´), isto e´, o sistema tem mais equac¸o˜es do que inco´gnitas (pode na˜o
ter soluc¸a˜o).
Soluc¸a˜o aproximada: define-se um erro
e = Ax− y
e busca-se a soluc¸a˜o xa que minimiza ‖e‖, chamada soluc¸a˜o aproximada
de mı´nimos quadrados de Ax = y. xa e´ o ponto no R(A) que esta´ mais
pro´ximo de y, ou seja, Axa e´ a projec¸a˜o de y no R(A).
min ‖e‖2 = min (Ax− y)′(Ax− y)
Derivando-se a func¸a˜o objetivo (em relac¸a˜o a x) e igualando a 0
2x′A′A− 2y′A = 0
Assumindo que A tem rank completo (e portanto A′A e´ invers´ıvel)
xa = (A
′A)−1A′y
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 48
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✫
✩
✪
Note que xa e´ uma func¸a˜o linear de y, e xa = A
−1y se A e´ quadrada.
xa e´ a soluc¸a˜o exata de y = Ax se y ∈ R(A).
A† � (A′A)−1A′ e´ chamada de pseudo-inversa de A
A projec¸a˜o de y no R(A) e´ linear, dada por Axa = A(A′A)−1A′y e
A(A′A)−1A′ e´ chamada matriz de projec¸a˜o.
O erro e = Axa − y =
[
A(A′A)−1A′ − I
]
y e´ ortogonal ao R(A):
〈
e, Ax
〉
= y′
[
A(A′A)−1A′ − I
]′
Ax = 0
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 49
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✫
✩
✪
Estimador Mı´nimos Quadrados
Muitos problemas de reconstruc¸a˜o, inversa˜o ou estimac¸a˜o podem ser
colocados na forma y = Ax+∆ onde x e´ o vetor a ser estimado ou
reconstru´ıdo; y e´ o vetor de medidas e ∆ e´ o vetor de ru´ıdos ou erros de
medida.
Problema: encontre a estimativa xˆ que minimiza a diferenc¸a entre os
valores medidos y e o que deveria ser obtido se ∆ = 0.
Soluc¸a˜o: xˆ = (A′A)−1A′y
Considere o sistema y = Ax com A ∈ Rm×n e m < n (matriz retangular
deitada), isto e´, o sistema tem mais varia´veis do que equac¸o˜es (va´rias
escolhas de x podem levar ao mesmo y).
Assumindo que A tem rank completo de linhas m, o conjunto de todas as
soluc¸o˜es tem a forma
{
x : Ax = y
}
=
{
xp + z : z ∈ N (A)
}
sendo xp uma soluc¸a˜o particular qualquer. Os vetores z do espac¸o nulo de
A caracterizam as va´rias soluc¸o˜es para o problema (N (A) = n−m graus
de liberdade).
Uma soluc¸a˜o (de mı´nima norma) e´ dada por xm = A
′(AA′)−1y (como A
tem rank completo de linhas, AA′ e´ invers´ıvel). De fato, para qualquer
outra soluc¸a˜o x tem-se A(x−mm) = 0 e
(x− xm)′xm = (x− xm)′A′(AA′)−1y =
=
[
A(x− xm)
]′
(AA′)−1y = 0 =⇒ (x− xm) ⊥ xm
‖x‖2 = ‖xm + x− xm‖2 = ‖xm‖2 + ‖x− xm‖2 ≥ ‖xm‖2
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 50
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✫
✩
✪
A matriz A′(AA′)−1 e´ chamada de pseudo-inversa de A (rank completo de
linhas). Note que xm e´ ortogonal a N (A) (xm e´ a projec¸a˜o de 0 no
conjunto de soluc¸o˜es {x : Ax = y}).
O mesmo resultado poderia ser obtido com multiplicadores de Lagrange.
min x′x
sujeito a Ax = y
Introduzindo o multiplicador de Lagrande λ e escrevendo o Lagrangeano
L (x, λ) = x′x+ λ′(Ax− y)
As condic¸o˜es de otimalidadesa˜o
∂L
∂x
= 2x′ + λ′A = 0
∂L
∂λ
= (Ax− y)′ = 0
=⇒ x = −A′λ/2 ; λ = −2(AA′)−1y
=⇒ x = A′(AA′)−1y
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 51
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Autovalores, autovetores. Formas de Jordan
Um escalar λ ∈ C e´ um autovalor (valor pro´prio) de A ∈ Rn×n se existe
um vetor x ∈ Cn na˜o nulo tal que
Ax = λx
Qualquer vetor x ∈ C que satisfac¸a Ax = λx e´ chamado de autovetor
(vetor pro´prio) de A associado a λ (mais precisamente, esta e´ a definic¸a˜o
para autovetores a` direita de A).
• Ax = λx pode ser visto como (A− λI)x = 0
• ∃x ∈ Cn, x �= 0 : (A− λI)x = 0 ⇔ det(A− λI) = 0
• ∆(λ) � det(λI− A) : polinoˆmio (moˆnico) caracter´ıstico de A
• ∆(λ) = 0 : equac¸a˜o caracter´ıstica de A
• Grau de ∆(λ) = n e portanto A ∈ Rn×n possui n autovalores.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 52
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Exemplo: Considere a matriz A
A =

 a11 a12
a21 a22

 ; A− λI =

 a11 − λ a12
a21 a22 − λ


det (A− λI) = (λ− a11)(λ− a22)− a12a21
= λ2 − (a11 + a22)λ− (a12a21 − a11a22)
= λ2 −Tr(A)λ+ det(A)
det(A) =
n∑
j=1
aijCoij ; Coij : cofator de aij
Coij = (−1)i+jMij ; Mij : det de A sem a linha i e a coluna j
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 53
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Note que λ ∈ C e´ um autovalor de A ∈ Rn×n se
∆(λ) = det(λI− A) = 0
Essa condic¸a˜o e´ equivalente a` existeˆncia de y ∈ C tal que
y′A = λy′ =⇒ y′(λI− A) = 0
e qualquer y que satisfac¸a a relac¸a˜o acima e´ chamado de autovetor a`
esquerda de A (associado ao autovalor λ).
• Se v ∈ Cn e´ um autovetor associado a λ ∈ C, enta˜o v¯ (complexo
conjugado de v) e´ um autovetor associado a λ¯.
• Se v e´ um autovetor de A, a transformac¸a˜o linear A aplicada sobre v
produz um escalonamento de λ (na direc¸a˜o v).
• Matrizes na forma companheira


0 0 0 −α4
1 0 0 −α3
0 1 0 −α2
0 0 1 −α1

 ;


−α1 −α2 −α3 −α4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0


e suas transpostas teˆm o seguinte polinoˆmio caracter´ıstico:
∆(λ) = λ4 + α1λ
3 + α2λ
2 + α3λ+ α4
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 54
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Autovalores distintos
Teorema: Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores distintos de A e vi um
autovetor de A associado ao autovalor λi, i = 1, 2, . . . , n. Enta˜o, o
conjunto de autovetores {v1, v2, . . . , vn} e´ LI.
Prova: Primeiramente, note que
(A− λjI)vi =

 (λi − λj)vi , j �= i= 0 , j = i
Supondo (por absurdo) que {v1, v2, . . . , vn} e´ LD, existem escalares
α1, α2, . . . , αn na˜o todos nulos tais que
n∑
i=1
αivi = 0
Sem perda de generalidade, assuma α1 �= 0. Enta˜o,
(A− λnI)
n∑
i=1
αivi =
n−1∑
i=1
αi(λi − λn)vi
(A− λn−1I)(A− λnI)
n∑
i=1
αivi =
n−2∑
i=1
αi(λi − λn)(λi − λn−1)vi
...
α1(λ1 − λ2)(λ1 − λ3) · · · (λ1 − λn)v1 = 0
Como λi �= λj, j = 2, 3, . . . , n, α1 = 0, o que contradiz a hipo´tese inicial.
Como conclusa˜o,
{v1, v2, . . . , vn} LI → Base do Cn
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 55
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Forma Diagonal
Seja A¯ a representac¸a˜o de A na base formada pelos autovetores
{v1, v2, . . . , vn}. A i-e´sima coluna de A¯ = representac¸a˜o de Avi = λivi
na base {v1, v2, . . . , vn}. Enta˜o,
Avi =
[
v1 v2 · · · vi · · · vn
]


0
0
...
λi
...
0


A¯ =


λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn

 = Q
−1AQ
Q =
[
v1 v2 · · · vn
]
=⇒ Existe uma representac¸a˜o diagonal se todos os autovalores de A sa˜o
distintos.
• Q define uma transformac¸a˜o de similaridade que diagonaliza a matriz A
• Portanto, se Q =
[
v1 v2 · · · vn
]
e´ tal que A¯ = Q−1AQ e´ uma
matriz diagonal, enta˜o
AQ = QA¯ =⇒ Avi = λivi , i = 1 · · ·n
e {v1, v2, . . . vn} sa˜o autovetores LI de A.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 56
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Exemplo
A =


1 0 −1
0 2 0
0 0 3

 , λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
(A− λ1I)v1 = 0


0 0 −1
0 1 0
0 0 2




v11
v21
v31

 = 0


−v31 = 0
v21 = 0
2v31 = 0
→ v1 =


1
0
0


(A− λ2I)v2 = 0


−1 0 −1
0 0 0
0 0 1




v12
v22
v32

 = 0


−v12 − v32 = 0
v32 = 0
→ v2 =


0
1
0


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 57
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(A− λ3I)v3 = 0


−2 0 −1
0 −1 0
0 0 0




v13
v23
v33

 = 0


−2v13 − v33 = 0
−v23 = 0
→ v13 = −0.5v33 ; v3 =


−0.5
0
1


{v1, v2, v3} sa˜o LI A¯ =


1 0 0
0 2 0
0 0 3

 , Q =
[
v1 v2 v3
]
Considere entretanto
A =


1 0 −1
0 1 0
0 0 2

 , λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 58
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(A− λ1I)v1 = 0 =⇒


0 0 −1
0 0 0
0 0 1




v11
v21
v31

 = 0
Soluc¸o˜es LI: v1 =


1
0
0

 , v2 =


0
1
0


(A− λ3I)v3 = 0 =⇒


−1 0 −1
0 −1 0
0 0 0




v13
v23
v33

 = 0
; v3 =


−1
0
1

 , Q =
[
v1 v2 v3
]
• Multiplicidade Geome´trica (MG) de λ1 : 2 (nu´mero de soluc¸o˜es LI
associadas ao autovalor)
• No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geome´trica (MG) ≤
Multiplicidade Alge´brica (MA)
• Se a Multiplicidade Geome´trica for menor que a Multiplicidade
Alge´brica, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel determinar autovetores {v1, v2, v3} LI.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 59
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Autovalores complexos
Considere a matriz
A =


−1 1 1
0 4 −13
0 1 0


Polinoˆmio caracter´ıstico: (λ+ 1)(λ2 − 4λ+ 13)
Autovalores: −1, 2 + j3 e 2− j3
Note que autovalores complexos sempre aparecem em pares complexo
conjugados para matrizes com coeficientes reais.
Autovetores:


1
0
0

 ;


j
−3 + j2
j

 ;


−j
−3− j2
−j


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 60
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Q =


1 j −j
0 −3 + j2 −3− j2
0 j −j

 ; A¯ =


−1 0 0
0 2 + j3 0
0 0 2− j3


• Para autovalores na˜o distintos, nem sempre e´ poss´ıvel obter A¯ na forma
diagonal:
A =

 5 1
0 5

 , λ1 = λ2 = 5 , MA = 2
(A− λ1I)v1 = 0
⇒

 0 1
0 0



 v11
v21

 = 0
v1 =

 1
0


MG = 1
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 61
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Forma Canoˆnica de Jordan
Define-se como Jk(λ) o bloco de Jordan de dimensa˜o k × k associado ao
autovalor λ, dado por
Jk(λ) =


λ 1 0 · · · 0
0 λ 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · λ


∈ Ck×k
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n existe uma matriz na˜o singular Q tal que
A¯ = Q−1AQ =


Jk1(λ1)
Jk2(λ2)
. . .
Jkr(λr)


k1 + · · ·+ kr = n
sendo que A tem r autovalores distintos λ1, . . . , λr entre n poss´ıveis.
Associados aos r autovalores distintos, pode-se determinar r autovetores
LI {v1, v2, . . . , vr} a partir de
(A− λiI)vi = 0 , i = 1, 2, . . . , r
• A¯ e´ em geral bidiagonal superior, sendo diagonal no caso de n blocos de
Jordan de tamanho k = 1
• A forma de Jordan e´ u´nica para uma dada matriz A (salvo eventuais
permutac¸o˜es entre os blocos)
• Pode haver mu´ltiplos blocos associados ao mesmo autovalor
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 62
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Os autovetores associados ao bloco de Jordan Jki(λi) verificam:
[
vi1 vi2 · · · viki
]

λi 1 0 · · · 0
0 λi 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · λi


= A
[
vi1 vi2 · · · viki
]
Definindo vi1 � vi (autovetor associado ao autovalor λi) tem-se
λivi1 = Avi1 =⇒ (A− λiI)vi1 = 0
vi1 + λivi2 = Avi2 =⇒ (A− λiI)vi2 = vi1
...
vi(ki−1) + λiviki = Aviki =⇒ (A− λiI)viki = vi(ki−1)
• Note que sempre existe vi1 �= 0 tal que (A− λiI)vi1 = 0 (definic¸a˜o de
autovetor)
• Da equac¸a˜o que define vi2 tem-se
(A− λiI)(A− λiI)vi2 = (A− λiI)vi1 = 0

 (A− λiI)
2vi2 = 0
(A− λiI)vi2 �= 0
=⇒ Autovetor Generalizado de λi
v e´ um autovetor generalizado de grau 9 de A associado ao autovalor
λ se
(A− λI)�v = 0
(A− λI)�−1v �= 0
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 63
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Note que um autovetor generalizado v de grau 1 satisfaz
(A− λI)v = 0 ; v �= 0
e portanto e´ um autovetor.
• O nu´mero de blocos de Jordan associados ao autovalor λ e´ dado por
ν(A− λI)
• A forma canoˆnica de Jordan e´ u´til do ponto de vista conceitual, na˜o
sendo usada para ca´lculos computacionais.
Exemplo
A =


0 6 −5
1 0 2
3 2 4


∆(λ) = λ3 − 4λ2 + 5λ− 2 = ; λ1 = 2 , λ2 = λ3 = 1
Autovetor associado ao autovalor λ1 = 2:
(A− 2I)v1 =


−2 6 −5
1 −2 2
3 2 2




v1a
v1b
v1c

 = 0 ; v1 =


−2
1
2


Para o autovalor λ2 = 1:
(A− 1I)v2 =


−1 6 −5
1 −1 2
3 2 3

 v2 = 0
Note que a 3a linha e´ igual a` 1a mais (4×)2a =⇒ ν(A− 1I) = 1
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 64
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Portanto, existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1; com
isso, sabe-se que a forma de Jordan e´ dada por
A¯ = Q−1AQ =


2 0 0
0 1 1
0 0 1


Um autovetor v2 pode ser obtido da expressa˜o acima:
v2 =


−1
3/7
5/7


A partir de v21 � v2 pode-se determinar o autovetor generalizado v22
(A− 1I)v22 = v21 ; v22 =


−1
22/49
46/49


Q =
[
v1 v21 v22
]
• “Ajuda” do Matlab e´ importante.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 65
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Considere A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade alge´brica igual
a 4. Assuma que ν(A− λI) = 1. Assim,
(A− λI)v = 0
possui apenas uma soluc¸a˜o linearmente independente. Para formar uma
base do R4, treˆs outros vetores LI sa˜o necessa´rios. Os treˆs vetores
(autovetores generalizados) v2, v3 e v4 devem satisfazer as propriedades:
(A− λI)2v2 = 0
(A− λI)3v3 = 0
(A− λI)4v4 = 0
A partir do autovetor v, a cadeia de autovetores generalizados de
tamanho 4 pode ser gerada da seguinte forma:
v4 � v
v3 � (A− λI)v4 = (A− λI)v
v2 � (A− λI)v3 = (A− λI)2v
v1 � (A− λI)v2 = (A− λI)3v
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 66
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Como pode ser verificado, valem as propriedades: (A− λI)v1 = 0,
(A− λI)2v2 = 0, (A− λI)3v3 = 0 e (A− λI)4v4 = 0.
Os vetores gerados dessa maneira sa˜o LI. Das equac¸o˜es, obte´m-se
Av1 = λv1
Av2 = v1 + λv2
Av3 = v2 + λv3
Av4 = v3 + λv4
Forma de Jordan (representac¸a˜o na base {v1, v2, v3, v4}):
A¯ =


λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 1
0 0 0 λ


• Se a ordem dos vetores da base for invertida, a representac¸a˜o passa a
ser bidiagonal inferior.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 67
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Considere agora A ∈ R4×4 com um autovalor λ de multiplicidade
alge´brica igual a 4 mas ν(A− λI) = 2. Assim,
(A− λI)v = 0
possui 2 soluc¸o˜es LI. Dois autovetores podem ser obtidos e
n− 2 = 4− 2 = 2 autovetores generalizados sa˜o necessa´rios.
A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia de autovetores
generalizados. As poss´ıveis formas de Jordan neste caso sa˜o:
A¯1 =


λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 0
0 0 0 λ

 ; A¯2 =


λ 1 0 0
0 λ 0 0
0 0 λ 1
0 0 0 λ


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 68
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Exemplo
A =


3 −1 1 1 0 0
1 1 −1 −1 0 0
0 0 2 0 1 1
0 0 0 2 −1 −1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1


Propriedade (A e C matrizes quadradas)
det

 A B
0 C

 = detA detC
∆(λ) = det(A− λI) = [(3− λ)(1− λ) + 1] (2− λ)2 [(1− λ)2 − 1]
= (2− λ)2(2− λ)2(2− λ)λ = (2− λ)5λ
Autovalores: λ1 = 2, MA= 5 ; λ2 = 0, MA= 1
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 69
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(A− 2I) =


1 −1 1 1 0 0
1 −1 −1 −1 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 −1 −1
0 0 0 0 −1 1
0 0 0 0 1 −1


ρ(A− 2I) = 4 ⇒ ν1 = ν(A− 2I) = 6− 4 = 2 → MG = 2
• A forma de Jordan apresenta dois blocos (MG=2) associados ao
autovalor λ1 = 2
A =


3 −1 1 1 0 0
1 1 −1 −1 0 0
0 0 2 0 1 1
0 0 0 2 −1 −1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 70
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✩
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Q =


0 2 2 1 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 1 1 2 1
0 0 −1 0 −2 −1
0.5 0 0 0.5 0 1
−0.5 0 0 0.5 0 1


=
[
x v1 v2 v3 u1 u2
]
• x, v1 e u1 sa˜o autovetores
A¯ = Q−1AQ =


0 0 0 0 0 0
0 2 1 0 0 0
0 0 2 1 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 0 2


• Nem sempre e´ fa´cil determinar a cadeia de autovetores generalizados.
Por exemplo, se v e´ autovetor, −v tambe´m e´, mas os autovetores
generalizados podem ser diferentes
Ax = v + λx ; Ay = −v + λy
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 71
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✩
✪
Autovalores e Autovetores de Matriz Sime´trica
Sejam λ1, λ2, . . . , λn autovalores de uma matriz sime´trica A ∈ Rn×n.
• λi ∈ R, i = 1, . . . , n
• Autovetores vi, vj associados a autovalores distintos λi �= λj sa˜o
ortogonais, isto e´
〈
vi, vj
〉
= v′ivj = 0
Para mostrar que os autovalores sa˜o reais, note que se λ ∈ C e´ um
autovalor e v ∈ Cn e´ um autovetor gene´rico de A
Av = λv ; v �= 0 =⇒ v∗Av = λv∗v
Tomando o conjugado transposto da expressa˜o (escalar) acima e
lembrando que A∗ = A (matriz sime´trica)
(v∗Av)∗ = (v∗Av) = λ¯v∗v
Subtraindo
0 = (λ− λ¯)v∗v =⇒ λ = λ¯ =⇒ λ ∈ R
Para mostrar a ortogonalidade de autovetores associados a autovalores
distintos:
Avi = λivi =⇒ v′jAvi = λiv′jvi
Avj = λjvj =⇒ v′iAvj = λjv′ivj
Como o lado esquerdo das expresso˜es acima e´ igual (A = A′), subtraindo
0 = (λi − λj)
〈
vi, vj
〉
=⇒ vi ⊥ vj se λi �= λj
A forma de Jordan de uma matriz sime´trica A ∈ Rn×n e´ diagonal.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 72
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✩
✪
Para provar, mostra-se que na˜o existem autovetores generalizados de grau
k ≥ 2. Suponha, por absurdo, que para algum λi
(A− λiI)kv = 0 e (A− λiI)k−1v �= 0 (k ≥ 2)
Entretanto,
〈
(A− λiI)k−2v, (A− λiI)kv
〉
= 0
Usando a simetria de A
〈
(A− λiI)k−1v, (A− λiI)k−1v
〉
= ‖(A− λiI)k−1v‖ = 0
⇐⇒ (A− λiI)k−1v = 0
o que contradiz a hipo´tese inicial. Portanto, na˜o existe nenhum bloco de
Jordan cuja ordem seja maior do que 1
∃ Q : A¯ = Q−1AQ → diagonal
• Se A = A′, A¯ = A¯′ e´ uma matriz diagonal (com os autovalores reais na
diagonal) e a base formada pelos autovetores e´ tal que
Q′Q = I (base ortonormal)
(Q−1AQ)′ = Q′AQ−1 = Q−1AQ =⇒ Q−1 = Q′
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 73
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Func¸o˜es matriciais
Func¸o˜es de Matriz Quadrada
Matrizes quadradas A ∈ Rn×n esta˜o associadas a transformac¸o˜es lineares
f : Rn → Rn
Defina
A0 = I ; Ak = AA · · ·A (k vezes) ; k ∈ Z
Func¸o˜es Polinomiais: Seja f(λ) um polinoˆmio em λ de grau finito.
Por exemplo,
f(λ) = λ2 + 5λ+ 6 = (λ+ 2)(λ+ 3)
Uma func¸a˜o f(A) e´ definida como
f(A) � A2 + 5A+ 6I = (A+ 2I)(A+ 3I)
Em particular, se A assume a forma bloco diagonal
A =

 A1 0
0 A2


comA1 e A2 matrizes quadradas de qualquer ordem, tem-se
Ak =

 Ak1 0
0 Ak2

 ; f(A) =

 f(A1) 0
0 f(A2)


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 74
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Como e´ sempre poss´ıvel escrever A = QAˆQ−1 (Aˆ e´ a representac¸a˜o de A
na Forma Canoˆnica de Jordan)
f(A) = f(QAˆQ−1) = (QAˆQ−1)(QAˆQ−1) + 5(QAˆQ−1) + 6(QQ−1)
= Q
[
Aˆ2 + 5Aˆ+ 6I
]
Q−1 = Qf(Aˆ)Q−1
ou f(Aˆ) = Q−1f(A)Q.
O polinoˆmio mı´nimo de A e´ definido como o polinoˆmio moˆnico (maior
coeficiente igual a 1) φ(λ) de menor grau tal que φ(A) = 0.
Portanto, f(A) = 0 se e somente se f(Aˆ) = 0 (matrizes similares teˆm o
mesmo polinoˆmio mı´nimo).
O polinoˆmio mı´nimo de uma matriz na forma de Jordan pode ser obtido
por inspec¸a˜o.
Se λi e´ um autovalor de A com multiplicidade ni, o polinoˆmio
caracter´ıstico de A e´ dado por
∆(λ) = det(λI− A) =
∏
i
(λ− λi)ni
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 75
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Supondo que a forma de Jordan de A e´ conhecida, define-se como o
ı´ndice de λi a maior ordem de todos os blocos de Jordan associados a λi
(denotado n¯i).
Por exemplo, λ1 tem multiplicidade 4 nas quatro matrizes abaixo:
Aˆ1 =


λ1 0 0 0
0 λ1 0 0
0 0 λ1 0
0 0 0 λ1

 ; Aˆ2 =


λ1 1 0 0
0 λ1 0 0
0 0 λ1 0
0 0 0 λ1


Aˆ3 =


λ1 1 0 0
0 λ1 1 0
0 0 λ1 0
0 0 0 λ1

 ; Aˆ4 =


λ1 1 0 0
0 λ1 1 0
0 0 λ1 1
0 0 0 λ1


=⇒ os ı´ndices do autovalor λ1 sa˜o, respectivamente, 1, 2, 3 e 4.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 76
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Usando os ı´ndices n¯i de todos os autovalores λi, o polinoˆmio mı´nimo pode
ser expresso da seguinte forma:
φ(λ) =
∏
i
(λ− λi)n¯i
com grau n¯ =
∑
n¯i ≤
∑
ni = n = dimensa˜o de A.
Nas matrizes acima, os polinoˆmios mı´nimos sa˜o:
φ1 = (λ− λ1) ; φ2 = (λ− λ1)2
φ3 = (λ− λ1)3 ; φ4 = (λ− λ1)4
O polinoˆmio caracter´ıstico e´ sempre ∆(λ) = (λ− λ1)4.
Portanto, o polinoˆmio mı´nimo e´ um fator do polinoˆmio caracter´ıstico.
Considere por exemplo a forma de Jordan dada por
Aˆ =


λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 1
0 0 0 λ


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 77
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Note que
(Aˆ− λI) =


0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

 ; (Aˆ− λI)
2 =


0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0


(Aˆ− λI)3 =


0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

 ; (Aˆ− λI)
k = 0 para k ≥ 4
Portanto, φ(A) = 0 e que nenhum outro polinoˆmio de grau menor verifica
a condic¸a˜o.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 78
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Teorema de Cayley-Hamilton
Seja ∆(λ) = det(λI− A) = λn + α1λn−1 + · · ·+ αn−1λ+ αn o polinoˆmio
caracter´ıstico de A. Enta˜o,
∆(A) = An + α1A
n−1 + · · ·+ αn−1A+ αnI = 0
isto e´, toda matriz A ∈ Rn×n satisfaz seu polinoˆmio caracter´ıstico.
Como ni ≥ n¯i, o polinoˆmio caracter´ıstico conte´m o polinoˆmio mı´nimo
como um fator, ou seja, para algum polinoˆmio h(λ)
∆(λ) = φ(λ)h(λ)
Como φ(A) = 0,
∆(A) = φ(A)h(A) = 0h(A) = 0
Pelo Teorema, An pode ser escrita como uma combinac¸a˜o linear de
{I, A, . . . , An−1}.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 79
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De fato, multiplicando-se ∆(A) = 0 por A tem-se que An+1 pode ser
escrito como combinac¸a˜o linear de {A,A2 . . . , An}, que por sua vez pode
se escrever como combinac¸a˜o linear de {I, A, . . . , An−1}, e assim
sucessivamente.
Para qualquer polinoˆmio f(λ), independentemente do grau, e valores
apropriados de βi, f(A) pode ser expresso na forma
f(A) = β0I+ β1A+ · · ·+ βn−1An−1
Na verdade, se o polinoˆmio mı´nimo (grau n¯) de A e´ conhecido, A pode
ser expressa como combinac¸a˜o linear de {I, A, . . . , An¯−1}.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 80
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Expressando um polinoˆmio qualquer f(λ) na forma
f(λ) = q(λ)∆(λ) + h(λ)
q(λ): quociente da divisa˜o por ∆(λ)
h(λ): resto da divisa˜o (grau menor que n)
f(A) = q(A)∆(A) + h(A) = q(A)0+ h(A) = h(A)
Uma alternativa a` divisa˜o de polinoˆmios acima e´ dada a seguir. Defina
h(λ) como
h(λ) = β0 + β1λ+ · · ·+ βn−1λn−1
βi, i = 0, . . . , n− 1: inco´gnitas a serem obtidas
Se os n autovalores de A sa˜o distintos, βi podem ser obtidos diretamente
das n equac¸o˜es
f(λi) = q(λi)∆(λi) + h(λi) = h(λi) , i = 1, 2, . . . , n
Se A tem autovalores com multiplicidade maior do que 1, a expressa˜o
acima tem que ser diferenciada (em relac¸a˜o a λ) para fornecer novas
equac¸o˜es.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 81
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Seja f(λ) uma func¸a˜o dada e seja A ∈ Rn×n com o polinoˆmio
caracter´ıstico
∆(λ) =
m∏
i=1
(λ− λi)ni ; n =
m∑
i=1
ni
Defina o polinoˆmio de grau n− 1 (com n coeficientes a determinar):
h(λ) = β0 + β1λ+ · · ·+ βn−1λn−1
Os n coeficientes βi podem ser obtidos do conjunto de n equac¸o˜es dadas
por
f (�)(λi) = h
(�)(λi)

 9 = 0, 1, . . . , ni − 1i = 1, 2, . . . ,m
onde f (�)(λi) �
d�f(λ)
dλ�
∣∣∣∣
λ=λi
; h(�)(λi) �
d�h(λ)
dλ�
∣∣∣∣
λ=λi
Neste caso, f(A) = g(A) e diz-se que h(λ) e´ igual a f(λ) no espectro
(conjunto dos autovalores) de A.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 82
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• Dois polinoˆmios que tenhas os mesmos valores no espectro de A
definem a mesma func¸a˜o matricial.
• O resultado acima pode ser usado para qualquer func¸a˜o f(λ) (na˜o
necessariamente polinomial), definindo-se f(A) = h(A) e computando-se
os coeficientes βi, i = 0, . . . , n− 1.
• Qualquer polinoˆmio h(λ) de grau n− 1, com n paraˆmetros
independentes, poderia ser usado.
• A100 , A =

 1 2
0 1

 ; ∆(λ) = det(λI− A) = (λ− 1)2
g(λ) = α0 + α1λ
Espectro de A: λ = 1 , f(λ) = λ100
f(1) = g(1) → 1100 = α0 + α1
d
dλ
f(1) =
d
dλ
g(1) → 100(199) = α1


=⇒ α0 = −99 ; α1 = 100
A100 = f(A) = g(A) = α0I+ α1A =

 1 200
0 1


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 83
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• Calcule exp(At), isto e´, se f(λ) = exp(λt), encontre f(A)
A =


0 0 −2
0 1 0
1 0 3

 ; ∆(λ) = (λ− 1)2(λ− 2) , n1 = 2, n2 = 1
g(λ) = α0 + α1λ+ α2λ
2 ; f(A) = α0I+ α1A+ α2A
2
f(1) = g(1) → exp(t) = α0 + α1 + α2
f ′(1) = g′(1) → t exp(t) = α1 + 2α2
f(2) = g(2) → exp(2t) = α0 + 2α1 + 4α2
α0 = −2t exp(t) + exp(2t) ; α1 = 3t exp(t) + 2 exp(t)− 2 exp(2t)
α2 = exp(2t)− exp(t)− t exp(t)
f(A) =


2 exp(t)− exp(2t) 0 2 exp(t)− 2 exp(2t)
0 exp(t) 0
− exp(t) + exp(2t) 0 2 exp(2t)− exp(t)


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 84
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Exemplo: Obtenha a expressa˜o de f(Aˆ) para
Aˆ =


λ1 1 0 0
0 λ1 1 0
0 0 λ1 1
0 0 0 λ1


O polinoˆmio caracter´ıstico e´ dado por ∆(λ) = (λ− λ1)4. Escolhendo (de
maneira conveniente)
h(λ) = β0 + β1(λ− λ1) + β2(λ− λ1)2 + β3(λ− λ1)3
A condic¸a˜o f(λ) = h(λ) no espectro de Aˆ fornece
β0 = f(λ1) ; β1 = f
′(λ1) ; β2 =
f ′′(λ1)
2!
; β3 =
f (3)(λ1)
3!
Assim,
f(Aˆ) = f(λ1)I+
f ′(λ1)
1!
(Aˆ− λ1I)
+
f ′′(λ1)
2!
(Aˆ− λ1I)2 + f
(3)(λ1)
3!
(Aˆ− λ1I)3
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 85
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Usando as propriedades de (Aˆ− λI)k
f(Aˆ) =


f(λ1) f
′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2! f (3)(λ1)/3!
0 f(λ1) f
′(λ1)/1! f ′′(λ1)/2!
0 0 f(λ1) f
′(λ1)/1!
0 0 0 f(λ1)


Por exemplo, para f(λ) = exp(λt)
exp(Aˆt) =


exp(λ1t) t exp(λ1t) t
2 exp(λ1t)/2! t
3 exp(λ1t)/3!
0 exp(λ1t) t exp(λ1t) t
2 exp(λ1t)/2!
0 0 exp(λ1t) t exp(λ1t)
0 0 0 exp(λ1t)


Exemplo: Considere a matriz(com dois blocos de Jordan)
A =


λ1 1 0 0 0
0 λ1 1 0 0
0 0 λ1 0 0
0 0 0 λ2 1
0 0 0 0 λ2


• Se f(λ) = exp(λt)= eλt, enta˜o
exp(At) = eAt


eλ1t teλ1t t2eλ1t/2! 0 0
0 eλ1t teλ1t 0 0
0 0 eλ1t 0 0
0 0 0 eλ2t teλ2t
0 0 0 0 eλ2t


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 86
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• Se f(λ) = (s− λ)−1, enta˜o
(sI− A)−1 =

1
(s− λ1)
1
(s− λ1)2
1
(s− λ1)3 0 0
0
1
(s− λ1)
1
(s− λ1)2 0 0
0 0
1
(s− λ1) 0 0
0 0 0
1
(s− λ2)
1
(s− λ2)2
0 0 0 0
1
(s− λ2)


EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 87
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Teorema de Cayley-Hamilton
Seja ∆(λ) = det(λI− A) = λn + α1λn−1 + · · ·+ αn−1λ+ αn o polinoˆmio
caracter´ıstico de A. Enta˜o,
∆(A) = An + α1A
n−1 + · · ·+ αn−1A+ αnI = 0
• Se A e´ uma matriz diagonaliza´vel, enta˜o existe uma transformac¸a˜o de
similaridade dada pela matriz Q tal que
A = QΛQ−1 ; Λ diagonal ; A2 = (QΛQ−1)(QΛQ−1) = QΛ2Q−1
A3 = QΛ3Q−1 , . . . , Ak = QΛkQ−1
∆(A) = Q
[
Λn + α1Λ
n−1 + · · ·+ αn−1Λ + αnI
]
Q−1
e cada termo dentro dos colchetes e´ uma matriz diagonal cujo elemento
(i, i) e´ dado por
λni + α1λ
n−1
i + · · ·+ αn−1λi + αn = ∆(λi) = 0
pois λi e´ um autovalor de A.
• O teorema de Cayley-Hamilton fornece uma fo´rmula expl´ıcita para o
ca´lculo da matriz inversa
A−1 = − 1
αn
[
An−1 + α1An−2 + · · ·+ αn−1I
]
No caso geral, a matriz A sempre pode ser reduzida a` forma de Jordan
Aˆ = Q−1AQ ; ∆(A) = Q
[
Aˆn + α1Aˆ
n−1 + · · ·+ αn−1Aˆ+ αnI
]
Q−1
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 88
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Para mostrar que a matriz dentro dos colchetes vale sempre zero, note
que a forma de Jordan e´ composta de blocos diagonais Aˆi
Aˆ = diag {Aˆ1, Aˆ2, . . . , Aˆr} ; Aˆk = diag {Aˆk1, Aˆk2, . . . , Aˆkr}
Considerando um t´ıpico bloco Aˆi, e´ preciso provar que
[
Aˆni + α1Aˆ
n−1
i + · · ·+ αn−1Aˆi + αnI
]
= 0
Note que os termos abaixo da diagonal principal sa˜o sempre iguais a zero,
e que na diagonal principal um elemento t´ıpico (i, i) e´ dado por
∆(λi) = 0. Na diagonal acima da diagonal principal (verificar), um termo
t´ıpico e´ dado por
nλn−1i + α1(n− 1)λn−2i + · · ·+ αn−1 =
d∆(λ)
dλ
∣∣∣∣
λ=λi
= 0
e a ra´ız em questa˜o tem multiplicidade maior do que 1. Se Aˆi e´ um bloco
de Jordan de tamanho p× p, λi necessariamente e´ uma ra´ız de no mı´nimo
ordem p, e assim as derivadas de ordem ate´ p− 1 sa˜o todas iguais a zero
em λ = λi. As sucessivas diagonais acima possuem termos que sa˜o
mu´ltiplos dessas derivadas da equac¸a˜o caracter´ıstica, e portanto[
Aˆni + α1Aˆ
n−1
i + · · ·+ αnI
]
= 0
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 89
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✪
Normas e produtos internos
Norma de vetores
Qualquer func¸a˜o real representada por ‖x‖ pode ser definida como uma
norma se para qualquer x ∈ Rn e para qualquer escalar α ∈ R
1. ‖x‖ ≥ 0 ; ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0
2. ‖αx‖ = | α | ‖x‖
3. ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖+ ‖x2‖ (Desigualdade Triangular)
Exemplo
‖x‖p =
(
n∑
i=1
| xi |p
) 1
p
; p ≥ 1 p inteiro
‖x‖2 =
√
x′x (norma Euclidiana)
‖x‖∞ = max
i
| xi | (norma infinito)
x
a
b
‖x‖1 = | a | + | b |
‖x‖2 =
√
a2 + b2
‖x‖∞ = max{| a |, | b |}
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 90
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Produto Interno
Para dois vetores x, y ∈ Rn, define-se o produto interno (ou produto
escalar) como
〈
x, y
〉
� x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn = x′y
Propriedades:
•
〈
αx, y
〉
= α
〈
x, y
〉
•
〈
x+ y, z
〉
=
〈
x, z
〉
+
〈
y, z
〉
•
〈
x, y
〉
=
〈
y, x
〉
•
〈
x, x
〉
= ‖x‖2 ≥ 0
•
〈
x, x
〉
= 0⇐⇒ x = 0
• o vetor x′ pode ser visto como uma func¸a˜o linear x′ : Rn → R
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 91
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• Identidade do paralelogramo
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)
x
y
x+ y
x− y
Teorema: (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Defina ‖x‖ =
(〈
x, x
〉) 1
2
. Enta˜o,
|
〈
x, y
〉
| ≤ ‖x‖‖y‖
Prova: Para y = 0, a prova e´ imediata. Assumindo y �= 0,
0 ≤
〈
x+ αy, x+ αy
〉
=
〈
x, x
〉
+ α¯
〈
y, x
〉
+ α
〈
x, y
〉
+ αα¯
〈
y, y
〉
vale ∀ α.
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 92
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✪
Escolhendo α = −
〈
y, x
〉
〈
y, y
〉 , tem-se
〈
x, x
〉
≥
〈
x, y
〉〈
y, x
〉
〈
y, y
〉 = |
〈
x, y
〉
|2〈
y, y
〉
O aˆngulo θ entre quaisquer dois vetores x, y ∈ Rn e´ dado por
x
y
θ (
x′y
‖y‖
)
y
θ = cos−1
(
x′y
‖x‖‖y‖
)
=⇒ x′y = ‖x‖‖y‖ cos θ
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 93
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Produto Interno
x′y = ‖x‖‖y‖ cos θ
• Se x e y sa˜o colineares: θ = 0, x′y = ‖x‖‖y‖ e se x �= 0 y = αx para
algum α ≥ 0
• Se x e y sa˜o vetores opostos: θ = π, x′y = −‖x‖‖y‖ e se x �= 0 y = −αx
para algum α ≥ 0
• Se x e y sa˜o vetores ortogonais (x ⊥ y): θ = ±π
2
=⇒ x′y = 0
• x′y > 0 =⇒ aˆngulo agudo; x′y < 0 =⇒ aˆngulo obtuso
• Dado um vetor y ∈ Rn, o conjunto
{
x : x′y ≤ 0
}
define um semi-espac¸o em Rn (y e´ chamado vetor normal) passando no
ponto 0
y
0
{
x : x′y ≤ 0
}
EEL 6001: Teoria de Sistemas Lineares I algebra.tex 94