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Lista 2 de Probabilidade 1

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Universidade Estadual de Maringa´
Departamento de Estat´ıstica
Disciplina de Probabilidade I
Prof. Carlos Ap dos Santos
Lista de Exerc´ıcios - 2
Ex. 1 — Se X e Y sa˜o duas varia´veis aleato´rias binomiais independentes de paraˆmetros (n, p) e
(m, p) respectivamente, qual e´ a distribuic¸a˜o de X + Y ?
Ex. 2 — Suponha X uma v.a. com func¸a˜o densidade de probabilidade definida por:
f(x) =
{
3x2, se 0 < x < 1
0, c.c.
Encontre a distribuic¸a˜o de Y = 1−X2 considerando
1. Via me´todo direto (P [Y ≤ y]);
2. Via me´todo Jacobiano.
Ex. 3 — Considere a v.a. X com fdp dada por
f(x) =

4x, se 0 ≤ x < 1/2
4(1− x), se 1/2 ≤ x ≤ 1
0, c.c.
1. Seja Y = X + 5, obtenha a densidade de Y ;
2. Obtenha a densidade de 2X.
Ex. 4 — Suponhamos que X tem fdp
f(x) =
{
x+2
18 , se − 2 ≤ x ≤ 4
0, c.c.
Seja Y = X2, encontre a fdp de X.
Ex. 5 — Suponha que X tenha os poss´ıveis valores −2,−1, 0, 1, 2. Considerando que Pr(X = xi) =
1/5 e que Y = X2; qual sera´ a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y ?
Ex. 6 — Admita que a v.a. tome os valores 2, 4 e 8 com probabilidades: 1/4, 1/2 e 1/4, respecti-
vamente. Defina Y = X2, qual sera´ sua distribuic¸a˜o de probabilidade?
Ex. 7 — Estima-se que o custo de estadia de um certo navio que faz transporte de carga, enquanto
esta´ parado em um porto, e´ da ordem de 30 mil do´lares por dia. Admita que o tempo total de
permaneˆncia desse navio em um determinado porto (incluindo esperas em filas, manobras para atracar
e desatracar, descarga e carregamento, etc) segue uma lei de probabilidade exponencial com me´dia de
5 dias.
1. Em quantos por cento das vezes o custo total de estadia e´ inferior a 200 mil do´lares?
2. Admita agora que quando o tempo total de permaneˆncia do navio excede 8 dias a administrac¸a˜o
do porto e´ obrigada a pagar ao transportador uma multa no valor de 100 mil do´lares. Nessas
condic¸o˜es, qual e´ em me´dia o custo l´ıquido para o transportador de cada visita do navio a esse
porto?
Probabilidade I 1 Prof. Carlos
Universidade Estadual de Maringa´
Departamento de Estat´ıstica
Disciplina de Probabilidade I
Prof. Carlos Ap dos Santos
Ex. 8 — Sejam X1 e X2 varia´veis aleato´rias independentes com mesma distribuic¸a˜o exponencial de
paraˆmetro λ.
a) Mostre que X1 +X2 teˆm distribuic¸a˜o Gama com paraˆmetro α = 2 e β = λ;
b) Considere
∑n
i=1Xi; qual distribuic¸a˜o resulta?
Ex. 9 — Uma empresa ferrovia´ria tem por objetivo manter as linhas de trens sempre alinhadas. De
tempos em tempos alguns dos trilhos devem ser substitu´ıdos. Suponha que o comprimento do trilho
e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o N(80; 2) ambos em cent´ımetros. Dois trilhos sa˜o arranjados
de modo que um seja a continuac¸a˜o do outro. O comprimento agora e´ de 160 cm e com uma toleraˆncia
de ±2 cm para que se encaixe com perfeic¸a˜o. Qual a probabilidade de que os trilhos se encaixem?
Ex. 10 — Uma determinada empresa revende cimento ensacado. Como ha´ permanentemente um
grande movimento de entradas e sa´ıdas desses sacos de cimento no galpa˜o da empresa, pode-se con-
siderar que a quantidade de cimento estocada varia segundo uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de
30 toneladas e desvio padra˜o de 10 toneladas. Para levar os sacos de cimento aos consumidores, a
empresa utiliza um caminha˜o capaz de transportar ate´ 40 toneladas. A demanda por cimento e´ muito
grande e, por isso, tudo o que o caminha˜o levar acabara´ sendo vendido. Assim sendo, o caminha˜o
sempre sai levando todo o cimento que houver em estoque naquele momento, desde que a sua carga
ma´xima na˜o seja ultrapassada.
1. Calcule a me´dia e o desvio padra˜o do peso da carga do caminha˜o em uma viagem com destino
aos consumidores escolhida ao acaso;
2. Admita agora que a empresa concluiu que na˜o vale a pena o caminha˜o fazer essa viagem, se
ele na˜o levar uma carga mı´nima de 20 toneladas de cimento. Enta˜o, quando o caminha˜o chega
vazio ao galpa˜o para ser carregado, se a quantidade de cimento em estoque naquele momento
for insuficiente, a empresa recorre imediatamente aos seus fornecedores para garantir que o
caminha˜o saia carregando exatamente essa carga mı´nima de 20 toneladas de cimento. Como
no item (1.), calcule a me´dia e o desvio padra˜o do peso da carga do caminha˜o em uma viagem
escolhida ao acaso, sob as novas condic¸o˜es;
3. Que concluso˜es podem ser extra´ıdas deste exerc´ıcio?
Ex. 11 — A quantidade de tempo, em horas, que funciona um computador antes de enguic¸ar e´ uma
v.a. cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por
f(x) =
{
λe−x/100 se x ≥ 0
0 caso contra´rio
Qual e´ a probabilidade que o computador funcionara´ entre 50 e 150 horas antes de enguic¸ar? Qual a
probabilidade que funcione menos que 100 horas?
Ex. 12 — Suponha que o nu´mero de milhas que um carro pode fazer antes de sua bateria descarregar
e´ exponencialmente distribu´ıdo com um valor me´dio de 10000 milhas. Se uma pessoa decide fazer uma
viagem de 5000 milhas, qual e´ a probabilidade de que ele sera´ capaz de completar sua viagem sem ter
que trocar a bateria do carro? O que se pode dizer quando a distribuic¸a˜o na˜o e´ exponencial?
Ex. 13 — Um exame e´ muitas vezes olhado como sendo bom (no sentido de determinar um va´lido
Probabilidade I 2 Prof. Carlos
Universidade Estadual de Maringa´
Departamento de Estat´ıstica
Disciplina de Probabilidade I
Prof. Carlos Ap dos Santos
grau de expansa˜o para seus resultados) se o teste contar esses exames que podem ser aproximados por
uma func¸a˜o de densidade normal (em outras palavras, um gra´fico de frequeˆncia do grau de contagem
tera´ aproximadamente a forma de sino da distribuic¸a˜o normal). O instrutor depois de usar o teste dos
scores para determinar os paraˆmetros µ e σ2 e enta˜o designa a letra maiu´scula A para estes testes dos
scores maior do que µ + σ; B para os scores que esta entre µ e µ + σ; C para os scores entre µ − σ
e µ; D para os scores entre µ − 2σ e µ − σ; e F para os scores obtidos abaixo de µ − 2σ (Este e´ as
vezes referido para o grau ”na curva”). Enta˜o determine as probabilidades para cada um dos testes
dos scores, usados para estimar os paraˆmetros.
Ex. 14 — Um expert legalizador testifica em um processo de paternidade que a extensa˜o (em dias)
de gravidez e´ aproximadamente distribu´ıdo normalmente com paraˆmetros µ = 270 e σ2 = 100. O
acusado no processo e´ capaz de provar que estava fora do pa´ıs durante o per´ıodo que comec¸ou 290
dias antes do nascimento da crianc¸a e finais 240 dias depois do nascimento. Se o acusado era, de fato,
o pai da crianc¸a, qual e´ a probabilidade que a ma˜e pode ter tido uma gravidez muito longa ou muito
pequena, indicada pelo seu testemunho?
Ex. 15 — Seja X o nu´mero de vezes que uma moeda justa, jogada 40 vezes, resulte cara. Calcular
a probabilidade de X = 20. Use a aproximac¸a˜o normal e enta˜o compare a exatida˜o da soluc¸a˜o.
Ex. 16 — Uma corretora negocia t´ıtulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabil´ıstico para
avaliar seus lucros. Suas aplicac¸o˜es financeiras de compra e venda atingem treˆs a´reas: agricultura,
indu´stria e come´rcio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro dia´rio da
corretora (em milhares de reais):
L = 2LA + 5LI + 3LC
com LA, LI e LC representando, respectivamente, os lucros dia´rios nos setores de agricultura, indu´stria
e come´rcio. As distribuic¸o˜es de probabilidade dessas varia´veis aleato´rias sa˜o LA ∼ N(3, 4), LI ∼
N(6, 9) e LC ∼ N(4, 16). Supondo independeˆncia entre os treˆs setores, qual sera´ a probabilidade de
um lucro dia´rio acima de 50 mil?
Ex. 17 — O tamanho ideal de uma classe de primeiro ano em um cole´gio particular e´ de 150 es-
tudantes. O cole´gio, sabendo de experieˆncia passada que, na me´dia, somente 30% destes sa˜o aceitos
para atender atualmente a admissa˜o, usando a pol´ıtica de aprovac¸a˜o aplica 450 estudantes. Compute
a probabilidadeque mais de 150 estudantes do 1o ano sa˜o atendidos neste cole´gio.
Ex. 18 — A func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por
fX(x) =
{
x2
81 , se − 3 < x < 6
0, c.c.
Calcule a func¸a˜o densidade de probabilidade da varia´vel aleato´ria U = 13(12− x)
Probabilidade I 3 Prof. Carlos

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