Concreto Armado I - Ney Amorim Silva - Revisão Fevereiro de 2015

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Concreto Armado I - Ney Amorim Silva - Revis�o Fevereiro de 2015/Cap.5 - Cisalhamento_2014_Rev._Fev._2015.pdf
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 5 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Fevereiro 2015 
 
CISALHAMENTO 
__________________________________________________________________________ 
 
 
5.1 – Tensões de cisalhamento 
 
Considere, apenas por simplicidade, uma seção retangular submetida à flexão 
simples inicialmente no Estádio I, ou seja, o concreto ainda não fissurado (fig. 5.1). 
Conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais, o diagrama de tensões de ci-
salhamento (ou tangenciais) e o diagrama de tensões normais estão indicados res-
pectivamente nas fig. 5.1b e fig.5.1c. Na fig. 5.1b,  representa a tensão de cisalha-
mento para pontos distantes y da linha neutra LN dada por: 
 
 
Ib
y
2
h
2
b
V
Ib
VQ
τ
w
2
2
w
w






















 (5.1) 
 
Onde V é a força cortante atuante na seção transversal, Q e I são, respecti-
vamente, o momento estático da área A1 acima de y e o momento de inércia da se-
ção, ambos em relação à linha neutra LN. 
 
O valor de  atinge o seu valor máximo o, quando y = 0, ou seja, na linha 
neutra, onde Qmax = Q0 = (bw h
2 / 8). Nessas condições, para um diagrama linear de 
tensões normais a relação (I / Qo) = (2/3) h = Z, conforme a fig. 5.1c, representa o 
braço de alavanca entre as resultantes de compressão Rcc e de tração Rtc no con-
creto, podendo a equação (5.1) ser reescrita como: 
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___________________________________________________________________________ 
 
5.2 
 
 
 
Figura 5.1 – Viga com seção retangular submetida à flexão simples (Estádio I) 
 
 
Zb
V
Q
I
b
V
Ib
VQ
τ
w
0
w
w
0
0 
 (5.2) 
 
As equações (5.1) e (5.2) foram obtidas com as hipóteses da Resistência dos 
Materiais considerando-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurado, 
sendo portanto só aplicáveis no Estádio I, situação de ocorrência pouco comum para 
peças de concreto armado. 
 
Considerando-se agora o concreto já fissurado, funcionando no Estádio II, as 
equações (5.1) e (5.2) serão válidas desde que se despreze a resistência do concre-
to tracionado abaixo da LN, considere distribuição linear de tensões de compressão 
no concreto e, além disso, que a armadura de tração As seja homogeneizada para 
uma nova área equivalente em concreto igual a (nAs), com “n” igual a relação entre 
os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Nesse caso, ainda conforme as 
hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais compostos, a determinação 
da LN, que coincide com a profundidade da área comprimida, é obtida pela igualda-
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___________________________________________________________________________ 
 
5.3 
 
de entre os momentos estáticos dessa área e da área tracionada (n As) em relação 
à LN. 
O dimensionamento no estado limite último para flexão simples, Estádio III, 
pressupõe diagrama parabólico (simplificado em retangular) de tensões de com-
pressão no concreto oriundas do momento fletor de cálculo Md, de modo que não 
valem mais as equações (5.1) e (5.2), caso se pretenda obter com as mesmas o 
braço de alavanca Z, como relação entre I e Qo. No entanto a equação (5.2) conti-
nua válida desde que se adote para Z no estado limite último, o mesmo valor já obti-
do no dimensionamento à flexão, ou seja: 
 
 Z = d – 0,4 x = Kz d (5.3) 
 
No intuito de simplificar o cálculo adota-se um valor médio para Kz conforme a 
NBR 6118 (2014) igual a 0,9, ficando portanto a tensão máxima de cisalhamento, 
equação (5.2), agora na situação de cálculo, dada por: 
 
.db
1,11.V
.0,9.db
V
τ
w
d
w
d
0d 
 (5.4) 
 
Onde 0d e Vd são, respectivamente a tensão máxima de cisalhamento e a 
força cortante de cálculo. 
 
Define-se a partir da equação (5.4) uma tensão convencional de cisalhamento 
de cálculo, dada por, 
 
.db
V
w
d
wd 
 (5.5) 
 
que não tem significado físico, apenas servirá de referência para verificações futuras 
da resistência da peça ao cisalhamento. Já a tensão dada pela equação (5.4) tem 
significado físico, representando a máxima tensão de cisalhamento na seção trans-
versal, que pode ser reescrita conforme (5.5) como: 
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5.4 
 
 0d = 1,11 wd (5.6) 
 
5.2 – Elementos lineares sujeitos à força cortante (Item 17.4 da NBR 6118:2014) 
 
5.2.1 – Hipóteses básicas (17.4.1 da NBR 6118:2014) 
 
 As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armados ou pro-
tendidos, submetidos à força cortante, eventualmente combinada com outros esfor-
ços. 
 
 Não se aplicam, portanto, a elementos de volume (ex.: bloco de fundação), lajes 
(tratada separadamente), vigas parede e consolos curtos. 
 
 
 
Figura 5.2 – Elementos estruturais que não atendem as prescrições 
regulamentares da NBR 6118:2014 (item 17.4.1) 
 
As condições fixadas pela NBR-6118:2014 admitem dois modelos de cálculo 
em função da inclinação das “bielas” de compressão, conforme fig. 5.4, que pres-
supõem a analogia com o modelo em treliça de banzos paralelos, associados a 
mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento es-
trutural, representado por uma componente adicional denominada Vc. 
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5.5 
 
 
 
Figura 5.3 – Modelo de funcionamento de viga ao cisalhamento como treliça 
 
5.2.2 – Condições gerais (item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2014) 
 
Todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos 
casos indicados no item seguinte, devem conter armadura transversal mínima 
Asw,min constituída por estribos com taxa geométrica dada por: 
 
ywk
mct,
w
minsw,
minsw,
f
0,2.f
.s.senαb
A
ρ 
 (5.7) 
 
 
Onde bw é a largura média da alma, s é o espaçamento longitudinal dos estri-
bos inclinados de um ângulo , fct,m é a resistência média à tração do concreto e fywk 
é a resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal. 
 
A resistência média à tração fctm é dada nas equações (1.12a), para fck ≤ 50 
MPa e (1.12b) para fck > 50 MPa (item 8.2.5 da NBR 6118:2014). 
 
fct,m = 0,3 (fck)
2/3 (MPa) P/ concretos de classes até C50 (1.12a)* 
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___________________________________________________________________________ 
 
5.6 
 
fct,m = 2,12 ln(1+0,11fck) (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90 (1.12b)* 
 
A resistência característica ao escoamento do aço da armadura (passiva) 
transversal Asw, segundo o item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014, é limitada ao valor fyd 
para estribos e a 70% deste valor no caso de barras dobradas. Em nenhum dos dois 
casos admite-se valores superiores a 435 MPa. Na prática, isto significa que teremos 
a mesma armadura transversal calculada para os aços CA 50 e CA 60. 
 
 fywd = fyd  estribos (5.8) 
  435 MPa 
 fywd = 0,7 fyd  barras dobradas (5.9) 
 
A partir das equações (5.7), (1.12a) e (1.12b) para espaçamento s = 100 cm e 
estribos verticais,  = 90o, obtém-se: 
 
    
wminw,
2/3
ckw
minsw, bρ
500
0,2x0,3fx100x1b
A 
 (5.10a) 
 Para fck ≤ 50 MPa 
w,min = 0,012 fck 
(2/3) (5.10b) 
 
    
wminw,
ckw
minsw, bρ
500
0,11f10,2x2,12lnx100x1b
A 


 (5.11a) 
 Para fck > 50 MPa 
w,min = 0,0848 ln (1 + 0,11 fck ) (5.11b) 
 
Onde w,min é a taxa mínima de armadura transversal, constituída por estribos 
verticais em 1 m de viga. 
 
 A partir das equações (5.10b) e (5.11b), com fck expresso em MPa pode-se 
tabelar o valor de w,min (tabela 5.1): 
 
 
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5.7 
 
 TABELA 5.1 – Valores de w,min 
 
Grupo I – fck ≤ 50 MPa 
ρw,min = 0,012 fck
(2/3) 
Grupo II – fck > 50 MPa 
ρw,min = 0,0848 ln(1+0,11fck) 
fck (MPa) w,min fck (MPa) w,min 
20 0,088 55 0,166 
25 0,103 60 0,172 
30 0,116 65 0,178 
35 0,128 70 0,183 
40 0,140 75 0,189 
45 0,152 80 0,194 
50 0,163 85 0,198 
- - 90 0,203 
 
 
5.2.3 – Fazem exceção ao item anterior (item 17.4.1.1.2 da NBR 6118:2014) 
 
 a) Os elementos estruturais lineares com bw  5.d (em que d é a altura útil da 
seção), caso que deve ser tratado com laje (ver item 19.4 da NBR 6118); 
 
 b) As nervuras de lajes nervuradas, descritas em 13.2.4.2-a) e b), que tam-
bém podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como 
base a soma das larguras no trecho considerado, podendo ser dispensada a 
armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1; 
 c) Os pilares e elementos estruturais de fundação submetidos predominante-
mente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais 
desfavorável das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio 
I, às condições seguintes: 
 - nenhum ponto deve ser atingida a tensão fctk; 
 - Vsd ≤ Vc, sendo Vc definido em 17.4.2. 
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5.8 
 
Neste caso, a armadura transvesal mínima é a definida na seção 18. (NBR 6118) 
 
5.2.4 – Verificação do estado limite último (item 17.4.2 da NBR 6118:2014) 
 
5.2.4.1 – Cálculo da resistência 
 
 A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, 
deve ser considerada satisfatória quando são verificadas simultaneamente a ruína 
por esmagamento da biela comprimida (eq. 5.12) e pela ruptura da armadura trans-
versal tracionada (eq. 5.13), traduzidas pelas seguintes condições: 
 
 VSd  VRd2 (5.12) 
 
 VSd  VRd3 = Vc +Vsw (5.13) 
 
Onde 
 VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas, obtida de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante. 
 
 VRd3 = Vc +Vsw é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por 
tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal, 
ambas obtidas de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante. 
 
 
5.2.4.2 – Modelo de cálculo I 
 
O modelo de cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de  =45o 
em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela 
complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd. 
 
 
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5.9 
 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto: 
 
 VRd2 = 0,27 v2 fcd bw d = wd2 bw d (5.14) 
 
onde: 
250
f
1α ckv2 
 (fck em MPa) (5.15) 
 
cdv2
w
Rd2
wd2 f0,27α
db
V
τ 
 (5.16) 
 
 
obs.: - embora para o cálculo de v2 a unidade utilizada seja o MPa , para a obten-
ção do esforço VRd2 em kN, deve-se calcular wd2 em kN/cm
2. 
 
A tensão wd2 representa a tensão máxima convencional de cisalhamento, a-
nalogamente à tensão convencional de cisalhamento wd = (Vd / bwd), de tal forma 
que para se verificar a resistência da diagonal comprimida, equação (5.12) escrita 
em termos de esforços, basta atender a seguinte expressão, escrita em termos de 
valores convencionais de tensões de cisalhamento: 
 
 wd  wd2 (5.17) 
 
Da fig. 5.4 nota-se que a resistência máxima na diagonal comprimida, Rcc,max, 
é dada por: 
 
 Rcc,max = cc,max bw z (1 + cotg) sen (5.18) 
 
Onde cc,max é a tensão normal máxima na diagonal comprimida de concreto. 
 
 
 
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5.10 
 
 TABELA 5.2 – Valores de wd2 (Modelo I) 
 
Grupo I – fck ≤ 50 MPa
 Grupo II – fck > 50 MPa 
fck (MPa) wd2 (kN/cm
2) fck (MPa) wd2 (kN/cm
2) 
20 0,355 55 0,827 
25 0,434 60 0,879 
30 0,509 65 0,928 
35 0,581 70 0,972 
40 0,648 75 1,013 
45 0,712 80 1,049 
50 0,771 85 1,082 
- - 90 1,111 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Resultante resistente máxima da diagonal comprimida 
 
 
Vsd = VRd2 = Rcc,max sen = cc,max bw 0,9d (1 + cotg) sen
2 (5.19) 
 
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5.11 
 
De (5.14) e (5.19) com  = 45o, obtém-se: 
 
 VRd2 = wd2 (bw d) = cc,max (1 + cotg) (bw d) 0,45 (5.20) 
 
 wd2 = 0,45 cc,max (1 + cotg) (5.21) 
 
 Perpendicularmente à tensão cc,max atua uma tensão máxima de tração (es-
tado duplo de tensões produzido pela flexão nas vigas). Nesta situação não se pode 
considerar para cc,max o mesmo valor obtido nos ensaios de compressão simples 
(estado simples de tensão), ficando o seu valor reduzido para cc,max = 0,6 v2 fcd 
(segundo o CEB).
Com este valor e considerando-se estribos verticais,  = 90o, ob-
tém-se wd2 = 0,45 x 0,6 x v2 x fcd = 0,27v2fcd, que é a mesma dada na equação 
(5.16), definida pela NBR 6118:2014. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
Na equação (5.13) VRd3 = Vc +Vsw, a primeira parcela corresponde a força cor-
tante resistente absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, que é da-
da no modelo I por: 
 
 Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora 
da seção 
 
 Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção 
 
 Vc = Vc0 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc0 na flexo-compressão 
 
Com 
 Vc0 = 0,6 fctd bw d = c0 bw d (5.22) 
 
c
mct,
c
infctk,
ctd
γ
0,7f
γ
f
f 
 (5.23) 
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5.12 
 
 
 0,21 (fck)
2/3 (MPa) fck ≤ 50 MPa 
fctk,inf = 0,7 fct,m = (1.13a)* 
 1,484 ln (1 + 0,11fck) (MPa) fck > 50 MPa 
 
 
Onde fctk,inf é a resistência característica inferior à tração, equações (1.13a). 
Tomando-se para o coeficiente de ponderação do concreto c = 1,4, a tensão con-
vencional de cisalhamento correspondente aos mecanismos complementares, (c0), 
pode ser dada pela seguinte expressão: 
 
 
2/3
ck
2/3
ck
ctd
c0 0,009ff
1,4x10
0,6x0,21
10
0,6f
τ 
 fck≤50 MPa 
 (5.24) 
   ckck
ctd
c0 0,11f10,0636ln0,11f1ln
1,4x10
0,6x1,484
10
0,6f
τ 
 fck>50 MPa 
 
Nas equações (5.24) a unidade da tensão c0 é kN/cm
2, motivo pelo qual as 
expressões foram divididas por 10. Portanto nas equações (5.24) deve-se usar fck 
em MPa, para se obter c0 em kN/cm
2. Os valores de c0 para os dois grupos de 
classe de concreto estão apresentados na tabela 5.3. 
 
Cabe salientar que as tensões convencionais de cisalhamento wd, wd2 e c0 
servem apenas de referência e devem ser usadas para a determinação das resultan-
tes das forças cortantes Vsd = wd (bwd), VRd2 = wd2 (bwd) e Vc0 = c0 (bwd). 
 
 
 
 
 
 
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___________________________________________________________________________ 
 
5.13 
 
TABELA 5.3 – Valores de c0 
 
Grupo I 
c0 = 0,009fck
2/3 
Grupo II 
c0 = 0,0636ln(1+0,11fck) 
fck (MPa) c0 (kN/cm
2) fck (MPa) c0 (kN/cm
2) 
20 0,0663 55 0,124 
25 0,0769 60 0,129 
30 0,0869 65 0,133 
35 0,0963 70 0,138 
40 0,0963 75 0,141 
45 0,114 80 0,145 
50 0,122 85 0,149 
- - 90 0,152 
 
 
Da equação (5.13) a parcela resistida pela armadura transversal tracionada 
Vsw é determinada conforme o esquema mostrado na fig. 5.5. 
 
 
 
Figura 5.5 – Resultante resistente da diagonal tracionada 
 
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___________________________________________________________________________ 
 
5.14 
 
 A resultante Rst na direção da diagonal tracionada pode ser obtida pelo produ-
to da área total de armadura, no trecho correspondente ao painel do modelo de treli-
ça, pela tensão de escoamento de cálculo na armadura transversal. Considerando 
que área de uma barra da armadura transversal vale Asw e que o número de barras 
no comprimento do painel é [z(1+cotgα) / s], com s igual ao espaçamento das bar-
ras, a resultante Rst é dada por: 
 
 
ywdswst fA
s
cotgα1z
R


 
 (5.25) 
 
 
 
  senαfcotgα1z
s
A
senαfA
s
cotgα1z
senαRV ywd
sw
ywdswstsw 


 
 (5.26) 
 
Para z = 0,9 d, considerando-se estribos verticais ( = 90o) em vigas submeti-
das à flexão simples (Vc = Vc0), a equação (5.13) dividida por (bw d) para transformar 
resultantes em tensões convencionais de cisalhamento fica: 
 
db
43,50,9d
s
A
ττ
db
V
db
V
db
V
w
sw
c0wd
w
sw
w
c0
w
sd
)(





 (5.27) 
 
ww
*
w
c0wdsw bρb
39,15
ττ
s
A








 (cm2/cm) (5.28) 
 
Para s=100 cm, a taxa *w se transforma na taxa w dada por : 
 
39,15
ττ
100100ρρ c0wdw
*
w


 (5.29) 
 
e finalmente 
 
 Asw  w . bw (cm
2 / m) (5.30) 
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___________________________________________________________________________ 
 
5.15 
 
Fazendo na equação (5.29) w = w,min, equações (5.10b) e (5.11b) obtém-se 
o valor mínimo wd,min, para o modelo I, abaixo do qual a adoção da armadura míni-
ma Asw,min = w,min bw, absorve a totalidade do esforço de cisalhamento. 
 
c0
minw,
minwd, τ
100
39,15ρ
τ 
 (5.31) 
 
 Com os valores de w,min e c0 dados em função do grupo de resistência dos 
concretos, equações (5.10b), (5.11b) e (5.24) respectivamente, obtém-se duas ex-
pressões para o valor mínimo da resistência convencional de cisalhamento: 
 
 Para o grupo I, ou seja, fck ≤ 50 MPa 
 
2/3
ck
2/3
ck
2/3
ck
minwd, 0,0137f0,009f
100
2f39,15x0,01
τ 
 (5.32) 
 
 Para o grupo II, ou seja, fck > 50 MPa 
 
 
   ckck
ck
minwd, 0,11f10,0968ln0,11f10,0636ln
100
0,11f148ln39,15x0,08
τ 


 (5.33) 
 
 
 Nas equações (5.32) e (5.33) a unidade de wd,min é kN/cm
2 enquanto a uni-
dade do fck é o MPa, ou seja, entra-se com a resistência do concreto em MPa para 
obter a tensão convencional mínima de cisalhamento em kN/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
5.16 
 
Tabela 5.4 – Valores de wd,min para o Modelo I 
 
Grupo I 
wd,min=0,0137fck
2/3 
Grupo II 
wd,min=0,0968ln(1+0,11fck) 
fck (MPa) wd,min (kN/cm
2) fck (MPa) wd,min (kN/cm
2) 
20 0,101 55 0,189 
25 0,117 60 0,196 
30 0,132 65 0,203 
35 0,147 70 0,209 
40 0,160 75 0,215 
45 0,173 80 0,221 
50 0,186 85 0,226 
- - 90 0,231 
 
 
c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado (item 17.4.2.2 da NBR 
6118:2014) 
 
Quando a armadura longitudinal de tração (flexão) for determinada através do equi-
líbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provo-
cados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do 
diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão: 
 
 
 
  dcotgαcotgα1
VV2
V
da
cmaxSd,
maxSd,
L 











 (5.34) 
 
Onde: 
 aL = d para VSd,max ≤ Vc (em módulo) 
 aL  0,5 d no caso geral 
 aL  0,2 d para estribos inclinados a 45º 
 
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5.17 
 
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente deca-
lagem do diagrama de momentos fletores. 
 
A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida 
simplesmente empregando a força de tração, em cada seção, dada pela expressão: 
 
 
 
Z
M
2
1
cotgαcotgθV
Z
M
F
maxSd,
Sd
Sd
corSd, 






 (5.35) 
 
Onde 
 MSd,Max é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise. 
 
5.2.4.3 – Modelo de cálculo II 
 
O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de , em 
relação ao eixo longitudinal da peça, variando livremente entre 30o e 45o. Admite 
ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd. 
 
a) verificação da compressão diagonal do concreto: 
 
 A partir da equação (5.19) para valores de  entre 30o e 45o e com cc,max = 
0,6 v2 fcd a expressão para VRd2 fica: 
 
Vsd = VRd2 = Rcc,max sen = (0,6 v2 fcd) bw 0,9d (cotg + cotg) sen
2 (5.36a) 
 
VRd2 = 0,54 v2 fcd bw d sen
2 (cotg + cotg) = wd2 bw d (5.36b) 
 
Com v2 dado na equação (5.15) e wd2 dado por: 
 
wd2 = 0,54 v2 fcd sen
2 (cotg + cotg) (5.37) 
 
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5.18 
 
Para estribos verticais, ou seja,  = 90o, e para  = 45o, os valores de wd2 são 
os mesmos do modelo I, dados na tabela 5.2. 
 
b) – cálculo da armadura transversal 
 
 VRd3 = Vc + Vsw (5.38) 
 
 
 Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora 
da seção 
 
 Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção 
 
 Vc = Vc1 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc1 na flexo-compressão 
 
Com 
 
Vc1 = Vc0 quando VSd  Vc0 
 
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente para valores 
 intermediários 
 
Definindo-se analogamente uma tensão convencional de cisalhamento proveni-
ente de Vc1, tem-se: 
db
V
τ
w
c1
c1 
 (5.39) 
 
Os valores de Vc1, ou os correspondentes valores de c1, podem ser represen-
tados na figura 5.6 seguinte: 
 
 
 
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5.19 
 
 
 
Figura 5.6 – Valores de c1 
 
 
 Conforme figura 5.6 os valores de c1 (ou Vc1) quando wd (ou VSd) é maior 
que c0 (ou Vc0) e menor que wd2 (ou VRd2) estão indicados no trecho inclinado, que 
representa a interpolação linear dos valores de c1 entre c0 e wd2, dados na equa-
ção: 
 
 









c0wd2
c0wd
c0c1
ττ
ττ
1ττ
 (5.40) 
 
A parcela de tração absorvida pela armadura transversal Vsw, conforme equa-
ção (5.26), é dada no modelo II por: 
 
 
  senαfcotgαcotgθz
s
A
senαfA
s
cotgαcitgθz
senαRV ywd
sw
ywdswstsw 


 
(5.41) 
 
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5.20 
 
Analogamente ao desenvolvido no modelo I, dividindo-se a equação (5.13), 
VSd ≤ Vc + Vsw, por bw d, fazendo-se em (5.41) z = 0,9 d,  = 90
o e s = 100 cm, ob-
tém-se a equação para a armadura transversal Asw no modelo II. 
 
 Asw  = w bw (cm
2 / m) (5.42) 
 
39,15cotgθ
ττ
100ρ c1wdw


 (5.43) 
 
Com c1 dado na equação 5.40. 
 
c) – deslocamento do diagrama de momentos fletores: 
 
Se forem mantidas as condições estabelecidas no modelo I, o deslocamento 
do diagrama de momentos fletores no modelo II deve ser: 
 
 al = 0,5 d (cotg - cotg) (5.44) 
 
onde 
 al  0,5 d, no caso geral 
 al  0,2 d, para estribos inclinados de 45º. 
 
 
5.2.5 – Cargas próximas aos apoios 
 
Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e 
a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, com-
primindo-o), valem as seguintes prescrições: 
 
a) no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, 
a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada constante e igual 
à desta seção; 
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5.21 
 
b) a força cortante devida a uma carga concentrada a uma distância a  2d do 
eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento “a”, ser reduzida multipli-
cando-a por [a / (2d)]. 
c) 
 
 
Figura 5.7 – Redução do cortante próximo aos apoios 
 
 O valor final da força cortante com as reduções devidas à carga concentrada 
e à carga distribuída deve ser dada por: 
 
 









2d
a
1
L
a-L
P-
2
dc
pVV eixoS,RedS,
 (5.45) 
 
 
 
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5.22 
 
5.2.6 – Prescrições complementares da NBR 6118:2014 
 
 Item 18.3.3.2 
 t  5 mm 
Diâmetro da armadura transversal Asw 
 t  bw / 10 
 
 wd  0,67 wd2 smax = 0,6 d  30 cm 
Espaçamento máximo dos estribos 
 wd  0,67 wd2 smax = 0,3 d  20 cm 
Item 17.4.1.1.3 
 A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela com-
binação de estribos e barras dobradas, entretanto essas últimas não devem suportar 
mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura. 
 
5.3 – Força cortante em lajes e elementos lineares com bw ≥ 5d (item 19.4 da 
NBR 6118:2014) 
 
5.3.1 – Lajes sem armadura para força cortante 
 
 Dispensa-se armadura transversal para resistir às forças de tração oriundas 
da força cortante em lajes maciças ou nervuradas, quando a força cortante de cálcu-
lo a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão: 
 
 VSd ≤ VRd1 ou wd ≤ wd1 (5.46) 
 
 Sendo VRd1 a força cortante resistente de cálculo dada por: 
 
 VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 ρ1)] bw d = [wd1] bw d (5.47) 
 
 Onde Rd é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada 
por: 
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5.23 
 
 
 Rd = 0,25 fctd = 0,25 (fctk,inf / γc) (5.48) 
 
 Para γc = 1,4 e fctk,inf conforme equação (1.13a), obtém-se: 
 
 0,0375 (fck)
2/3 (MPa) fck ≤ 50 MPa 
Rd = 0,179 fctk,inf = (5.49) 
 0,265 ln (1 + 0,11fck) (MPa) fck > 50 MPa 
 
 ρ1 é a taxa da armadura de tração As1 que se estende até não menos que (d 
+ lb,nec), além da seção considerada. (lb,nec é o comprimento necessário de ancora-
gem, definido no próximo capítulo). 
 
 ρ1 = As1 / (bw d) ≤ 0,02 (5.50) 
 
 k é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
 k = 1 - para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o 
 apoio 
 
 k = (1,6 – d) ≥ 1 - para os demais casos, com d em metros. 
 
Segundo o item 20.1 da NBR 6118:2014, em laje em que seja dispensada a 
armadura transversal, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios. Neste 
caso, só a segunda opção para o valor de k deve ser usada. 
 
bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 
 
5.3.2 – Lajes com armadura para força cortante 
 
 Aplicam-se os mesmos critérios estabelecidos para vigas, considerando-se 
para a resistência de cálculo ao escoamento no cisalhamento (fywd) os seguintes 
valores máximos: 
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5.24 
 
 - 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; 
 - 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm. 
 
Para valores intermediários de espessura permite-se a interpolação linear re-
sultando: 
 
 15h
20
250435
250fywd 


 (MPa) (5.51) 
 
5.4 – Exemplos 
 
5.4.1 - Exemplo 1 
 
Calcular a armadura de cisalhamento para uma viga biapoiada de 4 m de vão, 
carga distribuída p = 25 kN/m, seção de 20X40 cm2, d=36 cm, fck = 20 MPa, aço 
CA-60. A largura dos apoios na direção do eixo da viga é c = 20 cm. 
 
Modelo de cálculo I 
 
a) verificação do concreto 
 
R = p / 2 = 25 x 4 / 2 = 50 kN 
 
VS,max = R – p c / 2 = 50 – 25 x 0,20 / 2 = 47,5 kN 
(A força cortante máxima deve ser calculada na face do apoio) 
 
wd = VSd,max / bw d = 47,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,092 kN/cm
2 < wd2 = 0,355 kN/cm
2 
 
 Como o valor da tensão convencional máxima de cisalhamento dado na tabe-
la 5.2, wd2 = 0,355 kN/cm
2, é maior que o valor de wd = 0,092 kN/cm
2, o concreto foi 
verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá. 
 
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5.25 
 
b) cálculo da armadura 
 
Asw = w bw com 
0,088ρ0,066
39,15
0,06630,092
100
39,15
ττ
100ρ minw,
c0wd
w 




 
 
 Os valores de ρw,min e c0 são fornecidos nas tabelas 5.1 e 5.3, respectiva-
mente. Como o valor de ρw < ρw,min, isto implica em armadura transversal mínima, ou 
seja, Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm
2/m. Usando-se estribos simples 
(com dois ramos), a armadura será dada por: 
 
(Asw)/2 = 1,76 / 2 = 0,88 cm
2/m → s = 100 / (0,88 / 0,196) =22,2 cm  5 c/ 22 cm 
 
 Como wd = 0,092 kN/cm
2  wd,min = 0,101 kN/cm
2 (tabela 5.4), w = w,min, o 
que implica em Asw = Asw,min = w,min bw, sem necessidade de calcular Asw. 
 
 Como (wd / wd2) = 0,092 / 0,355 = 0,26  0,67, o espaçamento máximo dos 
estribos fica: smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!) 
 
Modelo de cálculo II ( = 30o) 
 
a) verificação do concreto 
 
wd = VSd,max / bw.d = 47,5 x 1,4 / (20 . 36) = 0,092 kN/cm
2 
 
Pela equação (5.37) para  = 30o, α = 90o e fck = 20 MPa, obtém-se: 
 
wd2=0,54v2fcdsen
2(cotg+cotg)=0,54[1-(20/250)](20/1,4)sen2(30o)(0+cotg30o) 
 
wd2 = 3,07 MPa = 0,307 kN/cm
2. 
 
wd = 0,092 kN/cm
2 < wd2 = 0,307 kN/cm
2 OK! concreto verificado 
 
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5.26 
 
b) cálculo da armadura 
 
Como wd = 0,092 kN/cm
2 > c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
 
0,0592
0,06630,307
0,06630,092
10,0663
ττ
ττ
1ττ
c0wd2
c0wd
c0c1 
















 
 
Asw = w bw 
0,088ρ0,048
239,15x1,73
0,05920,092
100
039,15cotg3
ττ
100ρ minw,o
c1wd
w 




 
 
Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm
2/m  5 mm c/ 22 cm 
 
Como wd / wd2 = 0,092 / 0,307 = 0,30 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!) 
 
Modelo de cálculo II ( = 45o) 
 
a) verificação do concreto 
 
wd = VSd / bw d = 47,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,092 kN/cm
2 < wd2 = 0,355 kN/cm
2 OK! 
 
Pela equação (5.37) para  = 45o, α = 90o e fck = 20 MPa, ou simplesmente pela ta-
bela 5.2, obtém-se wd2 = 0,355 kN/cm
2. 
 
 
b) cálculo da armadura 
Como wd = 0,092 kN/cm
2 > c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
 
0,0604
0,06630,355
0,06630,092
10,0663τc1 








 
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5.27 
 
Asw = w . bw com w = 100(wd - c1) / (39,15 x cotg), para  = 45
o 
 
 
0,088ρ0,047
39,15x1
0,06040,092
100ρ minw,w 


 
 
Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm
2/m  5 mm c/ 22 cm 
Como wd / wd2 = 0,092 / 0,355 = 0,26 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!) 
 
Observa-se neste exemplo que o valor calculado de ρw = 0,047 para  = 45
o e α = 
90o, é menor que o valor calculado nas mesmas condições considerando-se o mo-
delo de cálculo I, ρw = 0,066. Isto se deve à diferença das teorias adotadas para os 
dois modelos. 
 
Como no modelo II a taxa ρw é menor, consequentemente a armadura também será 
menor. No entanto, a tensão convencional máxima de cisalhamento é menor no mo-
delo II (wd2 = 0,307 no modelo II < wd2 = 0,355 no modelo I). Portanto, o cálculo da 
armadura transversal de cisalhamento pelo modelo II é sempre mais econômico, 
desde que se verifique a tensão no concreto. 
 
5.4.2 - Exemplo 2 
 
Mesmos dados do exemplo I, com carga distribuída p = 50 kN/m 
 
Modelo de cálculo I (sem redução do cortante no apoio) 
 
a) verificação do concreto 
 
R = p / 2 = 50 x 4 / 2 = 100 kN 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
5.28 
 
 
VS,max = R – p c / 2 = 100
– 50 x 0,20 / 2 = 95 kN 
wd = VSd,max / bw d = 95 x 1,4 / (20 x 36) = 0,185 kN/cm
2 < wd2 = 0,355 kN/cm
2 OK! 
 
b) cálculo da armadura 
 
Como wd = 0,185 kN/cm
2 > wd,min = 0,101 kN/cm
2 (tabela 5.4) 
 
Asw = w bw com w = 100 (wd - c0) / 39,15 c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
w = 100 (0,185 – 0,0663) / 39,15 = 0,303 > w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto 
 
Asw = 0,303 x 20 = 6,06 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) 
  5 mm s = 100 / (3,03/0,196) = 6,5 →  5 mm c/ 6 cm 
Asw/2 = 3,03 cm
2/m  6 mm s = 100 / (3,03/0,283) = 9,3 →  6 mm c/ 9 cm 
  8 mm s = 100 / (3,03/0,503) = 16,6 →  8 mm c/ 16 cm 
 
Como wd / wd2 = 0,185 / 0,355 = 0,52  0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!) 
 
Modelo de cálculo I (com redução do cortante no apoio) 
 
a) verificação do concreto 
 
R = p / 2 = 50 x 4 / 2 = 100 kN 
 
VS,max = R – p c / 2 = 100 – 50 x 0,20 / 2 = 95 kN 
VS,Red = R – p (c + d) / 2 = 100 – 50 x (0,20 + 0,36) / 2 = 86 kN 
 
wd = VSd,max / bw.d = 95 x 1,4 / (20 x 36) = 0,185 kN/cm
2 < wd2 = 0,355 kN/cm
2 OK! 
 
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5.29 
 
Obs.: a verificação do concreto deve ser feita com a força cortante SEM REDUÇÂO. 
 
b) cálculo da armadura 
 
O cálculo da armadura pode ser feito com o cortante reduzido, VS,Red. 
 
wd,Red = VSd,Red / bw d = 86 x 1,4 / (20 x 36) = 0,167 kN/cm
2 > wd,min = 0,101 kN/cm
2, 
 
Asw = w bw com w = 100 (wd,Red - c0) / 39,15 c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
w = 100 (0,167 – 0,0663) / 39,15 = 0,257 > w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto 
 
Asw = 0,257 x 20 = 5,14 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) 
  5 mm s = 100 / (2,57/0,196) = 7,6 →  5 mm c/ 7 cm 
Asw/2 = 2,57 cm
2/m  6 mm s = 100 / (2,57/0,283) = 11,0 →  6 mm c/ 11 cm 
  8 mm s = 100 / (2,57/0,503) = 19,6 →  8 mm c/ 19 cm 
 
Como wd / wd2 = 0,185 / 0,355 = 0,52  0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!) 
 
Modelo de cálculo II ( = 30o) 
 
a) verificação do concreto 
 
wd = VSd,max /bw d = 95 x 1,4 / (20 x 36) = 0,185 kN/cm
2 < wd2 = 0,307 kN/cm
2 (OK!) 
 
b) cálculo da armadura 
Como wd = 0,185 kN/cm
2 > c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
36
85
0,03
0,06630,307
0,06630,1
10,0663
ττ
ττ
1ττ
c0wd2
c0wd
c0c1 
















 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
5.30 
 
Asw = w bw 
0,088ρ0,2
3039,15xcotg
0,0330,1
100ρ minw,ow 

 23
685
 
 
Asw = 0,223 x 20 = 4,46 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) 
  5 mm s = 100 / (2,23/0,196) = 8,8 →  5 mm c/ 8 cm 
Asw/2 = 2,23 cm
2/m  6 mm s = 100 / (2,23/0,283) = 12,7 →  6 mm c/ 12 cm 
  8 mm s = 100 / (2,23/0,503) = 22,6 →  8 mm c/ 22 cm 
 
Como wd / wd2 = 0,185 / 0,307 = 0,60 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!) 
 
Modelo de cálculo II (ângulo qualquer, por exemplo  = 35o) 
 
a) verificação do concreto 
 
wd = VSd,max /bw d = 95 x 1,4 / (20 x 36) = 0,185 kN/cm
2 
 
wd2 = 0,54 x [1 - (20/250)] x (2,0 / 1,4) x sen
2(35o) x (0+cotg35
o) = 0,333 kN/cm2 
 
Como wd = 0,185 kN/cm
2 < wd2 = 0,333 kN/cm
2, concreto verificado. 
 
b) cálculo da armadura 
 
Como wd = 0,185 kN/cm
2 > c0 = 0,0663 kN/cm
2 
 
 
68
85
0,03
0,06630,333
0,06630,1
10,0663τc1 








 
 
Asw = w bw com w = 100 (wd - c1) / (39,15 x cotg35
o) 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
5.31 
 
w = 100 (0,185 - 0,0368) / (39,15 x cotg35
o) = 0,265 > w,min = 0,088 (tab. 5.1) 
 
Asw = 0,265 x 20 = 5,30 cm
2/m 
 
Para estribos simples (dois ramos) 
  5 mm s = 100 / (2,65/0,196) = 7,4 →  5 mm c/ 7 cm 
Asw/2 = 2,65 cm
2/m  6 mm s = 100 / (2,65/0,283) = 10,7 →  6 mm c/ 10 cm 
  8 mm s = 100 / (2,65/0,503) = 19,0 →  8 mm c/ 19 cm 
 
Como wd / wd2 = 0,185 / 0,333 = 0,56  0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!) 
Concreto Armado I - Ney Amorim Silva - Revis�o Fevereiro de 2015/Cap.6 - Ader�ncia_2014_Rev._Fev._2015.pdf
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 6 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Abril 2014 
 
VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA 
__________________________________________________________________________ 
 
Segundo a NBR 6118:2014 no capítulo 9, devem ser obedecidas no projeto 
as exigências estabelecidas nesse capítulo, relativas à aderência, ancoragem e e-
mendas das armaduras. 
 
6.1 – Posição da barra durante a concretagem 
 
Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que 
estejam em uma das posições seguintes: 
 
a) com inclinação superior a 45o sobre a horizontal (fig. 6.1a); 
b) horizontais ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde 
que: 
 para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 
30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concreta-
gem mais próxima (fig. 6.1b); 
 para elementos estruturais com h  60 cm, localizados no mínimo 
30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concre-
tagem mais próxima (fig. 6.1c). 
 
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas desli-
zantes devem ser consideradas em má situação quanto à aderência. 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.2 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Zonas de Boa e Má aderência 
 
6.2 – Valor da resistência de aderência (item 9.3.2.1 da NBR 6118:2014) 
 
A resistência de aderência de cálculo entre armadura e o concreto na ancora-
gem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
 
 fbd = 1 2 3 fctd (6.1) 
 
Onde: 
 
 0,21 (fck)
2/3 / c (MPa) fck ≤ 50 MPa 
fctd = fctk,inf / c = (6.2a) 
 1,484 ln (1 + 0,11fck) / c (MPa) fck > 50 MPa 
 
Para c = 1,4, tem-se: 
 
 0,15 (fck)
2/3 (MPa) fck ≤ 50 MPa 
fctd = (6.2b) 
 1,06 ln (1 + 0,11fck) (MPa) fck > 50 MPa 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________
6.3 
 
 1 = 1,0 para barras lisas (CA 25); 
 1 = 1,4 para barras entalhadas (CA 60); 
 1 = 2,25 para barras nervuradas (CA 50); 
 2 = 1,0 para situações de boa aderência; 
 2 = 0,7 para situações de má aderência; 
 3 = 1,0 para  < 32 mm; 
 3 = (132 - ) / 100, para  ≥ 32 mm, com  (diâmetro da barra) em 
mm. 
 
 TABELA 6.1 – Valores da resistência de aderência fbd 
Aço CA 50, boa aderência,  < 32 mm 
 
Grupo I – fck ≤ 50 MPa 
fbd = [0,3375 fck
(2/3) / 10[ 
Grupo II – fck > 50 MPa 
fbd = [2,385 ln(1+0,11fck) / 10] 
fck (MPa) fbd (kN/cm
2) fck (MPa) fbd (kN/cm
2) 
20 0,249 55 0,466 
25 0,289 60 0,484 
30 0,326 65 0,500 
35 0,361 70 0,516 
40 0,395 75 0,531 
45 0,427 80 0,544 
50 0,458 85 0,557 
- - 90 0,570 
 
 
 
Segundo o item 9.3.2.3 da NBR 6118:2014: 
 
No escorregamento da armadura, em elementos estruturais fletidos, devem 
ser adotados os valores da tensão de aderência dada acima multiplicada por 1,75. 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.4 
 
6.3 – Ancoragem das armaduras (item 9.4 da NBR 6118:2014) 
 
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esfor-
ços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja 
por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos. 
 
 
6.3.1 – Ancoragem por aderência 
 
Acontece quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento re-
to ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho. 
 
Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por 
aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concre-
to, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou 
igual a 3 e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3. 
 
6.3,2 – Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos 
 
Acontece quando as forças a ancorar são transmitidos ao concreto por meio 
de dispositivos mecânicos acoplados à barra. 
 
 
6.3.3 – Ancoragem de armaduras passivas por aderência 
 
As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento re-
tilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as con-
dições seguintes: 
 
 as barras lisas obrigatoriamente devem ter ganchos; 
 as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem 
ter ganchos 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.5 
 
 com ou sem gancho, nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para 
barras de  > 32 mm ou para feixe de barras. 
 
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos. 
 
 
6.3.4 – Ganchos das armaduras de tração 
 
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração 
podem ser: 
 
 semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2; 
 em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4; 
 em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8. 
 
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 
 
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de 
tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na tabela 6.2. 
 
 
Tabela 6.2 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) 
 
 
Bitola 
mm 
Tipo de aço 
CA - 25 CA - 50 CA - 60 
< 20 4  5  6  
 20 5  8  - 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.6 
 
6.4 – Comprimento de ancoragem básico 
 
Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de 
uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Fd = As . fyd 
nessa barra, admitindo-se ao longo desse comprimento uma tensão de aderência 
constante e igual a fbd, conforme apresentado na figura 6.2. 
 
 
 
Figura 6.2 – Comprimento de ancoragem reto 
 
 Para determinar o comprimento reto básico de ancoragem lb deve-se igualar a 
máxima força Fd de tração que uma barra com diâmetro  pode suportar com a força 
interna produzida pelas tensões de aderência fbd, resultando: 
 
 
bdbyd
2
d flπf
4
πF . 
 (6.3) 
 
 


25
f
f
4
l
bd
yd
b 
 (6.4) 
 
A partir da equação (6.4) pode-se tabelar os valores do comprimento de anco-
ragem básico para o aço CA-50, situação de boa aderência, s = 1,15, c = 1,4 e  < 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.7 
 
32 mm, para concreto com fck ≤ 50 MPa, tabela 6.3. 
 
Tabela 6.3 – Valores de lb para aço CA-50, s = 1,15, c = 1,4, boa aderência, 
 < 32 mm e concretos com fck ≤ 50 MPa 
 
 
 
Bitola 
(mm) 
Concreto Classe I (fck ≤ 50 MPa) 
Valores de lb em função do diâmetro (arredondados para o múltiplo 
de 5 cm, imediatamente superior) 
C 20 
(43,71) 
C 25 
(37,67) 
C 30 
(33,36) 
C 35 
(30,10) 
C 40 
(27,54) 
C 45 
(25,46) 
C 50 
(25)* 
10 45 cm 40 cm 35 cm 35 cm 30 cm 30 cm 25 cm 
12,5 55 cm 50 cm 45 cm 40 cm 35 cm 35 cm 35 cm 
16 70 cm 65 cm 55 cm 50 cm 45 cm 45 cm 40 cm 
20 90 cm 80 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 50 cm 
22 100 cm 85 cm 75 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 
25 110 cm 95 cm 85 cm 80 cm 70 cm 65 cm 65 cm 
 
 
Observando-se a tabela acima nota-se que para fck = 50 MPa o valor calcula-
do de lb seria 23,73, menor que 25, que é o valor mínimo dado na equação (6.4). 
Desta maneira não é necessário calcular os valores dos comprimentos básicos para 
os concretos do grupo II, pois o maior comprimento seria para fck = 55 MPa, com lb = 
23,35 < 25. Portanto para concretos do grupo II (fck > 50 MPa), aço CA-50, s = 
1,15, c = 1,4, boa aderência e  < 32 mm, o valor do comprimento básico é constan-
te e igual a 25. 
 
6.5 – Comprimento de ancoragem necessário 
 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.8 
 
 
minb,
se
cals,
b1necb, l
A
A
lαl 
 (6.5) 
 
onde: 
 1 = 1,0 para barras sem gancho, 
 1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobri-
mento no plano normal ao do gancho ≥ 3, 
 lb é calculado conforme equação (6.4); 
 lb,min é o comprimento mínimo de ancoragem, dado por: 
 
 
0,3 lb 
l b,min > 10  (6.6) 
 10 cm 
 
6.6 – Armadura transversal na ancoragem 
 
Para efeito desse item, observado o item 6.3.1, consideram-se as armaduras 
existentes
ao longo do comprimento de ancoragem, caso a soma das áreas dessas 
armaduras seja maior ou igual às especificadas abaixo: 
 
 Barras com  < 32 mm ao longo do comprimento de ancoragem deve ser 
prevista armadura transversal capaz de resistir a 25 % da força longitudinal de uma 
das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para 
esse efeito, a barra de maior diâmetro. 
 
 Barras com   32 mm deve ser verificada a armadura em duas direções 
transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem 
suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando es-
paçamento máximo de 5 . 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.9 
 
6.7 – Ancoragem de feixes de barras, por aderência 
 
Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro equivalente igual a: 
 
 
nfn  
 (6.7) 
 
Onde n é o diâmetro equivalente do feixe constituído de n barras com diâmetro f. 
 
6.8 – Ancoragem de estribos (item 9.4.6 da NBR 6118:2014) 
 
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de 
ganchos ou barras longitudinais soldadas. 
 
Os ganchos dos estribos (com diâmetro t) podem ser: 
 
 Semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento 
igual a 5 t, porém não inferior a 5 cm; 
 Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t, porém 
não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e 
fios lisos). 
 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual aos 
estabelecidos na tab. 6.3. 
 
Tabela 6.3 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos 
 
Bitola 
mm 
Tipo de aço 
CA - 25 CA - 50 CA - 60 
 10 3 t 3 t 3 t 
10 <  < 20 4 t 5 t - 
 20 5 t 8 t - 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.10 
 
6.9 – Emendas das barras 
 
6.9.1 – Tipos 
 
As emendas podem ser: 
 Por traspasse (transpasse ou trespasse); 
 Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas; 
 Por solda; 
 Por outros dispositivos devidamente justificados. 
 
6.9.2 – Emendas por traspasse 
 
Esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm. 
Cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na armadura de costura 
dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tra-
cionada). 
 
No caso de emenda de feixe de barras, o diâmetro equivalente não deve ser 
superior a 45 mm. 
 
6.9.2.1 – Proporção das barras emendadas 
 
Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se su-
perpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20 
% do comprimento do trecho do traspasse. 
 
Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse de-
ve ser calculado pela barra de maior diâmetro. 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.11 
 
 
 
Figura 6.3 – Emendas consideradas na mesma seção transversal 
 
A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas 
por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural está indicada na 
tabela 6.5 abaixo: 
 
Tabela 6.5 – Proporção máxima de barras tracionadas emen-
dadas em uma mesma seção 
 
 
Tipo de barra 
 
 
Situação 
 
Tipo de 
carregamento 
Estático Dinâmico 
Alta resistência 
Em uma camada 100 % 100 % 
Em mais de uma 
camada 
50 % 50 % 
Lisa 
 < 16 mm 50 % 25 % 
  16 mm 25 % 25 % 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.12 
 
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribui-
ção, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção. 
 
 
6.9.2.2 – Comprimento de traspasse para barras tracionadas, isoladas 
 
Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 
0 e 4 , o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser: 
 
 l0t = 0t lb,nec ≥ l0t,min (6.8) 
 
 0,3 0t lb 
Onde: l0t,min > 15  (6.9) 
 20 cm 
 
 0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na 
mesma seção, conforme a tabela 6.6. 
 
 
Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 , ao com-
primento calculado acima, deve ser acrescida a distância livre entre barras emenda-
das. A armadura transversal na emenda deve ser justificada, atendendo ao estabe-
lecido em 6.9.2.4. 
 
 
Tabela 6.6 – Valores do coeficiente 0t 
 
Barras emendadas na 
mesma seção (%) 
 
 20 
 
 
25 
 
 
33 
 
 
50 
 
 
> 50 
 Valores de 0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.13 
 
6.9.2.3 – Comprimento por traspasse de barras comprimidas, isoladas 
 
Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para o 
cálculo do comprimento de traspasse: 
 
 l0c = lb,nec  l0c,min (6.10) 
 
 0,6 lb 
Onde: l0c,min > 15  (6.11)
 20 cm 
 
6.9.2.4 – Armadura transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas 
 
6.9.2.4.1 – Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver fig. 6.4) 
 
Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção 
for menor que 25 %, a armadura transversal deve satisfazer ao item 6.6. 
 
Nos casos em que  ≥ 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas 
na mesma seção for maior ou igual a 25 %, a armadura transversal deve: 
 
 Ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emenda, considerando 
os ramos paralelos ao plano da emenda; 
 Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais 
próximas de duas emendas na mesma seção for < 10  ( = diâmetro da bar-
ra emendada); 
 Concentrar-se nos terços extremos das emendas. 
 
6.9.2.4.2 – Emendas de barras comprimidas (ver fig. 6.4) 
Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência 
___________________________________________________________________________ 
 
6.14 
 
uma barra da armadura transversal posicionada 4  além das extremidades da e-
menda. 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Armadura transversal nas emendas 
 
Concreto Armado I - Ney Amorim Silva - Revis�o Fevereiro de 2015/Cap.7
- Detalhamento_2014_Rev._Fev._2015.pdf
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 7 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Julho 2014 
 
DETALHAMENTO DE VIGAS 
__________________________________________________________________________ 
 
 7.1 - Introdução 
 
O detalhamento de elementos lineares constitui o capítulo 18 da NBR 
6118:2014. No intuito de fixar os conceitos para o cálculo das armaduras longitudi-
nais destinadas a resistir às forças de tração produzidas pela flexão e das armadu-
ras transversais para combater a força cortante são calculadas e detalhadas vigas 
biapoiadas e contínuas em concreto armado. O correto detalhamento destas arma-
duras longitudinais e transversais é uma tarefa importante no projeto de vigas de 
concreto armado. 
 
Segundo o item 18.2.1 da NBR 6118:2014 “o arranjo das armaduras deve a-
tender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de 
execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do con-
creto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a 
impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemen-
to estrutural.” 
 
Algumas barras da armadura longitudinal, tracionadas pela flexão, podem ser 
dobradas para resistir à força cortante ou são necessárias em nós de pórticos. O 
diâmetro interno de curvatura destas barras (diâmetro dos pinos de dobramento para 
barras curvadas) não deve ser menor que 10  para aço CA-25, 15  para CA-50 e 
18  para CA-60 (item 18.2.2 da NBR 6118:2014). Estes diâmetros de curvatura po-
dem ser reduzidos proporcionalmente à redução da tensão de cálculo nestas arma-
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
7.2 
 
duras de tração em relação à tensão de escoamento de cálculo, fyd, mas nunca a 
valores inferiores aos exigidos para os ganchos (ver tabela 6.2). 
 
As prescrições que se seguem são válidas para vigas isostáticas com relação 
(/h) ≥ 2 e para vigas contínuas com relação (/h) ≥ 3, em que  é o comprimento do 
vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço) e h é a altura 
total da viga. Vigas com relação (/h) menores devem ser tratadas como viga pare-
de. 
 
7.2 – Armadura de tração na flexão simples, ancoradas por aderência 
 
Segundo o item 18.3.2.3.1 da NBR 6118:2014, o trecho adicional da extremi-
dade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teó-
rica onde sua tensão σs começa a diminuir, ou seja, a força de tração da armadura 
começa a ser transferida para o concreto, ponto A da figura 7.1. A partir do ponto A, 
que pertence ao diagrama de forças de tração RSd=(Md)/z decalado (deslocado) de 
a, acrescenta-se o comprimento necessário de ancoragem, b,nec dado na equação 
(6.5). A extremidade desta barra ancorada deve prolongar-se até pelo menos 10  
além do ponto teórico de tensão σs nula, ponto B, (onde teoricamente começa o tre-
cho de ancoragem da próxima barra). O trecho além do ponto A não pode em caso 
algum, ser inferior ao comprimento necessário de ancoragem b,nec. 
 
Assim, na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicita-
dos por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A 
(figura 7.1) do diagrama de forças RSd=(Md)/z decalado de a, conforme equações 
(5.34), para modelo I e (5.44), para modelo II. Este diagrama deslocado equivale ao 
diagrama de forças corrigido FSd,corr, equação(5.35). Se a barra não for dobrada, o 
trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10 . 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento 
___________________________________________________________________________ 
 
7.3 
 
 
 
 
Figura 7.1 – Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagra-
ma resistente (Adaptado da figura 18.3 da NBR 6118:2014) 
 
Nos pontos intermediários entre A e B, o diagrama resistente linearizado (tra-
cejado) deve cobrir o diagrama solicitante (ver figura 7.1). Se o ponto A estiver na 
face do apoio ou além dela e a força FSd diminuir em direção ao centro de apoio, o 
trecho de ancoragem deve ser medido a partir dessa face e deve obedecer ao dis-
posto em 7.3-b. 
 
Na figura 7.1 o apoio da esquerda, em destaque, tem inicialmente um mo-
mento fletor nulo. Considerando o diagrama deslocado de aeste apoio estará sub-
metido a um pequeno momento fletor M = RSd x z. O valor médio de z = 0,9 d, já 
utilizado no cálculo da armadura de cisalhamento (capítulo 5), pode ser tomado co-
mo aproximadamente z ≈ d, devido ao pequeno valor de M. A armadura de tração 
devido à flexão deve sempre trabalhar com σsd = fyd, o que implica em: 
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7.4 
 
RSd = As fyd (7.1) 
 
No triangulo formado pelos catetos a e M, o ângulo  é a direção do dia-
grama de momentos na seção do apoio, cuja tangente dá a derivada deste diagrama 
em relação ao eixo longitudinal da viga (x). A partir das relações diferenciais relacio-
nando os esforços solicitantes tem-se: 
 
 
 a
dR
a
zR
a
ΔM
V
dx
dM
tgα SdSddapoioSd,
apoioSd,

 (7.2) 
 
 De (7.1) e (7.2) calcula-se a armadura de tração necessária no apoio: 
 
 
yd
apoioSd,apoio
cals,
yd
apoio
cals,Sd
apoioSd,
f
V
d
a
A
a
dfA
a
dR
V 


 (7.3) 
 
 
7.3 – Armadura de tração nas seções de apoio 
 
Segundo o item 18.3.2.4 da NBR 6118:2014, os esforços de tração junto aos 
apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitudi-
nais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: 
 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas atra-
vés do dimensionamento da seção; 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compres-
são, armaduras capazes de resistir a uma força de tração FSd = (a/d) Vd + 
Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventual-
mente existente, mesma equação (7.3) para N = 0; 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da 
armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento 
positivo do tramo (Mvão), de modo que: 
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7.5 
 
- As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto 
Mapoio ≤ 0,5 Mvão; 
- As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto 
 Mapoio > 0,5 Mvão. 
 
7.4 – Ancoragem da armadura de tração no apoio 
 
Quando se tratar do caso de 7.3-a), as ancoragens devem obedecer aos crité-
rios da figura
7.1. Para os casos de 7.3-b) e c), em apoios extremos, as barras das 
armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais 
ou superiores ao maior dos seguintes valores: 
- b,nec conforme equação (6.5); 
- (r + 5,5 ), onde r é o raio de curvatura dos ganchos, conforme tabela 6.2; 
- 60 mm. 
 
Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normal-
mente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocor-
rerem com grande frequência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores an-
teriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. 
 
Para os casos de 7.3-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de an-
coragem pode ser igual a 10 , desde que não haja qualquer possibilidade da ocor-
rência de momentos positivos na região dos apoios, provocados por situações im-
previstas, particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa 
possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio. 
 
7.5 - Viga 1 
 
 Calcular e detalhar uma viga biapoiada com vão  = 5 m, seção 20x50 cm2 (d 
= 46 cm), fck = 25 MPa (brita calcaria), aço CA 50 (flexão) e/ou CA 60 (cisalhamen-
to), apoio da esquerda com largura cesq = 20 cm e da direita cdir = 30 cm, obra resi-
dencial urbana (wk,lim = 0,3 mm, cnom = 3 cm), reação das lajes RL = GL + QL = 22 + 
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7.6 
 
8 = 30 kN/m, alvenaria de tijolos furados com espessura de 25 cm e altura de 2,8 m 
sobre a viga. 
 
7.5.1 – Carga sobre a viga 
 
Peso próprio pp = 0,2 x 0,5 x 25 = 2,5 kN/m 
Peso da alvenaria palv = 0,25 x 2,80 x 13 = 9,1 kN/m g = 2,5+9,1+22 = 33,6 kN/m 
Reação das lajes parcela permanente = 22 kN/m 
 
Reação das lajes parcela acidental q = 8 kN/m 
 
Reação total p = g + q = 33,6 + 8 p = 41,6 kN/m 
 
 
7.5.2 – Esforços 
 
Reação R = p  / 2 = 41,6 x 5 / 2 = 104 kN 
MS,max = p 
2 / 8 = (33,6 + 8 = 41,6) x 5
2 / 8 = 105 (Mg) + 25 (Mq) = 130 kNm 
 
7.5.3 – Cálculo da armadura de flexão 
 
fc = 1,518 kN/cm
2 Tabela 1.11 
K = (13000 x 1,4) / [1,518 x 20 x (46)
2] = 0,283 < KL = 0,295 K’ = K = 0,283 
As = As1 = (1,518 x 20 x 46 / 43,5) x [1 – (1 – 2 x 0,283)
1/2] = 10,96 cm2 
(d/h) = 46 / 50 ≈ 0,90 As,min = 0,15% x 20 x 50 = 1,5 cm
2 < As = 10,96 cm
2 
As2 = A’s = 0 usando 2  5 mm como “porta-estribo” A’se = 0,39 cm
2 
 
Usando  = 16 mm (2,011 cm2) 6  16 mm Ase = 6 x 2,011 ≈ 12,1 cm
2 
 
7.5.4 – Verificação da fissuração 
 
fctm = 0,3 x (25)
2/3 = 2,56 MPa = 0,256 kN/cm2 
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7.7 
 
γf2 = ψ1 = 0,4 combinação frequente, edifício residencial 
γf = (1,4 x 130) / (105 + 0,4 x 25) = 1,58 > 1,4 
 
Usando-se a equação (4.1) que não depende do detalhamento (ρri) para i = 
16 mm, e tensão σsi calculada de forma aproximada: 
 
2
se
cals,
f
yd
si 24,93kN/cm
12,1
10,96
1,58
43,48
A
A
γ
f
σ 
 
 
0,3mm0,20mm
0,256
3x24,93
21000
24,93
12,5x2,25
16
f
3σ
E
σ
12,5η
w
ctm
si
si
si
1
i
k 


 
(OK!) 
 
Alternativamente a verificação da fissuração pode ser feita pela equação 
(4.13), originada da equação (4.1) acima, resultando: 
 
2
cals,se
3
ctmf
ydw
cals,
se 10,96cmAA0,9
1,58x0,256
x43,483x2,483x10
fγ
f3a
A
A

 com 
35
kf
i5
w 2,483x10
1,58x0,3
16
7,361x10
Wγ
Φ
10,3617a
 
 equação (4.17) 
 
7.5.5 – Cálculo da armadura de cisalhamento 
 
Para o cálculo da tensão convencional máxima de cisalhamento wd,max a for-
ça cortante máxima deve ser obtida na face do apoio: 
 
VS,max = R - p x cesq / 2 = 104 - 41,6 x 0,2 / 2 = 99,84 kN 
wd,max = VSd,max / (bw d) = (99,84 x 1,4) / (20 x 46) = 0,152 kN/cm
2 
 
Verificação do esmagamento da biela comprimida de concreto 
wd,max < wd2 = 0,434 kN/cm
2, tab. 5.2 ( concreto OK!) 
 
 
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7.8 
 
Cálculo da armadura de cisalhamento (modelo I) 
c0 = 0,0769 kN/cm
2, tab. 5.3 
ρw = 100 (0,152 – 0,0769) / 39,15 = 0,192 > ρw,min = 0,103, tab. 5.1 
Asw = 0,192 x 20 = 3,84 cm
2/m 
Considerando estribo simples (dois ramos) Asw / 2 = 1,92 cm
2/m 
Usando t = 5 mm (0,196 cm
2) s = 100 / (1,92 / 0,196) = 10,2 cm 
 
Espaçamento máximo 
wd,max / wd2 = 0,152 / 0,434 = 0,35 < 0,67 smax = 0,6 d = 0,6 x 46 ≈ 27 cm (OK!) 
 
Estribo final  5 c/10 cm 
 
7.5.6 – Detalhamento da seção transversal 
 
bútil = 20 – 2 x (3 + 0,5) = 13 cm 
n,cam = (13 + 2) / (1,6 + 2) = 4,2 4  16 mm na 1
a e 2  16 mm na 2a camada 
d’’real = [4 x (3,5 + 0,8) + 2 x (3,5 + 1,6 + 2 + 0,8)] / 6 = 5,5 cm > d’’adot = 4 cm 
dreal = 50 – 5,5 = 44,5 cm < dadot = 46 cm 
 
Kcorrigido = 0,303 > KL = 0,295 K’ = KL = 0,295 
As1 = (1,518x20x44,5/43,5)x[1–(1–2x0,295)
1/2]=(1,518x20x44,5/43,5)x0,36 = 11,18 cm
2 
As2 = (1,518 x 20 x 44,5 / 43,5) x [(0,303 - 0,295) / (1 - 3,75 / 44,5)] = 0,26 cm
2 
d’ = 3 + 0,5 + (0,5/2) = 3,75 cm (d/d’) = (44,5 / 3,75) = 11,9 > 5,34  = 1 
 
As,real = As1 + As2 = 11,18 + 0,26 = 11,44 cm
2 < Ase = 12,1 cm
2 (OK!) 
A’s = As2 /  = 0,26 cm
2 < A’se = 0,39 cm
2 (OK!) 
 
As armaduras efetivamente adotadas ou existentes, calculadas com o valor 
adotado dadot = 46 cm, atendem às armaduras corrigidas, calculadas com os valores 
reais de dreal = 5,5 cm e d’real = 3,75 cm. 
 
 
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7.9 
 
7.5.7 – Cálculo dos comprimentos de ancoragem por aderência 
 
De acordo a tabela 6.3 o comprimento básico de ancoragem para situação de 
boa aderência (armadura no fundo da viga) é lb = 37,67  = 37,67 x 1,6 = 60,3 cm. 
 
Ancoragem no vão 
De acordo a equação (6.5) o comprimento de ancoragem necessário sem 
gancho (1 = 1), para As,cal = As,real = 11,44 cm
2, é dado por: 
 
b,nec = 1 x 60,3 x (11,44 / 12,1) = 57 cm ≈ 60 cm > lb,min = 0,3 x 60,3 ≈ 18 cm (OK!) 
 
Ancoragem nos apoios 
 
Conforme equação (5.34), com VSd,max = R = 104 kN, neste caso calculado no 
eixo do apoio, onde MS = 0, para estribos verticais ( = 90
o), Vc = Vc0 = c0(bwd) = 
0,0769 x 20 x 44,5 = 68,44 kN, tem-se: 
 
 
  d42cm44,5x0,94001
68,44104x1,42
104x1,4
44,5a 








 
 
2
yd
apoioSd,apoio
cals, 3,15cm
43,5
104x1,4
0,94
f
V
d
a
A  
 
 
Levando-se 2  16 mm, (1/3) das 6 barras do vão, até os apoios e conside-
rando gancho (1 = 0,7):