UNIDADE III GABARITO DAS RESPOSTAS

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UNIDADE III 
MEDIDAS DESCRITIVAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
 
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO 
 
1. Das medidas de posição vistas na unidade, explique: 
a) qual é a mais utilizada e por quê; 
A média é mais utilizada, pois é a medida mais precisa, é única 
num conjunto de dados e sempre existe. 
 
b) quais são os problemas que a média pode ter em sua utilização 
como medida representativa de um conjunto de dados. 
Os problemas da média ocorrem porque ela é afetada por medidas 
extremas, ou seja, valores muito altos ou muito baixos, destoando da 
maioria dos outros valores, podem comprometer o valor da média. Além 
disso, em conjuntos de dados muito heterogêneos, ela não é uma medida 
que representa bem o conjunto de dados. 
 
2. Considere os seguintes diâmetros (mm) de eixos produzidos em certa fábrica 
de autopeças: 
93 94 96 100 96 102 89 87 105 
 
Demonstre: 
a) a média aritmética, a moda e a mediana; 
Média: (93+94+96+100+96+102+89+87+105)/9 = 862/9 = 97,8 mm 
Moda (mo) valor que mais se repete em um conjunto de dados: 96 
mm 
Mediana: 
Coloque os dados em Rol: 
 
87 89 93 94 96 96 100 102 105 
 
Observar o elemento central, como nesse caso é impar: observe 
temos 4 elementos antes e 4 elementos depois da mediana. 
Portanto mediana (md): 96 mm 
 
b) a variância, o desvio padrão; 
 
93 94 96 100 96 102 89 87 105 
 
Variância, dada pela fórmula: 
1-n
)x(x
n
1i
2
i
2



s
 
 
S2 = (93-96)2 + (94-96)2 + (96-96)2 + (100-96)2 + (96-96)2 + (102-96)2 + (89-96)2 
+ (87-96)2 + (105-96)2 = 276/8 = 34,5 mm 
 
Desvio padrão = raiz quadrada da variância, portanto, raiz de 34,5 
Desvio padrão 5,87 mm 
 
c) o coeficiente de variação (interprete); 
Coeficiente de Variação (C.V.%) = (5,87/96)*100 = 6,12% 
Os dados são homogêneos, pois o C.V. está abaixo de 10% 
 
d) o 3º quartil e o 6º decil. 
Colocar os dados de brutos em rol: 
 
93 94 96 100 96 102 89 87 105 
 
Em Rol 
 
87 89 93 94 96 96 100 102 105 
 
 
P=0,75(n +1) 
p = 0,75(9 + 1) = 7,5 valor, foi tirada uma média entre 100 e 102. 
 
 
Portanto: Q3 = 101 mm, portanto, 75% dos diametros dos eixos estao 
abaixo de 101 mm. 
 
Para o D6 temos: 
6º Decil (D6) P=0,60(n +1) (dados em rol) 
 
D6 = 0,60 * (9 + 1) = 6 
Portanto será o 6º valor do rol, 
87 89 93 94 96 96 100 102 105 
 
D6 = 96 mm, portanto, 60% dos diâmetros dos eixos estão abaixo de 96 mm. 
 
3. Considere a seguinte tabela de distribuição de frequências com os tempos (em 
dias) que um corretor demora a concluir um negócio, observado em 40 
operações: 
 
Tempo (dias) Fi Fac xi 
0 |– 2,5 2 2 1,25 
2,5 |– 5,0 3 5 3,75 
5,0 |– 7,5 25 30 6,25 
7,5 |– 10,0 10 40 8,75 
total 40 - - 
 Fonte: Dados hipotéticos 
 
Demonstre: 
a) a média aritmética, a moda e a mediana; 
Nesse caso a média será aritmética, ponderada, portanto 
utilizaremos a fórmula para dados agrupados (em tabelas) 
Amostra 
n
xF
x
ii.

 
Podemos inserir uma coluna extra na tabela para facilitar os 
cálculos, e chamarmos de Xi. Fi 
Tempo (dias) Fi Fac xi xi.fi 
0 |– 2,5 2 2 1,25 (1,25*2) = 2,5 
2,5 |– 5,0 3 5 3,75 (3,75*3) = 11,25 
 
n
xF
x
ii.

 Em seguida, a somatória da coluna Xi.Fi que é igual a 257,5, 
basta dividir por 40 que é o número total de elementos: 
257,5/40 = 6,44 dias 
 
Moda (Mo): 
Mo = 
)F(F)F(F
)Fh(F
 
1ii1ii
1ii




Li
 
 
Em que: 
i é a ordem da classe modal; 
li é o limite inferior da classe modal; 
h é a amplitude da classe modal; 
Fi é a frequência absoluta da classe modal; 
Fi−1 é a frequência absoluta da classe anterior à classe modal; 
Fi+1 é a frequência absoluta da classe posterior à classe modal. 
 
RESOLVENDO, observando na tabela: 
Li = 5,0 
h = amplitude do intervalo é igual a 2,5 
 
Mo = 
)10(25)3(25
)32,5.(25
 0,5



 = )51()22(
55
 0,5


 = 37
55
 0,5 
 = 5,0 + 1,48 = 6,48 
 
 
 
Mediana (Md): 6,5 
 
5,0 |– 7,5 25 30 6,25 (6,25*25)= 156,25 
7,5 |– 10,0 10 40 8,75 (8,75*10) = 87,5 
total 40 - - 257,5 
Md = 
i
1ai
i
F
)Fh(p
l 


 
Md = 
i
1ai
i
F
)Fh(p
l 


 = 
25
)52,5(20
5


= 25
5,37
5 
 = 5 + 1,5 = 6,5
 
Em que: 
 
 indica a posição central da série; 
 
i é a ordem da classe que contém o menor valor de Fai, tal que Fai ≥ p ; 
Fai - 1 é a frequência acumulada da classe anterior a da mediana. 
 Fi é a frequência absoluta da classe mediana; 
 li é o limite inferior da classe mediana. 
 
b) a variância, o desvio padrão; 
 
Para facilitar no cálculo da variância, foi aberto na tabela uma 
coluna a mais, a coluna: (xi – média)2 * Fi 
 
Fórmula da variância amostral e aplicação: 
 
 129,83/39 s2 = 3,33 
 
 
Desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância, portanto, raiz de 
3,33 = 1,82 
 
Tempo 
(dias) 
Fi Fac xi 
xi.fi (xi – média)2 * Fi 
0 |– 2,5 2 2 1,25 2,5 (1,25 – 6,44)2*2 = 53,87 
2,5 |– 5,0 3 5 3,75 11,25 (3,75-6,44)2*3 = 21,70 
5,0 |– 7,5 25 30 6,25 156,25 (6,25-6,44)2*25 = 0,90 
7,5 |– 10,0 10 40 8,75 87,5 (8,75-6,44)2*10 = 53,36 
total 40 - - 257,5 129,83 
2
n
p 
1n
)x(x
s
n
1i
2
i
2





iF
 
c) o coeficiente de variação (interprete); 
 
CV(%) = (1,82)/6,44*100 = 28,26% 
 
d) o 3° quartil e o 4° percentil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo das 
medidas separatrizes é feito da seguinte maneira: 
 
3º Quartil: Sk = 
Fi
Fph
l aii
)( 1
 
 
Para determinar o 3º quartil temos que localizar o p: 
 ∑ 
 
 p = (3*40)/4) = 30 
 
Localizar na tabela na coluna Fac onde localiza-se o 30º elemento, nesse 
caso está na classe 3. Utilizaremos a fórmula 
 
Sk = 
Fi
Fph
l aii
)( 1
 
 
Sk = 5,0 + 
 
 
 
 
Tempo 
(dias) 
Fi Fac xi 
xi.fi 
0 |– 2,5 2 2 1,25 2,5 
2,5 |– 5,0 3 5 3,75 11,25 
5,0 |– 7,5 25 30 6,25 156,25 
7,5 |– 10,0 10 40 8,75 87,5 
total 40 - - 257,5 
 5,0 + 2,5 = 7,5 
 
Portanto: Q3 = 7,5 
 
 
4° percentil na tabela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo das 
medidas separatrizes é feito da seguinte maneira: 
 
Sk = 
Fi
Fph
l aii
)( 1
 
 
Para localizar o p = 
 ∑ 
 
 (4*40)100 = 1,6 
 
Nesse exemplo vamos utilizar a 1ª classe que é onde se localiza o valor 1,6. 
 
Sk = 
Fi
Fph
l aii
)( 1
 
Sk = 0 + 
 
 
 
 
0 + 2 = 2 
 Portanto: P4 = 2 
 
Tempo 
(dias) 
Fi Fac xi 
xi.fi 
0 |– 2,5 2 2 1,25 2,5 
2,5 |– 5,0 3 5 3,75 11,25 
5,0 |– 7,5 25 30 6,25 156,25 
7,5 |– 10,0 10 40 8,75 87,5 
total 40 - - 257,5