Lista 4 GA - Professor Benito 2014

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Lista 4 - Retas e planos
Prof. Benito Pires
Equações da reta
1.1 Encontre a equação vetorial da reta r
que passa pelos pontos (2,−3, 4) e (1,−1, 2).
Usando a equação de reta mais conveniente, ve-
rifique se os pontos (5/2,−4, 5), (1,−3, 4) e
(1, 1, 1) pertencem a r.
1.2 Escreva a equação paramétrica da reta que
passa pelo ponto (1, 2, 3) e é paralela à reta des-
crita pela equação
(x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1), t ∈ R.
1.3 Determine m ∈ R e n ∈ R de tal forma que
o ponto (m, 1, n) pertença à reta que passa por
(3,−1, 4) e (4,−3,−1).
1.4 Dado o triângulo de vértices A =
(−1, 4,−2), B = (3,−3, 6) e C = (4,−3,−1),
encontre a equação paramétrica da reta que
passa pelo ponto médio do lado AB e pelo
vértice oposto C.
1.5 Encontre as equações vetorial, paramétrica,
simétrica da reta que passa pelos pontos A =
(1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Obtenha os pontos
da reta que distam 2
√
19 do ponto A.
1.6 Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X =
(1, 00) + λ(1, 1, 1). Determinar os pontos de r
equidistantes de A e B.
1.7 Encontre o ponto de interseção da reta que
passa pelos pontos A = (0, 2,−1) e B =
(1,−1, 2) com a reta que passa pelos pontosC =
(0, 1, 0) e D = (−1, 3,−2).
1.8 Calcule o cosseno do ângulo formado pelas
retas
x =
y − 1
2
=
z + 4
1
Y = (2, 2, 0) + t(0, 0, 1), t ∈ R.
1.9 Mostre que as equações abaixo descrevem
uma reta. Eencontre um vetor diretor da reta.
2x− 1 = 3− 3y
2
= z + 1
1.10 Sejam r1 e r2 as retas definidas, respectiva-
mente, pelas equações vetoriais
X = (0, 0, 1)+t(1, 0,−1), Y = (0, 0, 0)+s(1, 1, 0).
(a) Mostre que r1 e r2 são reversas;
(b) Encontre uma reta r3 simultaneamente per-
pendicular a r1 e r2;
(c) Calcule a distância entre r1 e r2.
1
Equações do plano
2.1Escreva a equação vetorial do plano que passa
pelos pontos (1, 1, 0), (3, 2, 1) e (5,−1, 3).
2.2 Dê a equação geral do plano que passa pelos
pontos (1, 1, 1), (3, 2, 5) e (2, 3,−1).
2.3 Mostre que os pontos A = (1, 2, 3), B =
(7, 0, 0), C = (1, 1, 3), D = (−7, 0, 7) e E =
(−2, 2, 8) pertencem a um mesmo plano. Qual é
a equação cartesiana do plano ?
2.4 Encontre uma equação paramétrica do plano
2x+ 3y + z − 2 = 0.
2.5 Qual condição as constantes a, b, c e d devem
satisfazer para que a equação
ax+ by + cz + d = 0
represente um plano que passa pela origem
(0, 0, 0) ?
2.6 Dê a equação geral do plano pi que contém as
retas
x− 2
3
=
y − 1
2
=
z
5
e
x− 2
5
= y − 1 = z.
2.7Determine o ponto de interseção da reta com
o plano definidos pelas equações
X = (2,−1, 2) + t(4, 1, 2), 2x+ y + z = 4.
2.8 Encontre a interseção da reta
X = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t
com o plano que passa pelos pontos A =
(1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1).
2.9Encontre a projeção ortogonal do pontoP =
(1, 2, 1) sobre o plano que tem equação x+y = 1.
2.10Encontre o ângulo formado pelos planosx+
2y + 3z = 1 e x+ y − z = 0.
2.11 Calcule o ângulo que a reta X = (0, 0, 0) +
t(1, 1, 1) forma com o plano x+ 2y + z = 1.
2.12 Mostre que os planos X = (0, 0, 0) +
t(1, 0, 1)+ s(1, 2, 3) e Y = (1, 1, 1)+ t(2, 2, 4)+
s(0, 2, 2) são paralelos não-coincidentes. Encon-
tre a distância entre eles.
2.13 Encontre a distância entre o ponto P =
(1, 2, 3) e o plano X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) +
s(1, 1,−1).
2.14 Encontre um plano pi1 paralelo ao plano pi2
dado pela equção
X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) + s(1, 1, 0)
de tal forma que a distância entre pi1 e pi2 é igual
a 1.
2.15 Encontre a equação vetorial da reta inter-
seção dos planos X = (1, 1, 1) + t(1, 0, 1) +
s(1, 1, 0) e Y = (1, 0, 1) + t(1, 1, 0) + s(1, 0, , 0).
Posições relativas
3.1 Dados o ponto P = (1, 1, 1) e a reta r defi-
nida por X = (1, 0, 1) + t(1, 1, 1), encontre:
(a) O plano pi ortogonal a r passando por P ;
(b) pi ∩ r;
(c) A reta ortogonal a r que passa por P .
Last update: 4 de Novembro de 2014. Typeset with X ETEX
3.2 Encontre a equação vetorial da reta r dada
pela interseção dos planos x + y = 0 e
x+ y + z − 4 = 0.
3.3 Dê a posição relativa entre a reta e o plano
definidos pelas equações:
X = (0, 0, 1) + t(1, 1, 1),
Y = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(1, 1, 0).
Distâncias e ângulos
4.1 Calcule a distância da origem à reta y = 1−
2x.
4.2 Determine a distância da origem ao plano
X = (3,−1, 2) + λ(1, 2,−1) + µ(−1, 1, 3).
4.3 Calcule a distância entre os planos x + y +
z − 2 = 0 e 2x+ 2y + 2z − 5 = 0.
4.4 Determine a projeção ortogonal do ponto
P = (1, 1, 1) sobre o plano x+ y + z − 2 = 0.
5. Problemas diversos
5.1Ache a equação vetorial do plano que contém
a reta x = t, y = −t, z = t+ 2, e é ortogonal ao
plano x− 2y + z − 1 = 0.
5.2 Ache a equação vetorial do plano que passa
pelo ponto P = (2, 1, 3), é paralelo à reta X =
(1, 2,−3)+t(−2, 1, 2) e é perpendicular ao plano
x− y + 2z − 4 = 0.
5.3 Ache as equações da reta que passa pelo
ponto A = (2, 1,−1) e é perpendicular á reta
r : X = (2, 0, 0) + t(3, 1,−1).
5.4 Determine as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto A = (1,−2,−1) e inter-
cepta as retas reversas
(x, y, z) = (−1,−3, 0) + t(1, 2, 1)
(x, y, z) = (−2, 1, 0) + µ(1,−1, 0).
5.5 Determine a equação vetorial da reta b per-
pendicular comum às duas retas reversas
(x, y, z) = (1,−1, 2) + t(1, 2,−3)
(x, y, z) = (2,−1, 3) + µ(−1, 4, 1).
5.6 Determine as equações da reta b perpendi-
cular comum às retas reversas
x− 1 = y − 1
2
=
z
−1 e
x
2
= y =
z
−2 .
5.7 Dados os planos
pi1 : x− y + z + 1 = 0
pi2 : x+ y − z − 1 = 0
pede-se a equação do plano que contém a inter-
seção de pi1 e pi2 e é perpendicular ao plano
pi3 : x+ y + z = 0.
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	Equa败s da reta
	Equa败s do plano
	Posi败s relativas
	Dist᭣ias e ᭧ulos
	5. Problemas diversos