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Universidade Estadual de Maringa´ Departamento de Estat´ıstica Disciplina de Probabilidade I Prof. Carlos Ap dos Santos Lista de Exerc´ıcios - 2 Ex. 1 — Se X e Y sa˜o duas varia´veis aleato´rias binomiais independentes de paraˆmetros (n, p) e (m, p) respectivamente, qual e´ a distribuic¸a˜o de X + Y ? Ex. 2 — Suponha X uma v.a. com func¸a˜o densidade de probabilidade definida por: f(x) = { 3x2, se 0 < x < 1 0, c.c. Encontre a distribuic¸a˜o de Y = 1−X2 considerando 1. Via me´todo direto (P [Y ≤ y]); 2. Via me´todo Jacobiano. Ex. 3 — Considere a v.a. X com fdp dada por f(x) = 4x, se 0 ≤ x < 1/2 4(1− x), se 1/2 ≤ x ≤ 1 0, c.c. 1. Seja Y = X + 5, obtenha a densidade de Y ; 2. Obtenha a densidade de 2X. Ex. 4 — Suponhamos que X tem fdp f(x) = { x+2 18 , se − 2 ≤ x ≤ 4 0, c.c. Seja Y = X2, encontre a fdp de X. Ex. 5 — Suponha que X tenha os poss´ıveis valores −2,−1, 0, 1, 2. Considerando que Pr(X = xi) = 1/5 e que Y = X2; qual sera´ a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y ? Ex. 6 — Admita que a v.a. tome os valores 2, 4 e 8 com probabilidades: 1/4, 1/2 e 1/4, respecti- vamente. Defina Y = X2, qual sera´ sua distribuic¸a˜o de probabilidade? Ex. 7 — Estima-se que o custo de estadia de um certo navio que faz transporte de carga, enquanto esta´ parado em um porto, e´ da ordem de 30 mil do´lares por dia. Admita que o tempo total de permaneˆncia desse navio em um determinado porto (incluindo esperas em filas, manobras para atracar e desatracar, descarga e carregamento, etc) segue uma lei de probabilidade exponencial com me´dia de 5 dias. 1. Em quantos por cento das vezes o custo total de estadia e´ inferior a 200 mil do´lares? 2. Admita agora que quando o tempo total de permaneˆncia do navio excede 8 dias a administrac¸a˜o do porto e´ obrigada a pagar ao transportador uma multa no valor de 100 mil do´lares. Nessas condic¸o˜es, qual e´ em me´dia o custo l´ıquido para o transportador de cada visita do navio a esse porto? Probabilidade I 1 Prof. Carlos Universidade Estadual de Maringa´ Departamento de Estat´ıstica Disciplina de Probabilidade I Prof. Carlos Ap dos Santos Ex. 8 — Sejam X1 e X2 varia´veis aleato´rias independentes com mesma distribuic¸a˜o exponencial de paraˆmetro λ. a) Mostre que X1 +X2 teˆm distribuic¸a˜o Gama com paraˆmetro α = 2 e β = λ; b) Considere ∑n i=1Xi; qual distribuic¸a˜o resulta? Ex. 9 — Uma empresa ferrovia´ria tem por objetivo manter as linhas de trens sempre alinhadas. De tempos em tempos alguns dos trilhos devem ser substitu´ıdos. Suponha que o comprimento do trilho e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o N(80; 2) ambos em cent´ımetros. Dois trilhos sa˜o arranjados de modo que um seja a continuac¸a˜o do outro. O comprimento agora e´ de 160 cm e com uma toleraˆncia de ±2 cm para que se encaixe com perfeic¸a˜o. Qual a probabilidade de que os trilhos se encaixem? Ex. 10 — Uma determinada empresa revende cimento ensacado. Como ha´ permanentemente um grande movimento de entradas e sa´ıdas desses sacos de cimento no galpa˜o da empresa, pode-se con- siderar que a quantidade de cimento estocada varia segundo uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 30 toneladas e desvio padra˜o de 10 toneladas. Para levar os sacos de cimento aos consumidores, a empresa utiliza um caminha˜o capaz de transportar ate´ 40 toneladas. A demanda por cimento e´ muito grande e, por isso, tudo o que o caminha˜o levar acabara´ sendo vendido. Assim sendo, o caminha˜o sempre sai levando todo o cimento que houver em estoque naquele momento, desde que a sua carga ma´xima na˜o seja ultrapassada. 1. Calcule a me´dia e o desvio padra˜o do peso da carga do caminha˜o em uma viagem com destino aos consumidores escolhida ao acaso; 2. Admita agora que a empresa concluiu que na˜o vale a pena o caminha˜o fazer essa viagem, se ele na˜o levar uma carga mı´nima de 20 toneladas de cimento. Enta˜o, quando o caminha˜o chega vazio ao galpa˜o para ser carregado, se a quantidade de cimento em estoque naquele momento for insuficiente, a empresa recorre imediatamente aos seus fornecedores para garantir que o caminha˜o saia carregando exatamente essa carga mı´nima de 20 toneladas de cimento. Como no item (1.), calcule a me´dia e o desvio padra˜o do peso da carga do caminha˜o em uma viagem escolhida ao acaso, sob as novas condic¸o˜es; 3. Que concluso˜es podem ser extra´ıdas deste exerc´ıcio? Ex. 11 — A quantidade de tempo, em horas, que funciona um computador antes de enguic¸ar e´ uma v.a. cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por f(x) = { λe−x/100 se x ≥ 0 0 caso contra´rio Qual e´ a probabilidade que o computador funcionara´ entre 50 e 150 horas antes de enguic¸ar? Qual a probabilidade que funcione menos que 100 horas? Ex. 12 — Suponha que o nu´mero de milhas que um carro pode fazer antes de sua bateria descarregar e´ exponencialmente distribu´ıdo com um valor me´dio de 10000 milhas. Se uma pessoa decide fazer uma viagem de 5000 milhas, qual e´ a probabilidade de que ele sera´ capaz de completar sua viagem sem ter que trocar a bateria do carro? O que se pode dizer quando a distribuic¸a˜o na˜o e´ exponencial? Ex. 13 — Um exame e´ muitas vezes olhado como sendo bom (no sentido de determinar um va´lido Probabilidade I 2 Prof. Carlos Universidade Estadual de Maringa´ Departamento de Estat´ıstica Disciplina de Probabilidade I Prof. Carlos Ap dos Santos grau de expansa˜o para seus resultados) se o teste contar esses exames que podem ser aproximados por uma func¸a˜o de densidade normal (em outras palavras, um gra´fico de frequeˆncia do grau de contagem tera´ aproximadamente a forma de sino da distribuic¸a˜o normal). O instrutor depois de usar o teste dos scores para determinar os paraˆmetros µ e σ2 e enta˜o designa a letra maiu´scula A para estes testes dos scores maior do que µ + σ; B para os scores que esta entre µ e µ + σ; C para os scores entre µ − σ e µ; D para os scores entre µ − 2σ e µ − σ; e F para os scores obtidos abaixo de µ − 2σ (Este e´ as vezes referido para o grau ”na curva”). Enta˜o determine as probabilidades para cada um dos testes dos scores, usados para estimar os paraˆmetros. Ex. 14 — Um expert legalizador testifica em um processo de paternidade que a extensa˜o (em dias) de gravidez e´ aproximadamente distribu´ıdo normalmente com paraˆmetros µ = 270 e σ2 = 100. O acusado no processo e´ capaz de provar que estava fora do pa´ıs durante o per´ıodo que comec¸ou 290 dias antes do nascimento da crianc¸a e finais 240 dias depois do nascimento. Se o acusado era, de fato, o pai da crianc¸a, qual e´ a probabilidade que a ma˜e pode ter tido uma gravidez muito longa ou muito pequena, indicada pelo seu testemunho? Ex. 15 — Seja X o nu´mero de vezes que uma moeda justa, jogada 40 vezes, resulte cara. Calcular a probabilidade de X = 20. Use a aproximac¸a˜o normal e enta˜o compare a exatida˜o da soluc¸a˜o. Ex. 16 — Uma corretora negocia t´ıtulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabil´ıstico para avaliar seus lucros. Suas aplicac¸o˜es financeiras de compra e venda atingem treˆs a´reas: agricultura, indu´stria e come´rcio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro dia´rio da corretora (em milhares de reais): L = 2LA + 5LI + 3LC com LA, LI e LC representando, respectivamente, os lucros dia´rios nos setores de agricultura, indu´stria e come´rcio. As distribuic¸o˜es de probabilidade dessas varia´veis aleato´rias sa˜o LA ∼ N(3, 4), LI ∼ N(6, 9) e LC ∼ N(4, 16). Supondo independeˆncia entre os treˆs setores, qual sera´ a probabilidade de um lucro dia´rio acima de 50 mil? Ex. 17 — O tamanho ideal de uma classe de primeiro ano em um cole´gio particular e´ de 150 es- tudantes. O cole´gio, sabendo de experieˆncia passada que, na me´dia, somente 30% destes sa˜o aceitos para atender atualmente a admissa˜o, usando a pol´ıtica de aprovac¸a˜o aplica 450 estudantes. Compute a probabilidadeque mais de 150 estudantes do 1o ano sa˜o atendidos neste cole´gio. Ex. 18 — A func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por fX(x) = { x2 81 , se − 3 < x < 6 0, c.c. Calcule a func¸a˜o densidade de probabilidade da varia´vel aleato´ria U = 13(12− x) Probabilidade I 3 Prof. Carlos
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