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Raciocinio Logico Quantitativo

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Raciocínio Lógico Quantitativo 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.
a
 Paula Francis Benevides
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo 
AULA 1 .................................................................................................................................. 7 
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA .................................................. 7 
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES .................................................................................... 7 
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: ............................................. 8 
1.2.1 Proposição, declaração ......................................................................................... 8 
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: ......................................................................................... 8 
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL....... 9 
2.1 CONSIDERAÇÒES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: .............................. 9 
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: ................... 9 
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: ................... 10 
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: .............. 10 
2.5 VERDADE E VALIDADE: .................................................................................................. 11 
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: ........................ 12 
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO ................................................................................ 14 
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO: ................................................................................................... 14 
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: .............................................. 14 
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL .................................. 15 
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS ....................... 15 
4.1.1 Definição .............................................................................................................. 15 
4.1.2 Conectivos: ........................................................................................................... 16 
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: ....................................................... 16 
4.2.1 Negação ............................................................................................................... 16 
4.2.2 Conjunção ............................................................................................................ 17 
4.2.3 Disjunção .............................................................................................................. 17 
4.2.4 Disjunção Exclusiva .............................................................................................. 17 
4.2.5 Condicional ........................................................................................................... 18 
 
 
 
4.2.6 Bicondicional ........................................................................................................ 18 
AULA 2 ................................................................................................................................ 22 
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO ...................................................................................... 22 
5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: ..................................................................... 23 
5.1.1 Tautologia ............................................................................................................ 23 
5.1.2 Contradição .......................................................................................................... 23 
5.1.3 Contingência ........................................................................................................ 24 
AULA 3 ................................................................................................................................ 25 
6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA ................................................................................. 25 
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS:  E  .................................................................... 25 
6.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 25 
6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA ................. 25 
6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA .................................................... 26 
6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE 
PROPOSIÇÕES ................................................................................................................................. 26 
6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS ............................................................................................... 28 
6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: ..................................................... 28 
6.7.1 Propriedades: ....................................................................................................... 28 
AULA 4 ................................................................................................................................ 31 
7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA ............................................................................. 31 
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS:  E  .................................................................... 31 
7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: ..................................................................................... 31 
7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: ......................................... 32 
7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA:............. 33 
7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: .......................................................................................... 33 
7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS: .............................................................................................. 33 
7.6.1 Negação conjunta: ............................................................................................... 33 
7.6.2 Negação disjunta ................................................................................................. 34 
AULA 5 ................................................................................................................................ 36 
 
 
 
8. EXERCÍCIOS GERAIS ....................................................................................................... 36 
AULA 6 ................................................................................................................................ 40 
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES ......................................................................................... 40 
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: ................................................................................. 40 
9.1.1 Idempotência: ...................................................................................................... 40 
9.1.2 Comutatividade:................................................................................................... 40 
9.1.3 Associatividade: ................................................................................................... 40 
9.1.4 Identidade: ........................................................................................................... 41 
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: ...................................................................................41 
9.2.1 Idempotência: ...................................................................................................... 41 
9.2.2 Comutatividade:................................................................................................... 41 
9.2.3 Associatividade: ................................................................................................... 42 
9.2.4 Identidade: ........................................................................................................... 42 
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: ..................................................... 42 
9.3.1 Distributiva: .......................................................................................................... 42 
9.3.2 Absorção: ............................................................................................................. 43 
9.3.3 Leis de Morgan: ................................................................................................... 43 
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: ....................................................................................... 43 
9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: .................................................................................... 44 
10. MÉTODO DEDUTIVO ...................................................................................................... 44 
10.1 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: .................................................................... 44 
10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO: ...................................................................................................... 45 
AULA 7 ................................................................................................................................ 51 
11. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES .......................................................................... 51 
11.1 DEFINIÇÃO: ................................................................................................................... 51 
11.1.1 Forma Normal Conjuntiva: ................................................................................ 51 
11.1.2 Forma Normal Disjuntiva: .................................................................................. 52 
11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE: ........................................................................................... 52 
AULA 8 ................................................................................................................................ 54 
 
 
 
12. RACIOCÍNIO LÓGICO – TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: ................................................... 54 
12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: .................................................................................. 54 
12.2 ARGUMENTO: ............................................................................................................... 54 
12.2.1 Validade de um Argumento: .............................................................................. 55 
12.3 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO: .......................................................... 55 
12.4 VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE: .................................. 56 
12.5 REGRAS DE INFERÊNCIA: ............................................................................................... 56 
12.6 EXEMPLO DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA: ......................................................... 57 
12.6.1 Regra da adição: ................................................................................................ 57 
12.6.2 Regra da simplificação: ...................................................................................... 58 
12.6.3 Regra da conjunção: .......................................................................................... 58 
12.6.4 Regra da absorção: ............................................................................................ 58 
12.6.5 Regra Modus Ponens: ........................................................................................ 58 
12.6.6 Regra Modus Tolens: ......................................................................................... 58 
12.6.7 Regra do Silogismo disjuntivo: ........................................................................... 59 
12.6.8 Regra do Silogismo hipotético: .......................................................................... 59 
12.6.9 Regra do dilema construtivo: ............................................................................. 59 
12.6.10 Regra do dilema destrutivo: ............................................................................ 59 
AULA 9 ................................................................................................................................ 68 
13. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA: .......................................................... 68 
13.1 EXEMPLIFICAÇÃO .......................................................................................................... 68 
AULA 10 ............................................................................................................................... 78 
14. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS: ................................. 78 
14.1 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: .......................................................................................... 78 
14.2 EXEMPLIFICAÇÃO: ......................................................................................................... 79 
AULA 11 ............................................................................................................................... 87 
15. INCONSISTÊNCIA: .......................................................................................................... 87 
16. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: .................................... 90 
16.1 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL: ................................................................................. 90 
 
 
 
16.1.1 Exemplificação: .................................................................................................. 90 
16.2 DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: ......................................................................................... 91 
16.2.1 Exemplificação: .................................................................................................. 92 
AULA 12 ............................................................................................................................... 96 
17. EXERCÍCIOS GERAIS ....................................................................................................... 96 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
7 
 
 
AULA 1 
Lógica Matemática 
Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o 
advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos: 
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou 
José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não 
viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o 
martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, 
senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. 
 
Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do 
réu? 
E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de logica 
formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na 
argumentação subjacente. 
A logica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso quecaracteriza qualquer atividade racional. 
"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a 
um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário 
Aurélio), portanto podemos dizer que a Logica e a ciência do raciocínio. 
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA 
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 
Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser 
subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. 
Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não 
analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica 
Clássica tem um caráter intuitivo. 
Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta 
baseada em métodos e técnicas matemáticas. 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
8 
 
A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela 
axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos 
símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico. 
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: 
A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos 
enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as 
entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo 
dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais. 
No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em 
análise. Sendo oposto no segundo caso. 
Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional. 
1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO 
É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido 
completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. 
São exemplos de proposições: 
 Quatro e maior que cinco. 
 Ana e inteligente. 
 São Paulo e uma cidade da regiao sudeste. 
 Existe vida humana em Marte. 
 A lua é um satélite da Terra 
 Recife é capital de Pernambuco 
Exemplos de não proposições: 
 Como vai você? 
 Como isso pode acontecer! 
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: 
 A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, 
consideradas princípios fundamentais: 
 Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo. 
 Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, 
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
9 
 
 Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”, 
isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou 
dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis 
sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda). 
 Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou 
enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será 
correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras 
hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente. 
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO 
PROPOSICIONAL 
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: 
A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se 
baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades 
pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma 
a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um 
método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das 
denominadas primeiras verdades, “primícias”. 
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: 
Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam 
as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo 
em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de 
análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não 
ambíguas). 
Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um 
determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o 
universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”. 
São exemplos de proposições em lógica: 
“A filosofia é a lógica dos contrários” 
 “Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate 
feliz”. 
“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários”. 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
10 
 
No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o 
significado que esta alcança no mundo real. 
Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que 
constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas 
proposições simples ou proposições compostas. 
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: 
Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a 
unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não 
existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão 
designadas pelas letras latinas minúsculas tais como: 
 p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn... 
 
As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra 
se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, 
adota-se a seguinte notação: 
p: A matemática é atributo da lógica. 
 
Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma 
proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição. 
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: 
Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma 
proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de 
pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças 
que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição. 
As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como: 
 P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn... 
Considere as proposições simples: 
 p: A filosofia é arte 
 q: A dialética é ciência. 
 
Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”. 
Raciocínio Lógico QuantitativoProf a Paula Francis Benevides 
11 
 
Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída 
de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. 
Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas 
proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer 
seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das 
letras proposicionais num dado universo. 
Sejam as proposições: 
 p: A lógica condiciona a Matemática 
 q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. 
 
P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamenta o pensamento 
ambíguo. 
Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialética fundamenta o pensamento 
ambíguo. 
Sejam ainda proposições compostas: 
S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dialética fundamente o pensamento 
ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento 
ambíguo. 
De forma simbólica tem-se que; 
P (p, q): p mas q 
Q (p, q): p e/ou q 
S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q 
Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q). 
2.5 VERDADE E VALIDADE: 
(Valor lógico ou valor verdade das proposições) 
 
Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, 
bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos 
os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a 
“falsidade” a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, 
corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui 
as determinadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional. 
Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido. 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
12 
 
Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p, 
tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se 
admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, 
portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização: 
 
 V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F . 
 
Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., 
pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-
se-á as notações: 
 
 V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F 
 
É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma 
dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das 
correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou 
procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de 
fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da 
analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática 
corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não 
tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados. 
De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio 
analítico. 
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: 
(ou conectivos proposicionais) 
 
Vejam os exemplos: 
 
“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática” 
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática” 
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não 
ambos” 
“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”. 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
13 
 
“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da 
matemática”. 
“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica” 
 
Designamos as proposições simples: 
 p: A matemática é a juventude da lógica 
 q: A lógica é a maturidade da matemática 
Tem-se que: 
P (p, q): p e q. 
Q (p, q): p ou q. 
R (p, q): p ou q, e não ambos. 
S (p, q): Se p, então q. 
W (p, q): p se, e somente se q. 
P1 (p): não p 
 
Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente 
apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de 
palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou 
compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem 
classes de fórmulas proposicionais específicas. 
Tais conectivos lógicos correspondem, portanto as seguintes estruturas: 
“... e... “ : ... ... 
“...ou...” : ...... 
“....ou...., e não ambos” : .... .... 
“se....,então....” : .... .... 
“... se, e somente se....”: .... .... 
“ não .... “: ~ .... 
 
Logo, tem-se que: 
a. P (p, q) : p  q 
b. Q (p, q) : p  q 
c. R (p, q) : p  q 
d. S (p, q) : p  q 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
14 
 
e. W (p, q) : p  q 
f. P1 (p ) : ~ p 
 
Observe portanto, que uma fórmula proposicional ou uma proposição simples é toda a 
sentença declarativa constituída de pelo menos um conectivo lógico. Salienta-se, ainda que os 
conectivos lógicos estabelecem seis classes de fórmulas proposicionais, podendo dar origem a 
fórmulas proposicionais constituídas de diversos conectivos, repetidos ou não. 
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO 
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO: 
Seja a fórmula proposicional P(p, q): p  q  ~ p  q  ~ p  q. 
Obviamente não se pode qualificar a fórmula acima segundo as seis classes de fórmulas 
proposicionais anteriormente definidas, uma vez que o nível de abrangência dos respectivos 
operadores não está definido. Assim, através da colocação de parênteses poder-se-á obter as 
seguintes fórmulas: 
P (p, q): (p  q) (~ p  ((q  ~p)  q) 
P (p, q): p (q  ((~ p  q)  (~p  q)) 
P (p, q): ((p  q)  ~ p)  (q  (~p  q)) 
E outras hipóteses. 
Desta forma, utiliza-se o procedimento denominado pareação ou pareamento para 
caracterizar o escopo de uma determinada operação de uma dada fórmula proposicional. Isto é, 
parear significa colocar parêntese com o objetivo de delimitar o nível de abrangência dos 
respectivos operadores lógicos, sendo que os níveis anteriormente considerados qualificam o que se 
denomina escopo de uma dada operação. 
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: 
Em certas situações o procedimento de pareação torna a análise de determinadas estruturas 
um tanto quanto complexas, tendo em vista a demasiada concentração de parênteses. Assim, para 
resolver, em parte tais dificuldades convencionais se estabelecem uma ordem de precedência dos 
conectivos lógicos em que se torna desnecessária a pareação. 
Adotar-se-á, portanto, a seguinte ordem de precedência usual.~      
 
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15 
 
Logo: 
Dada a fórmula P (p, q): p  q  ~ p  q ~ p v q, pareando-se vem que: 
 P (p, q): (p  q)  ((~ p  q) (~ p v q)) 
 
Retirar todos os parênteses desnecessários segundo a ordem de precedência usual. 
 P (p, q): (((~ p  q)  ~ p)  q)  (~ p  (~ q  p)) 
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL 
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS 
Conforme caracterizados anteriormente, os conectivos lógicos estabelecem classes de 
fórmulas proposicionais específicas, as quais dão origem às operações lógicas fundamentais do 
cálculo proposicional. Assim tem-se que: 
 O conectivo,“... e ...” da origem ao operador de conjunção sendo tal operação 
denotada pelo símbolo . 
 O conectivo“não ...” da origem ao operador negador ou a operação de negação 
sendo denotada por ~ 
 O conectivo “... ou ...” da origem ao operador disjuntor inclusivo ou a operação 
de disjunção inclusiva sendo denotado por  
 O conectivo “... ou ...., e não ambos,” da origem ao operador disjuntor exclusivo 
ou a operação de disjunção exclusiva, cuja notação é dada por  
 O conectivo“se..., então...” da origem ao operador implicador ou a operação de 
condicional sendo denotado por  
 O conectivo“.... se, e somente se ...” da origem ao operador bi-implicador ou a 
operação bicondicional, sendo denotado por:  
 
Observe que as seis classes de fórmulas proposicionais são caracterizadas pela “forma 
estrutural”, isto é, pelas estruturas ~p, p q, p q, p q, p q, p q. 
Portanto uma fórmula proposicional pode ser definida da seguinte maneira: 
4.1.1 DEFINIÇÃO 
Uma fórmula proposicional é um conjunto ou série finita de termos constituída de pelo 
menos um operador lógico que incida sobre ao menos uma proposição simples componente. 
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16 
 
É oportuno salientar-se ainda que muito embora as observações feitas até aqui se baseiam 
em proposições compostas, compostas de outras proposições compostas. 
4.1.2 CONECTIVOS: 
São palavras que se usam para formar novas preposições a partir de outros conectivos usuais 
em lógica matemática. 
No caso de uma proposição composta cujas preposições simples são p e q, as possíveis 
atribuições de valores lógicos a p e a q são: 
 p q 
1 V V 
2 V F 
3 F V 
4 F F 
 
Notação: 
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Exprime-se que p é 
verdadeiro escrevendo se V (p) = V e analogamente exprime-se que p é falsa escrevendo-se 
V(p)=F. 
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: 
4.2.1 NEGAÇÃO 
Chama-se de negação de uma proposição p a proposição representada por ~p (não p) cujo 
valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeiro. 
 
Simbolicamente: “ ~ p “ = não p 
 
Tabela verdade: 
p ~ p 
V F 
V F 
F V 
F V 
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17 
 
4.2.2 CONJUNÇÃO 
Chama-se conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por p e q cujo 
valor lógico é verdadeiro quando ambas as proposições p e q são verdadeiras e falso nos demais 
casos. 
Simbolicamente: “p  q” = p e q 
Tabela verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
4.2.3 DISJUNÇÃO 
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo 
valor lógico é verdadeiro quando ao menos uma das proposições p e qé verdadeira e falso quando 
ambas as preposições são falsa. 
Simbolicamente: “p  q” = p ou q 
Tabela verdade : 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
4.2.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p ou 
q mas não ambas cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q tem valores 
lógicos diferentes. 
 
Simbolicamente: “p  q” = p ou q mas não ambos 
 
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18 
 
Tabela verdade: 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
4.2.5 CONDICIONAL 
Chama-se condicional de duas proposições p e q a proposição cujo valor lógico é falso (F) 
se a proposição p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira nos demais casos. 
Simbolicamente: “p  q” = se p então q 
Tabela verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
4.2.6 BICONDICIONAL 
Chama-se proposição bicondicional uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro (V) 
quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e falsa (F) nos demais casos. 
Simbolicamente: “p  q” = p se e somente se q 
Tabela verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
 
 
 
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19 
 
 
AULA 1 - Exercícios 
 
1) Quais das sentenças abaixo são proposições? 
a) A lua e feita de Queijo verde. 
b) Ele seria um homem alto. 
c) Dois e um numero primo. 
d) O jogo vai acabar logo? 
e) 
042 x
 
f) 3 e raiz de 
0342  xx
 
 
2) Sejam as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduzir para a linguagem 
corrente as seguintes proposições: 
a) ~ p 
b) p  q 
c) p  q 
d) q  p 
e) ~ p  ~ q 
f) p  ~ q 
g) p  ~q 
h) p  ~ q 
i) p  ~ q  p 
 
3) Sejam as proposições p:Jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir para linguagem 
corrente as seguintes proposições: 
a) p  q 
b) p  q 
c) p  ~ q 
d) ~ p  ~q 
e) ~ ~ p 
f) ~ (~p  ~q) 
 
 
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20 
 
4) Simbolizar, utilizando a lógica, as seguintes frases: 
a) X é maior que 5 e menor que 7 ou X não é igual a 6. 
b) Se X é menor que 5 e maior que 3, então X é igual a 4. 
c) X é maior que 1 ou X é menor que 1 e maior que 0. 
 
5) Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a 
linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Marcos é alto e elegante. 
b) Marcos é alto, mas não é elegante. 
c) Não é verdade que Marcos é baixo e elegante . 
d) Marcos é alto ou é baixo e elegante. 
e) Marcos não é nem alto e nem elegante. 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante . 
 
6) Sejam as proposições: 
 p : Sueli é rica 
 q : Sueli é feliz 
 Traduzir para linguagem simbólica (lógica) as seguintes frases: 
a) Sueli é pobre, mas é feliz. 
b) Sueli é rica o infeliz. 
c) Sueli é pobre e infeliz. 
d) Sueli é pobre ou rica, mas é feliz. 
 
7) Dadas as seguintes proposições: 
 p : o número 596 é divisível por 2. 
 q : o número 596 é divisível por 4. 
 r : o número 596 é divisível por 3. 
 Traduzir para a linguagem simbólica: 
a) É falso que número 596 é divisível por 2 e por 3, ou o número 596 não é divisível por 4. 
b) O número 596 não é divisível por 2 ou por 4, mas é divisível por 3. 
c) Se não é verdade que o número 596 é divisível por 3, então eleé divisível por 2 e não por 4. 
d) É falso que o número 596 não é divisível por 2 e por 4, mas é divisível por 3 e por 2. 
 
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21 
 
8) Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala 
alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. 
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão. 
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão. 
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês. 
 
9) Determine o valor logico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
a) O numero 11 e um número primo. 
b) Todo numero divisível por 5 termina em 0. 
c) - 2 < 0. 
 
10) Sabendo-se que V(p) = V(q) = T (true) e V(r) = V(s) = F (false), determine os 
valores lógicos das seguintes proposições: 
a) (p  (q  r))  (p  (r  q)) 
b) (q  r)  (~q  r) 
c) (~p  ~ (r  s)) 
d) ~(q  ( ~p  s)) 
e) (p  q)  (q  ~p) 
f) ~(~q  (p  ~s)) 
g) ~q  ((~r  s)  (p  ~q)) 
h) ~(~p  (q  s))  (r  ~s) 
i) ~(p  (q  r))  s 
 
11) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
a) Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4 = 9. 
b) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125. 
c) Não é verdade que 12 é um número primo. 
d) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3. 
e) Brasília é a capital do Brasil, e 20 = 0 ou 30 = 1. 
 
 
 
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22 
 
AULA 2 
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO 
Denomina-se matriz de verdade ou Tabela função de verdade ou Tabela Verdade, todo 
procedimento de decisão que permite, num dado tempo à determinação dos valores lógicos de uma 
dada fórmula proposicional a partir dos valores–verdade das proposições simples componentes e 
das operações lógicas entre tais valores, segundo o escopo de cada uma das respectivas operações 
lógicas. 
É oportuno observar dada uma fórmula proposicional se faz necessário delimitar o escopo de 
cada uma das operações envolvidas bem como estabelecer os respectivos arranjos de valores 
lógicos das proposições simples que compões a fórmula em análise. 
Para a determinação do número de arranjos possíveis, que correspondem às linhas da tabela 
verdade, adota-se a expressão 2
n
, onde n é o número de proposições simples componentes e dois os 
valores verdade e falsidade, isto é: 2
n
linhas.É possível construir a tabela verdade correspondente a 
qualquer proposição composta dada. Tal tabela mostrará exatamente os casos em que a proposição 
composta será verdadeira (V) ou falsa (F). 
Exemplos:Construir a tabela verdade das seguintes preposições: 
a) ~ (p  ~ q) 
 
 
 
 
 
 
b) p  q  ~ p  ~ p  q  ~ p  q 
 
p q p  q  ~ p  ~ p  q  ~ p  q 
V V V F V F F V F F V F V F F V V V 
V F V F F F F V V F V F F F F V F F 
F V F V V V V F F V F V V V V F F V 
F F F V F F V F V V F V F F V F V F 
 1 7 
(1+3) 
1 3 
(1+2) 
2 1 8 
(7+6) 
2 1 5 
(2+4) 
1 4 2 1 6 
(5+1) 
1 
p q ~ (p  ~ q) 
V V V V F F V 
V F F V V V F 
F V F F V F V 
F F F F V V F 
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23 
 
5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: 
As fórmulas proposicionais são classificadas quanto aos valores lógicos, em proposições 
Tautológicas, proposições Contraválidas e proposições Contingentes, as quais são assim definidas 
5.1.1 TAUTOLOGIA 
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma tautologia ou uma proposição tautológica ou 
ainda, uma proposição logicamente “verdadeira”, se, e somente se, na coluna resultado da 
respectiva tabela verdade, independentemente dos valores lógicos das componentes da fórmula em 
análise, tem-se tão somente valores lógicos correspondentes à verdade. 
Uma tautologia será denotada pelos símbolos t ou T ( p, q, r, ...., p1,....,pn) 
Por exemplo, a fórmula proposicional P (p, q): (p  q) v (p  q) é uma tautologia, pois: 
p q (p  q)  (p  q) 
V V V F V V V V V 
V F V V F V V F F 
F V F V V V F F V 
F F F F F V F V F 
 
5.1.2 CONTRADIÇÃO 
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contradição ou uma proposição contraválida 
ou ainda proposição logicamente “falsa”, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela-
verdade figuram, independentemente dos valores particulares de suas componentes, tão somente 
valores lógicos correspondentes à falsidade. 
Em termos de notação adotam-se os símbolos c ou C ( p, q, r, ..., p1, ..., pn) 
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q): (p  q)  p  ~ q é uma contradição, pois: 
p q (p  q)  p  ~ q 
V V V V V V V F F V 
V F V F F F V F V F 
F V F V V F F F F V 
F F F V F F F F V F 
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24 
 
5.1.3 CONTINGÊNCIA 
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contingência, ou uma proposição contingente 
se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade tem-se pelo menos uma verdade e 
pelo menos uma falsidade, isto é, tal fórmula não é uma tautologia e não é contraválida. 
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q) : (p  q)  (p  q) é uma contingência, pois: 
p q (p  q)  (p  q) 
V V V V V V V V V 
V F V F F F V F F 
F V F F V V F V V 
F F F F F V F V F 
 
 
AULA 2 - Exercícios 
1) Construa a tabela verdade para cada uma das seguintes proposições: 
a) ~p  q 
b) (p  q)  (p v q) 
c) ~ (p  q)  ~ (q  p) 
d) (p  q)  ~ (p  ~ q) 
e) [p  ( ~ q  r)]  ~ [ q  (p  ~ r)] 
f) p  ~r  q  ~r 
g) ~(p  q)  ~ (q  p) 
h) (p  q  r)  (~ p  q  ~r) 
 
2) Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas 
(contradição), ou contingentes: 
a) p ( ~ p  q) 
b) ~ p  q  (p  q) 
c) p ( q ( q  p)) 
d) ((p  q)  q ) p 
e) p  ~q  ( p  ~q) 
f) p  q  p  q 
g) p ( p  q  ~q) 
h) (q  p)  (p  q) 
i) ~ p  ~ (p  q) 
j) p  q ( p q  r) 
 
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25 
 
AULA 3 
6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA 
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS:  E  
O símbolo “” representa uma operação entre proposições, resultando uma nova 
proposição. 
Exemplo: 
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo , resultará a proposição 
p  q 
O símbolo  indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. 
Exemplo 
Dadas as proposições p  q e p  q, a relação de implicação lógica entre elas é denotada por 
p  q  p  q. 
6.2 DEFINIÇÃO 
Diz-se que uma preposição P ( p, q, r,....) implica logicamente numa proposição Q ( p, q, 
r,....) se Q ( p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P ( p, q, r, ....) é verdadeira. Nestas 
condições, escreve-se que P (p, q, r....)  Q (p, q, r,...), que se lê: P implica em Q. 
Desta forma tem-se a implicação lógica entre duas dadas fórmulas proposicionais quando 
nas respectivas tabelas verdades, linha a linha, nas colunas resultado não ocorre simultaneamente 
verdade-falsidade, nesta ordem. 
 
Teorema: Diz-se que duas fórmulasproposicionais quaisquer P ( p, q, r,...) e Q ( p, q, r,...) são de 
implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência 
lógica uma tautologia. 
6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA 
As relações de implicação lógica tem as seguintes propriedades: 
Reflexiva: P(p, q, ...)  P(p, q,....) 
Transitiva: Se P(p, q,....)  Q(p, q,...) e Q (p, q,....)  R(p, q,...) então P(p, q,...)  R(p, q,....) 
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26 
 
6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P(p, q,....) e Q (p, q,...) são de 
implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência 
lógica uma tautologia, ou seja: 
i. P(p, q,...)  Q (p, q,...) se, e somente se, V[P(p, q,...)  Q (p, q,....)] = V para quaisquer 
dos 2
n
 arranjos de valores lógicos das n-proposições p, q,.... componentes. 
ii. P(p, q,...) Q(p, q,...) se, e somente se, P (p, q,...)  Q (p, q,...)  T (p, q,...) 
6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE 
PROPOSIÇÕES 
 Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p  q e 
pq, são: 
p q p  q p  q 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
F F F F 
 
A proposição p  q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição p  q 
também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a Segunda proposição, isto é, 
 p  q  p  q. 
Nota: A implicação existe não é só porque p q é verdadeira e a proposição pq é, também, 
verdadeira na mesma linha 1. É sobretudo, porque, nas tabelas verdade de pq e pq, não 
figuram alternativa VF, nessa ordem. É interessante notar que a proposição pq não implica 
a proposição pq porque nas tabelas verdade de p  q e p  q, nessa ordem, figura a 
alternativa VF (no caso, duas vezes). 
 
 Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade de p  q e p  q, são: 
 
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27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A proposição p  q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta mesma linha, a proposição 
p  q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a segunda proposição, ou 
seja: p  q  p  q. 
 
 Dadas as proposições simples p e q , as tabelas verdade das proposições compostas p  q e 
pq, são: 
p q p  q p  q 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F F V 
 
A proposição p  q é verdadeira (V) somente na linha 1, e nesta linha, a proposição p  q é 
verdadeira (V) , portanto, não há alternativa VF. Logo, p  q  p  q. 
 
 Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p  q, 
p  q e q  p, são: 
p q p  q p  q q  p 
V V V V V 
V F F F V 
F V F V F 
F F V V V 
p q p  q p  q 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F V 
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28 
 
A proposição p  q é verdadeira (V) nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições q p 
e p  q também são verdadeira. Logo, p  q  q  p. 
p  q  p  q 
6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS 
REGRAS DE INFERÊNCIA 
Adição: p  p  q 
 
Simplificação: p  q  p 
 p  q  q 
 
Regra do silogismo disjuntivo: (p  q)  ~ p  q 
 (p  q)  ~ q  p 
Regra Modus Ponens: (p  q)  p  q 
 
Regra Modus Tolens: (p  q)  ~ q  ~ p 
 
Regra do silogismo hipotético: (p  q)  (q  r)  p  r 
 
6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: 
 Dada a condicional p  q, chama-se proposição associada a essa proposição as três 
seguintes proposições condicionais. 
 
Proposição recíproca de p  q : q  p 
proposição inversa de p  q : ~ p  ~ q 
proposição contrapositiva de p  q : ~ q  ~ p 
 
6.7.1 PROPRIEDADES: 
 A condicional p  q e a contrapositiva ~ q  ~ p são equivalentes 
 A recíproca q  p e a inversa ~ p  ~ q são equivalentes. 
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29 
 
p q ~ p ~q p  q q  p ~ p  ~ q ~ q  ~ p 
V V F F V V V V 
V F F V F V V F 
F V V F V F F V 
F F V V V V V V 
 
Exemplos: 
Determinar a contrapositiva da recíproca de x = 0  x < 1 
 
 
 
 
Determinar a contrapositiva da inversa de x < 1  x < 3 
 
 
 
 
 
AULA 3 - Exercícios 
 
1) Mostrar: 
a) q  p  q 
b) q  p  q  p 
2) Mostrar que p não implica p  q e que p  q não implica p. 
 
3) Considere a proposição: “Se o Marcelo é chato, então, ele não tem namorada”. Agora 
determine: 
 a) a proposição recíproca. 
 b) a proposição inversa. 
 c) a proposição contrapositiva. 
 
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30 
 
4) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar 
o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições: 
 a) p  ~ q 
 b) p v ~ q 
 c) ~p  q 
d) ~ p  ~q „ 
 e) ~ p  ~ q 
 f) p  ( ~ p v q) 
 g) (s  r)  (p  q) 
 h) ~((r p)  (s  q)) 
 j) ~r  p  q 
 j) r  q  (~p  r) 
 
5) Determinar V(p) e V (q) em cada um dos seguintes casos, sabendo: 
a) V ( p  q ) = V e V(p  q) = F 
b) V ( p  q ) = V e V(p  q) = F 
c) V ( p  q ) = V e V(p  q) = V 
d) V ( p  q ) = V e V(p v q) = V 
e) V ( p  q ) = F e V(~p v q) = V 
 
6) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica seguintes: 
a) p  q  q  p 
b) ~ (p  q )  ~p  ~q 
c) p  q  r  ~q  r  ~p 
d) ~p  (~q  p )  ~(p  ~q) 
 
 
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31 
 
 
AULA 4 
7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS:  E  
O símbolo  representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição. 
Exemplo: 
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo  resultará na 
proposição p  q. 
O símbolo  indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. 
Exemplo: 
Dadas as proposições p e ~~ p, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por 
p  ~ ~ p 
7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: 
Dadas as fórmulas proposicionais P (p, q, r, ..., p1,... , pn) diz-se que todas as fórmulas são 
logicamente equivalentes se, e somente se, V [P (p, q, r,....)] = V [Q (p, q, r,...)] para quaisquer dos 
valores verdade das m-proposições simples componentes. 
Ou seja: 
P (p, q, r,....)  Q (p, q, r,...) se, e somente se, V [P(p, q, r, ...)] = V [Q (p, q, r,....)] para os 
2
n
 arranjos possíveis de valores verdade das p, q, r,.... proposições componentes. 
Por exemplo: p  q  ~ p v q, pois: 
p  q  ~ p  q 
V V V F V V V 
V F F F V F F 
F V V V F V V 
F V F V F V F 
 
Ou seja: p  q  ~ p v q 
 
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32 
 
7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: 
Sejam as fórmulas proposicionais P (p, q, r,....) e Q (p, q, r,...). 
Teorema: P (p, q, r,...)  Q (p, q, r,...), se e somente se, P (p, q, r....)  Q (p, q, r,...)  
T(p, q, r,...). 
 
Exemplo: 
Verificar pela definição e pelo teorema se as fórmulas proposicionais a seguir são 
equivalentes entre si. 
 P (p, q): p  q. 
 Q (p, q): (p  q)  (q  p). 
 
Pela definição: 
 p  q  (p  q)  (q  p) se, e somente se V [p  q] = V [(p  q)  (q  p)]. 
 
p  q ( p  q)  (q  p) 
V V V V V V V V V V 
V F F V F F F F V V 
F F V F V V F V F F 
F V F F V F V F V F 
 
Pelo teorema: 
 
(p  q)  [( p  q)  (q  p)] 
V V V V V V V V V V V 
V F F V V F F F F V V 
F F V V F V V F V F F 
F V F V F V F V F V F 
 
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33 
 
7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA: 
Tendo em vista as características das relações de equivalência lógica, tem-se que as mesmas 
se verificam as seguintes propriedades: 
Reflexiva: P (p, q, r,...)  P (p, q, r,...)  p, q. 
Simétrica: Se P (p, q, r,...)  Q (p, q, r,...) então Q (p, q, r,...)  P (p, q, r,...). 
Transitiva: Se P (p, q, r,...)  Q (p, q, r,...) e Q (p, q, r,...)  R (p, q, r,...) então P (p, q, r,...)  
R (p, q, r,...). 
7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: 
p  ~ p  t 
p  ~ p  c 
p  q  (p  q)  (q  p) 
p  q  ~ p  q 
p  q  ~ (p  q) 
p  q  ~ q  ~ p 
p  p  p ou p  p  p 
t  p  t 
t  p  p 
c  p  p 
c  p  c 
7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS: 
 Tendo em vista a ocorrência com certa freqüência, de determinadas fórmulas 
proposicionais no cálculo proposicional tem-se estruturado dois ovos operadores, denominados de 
conectivos de Scheffer. Assim definem-se as operações derivadas negação conjunta e negação 
disjunta. 
7.6.1 NEGAÇÃO CONJUNTA: 
Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não p e não q”: 
~ p  ~ q 
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34 
 
Notação: p  q 
Tabela verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
7.6.2 NEGAÇÃO DISJUNTA 
 Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q”: 
~ p  ~ q 
Notação: p  q 
Tabela verdade: 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 04 - Exercícios 
 
1) Verificar por tabela verdade se as seguintes equivalências são válidas: 
a) p ( p  q)  p 
b) p  p  q  p  q 
c) (p  q)  (p  r)  p  q  r 
d) ( p  q)  r  p  ~ r  ~ q 
e) q  p  q  p  q 
f) (p  q)  (p  r)  p  q  r 
 
p q p  q 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
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35 
 
2) Verificar se o conectivo “ ” (“ ou ” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos ~,  e 
 do seguinte modo: 
p  q ( p  q)  ~ (p  q) 
3) Verificar seos três conectivos ~ , v e  exprimem-se em função do conectivos “  “ de 
SCHEFFER do seguinte modo: 
a) ~ p  pp 
b) p  q  (p q)  (p  q) 
c) p  q  (p q)  (p  q) 
 
4) Verificar se os três conectivos ~, v e  exprimem-se em função do conectivo “  “ de 
SCHEFFER do seguinte modo: 
a) ~ p  pp 
b) p  q  (p  p)  (q  q) 
c) p  q  (p q)  (p  q) 
 
5) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar 
o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições: 
a) ( ~ p  q)  ( q  ~ r) 
b) ((p  q)  (q r))  (r  p) 
c) ( ~ p ~ q)  ((q r)  p) 
 
 
6) Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem tem dinheiro, não compra fiado” 
e “ Quem não tem, compra”, provando sua resposta. 
 
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36 
 
 
AULA 5 
8. EXERCÍCIOS GERAIS 
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da 
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
 
2) Maria tem três carros; um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto 
e o outro é azul. Sabe-se que: 
 ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 
 ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul 
 ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 
 ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto 
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente: 
 
a) branco, preto, azul. 
b) preto, azul, branco. 
c) azul, branco, preto. 
d) preto, branco, azul. 
e) branco, azul, preto. 
 
3) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
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37 
 
4) Dizer que não é verdade que Celina é bonita ou Cristina não é loira, é logicamente equivalente 
a dizer que é verdade que: 
 
a) Celina não é bonita ou Cristina não é loira. 
b) Celina não é bonita ou Cristina é loira. 
c) Celina é bonita ou Cristina é loira. 
d) Celina não é bonita e Cristina não é loira. 
e) Celina não é bonita e Cristina é loira. 
 
5) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer 
que é verdade que: 
 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 
6) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se 
André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é 
inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente: 
 
a) Culpado, culpado, culpado. 
b) Inocente, culpado, culpado. 
c) Inocente, culpado, inocente. 
d) Inocente, inocente, culpado. 
e) Culpado, culpado, inocente. 
 
 
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38 
 
7) Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é 
mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, 
também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não 
necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e 
que Lauro é veterinário,conclui-se corretamente que: 
a) Lauro é paulista e José é psicólogo. 
b) Mauro é carioca e José é psicólogo. 
c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo. 
d) Mauro é paulista e José é psicólogo. 
e) Lauro é paulista e Mauro é engenheiro 
 
8) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é 
verdade que: 
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. 
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. 
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. 
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. 
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo. 
 
9) Alguém, e, ninguém entraram na casa. Alguém saiu pela porta, ninguém saiu pela janela. 
Quem ficou na casa? 
 
10) A mãe de Irajara tem cinco filhas: Iraná, Irané, Irani, Iranó. Qual é a quinta filha? 
 
11) O medir-se uma vara verificou-se que ela tem 5 metros mais a metade de seu próprio 
comprimento. Qual o real comprimento da vara? 
 
12) Se dois tijolos tem a massa de 1 kg e mais meio tijolo; qual a massa de um tijolo e meio? 
 
13) Se 100 gatos comem 100 ratos em 100 minutos, 1 gato come 1 rato em quantos minutos? 
 
 
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39 
 
14) O pai do meu neto é o neto de meu pai. Quantas pessoas estão envolvidas nesse 
relacionamento de parentesco? 
15) O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em duas horas a cesta está 
cheia. A que horas estava pela metade? 
16) Conversação telefonica: 
- Alô, é do 1.000.000 ; com 6 casas decimais? 
- Sim, quem fala? 
- Como? Então não reconheces minha voz?!? No entanto, a minha mãe e sogra da tua mãe. 
Pergunta-se: 
 a) Para qual número foi feito o telefonema? 
 b) Qual o parentesco dos interlocutores? 
 
17) Porque prefere um barbeiro carioca cortar o cabelo de dois capixabas a cortar o de um 
paulista? 
 
18) Há mais de duas décadas, numa sufocante noite de janeiro em Brasília, chovia torrencialmente 
à meia noite. É possível que 96 horas depois estivesse sol em Brasília? 
 
19) A sala tem quatro cantos. Cada canto tem um gato. Cada gato vê três gatos. Quantos gatos 
estão na sala???? 
 
20) Um pai tinha dois filhos e queria igualmente bem a cada um deles. Determinou então, no seu 
testamento, que depois de sua morte, os dois filhos teriam que fazer uma viagem e que a 
fazenda com todos os seus pertences seria herdada pelo filho cujo cavalo chegasse por último 
na estátua do Padre Cícero, em Juazeiro, no Ceará. Depois da morte do pai, os dois filhos 
partiram de Brasília e se puseram a caminho muitíssimo devagar, tão devagar que nunca 
teriam chegado na estátua do vulnerável Padre Cícero. Resolveram, então, consultar, no 
caminho, o espiritualista Chico Xavier. Este, sabiamente, disse um segredo ao ouvido de cada 
um. De posse do segredo, os dois irmãos tomaram, o mais depressa possível, os cavalos e 
disputaram a mais veloz das corridas. Qual foi o segredo que Chico Xavier falou aos dois 
herdeiros?? 
 
 
 
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40 
 
 
AULA 6 
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: 
9.1.1 IDEMPOTÊNCIA: 
p  p  p 
 
 
9.1.2 COMUTATIVIDADE: 
 
 
p  q  q  p 
 
 
9.1.3 ASSOCIATIVIDADE: 
(p  q)  r  p  (q  r) 
p q r (p  q)  r p  (q  r) 
V V V V V V V 
V V F V F F F 
V F V F F F F 
V F F F F F F 
F V V F F F V 
F V F F F F F 
F F V F F F F 
F F F F F F F 
p p  p 
V V 
F F 
p q p  q q  p 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F F 
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41 
 
9.1.4 IDENTIDADE: 
 p  c  c 
 p  t  p 
 
p c t p  c p  t 
V F V F V 
F F F F V 
 
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: 
Sejamp, q, r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições simples cujos valores 
lógicos respectivos são V e F. 
9.2.1 IDEMPOTÊNCIA: 
 p  p  p 
 
 
 
 
 
9.2.2 COMUTATIVIDADE: 
 p  q  q  p 
 
 
 
 
 
 
 
 
p p  p 
V V 
F F 
p q p  q q  p 
V V V V 
V F V V 
F V V F 
F F F F 
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9.2.3 ASSOCIATIVIDADE: 
 (p  q)  r  p  (q  r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2.4 IDENTIDADE: 
 p  t  t 
 p  c  p 
 
p t c p  t p  c 
V V F V V 
F V F V F 
 
V = elemento absorvente 
F = elemento neutro 
 
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: 
9.3.1 DISTRIBUTIVA: 
 i. p  (q ˅ r )  (p  q) ˅ (p  r) 
 ii. p ˅ (q  r)  (p ˅ q)  (p ˅ r) 
p q r (p  q)  r p  (q  r) 
V V V V V V V 
V V F V V V V 
V F V V V V V 
V F F V V V F 
F V V V V V V 
F V F V V V V 
F F V F V V V 
F F F F F F F 
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43 
 
São idênticas as tabelas verdade das proposições p  (q ˅ r) e (p  q)  (p  r), 
Analogamente, são idênticas as tabelas verdade das proposições p  (q  r) e (p  q)  (p  r). 
 As bicondicionais p  (q  r)  (p  q)  (p  r) e p  (q  r)  (p  q)  (p  r) são 
tautológicas 
 A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação a disjunção e a 
equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação a conjunção. 
 De (i) a proposição em linguagem corrente: 
 As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou amarelas. 
 As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou as violetas são azuis eas rosas amarelas. 
 De (ii); 
 Faz calor ou chove e venta 
 Faz calor ou chove efaz calor ou venta. 
9.3.2 ABSORÇÃO: 
 i. p  ( p  q)  p 
 ii. p  (p  q)  p 
 
9.3.3 LEIS DE DE MORGAN: 
 i. ~ ( p  q )  ~ p ˅ ~ q 
 ii. ~ ( p ˅ q )  ~ p  ~ q 
 
 As leis de De Morgan permitem definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou 
a conjunção a partir da disjunção e da negação. 
i. negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que 
pelo menos uma é falsa 
ii. negar que ao menos uma entre duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que 
ambas são falsas. 
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: 
 p  q  ~ p ˅ q 
 ~(p  q)  ~(~ p ˅ q)  p  ~ q 
 
Demonstração por tabela verdade: 
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44 
 
 
p q p  q ~ ( p  q) ~ q p  ~ q 
V V V F F F 
V F F V V V 
F V V F F F 
F F V F V F 
 
9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: 
 ~ (p  q)  p v q 
 
 
 
 
 
 
 
10. MÉTODO DEDUTIVO 
Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até aqui pelo “Método das 
tabelas verdade”. Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalências por um 
método mais eficiente, denominado Método dedutivo. 
No emprego do MétodoDedutivo desempenham papel importante as equivalências relativas 
a Álgebra das Proposições. 
10.1 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: 
 Entre os cinco conectivos fundamentais ( ~, , ˅, , ). Três exprimem-se em termos de 
apenas dois dos seguintes pares: 
a) ~ e ˅ 
b) ~ e  
c) ~ e  
p q p v q (p  q) ~ (p  q) 
V V F V F 
V F V F V 
F V V F V 
F F F V F 
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45 
 
10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO: 
Demonstrar as seguintesimplicações e equivalências: 
1) i) c  p ii) p  t 
 
onde p é uma proposição qualquer e c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos 
são F (falsidade) e V (verdade), observe-se também, que as tabelas verdade de c  p e p  t 
mostram que estas condicionais são tautológicas. 
 
 
 
 
 
2) p  q  p (simplificação) 
 
 
 
 
 
3) p  p ˅ q (adição) 
 
 
 
 
 
 
 
4) (p  q)  p  q (Modus Ponens) 
 
 
 
 
 
 
p c t c  p p  t 
 
 
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46 
 
5) (p q)  ~q  ~ q (Modus Tollens) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) (p ˅ q)  ~ p  q (Silogismo Disjuntivo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) p  q p ˅ q 
 
 
 
 
 
 
8) p  q  p 
 
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47 
 
9) p  ~ p  q 
 
 
 
 
 
 
 
10) p  q  p  r  q 
 
 
 
 
 
 
 
11) p  q  p  ~ q  c (Redução ao Absurdo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) p  q  p ˅ q  q 
 
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48 
 
13) (p  q)  ( p  ~q)  ~ p 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) p  q  r  p  (q  r) (Exportação- Importação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) (p  r)  (q  r)  p ˅ q r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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49 
 
16) (p  q) ˅ (p  r)  p  q ˅ r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) (p  r) ˅ (q  s)  p  q  r ˅ s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6 - Exercícios 
 
1) Dar a negação da proposição: “Rosas são vermelhas e violetas são azuis”. 
 
2) Simplificar as proposições abaixo utilizando as leis de equivalência 
a) ~ ( ~ p  ~ q) 
b) ~ (p ˅ q) ˅ ( ~ p  q) 
c) ~ (p ˅ ~ q) 
d) ~ (~ p  q) 
e) ~ ( ~ p ˅ ~ q) 
f) ( p ˅ q)  ~ p 
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50 
 
g) (p  q)  (~ p  q) 
h) p  (p  q)  (p  ~ q) 
i) (p  q)  r 
j) (p  q)  (~r  ~q) 
k) p  (p  q) 
l) p  q 
 
3) Usar o método dedutivo para demonstrar: 
a) p  ~ p  p 
b) ~ p  p  p 
c) p p  q  p  q 
d) (p  q)  q  p ˅ q 
e) (p r) ˅ (q  r)  p  q  r 
f) (p  q)  ( p  r)  p  q  r 
g) p  (p ˅ q)  p 
h) p ˅ ( p  q)  p 
i) p  q  ((p  p)  (p  p))  (q  q) 
j) p  q  ((p  p)  (q  q)) ((p  p)  (q  q) 
 
 
 
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51 
 
 
AULA 7 
11. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES 
11.1 DEFINIÇÃO: 
Uma proposição esta na forma normal (FN) se é formada apenas pelos conectivos: ~, ˅ e  
11.1.1 FORMA NORMAL COJUNTIVA: 
 Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se são 
verificadas as seguintes condições: 
1. Contém, quando muito, os conectivos ~ ,  e ; 
2. ~ não aparece repetido (como ~~) e não tem alcance sobre  e  (isto é , só incide sobre 
letras proposicionais); 
3. ˅ não tem alcance sobre  (isto é, não há componentes do tipo p ˅ (p  r)) 
 
Exemplos: Determinar a FNC das proposições: 
a) ~ (((p ˅ q)  ~ q) ˅ (q ˅ r)) 
 
 
 
 
 
 
b) (p  q)  ( ~ q  ~ p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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52 
 
11.1.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA: 
 Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são 
verificadas as seguintes condições: 
1. Contém, quando muito, os conectivos ~ ,  e ; 
2. ~ não aparece repetido (como ~ ~) e não tem alcance sobre  e  (isto é , só incide sobre 
letras proposicionais); 
3.  não tem alcance sobre ˅ (isto é, não há componentes do tipo p  (p ˅ r)) 
 
Exemplos.: 
Determinar a FND das proposições (p  q)  (q  p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE: 
 Considerando uma proposição P em usa forma normal (FN) a dual de P é aproposição 
obtida trocando-se cada símbolo  e  por ˅ e  respectivamente. 
 Por exemplo, a dual de (p  q) ˅ r é (p ˅ q)  r 
 Se P e Q são proposições equivalentes em FN, então suas respectivas duais PD e QD 
também são. 
Exemplo: 
p  (q ˅ q )  p deduz-se pelo princípio de dualidade que p ˅ ( p  q )  p 
 
 
 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
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AULA 07 - Exercícios 
 
1) Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada uma das seguintes 
proposições: 
a) p  q 
b) p  ~ p 
c) p  ~ p 
d) p ˅ ~ p 
e) p  q 
f) p  p 
g) p  ~ p 
h) p  q 
i) (p  ~ p)  (q  ~q) 
j) (p  q)  p 
k) ~ p (q v p) 
l) p  ~ (q v r) 
 
2) Determinara uma forma normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma das seguintes 
proposições: 
a) ~ ( ~ p ˅ ~ q) 
b) ~ (p  q) 
c) ( p  p)  ~p 
d) ~ (p v q) 
e) ( p  q ) ˅ ~ p 
f) ~ (p  q) 
g) p v ~ p 
h) p  ~ p 
i) p  q 
j) p  q 
k) p  q 
l) p  ~ p 
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides 
54 
 
 
AULA 8 
12. RACIOCÍNIO LÓGICO – TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: 
12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: 
Seja o raciocínio: 
“Se a lógica é a base da Matemática e/ou não é fato que a filosofia não é a ciência dos 
contrários, a matemática é o ideal da ciência bem como a dialética é a base da ciência natural. A 
ciência natural é a dialética da filosofia assim como a lógica não é base da matemática. Se não é 
fato que a filosofia é a ciência dos contrários não é verdade que a matemática é o ideal da ciência 
embora a matemática fundamenta as ciências exatas. Não é fato que a matemática não fundamenta 
as ciências exatas ou a matemática é o ideal da ciência. Portanto, é natural concluir-se que a 
matemática não é o ideal da ciência. 
A partir

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